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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{5 mai 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30\\
Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés. 
Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points. 
Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{\gray 5 mai 2010}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE I} \end{center} 

\medskip
 
On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv{} orthomormé, direct.

Soient $A$ le point d'affixe $Z_{A} = 1 + 3\text{i}$ et $B$ le point d'affixe $Z_{B} = 2$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le triangle $OAB$. 
		\item Expliquer pourquoi le triangle $OAB$ est isocèle en $A$. 
		\item On considère le point $C$, symétrique du point $O$ par rapport au point $A$ et le point $D$, symétrique du point $B$ par rapport au point $O$.
		 
Placer les points $C$ et $D$ sur la figure de I-1-.
 
Déterminer les affixes $Z_{C}$ et $Z_{D}$ des points $C$ et $D$. 
		\item On considère le point $E$, image du point $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de  rapport $\dfrac{1}{3}$. 

Placer le point $E$ sur la figure de I-1-.
 
Déterminer l'affixe $Z_{E}$ du point $E$. 
		\item On désigne par $F$ le barycentre des points pondérés $(A~;~2),\, (B~;~- 3)$ et $(D~;~2)$.
		 
Déterminer l'affixe $Z_{F}$ du point $F$.
 
Placer le point $F$ sur la figure de I-1-. 
		\item Justifier que les points $B,\,E$ et $F$ sont alignés. 
		\item On note $Z$ le complexe défini par : $Z = \dfrac{Z_{F} - Z_{C}}{Z_{B} - Z_{C}}$
 
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer le réel $a$ tel que $Z =	a\text{i}$. On détaillera les calculs.  
			\item Déterminer le module $|Z|$ et un argument arg$(Z)$ de $Z$. 
			\item En déduire la nature du triangle $CBF$. On justifiera la réponse. 
		\end{enumerate} 


	\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE II} \end{center} 


\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de $]1~;~+\infty[$, par : 
 
\[f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère \Oij{} orthonormé (1~cm d'unité).
 
\item
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\item En déduire que $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ dont on donnera les équations.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie, pour tout réel $x$ de $]1~;~+\infty[$, par : $g(x) = \sqrt{x^2 - 1}$. Justifier que sa dérivée $g'$ vérifie, pour tout réel $x$ de $]1~;~+\infty[$ : $g'(x) = f(x)$. 
		\item  $f'$ désigne la dérivée de $f$. Justifier que, pour tout réel $x$ de $]1~;~+\infty[$, on a : 

\[f'(x) = 	\dfrac{-1}{\left(x^2 - 1 \right)\sqrt{x^2 - 1}}\] 
 
		\item  Dresser le tableau des variations de $f$. 
		\item  Compléter le tableau suivant, en donnant des valeurs approchées à $0,01$ près des images $f(x)$.
		
		\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1,1&1,25&1,5&1,75&2&4\\ \hline%
$f(x)$&&&&&&\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$, $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ dans le repère \Oij{} donné.
	\end{enumerate} 
\item 	Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $1 < a < b$. 
 
On définit l'intégrale : $J(a,\, b) = \displaystyle\int_{a}^b [f(x) - 1)\:\text{d}x.$
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question II-2-a, justifier que l'on a : 

\[J( a,\,b) = \sqrt{b^2 - 1} - \sqrt{a^2 - 1} - b + a\]  

		\item Déterminer, en fonction de $b$, la limite : 
$I(b) = \displaystyle\lim_{a \to 1^{+}} J(a,\, b)$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On admet que, pour tout réel $b > 1$, on a : 
$\sqrt{b^2- 1} - b =  \dfrac{- 1}{\sqrt{b^2 - 1} + b}$.
 
