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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2019}
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\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes : surveillance ~\decofourright\\[7pt]avril 2019
}}}


\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :}

\textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = \e^x - x - 1\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $g$ et en déduire son tableau de variation.
Différence de fonctions dérivables sur $\R,\: g$ l'est aussi et sur cet intervalle :

$g'(x) = \e^x - 1$.

$\bullet~~\e^x - 1 > 0 \iff \e^x > 1 \iff x > \ln 1$ (croissance de la fonction ln) $\iff x = 0$ ; la fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$Enfin $\e^x - 1 = 0 \iff x = 0$ et $g(0) = \e^0 - 0 - 1 = 0$.

$\bullet~~$Limite en plus l'infini : on a pour tout $x \in [0~;~+ \infty[, \: g(x) = \e^x\left(1 - \dfrac{x}{\e^x} - \dfrac{1}{\e^x}\right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\e^x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\e^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \dfrac{x}{\e^x} - \dfrac{1}{\e^x} = 1$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^x = + \infty$ on obtient par produit de limites :
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x) = + \infty$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(5,3)\psline(0,2)(5,2)\psline(0,2.5)(5,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](4.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$} \uput[u](3,1.9){$+$}\rput(0.5,1){$g$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\uput[u](1.1,0){0}\uput[d](4.6,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$
$g$ est croissante à partir de $g(0) = 0$, donc $g(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item %En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,\: \e^x - x > 0$.
D'après le résultat précédent quel que soit $x \in [0~;~+ \infty[, \: \e^x - x - 1 \geqslant 1 > 0$, donc $\e^x - x > 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par
\[f(x) = \dfrac{\e^x - 1}{\e^x - x}.\]

On admet que $f$ est strictement croissante sur [0~;~1].

%Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], $f(x) \in [0~;~1]$.
On a vu dans la partie A que $\e^x - x > 0$ et on a aussi $\e^x - 1 \geqslant 0$ puisque sur $[0~;~+\infty[$, \: $\e^x \geqslant \e^0 = 1$.

Donc $\dfrac{\e^x - 1}{\e^x - x} \geqslant 0$ (quotient de deux termes positifs).

D'autre part : $\dfrac{\e^x - 1}{\e^x - x} = \dfrac{\e^x - x + x - 1}{\e^x - x} = \dfrac{\e^x - x}{\e^x - x} + \dfrac{x - 1}{\e^x - x} = 1 - \dfrac{1 - x}{\e^x - x}$.

Or si $x \leqslant 1$, \: $1 - x \geqslant 0$ et par conséquent $\dfrac{\e^x - 1}{\e^x - x} \leqslant 1$.

Conclusion : si $x\in [0~;~1]$, alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\item %Soit $(D)$ la droite d'équation $y = x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], \:$f(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\e^x - x}$.
Pour tout $x$ de [0~;~1], \:$f(x) - x = \dfrac{\e^x - 1}{\e^x - x} - x = \dfrac{\e^x - 1 - x\left(\e^x - x\right)}{\e^x - x} = \dfrac{\e^x - x\e^x - 1 + x^2}{\e^x - x} = \dfrac{\e^x(1 - x) - \left(1 - x^2\right)}{\e^x - x} = \dfrac{\e^x(1 - x) - (1 + x)(1 - x)}{\e^x - x} = \dfrac{(1 - x)(\e^x - 1 - x)}{\e^x - x} = \dfrac{(1 - x)g(x)}{\e^x - x}$.
		\item %Étudier la position relative de la droite $(D)$ et de la courbe
%$\mathcal{C}$ sur [0~;~1].
Sur l'intervalle [0~;~1], on a $1 - x \geqslant 0$ et $\e^x - x > 0$, donc le signe de $f(x) - x$ est celui de $g(x)$ vu à la question 1. de la partie A où l'on a vu que $g(x) \geqslant 0$, $g$ ne s'annulant qu'en 0.

Ceci signifie que la représentation graphique de $f$, $\mathcal{C}$ est au dessus de la représentation graphique de la fonction $x \longmapsto x$, la droite $(D)$, \:$\mathcal{C}$  et $(D)$ n'ayant qu'un point commun en $x = 0$ pour laquelle $y = 0$ (l'origine).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive de $f$ sur [0~;~1].
		Soit la fonction $u$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $u(x) = \e^x - x$.
		
