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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours pilote d'avion  des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2015~\decofourright\\[7pt]Branche aéronautique : pilote d'avion}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :
\begin{itemize}
\item L'usage de la calculatrice est interdit,
\item Tous les exercices devront être traités,
\item Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte.
\end{itemize}
}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = x^3\e^x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et vers $- \infty$. 

(On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left|x^3 \e^x\right| = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x$.)
\item Étudier les variations de $f$. Dresser son tableau de variation.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-3$.
		\item Déduire de la limite de $f(x)$ en $- \infty$ que $\mathcal{C}$ admet une asymptote au voisinage de $- \infty$. Quelle est cette asymptote ?
		\item Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[F(x) = \left(x^3 - 3x^2 + 6x - 6\right)\e^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = -3$.
		
Calculer $\mathcal{A}$. ($\mathcal{A}$ sera exprimée en unités d'aire u. a.). On rappelle qu'une aire est positive.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Une urne contient $n + 8$ boules : $n$ boules noires ($n$ étant un entier au moins égal à deux) et huit boules blanches.

Tous les tirages effectués sont supposés équiprobables.

On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée il gagne un euro, mais pour chaque noire il perd deux euros.

\medskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, le jeu consiste à effectuer deux tirages successifs avec remise: le joueur tire une première boule de l'urne, il la remet dans l'urne, puis il effectue un deuxième tirage.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le joueur peut, soit gagner deux euros, soit perdre un euro, soit perdre quatre euros. 
		\item Calculer, en fonction de $n$, la probabilité correspondant à chacun des cas.
		\item Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque jeu le gain (positif ou négatif) réalisé à l'issue des deux tirages. Calculer, en fonction de $n$, l'espérance mathématique de $X$.
		
Y a-t-il une valeur de $n$ pour laquelle cette espérance est nulle ? Si oui, la donner.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $n$ est fixé égal à 6 (il y a donc 6 boules noires et 8 blanches dans l'urne).

Le joueur tire maintenant trois boules simultanément et il n'effectue qu'un seul tirage.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'il peut, soit gagner trois euros, soit perdre six euros, soit perdre trois euros, soit ne rien gagner ni ne rien perdre.
		\item Calculer la probabilité correspondant à chaque cas. Les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies sur l'ensemble des entiers naturels $n$ non nuls par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=& \sin \left(\dfrac{1}{n^2}\right) + \sin \left(\dfrac{2}{n^2}\right) + \ldots + \sin \left(\dfrac{n}{n^2}\right)\\
v_n &=& \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \ldots + \dfrac{n}{n^2}.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ converge vers 0,5.
\item On souhaite démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
	\begin{enumerate}
		\item $f,\: g$ et $h$ sont les fonctions définies sur $\R$ par : 
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)&=&x - \sin x,\\
g(x)& =& - 1 + \cos x+ \dfrac{x^2}{2}\\
\text{et}\: h(x) &=& - x + \sin x + \dfrac{x^3}{6}.
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

Démontrer que ces trois fonctions ne prennent que des valeurs positives ou nulles sur $[0~;~+ \infty[$. (Utiliser les variations de ces fonctions.)
		\item Justifier que pour tout $n \geqslant 1$, \:  $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 \leqslant n^4$. (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.)

Déduire de l'étude des fonctions $f$ et $h$ faite au a. que pour tout entier naturel $n$ non nul on a l'inégalité 
\[v_n - \frac{1}{6n^2} \leqslant  u_n \leqslant v_n.\]

		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. Quelle est sa limite ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Une usine fabrique des pièces dont 1\,\% sont défectueuses.

Après fabrication, chaque pièce, bonne ou défectueuse, est envoyée à un service de contrôle. Le contrôle s'effectue de la manière suivante:

\begin{itemize}
\item sachant qu'une pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de $0,97$ ;
\item sachant qu'une pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de $0,99$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour qu'une pièce soit défectueuse et acceptée? 
		\item Quelle est la probabilité pour qu'une pièce soit bonne et refusée ?
		\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait une erreur dans le contrôle?
	\end{enumerate}
\item Si l'on effectue cinq contrôles de suite, quelle est la probabilité pour qu'il y ait exactement deux erreurs de contrôle? (On pourra donner le résultat sous la forme d'un produit de puissances de nombres réels)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \ln (1 + x).\]

On note $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = \ln \left(1 + u_n\right)$.

On donne les valeurs approchées au centième près par défaut suivantes : 
\[\ln 2 \approx 0,69\quad ;\quad \ln 3 \approx 1,09.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.
\item À l'aide des valeurs $f(0),\: f(1)$ et $f(2)$ (approchées si besoin), tracer dans un repère orthonormal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$, restreinte à l'intervalle [0~;~2].

Tracer dans ce même repère la droite $D$ d'équation $y = x$, restreinte à l'intervalle [0~;~2].

Placer le point A de coordonnées $\left(u_0~;~0\right)$.

Construire les points de l'axe des abscisses d'abscisses respectives $u_1,\: u_2, u_3$ et $u_4$ en laissant les traits de construction apparents.
\item Que peut-on prévoir pour le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n$ est strictement positif.
\item Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par: 
\[g(x) = \ln (1 + x) - x.\]

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif on a :
\[0 < \ln (1 + x) < x.\]

En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item Déduire de ce qui précède que la suite $\left(u_n\right)$ converge et que sa limite est $0$.
\end{enumerate}

\end{document}