Déterminer la limite $K = \displaystyle\lim_{b \to + \infty} I(b)$.
		\item Donner une interprétation géométrique de ce que représente $K$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\begin{center}
\textbf{EXERCICE III} \end{center} 

\medskip
 
Un certain concours d'entrée dans une école d'ingénieurs consiste en plusieurs épreuves:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Après examen de leur dossier scolaire, 15\,\% des candidats (les meilleurs) sont admis directement sans passer d'autres épreuves. 
\item Les autres candidats, non admis sur dossier, passent une épreuve écrite. On estime que 60\,\% des candidats réussissent cette épreuve écrite et les autres sont recalés. 
\item Les candidats ayant réussi l'épreuve écrite sont alors convoqués pour passer une épreuve orale. Les candidats réussissant l'épreuve orale sont alors admis. On estime que les candidats ont une chance sur trois de réussir l'épreuve orale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est admis sur dossier \fg 
\item $E$ : \og Le candidat passe et réussit l'épreuve écrite \fg 
\item $O$ : \og Le candidat passe et réussit l'épreuve orale \fg 
\item $A$ : \og Le candidat est admis \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.
 
On note $P(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $P_{E}(O)$ la probabilité de l'évènement $O$ sachant que l'évènement $E$ est réalisé.
 
\item
\begin{enumerate}
\item Compléter le schéma donné. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter à l'aide des hypothèses : 

$P(D) =  \ldots \qquad P_{\overline{D}}(E) = \ldots \qquad P_{R}(O) = \ldots $

		\item Déterminer la probabilité $P(E)$ qu'un candidat passe et réussisse l'épreuve écrite et la probabilité $P(O)$ qu'un candidat passe et réussisse l'épreuve orale. 
		\item On note $p$ la probabilité $P(A)$ qu'un candidat soit admis dans cette école d'ingénieurs. Justifier que $p$ vaut $0,32$.
		\end{enumerate} 
\item Cinq amis décident de passer ce concours (les résultats obtenus par chaque candidat sont indépendants les uns des autres). 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_{1}$ que les cinq soient admis.
		 
Puis donner une valeur approchée de $P_{1}$ à $10^{-4}$ près. 
		\item  Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_{2}$ qu'au moins un des cinq soit recalé.
		 
Puis donner une valeur approchée de $P_{2}$ à $10^{-4}$ près. 
		\item  	Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_{3}$ qu'au moins un des cinq soit admis.
		 
Puis donner une valeur approchée de $P_{3}$ à $10^{-4}$ près. 
		\item  Exprimer, en fonction de $p$, la probabilité $P_{4}$ que trois exactement soient admis.
		 
Puis donner une valeur approchée de $P_{4}$ à $10^{-4}$ près.
	\end{enumerate} 
\item  
Par hasard, je rencontre un candidat qui me dit avoir été admis dans cette école d'ingénieurs. Quelle est la probabilité $P_{A}(D)$ qu'il ait été admis sur dossier ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\begin{center}
\textbf{EXERCICE IV} \end{center}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier $n$ de $\N$, par : 

\[u_{n} =  \text{e}^{-n}\]
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item
			\begin{enumerate}
				\item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est décroissante. 
				\item  Montrer que, pour tout entier $n$ de $\N$, on a : 
$0 < u_{n} \leqslant 1$.
			\end{enumerate} 

		\item Étudier le signe de la fonction $h$ définie, pour tout réel $t$ de $]0~;~ +\infty[$, par :
 
\[h(t) = 1 - \ln (t)\] 
		\item Soit la fonction $g$ définie, pour tout réel $t$ de $]0~;~ +\infty[$, par : 

\[g(t) = t(2 - \ln (t))\] 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer $g'(t)$ où $g'$ est la dérivée de $g$. On détaillera le calcul. 
				\item En déduire la primitive $H$ de la fonction $h$ qui s'annule en $\text{e}^2$. On justifiera la réponse.
			\end{enumerate} 
		\item On considère maintenant la suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier $n$ de $\N$, par :
 
\[v_{n} = \int_{\text{e}^{-(n + 1)}}^{\text{e}^{-n}}(1 - \ln (t))\:\text{d}t.\] 
 
			\begin{enumerate}
				\item Justifier que, pour tout entier $n$ de $\N$, on a : $v_{n} \geqslant 0$.
				\item À l'aide de la question IV-3-b-, calculer $v_{n}$ en fonction de $n$. On détaillera le calcul. 
				\item Déterminer alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n}$.
			\end{enumerate} 
		\item Pour tout entier $n$ de $\N$, on pose : 
$S_{n} = v_{0} + v_{1} + ..\cdots + v_{n}$. 
			\begin{enumerate}
				\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
				\item Déterminer alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_{n}$. 
			\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\end{document}