		Cette fonction somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle : $u'(x) = \e^x - 1$.
		
On a donc $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ qui est la dérivée de la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$  par $x \longmapsto \ln |u(x)| = \ln u(x)$ puisque $\e^x - x > $ (question 3. partie A).

Une primitive de $f$ sur [0~;~1] est donc définie par $\ln \left(\e^x - x \right)$.
		\item %Calculer l'aire, en unité d'aire, du domaine du plan déterminé par la courbe $\mathcal{C}$,la droite $(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
		La fonction $f$ étant positive sur l'intervalle [~;~1], l'aire cherchée est égale à l'intégrale :
		
		$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \left[\ln \left(\e^x - x \right)\right]_0^1 = \ln \left(\e - 1 \right) - \ln\left(\e^0 - 0\right) = \ln (\text{e} = 1)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c c}
u_0&=&2\\
u_{n+1} &=& \dfrac{2u_n}{2 + 3 u_n}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item~ %Calculer $u_1$ et $u_2$.

$\bullet~~u_1 = \dfrac{2u_0}{2 + 3u_0} = \dfrac{4}{8} = \dfrac12$.

$\bullet~~u_2 = \dfrac{2u_1}{2 + 3u_1} = \dfrac{1}{\frac72} = \dfrac27$.
		\item ~%La suite $\left(u_n\right)$ est elle arithmétique ? Géométrique ?
$\bullet~~$ : on a $u_1 - u_0 = \dfrac12 - 2 = - \dfrac32$ ;

$\bullet~~$ : on a $u_2 - u_1 = \dfrac27 - \dfrac12 = - \dfrac{3}{14}$  donc la suite n'est pas arithmétique.

$\bullet~~$ : on a $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{\frac12}{2} = \dfrac14$ ;

$\bullet~~$ : on a $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{\frac27}{\frac12} = \dfrac{4}{7}$  donc la suite n'est pas géométrique.
	\end{enumerate}
\item On suppose que pour tout $n \in \N$ \:$,u_n$ n'est pas nul et on pose $v_n = 1 + \dfrac{2}{u_n}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
Pour tout $n \in \N \: v_{n+1} = 1 + \dfrac{2}{u_{n+1}} = 1 + \dfrac{1}{\frac{u_n}{2 + 3u_n}}=  1 + \dfrac{2 + 3u_n}{u_n} = 1+ \dfrac{2}{u_n} + \dfrac{3u_n}{u_n} = v_n + 3$.

L'égalité $v_{n+1} = v_n + 3$, vraie pour tout naturel $n$, montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison 3 de premier terme $v_0 = 1 + \dfrac{2}{u_0} = 1+ \dfrac{2}{2} = 2$.
		\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis déduire $u_n$ en fonction de $n$.
Pour $n \in \N$, on sait qu'alors $v_n = 2 + 3n$.

Or $v_n = 1 + \dfrac{2}{u_n} \iff v_n - 1 = \dfrac{2}{u_n} \iff 1 + 3n = \dfrac{2}{u_n} \iff \dfrac{u_n}{2} = \dfrac{1}{1 + 3n} \iff $

\[u_n = \dfrac{2}{1 + 3n}.\]
		\item %Vers quel nombre tend la suite $\left(u_n\right)$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{1 + 3n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

%L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.
%
%Il n'est pas demandé de faire de figure.
%
%On considère quatre points A, B, C et I de coordonnées respectives : 
\begin{center} A$(-1~;~2~;~1)$, \quad B$(1~;~6~;~-1)$, \quad C(2~;~2~;~2), \quad I$(0~;~1~;~-1)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
$\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les deux vecteurs définissent un plan $P$ dont les points $M$ sont tels que 
\[\vect{\text{A}M} = \alpha\vect{\text{AB}} + \beta\vect{\text{AC}}.\]
%Justifier que les trois points A, B et C définissent un plan $P$.
\item %Soit $\vect{u}$ le vecteur de coordonnées $(1~;~-2~;~-3)$.

%Démontrer que $\vect{u}$ est orthogonal à $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
On a $\vect{u} \cdot \vect{\text{AB}} 2 - 8 + 6 = 0$ et $\vect{u} \cdot \vect{\text{AC}} 3 + 0 - 3 = 0$ : le vecteur $\vect{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $P$, il est normal à ce plan.
%Déterminer une équation cartésienne du plan $P$.
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in P \iff 1x - 2y - 3z + d = 0 \iff x - 2y - 3z + d = 0$, \: $d \in \R$.

