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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{5 mai 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{\gray  mai 2011}}
 \end{center}

Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d'épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie. La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1 h 30.
 
L'usage d'une calculatrice est autorisé. Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit, est interdit. Aucun document n'est autorisé. L'usage du téléphone est interdit.
 
Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.
 
Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points. Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE I} \end{center} 

\medskip

On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal \Ouv, direct.

Soient les points A et B d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 1, z_{\text{B}} = 3 - 2\text{i}$.
  
Pour tout complexe $z$, on pose : 

\[z' = \text{i}z + 1 - \text{i}.\]
 
On considère la fonction $F$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$. 

\begin{enumerate}
\item Placer A et B sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.
\item Dans cette question, on considère un point $M$, différent de A, donc d'affixe $z \neq 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item D\'eterminer le complexe $Z= \dfrac{z' - 1}{z - 1}$. 
		\item Déterminer le module $|Z|$ et un argument arg($Z$) de $Z$. 
		\item Exprimer A$M'$ en fonction de A$M$. Déterminer l'angle $\left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{A}M'}\right)$. 
		\item En déduire la nature de la fonction $F$. On précisera tous ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des images A$'$ et B$'$ par $F$ des points A et B. 
\item Soit C le point dont l'image par la fonction $F$ est le point C$'$ d'affixe 

$Z_{\text{C}'} = - 3 - 3\text{i}$. 

Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. Justifier le calcul.
 
Dessiner les triangles ABC$'$ et ACB$'$ sur la figure du 1. 
\item On désigne par I le milieu du segment [BC$'$]. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{I}}$, du point I. 
		
Dans le triangle ABC$'$, tracer la médiane (D) issue de A. 
		\item Déterminer les affixes des vecteurs $\vect{\text{AI}}$ et $\vect{\text{CB}'}$.
		\item Déterminer la position relative des droites (AI) et (CB$'$). On justifiera la réponse. 
		\item Que représente la droite (D) pour le triangle ACB$'$ ?
	\end{enumerate} 
\item On note (D$'$) l'image de la droite (AI) par la fonction $F$. Déterminer (D$'$) et tracer (D$'$) sur la figure.
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2} \end{center}
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^x + 3.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. Justifier la réponse. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. Justifier la réponse.  
		\item On en déduit que $\mathcal{C}$ admet, au voisinage de $- \infty$, une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$. 
		\item Pour tout réel $x,\:f'(x)$ s'écrit sous la forme : $f'(x) = g (x) \left(\text{e}^x - 2\right)$. 
		
Donner l'expression de $g (x)$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 
		\item $f$ présente un minimum au point $M\left(x_{M}~;~y_{M}\right)$. Déterminer les coordonnées $\left(x_{M}~;~y_{M}\right)$ de $M$. Détailler 
le calcul de $y_{M}$.
	\end{enumerate} 
\item Une des deux courbes $\mathcal{C}_{1}$l et $\mathcal{C}_{2}$ dessinées sur la figure ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle ? Justifier votre réponse.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-2.25)(4,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-6,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-2.25)(4,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](-6,3)(4,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0.5,0.5){$\vect{\jmath}$}\rput(-1,2){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{1.385}{2.71828 2 x mul exp 3 add 2.71828 x exp 4 mul sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-6}{1.385}{2.71828 2 x mul exp 2 add 2.71828 x exp 4 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T_{0}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Tracer $T_{0}$ sur la figure du 3. 
\item La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'asymptote $\Delta$ en un point E.

Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{E}}~;~y_{\text{E}}\right)$ du point E. Détailler les calculs. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $J$ l'intégrale définie par: $J = \displaystyle\int_{0}^{\ln 4} (3 - f(x))\:\text{d}x$.
		 
Calculer la valeur de $J$ en justifiant le calcul. 
		\item Sur la figure du 3. placer le point E et hachurer la partie du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, vaut $J$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 3} \end{center}

Un fabricant de jouets vend un modèle de poupée qui \og parle et marche \fg{} grâce à un mécanisme électronique.
 
On appelle \og durée de vie \fg{} d'une poupée, le temps pendant lequel le mécanisme fonctionne correctement avant la première défaillance.
 
La variable aléatoire $T$, représentant la durée de vie exprimée en années d'une poupée prise au hasard dans  la production, suit une loi exponentielle de paramètre 1. 

