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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2019\\},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours surveillance}
\lfoot{\small{Aéronautique : pilote d'avion}}
\rfoot{\small{session 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2019~\decofourright\\[7pt]Concours pilote d'avion  des douanes}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
\begin{itemize}
\item L'usage de la calculatrice est interdit,
\item Tous les exercices devront être traités,
\item Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte.
\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par :
\begin{itemize}
\item son terme initial $u_0 = 1$ ;
\item la relation de récurrence : $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 8}{2u_n + 1}$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,\:u_2,\:u_3$
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\left]- \dfrac12~;~+\infty \right[$ par: \[h(x)= \dfrac{x + 8}{2x + 1} \]
et $(\mathcal{H})$ sa courbe représentative.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la fonction $h$.

Tracer $(\mathcal{H})$ et la droite $(d)$ d'équation $y = x$ dans un repère orthonormé \Oij{} ; (l'unité graphique sera 1 cm).
		\item Construire à l'aide de $(\mathcal{H})$ et de $(d)$ les points de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$  d'abscisses respectives $u_0,\:u_1,\:u_2,\:u_3$
		\item Que peut-on prévoir quant à la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item $\left(v_n\right)$ est la suite définie pour tout $n$ par : 
\[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0,\: v_1,\: v_2$.
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique que l'on caractérisera.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d'une urne contenant 5 boules rouges et 5 boules noires.

Si le joueur obtient 3 boules rouges, évènement que l'on note $R_3$, il gagne 500 euros.

S'il obtient 2 boules rouges et 1 boule noire, évènement que l'on note $R_2$, il gagne 300 euros.

Enfin, s'il obtient strictement moins de 2 boules rouges il ne gagne rien, on note cet évènement $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les probabilités des évènements $R_2$ et $R_3$ sont $p\left(R_2\right) = \dfrac{5}{12}$ et $p\left(R_3\right)  = \dfrac 1{12}$.
\item On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur.

Donner la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.
\end{enumerate}

Dans cette question, on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item Si le joueur réalise les évènements $R_3$ ou $R_2$ il ne gagne plus d'argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu que l'on appelle \og Banco \fg.
\item Si l'évènement $E$ est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le \og Banco \fg.
\end{itemize}

Le \og Banco\fg{} consiste à extraire une boule parmi les sept restées dans l'urne ; si celle-ci est noire le joueur empoche les \np{1000} euros du \og Banco\fg{} et si elle est rouge le joueur a perdu mais repart avec une prime de \og consolation\fg{} de $200$ euros.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'empocher les \np{1000} euros du \og Banco\fg{} sachant que R3 est réalisé?
		\item Quelle est la probabilité d'empocher les \np{1000} euros du \og Banco\fg{} sachant que R2 est réalisé?
		\item En déduire la probabilité d'empocher les \np{1000} euros du \og Banco \fg.
		
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. $Y$ peut donc prendre les valeurs 0, 200 ou \np{1000}.
		\item Établir la loi de probabilité de $Y$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $Y$ et comparer avec celle de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
\[f (x) = 1 + \cos x+ \dfrac12 \cos (2x),\]

 $\mathcal{C}_f$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ est $2\pi$--périodique.
		\item Étudier la parité de $f$.
		\item Justifier que l'on peut restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à $[0~;~\pi]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ 
		\item En déduire que, pour tout réel $x\in [0~;~\pi], \:  f'(x) =- \sin x (1 + 2 \cos x)$.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre l'équation $\sin x (1+ 2 \cos x ) = 0$ sur $[0~;~\pi]$.
\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur $[0~;~\pi]$.
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[- \pi ~;~\pi]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[g(x)= \dfrac{\e^x}{1 + \e^x} - \ln \left(1 + \e^x\right)\]
et $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}(Unité de longueur : 1 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudiez les variations de $g$. Déduisez-en le signe de $g(x)$.
\item Démontrez que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = - x + 1$ est asymptote à $(\Gamma)$ au voisinage de plus l'infini.
\item Tracez $(\Gamma)$ et $(\Delta)$ sur le même graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x) = \e^{-x}\ln \left(1 + \e^x\right).\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij (Unité de longueur : 2 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $f(x) = \dfrac{\ln \left(1 + \e^x\right)}{\e^x}$, calculez $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.
		
Qu'en déduisez-vous pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
(C) ?
		\item En remarquant que $f(x) = \left(1 + \e^x\right)\dfrac{\ln \left(1 + \e^x\right)}{1 + \e^x}$, calculez $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		
Qu'en déduisez-vous pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
	\end{enumerate}
\item Démontrez que, pour tout nombre réel $x$, on a: 
\[f'(x) = \e^{-x} g(x).\]

\item Dressez le tableau de variations de $f$
\item Tracez la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~+\infty[$.

On donne le tableau de ses variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](3,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$2$} \uput[u](6.5,2.4){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$+$} \uput[u](6,1.9){$-
$} 
\uput[u](1.4,0){$- \infty$} \rput[u](3,1){$0$} \uput[d](5,2){\small $1 + \e^{-2}$} \uput[u](6.8,0){$1$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On donne $1+\e^{-2} \approx 1,14$.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-\infty~;~+\infty[$ par $g(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer une courbe (C) susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement $g(2)$.
		\item Montrer que $0 \leqslant g(2) \leqslant 2,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ un réel supérieur à 2.
		
Montrer que $\displaystyle\int_0^2 f(x )\:\text{d}x \geqslant x - 2$.

En déduire que $g(x) \geqslant x - 2$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]-\infty~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On admet que, pour tout réel $t$,\:\: $f(t) = (t - 1)\e^{-t} + 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $h$ définie par $h(t) = -t\e^{-t}$ est une primitive sur $]-\infty~;~+\infty[$ de la fonction $t \longmapsto (t - 1)\e^{-t}$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$,\: $g(x) =x \left(1 - \e^{-x}\right)$. 
\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{document}