Ainsi A$(-1~;~2~;~1)\in P \iff -1 - 4 - 3 + d = 0 \iff d = 8$, donc 

\[M(x~;~y~;~z) \in P \iff x - 2 y - 3z + 8 = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}
On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. 

Ces secteurs sont de différentes couleurs : 
\begin{itemize}
\item secteurs 1 et 10 rouges ; 
\item secteurs 2, 4, 6, 9, 11, 13 et 15 jaunes ; 
\item secteurs 5 et 8 bleus ;
\item secteurs 3, 7, 12 et 14 verts).
\end{itemize}

On fait tourner la roue qui s'arrête sur l'un des 15 secteurs dont on note le numéro.

L'ensemble des éventualités est :

$\Omega = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13, 14,15\}$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.7)(2.7,2.7)
\pscircle(0,0){2.7}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){2.7}{-6}{18}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{18}{42}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{42}{66}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){2.7}{66}{90}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{90}{114}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{114}{138}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{138}{162}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0){2.7}{162}{186}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{186}{210}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{210}{234}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{234}{258}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2.7}{258}{282}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{282}{306}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0){2.7}{306}{330}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2.7}{330}{354}
\multido{\n=174+-24,\na=1+1}{15}{\rput(2.2;\n){\na}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item %$E$ \og le numéro est multiple de 5 \fg
$p(E) = \dfrac{3}{15} = \dfrac15$ ;
		\item %$F$ \og le numéro n'est pas multiple de 5 \fg
$p(F) = p\left(\overline{E}\right) = 1 - \dfrac15 = \dfrac45$
		\item %$G$ \og le numéro est pair et inférieur à 11 \fg
$p(G) = \dfrac{5}{15} = \dfrac13$ ;
		\item~ %$E \cap G$ ; $E \cup G$.
$\bullet~~p(E \cap G) = \dfrac{1}{15}$.

$\bullet~~p(E \cup G) = \dfrac{7}{15}$ ;
	\end{enumerate}
\item %Les secteurs 1 et 10 sont de couleur rouge. Les secteurs 5 et 8 sont de couleur bleue. Les secteurs 3, 7, 12 et 14 sont de couleur verte. Les autres secteurs sont de couleur jaune.

%La variable aléatoire $X$, qui associe à la couleur bleue le nombre 100, à la couleur rouge le nombre 30, à la couleur verte le nombre 10 et à la couleur jaune le nombre 0, correspond au gain du joueur en euros.
	\begin{enumerate}
		\item ~%Donner la loi de probabilité de $X$.
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$			&0				&10				&30				&100\\ \hline
$p(X = )$	&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{2}{15}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter le résultat.
		On a $E(X) = 0\times \dfrac{7}{15} + 10 \times \dfrac{4}{15} + 30 \times \dfrac{2}{15} + 100\times \dfrac{2}{15} = \dfrac{0 + 40 + 60 + 200}{15} = \dfrac{300}{15} = 20$.
		
		Pour un grand nombre de parties le gain moyen est de 20~\euro{} par partie.
	\end{enumerate}
\item %Deux observateurs A et B sont un peu éloignés de la roue. Ils voient la couleur du secteur sur lequel la roue s'arrête mais ne peuvent pas distinguer les numéros. 

%B connaît la correspondance entre les numéros et les couleurs des différents secteurs et indique à A sur quel numéro il doit parier.

%Évaluer dans chacun des cas suivants la probabilité pour A de gagner :
	\begin{enumerate}
		\item %La roue s'arrête sur un secteur rouge et A parie que le numéro est 15.
La probabilité est nulle.
		\item La roue s'arrête sur un secteur vert et A parie que le numéro est 3.
La probabilité est égale à $\dfrac14$.
		\item La roue s'arrête sur un secteur bleu et A parie que le numéro est 8.
La probabilité est égale à $\dfrac12$.
		\item La roue s'arrête sur un secteur jaune et A parie que le numéro n'est pas 14.
La probabilité est égale à 1 puisqu'il parie un non vert et que c'est un jzune qui est sorti.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}