\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{slashbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Concours GEIPI--POLYTECH}%tapez un titre
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH}}
\rfoot{\small{6 mai 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH~\decofourright}}\\
 {\Large \textbf{\gray 6 mai 2009 }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\textbf{Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 3}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[f_{n}(x) = x^n\text{e}^{-x}\]

Soit $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère \Oij{} orthogonal, l'unité sur l'axe des abscisses étant de 1~cm et sur l'axe des ordonnées de 2~cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x)$.
		\item En déduire que $\mathcal{C}_{n}$ admet une asymptote $\Delta_{n}$, au voisinage de $+ \infty$, dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'_{n}(x)$, pour $x \in  [0~;~+\infty[$, où $f'_{n}$ désigne la dérivée de $f_{n}$.
		\item  Dresser le tableau des variations de $f_{n}$.
		
Préciser les valeurs de $f_{n}(0),~f'_{n}(0)$ et $f_{n}(n)$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f_{2}$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $f_{2}(x) = x^2 \text{e}^{-x}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ représentative de $f_{2}$ dans le repère \Oij{} orthogonal donné.
		\item  Déterminer les coordonnées des points d'intersection $B_{1}$ et $B_{2}$ des courbes $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$.
		\item  Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, la courbe $\mathcal{C}_{n}$ passe par les deux points $B_{1}$ et $B_{2}$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur exacte de l'intégrale : $J = \displaystyle\int_{0}^2 \text{e}^{-x}\:\text{d}x$.
		
On indiquera les calculs intermédiaires.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale : $K = \displaystyle\int_{0}^2 x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$.

On indiquera les calculs intermédiaires et on donnera la valeur exacte de l'intégrale.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, exprimer, en fonction de $K$, l'intégrale : $I = \displaystyle\int_{0}^2 x^2\text{e}^{-x}\:\text{d}x$.
		
On indiquera les calculs intermédiaires.
		\item On note $\mathcal{Q}$ la partie de plan délimitée par les axes du repère, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ et la
droite d'équation $x = 2$.

Donner une valeur approchée à $10^{?2}$ près de l'aire $\mathcal{A}(\mathcal{Q})$ de la partie $\mathcal{Q}$, en unités d'aire, puis en cm2.
		\item Hachurer la partie $\mathcal{Q}$ sur le graphique de la question 3. a.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2  \hfill4 points}

\medskip

Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera \textbf{sa valeur exacte}, écrite sous
forme de \textbf{fraction irréductible}.

\medskip

Dans une classe de terminale S, comprenant 39 élèves, on relève les vo{\oe}ux d'orientation suivants :

30 élèves veulent faire des études scientifiques dont 22 envisagent des études longues.

6 élèves souhaitent s'engager dans des études de droit dont 2 envisagent des études courtes.

3 élèves veulent faire des études d'arts (études longues).

Toutes les filles veulent faire des études longues.

Il y'a autant de filles que de gar\c{c}ons qui souhaitent faire des études scientifiques.

Il y'a autant de filles que de gar\c{c}ons qui souhaitent faire des études de droit.

Un seul gar\c{c}on envisage de s'engager dans des études d'arts.

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau à l'aide des informations données en hypothèse.
\item On interroge un élève pris au hasard dans la classe.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la probabilité $P(F)$ que l'élève interrogé soit une fille et la probabilité $P(G)$ que ce soit un gar\c{c}on.
		\item  Sachant que l'élève interrogé veut faire des études longues, quelle est la probabilité $P_{1}$ que ce soit une fille qui envisage de faire des études scientifiques ?
		\item  Sachant que l'élève interrogé n'envisage pas de faire des études scientifiques, quelle est la probabilité $P_{2}$ qu'il se destine à des études d'arts ou envisage des études courtes ?
	\end{enumerate}
\item Deux filles et un gar\c{c}on sortent de la classe.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité $Q_{1}$ que ce soit trois élèves qui envisagent des études scientifiques ?
		\item  Quelle est la probabilité $Q_{2}$ qu'il y'ait au moins un élève envisageant des études d'arts ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 3  \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On se place dans le plan rapporté au repère \Oij{}
orthomormé, direct.

Soit A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe 2.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre A et de rayon 1 et la
droite $T$, tangente à $\mathcal{C}$ en B, d'équation $x = 2$.

Pour tout réel $\varphi$ vérifiant $- \pi \leqslant \varphi \leqslant \pi$, on pose :

\[z_{\varphi} = \left(\cos (\varphi) + 1\right) + \text{i} \sin (\varphi)\]

On désigne par $M_{\varphi}$ le point du plan d'affixe $z_{\varphi}$.} \hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,7.5)
\uput[d](1.75,2){$\vect{\imath}$}\uput[l](1,2.75){$\vect{\jmath}$}
\psline(1,0)(1,7.5)
\psline(0,2)(4.5,2) \psline(4,0)(4,7.5)
\psline(4,7.15)(1,2)(4,0.3) \psline(1.7,3.3)(3.2,0.7)
\uput[ul](1.7,3.3){M} \uput[r](4,7.15){U} \uput[r](4,4.5){T}
\uput[ur](4,2){B} \uput[r](4,0.3){V} \uput[d](3.2,0.7){N} \uput[dl](2.5,2){A} \uput[dl](1,2){O}
\pscircle(2.5,2){1.5}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(2.5,2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(1,3.5)
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Où se trouve le point $M_{\varphi}$ lorsque : $\varphi = - \pi$ ? $\varphi = \pi$ ? $\varphi =   0$ ?
\item  Soit $\varphi \in ]- \pi~;~\pi[$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer, en fonction de $\varphi$, l'affixe du vecteur $\vect{\text{A}M_{\varphi}}$.
		\item Justifier que $M_{\varphi}$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item  Pour la suite de l'exercice, on pose : $\varphi  = \dfrac{2\pi}{3}$.

On désigne par $M$ le point d'affixe : $z = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

On note $N$ le point du cercle $\mathcal{C}$ diamétralement opposé au point $M$ ($N$ est le symétrique de $M$ par rapport à A).

Déterminer l'affixe $Z$ du point $N$.
\item  Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $\mathcal{D}$ du segment $[MN]$.
\item  On considère $U$ le point d'intersection de la droite (O$M$) et de la tangente $T$ et $V$
le point d'intersection de la droite (O$N$) et de la tangente $T$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe $u$ du point $U$ et l'affixe $v$ du point $V$.
		\item  Déterminer l'affixe $k$ du milieu $K$ du segment $[UV]$.
		\item  En déduire une équation cartésienne de la médiatrice $\Delta$ du segment $[UV]$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$
 d'intersection des droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$.
		\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ainsi que le cercle $\mathcal{C}'$  de centre $\Omega$  passant par $M$.
		
Quels sont les trois points cités dans cet exercice, autres que $M$, qui appartiennent à ce cercle $\mathcal{C}'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}