La probabilité $P(T \leqslant t)$ que la durée de vie de la poupée soit inférieure à $t$ années est alors donnée par : 
 
\[P (T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \frac{1}{3}t}.\]
 
Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $p$ qu'une poupée ne fonctionne plus au bout d'une année. 
		\item Exprimer, en fonction de $t$, la probabilité $P(T > t)$ qu'une poupée n'ait aucune défaillance pendant $t$ années.
	\end{enumerate} 
\item J'ai acheté une poupée. On note $A$ l'évènement : \og la poupée n'a aucune défaillance pendant une année \fg{} et $B$ l'évènement : \og la poupée n'a aucune défaillance pendant trois ans \fg.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$ des évènements $A$ et $B$.
\item Sachant que la poupée fonctionne parfaitement au bout d'un an, quelle est la probabilité $P_{A}(B)$ que la poupée fonctionne encore au bout de trois ans ?  Justifier le calcul.
\end{enumerate} 
\item Le fabricant garantit les poupées pendant un an et s'engage à rembourser les poupées défectueuses.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près du pourcentage de poupées remboursées.
		\item Quelle durée de garantie maximale ta devrait proposer le fabricant pour qu'il ne rembourse pas plus de 8\,\% des poupées vendues? 
Calculer la valeur exacte, exprimée en années, de $t_{0}$. Justifier le résultat.

Donner une valeur approchée, exprimée en mois, de $t_{0}$.
	\end{enumerate}  
\item Un commerçant achète un lot de trois poupées et le fabricant offre, pour chaque poupée, une garantie d'une année.
 
Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de poupées remboursées sur ce lot. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $p$ défini en 1. a., la probabilité $P(X = 3)$ que les trois poupées ne fonctionnent plus au bout d'un an. 
		\item Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P( X = 3)$ qu'une seule des trois poupées ne fonctionne plus au bout d'un an. 
		\item Compl\'eter le tableau donnant la loi de probabilité de $X$. Les probabilités seront exprimées en fonction de $p$. 
		\item Déterminer, en fonction de $p$, l'espérance mathématique E($X$) de la variable $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 3} \end{center}

Dans l'espace rapporté au repère \Oijk, orthonormé, on considère les points A, B et C, de coordonnées : 

\[\text{A}(1~;~0~;~-1), \text{B}(0~;~2~;~-2)\quad  \text{et}\:\: \text{C}(2~;~2~;~2).\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit le vecteur $\vect{n_{1}}(4~;~1~;~- 2)$. Calculer : $\vect{n_{1}} \cdot \vect{\text{AB}}$ et $\vect{n_{1}} \cdot \vect{\text{AC}}$. 
		
Que peut-on dire de $\vect{n}$ par rapport au plan (ABC) ? 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit le plan P d'équation cartésienne: $x - 2y + z = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées d'un vecteur $\vect{n_{2}}$ normal au plan P. 
		\item Justifier que les plans P et (ABC) sont perpendiculaires. 
		\item Parmi les points A, B et C, préciser ceux qui appartiennent à P. 
		\item On note $D_{1}$ la droite intersection des deux plans P et (ABC).

Quelle est cette droite $D_{1}$ ?
 
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vect{U}$ de la droite $D_{1}$. 
	\end{enumerate}
\item Soit la droite $D_{2}$ d\'efinie par le syst\`eme d'\'equations param\'etriques suivant : 

\[D_{2} \:\:\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + \alpha\\
y&=\alpha\\
z&=&0 - \alpha
\end{array}\right.\]

On note N le point d'intersection de la droite $D_{2}$ et du plan P. 

Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{N}}~;~y_{\text{N}}~;~z_{\text{N}} \right)$ de N. Justifier le calcul. 
\item Montrer que le point K(3~;~2~;~0) appartient à la droite $D_{2}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit le point L$\left(\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$. Montrer que le vecteur $\vect{\text{KL}}$ est normal au plan P. 
		\item Montrer que les points K et L sont symétriques par rapport au plan P. 
		\item On désigne par H le projeté orthogonal du point K sur le plan P. Déterminer les coordonnées $\left(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}} \right)$ de H.
	\end{enumerate} 
\item Justifier que les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ sont orthogonales. 
\end{enumerate}
\end{document}