\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{arydshln} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Corrigé du concours de contrôleur des douanes session 2012\\},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes\\}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes  27 février 2012~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :\\
%-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
%-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. \emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}
%
%\bigskip

\textbf{\large Exercice 1} \quad (voir dans Concours branche surveillance 2015)

\medskip

\medskip

On considère $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$,deux suites définies par $u_0 = 9$ et, pour tout $n \in \N$ ,par :

\begin{center}$u_{n+1} = \dfrac12 u_n - 3$\quad et \quad $v_n = u_n + 6$\end{center}

\begin{enumerate}
\item %La suite $\left(v_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ou géométrique ?
$\bullet~~$Arithmétique  ?

Calculons $v_{n+1} - v_n = u_{n+1} + 6 - u_n = \dfrac12 u_n - 3 + 6 - u_n = 3 - \dfrac12 u_n$.

Or $u_0 = 9$ et $u_1 = \dfrac12 u_0 - 3 = \dfrac92 - 3 = \dfrac32$ : la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas constante, la différence $v_{n+1} - v_n$ non plus donc la suite $\left(v_n\right)$ n'est pas arithmétique.

$\bullet~~$Géométrique ?

$v_{n+1} = u_{n+1} + 6 =  \dfrac12 u_n - 3 + 6 = \dfrac12 u_n + 3 = \dfrac12\left(u_n + 6\right) = \dfrac12v_n$

L'égalité $v_{n+1} = \dfrac12v_n$, vraie pour tout naturel montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 6 = 9 + 6 = 15$.
%Justifiez votre réponse et précisez quelle est la raison de cette suite.
\item %Exprimez $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$, puis $S'_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$ en fonction de $n$.
On a $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$ (1) et en multipliant par $\dfrac12$ :

$\dfrac12 S_n = \dfrac12v_0 + \dfrac12v_1 + \ldots + \dfrac12v_n$, soit 

$\dfrac12 S_n = v_1 + v_2 + \ldots + v_n + v_{n+1}$ (2).

Par différence entre les lignes (1) et (2), on obtient :

$\dfrac12 S_n = v_0 - v_{n+1}$.

Or on sait que quel que soit $n \in \N, \: v_n = v_0 \times \left(\dfrac12\right)^n = \dfrac{15}{2^n}$, donc 

$\dfrac12 S_n = 15 - \dfrac{15}{2^{n+1}} = 15 \left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right).$

Finalement $S_n = 30\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right).$

Comme $v_n = u_n + 6 \iff u_n = v_n - 6$, on obtient :

$S'_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n + (n+1) \times 6 = S_n + 6(n + 1) = 30\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right) + 6(n + 1)$.
\item %Déterminez les limites de $\left(S_n\right)$ et $\left(S'_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.

Comme $0< \dfrac12 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2^n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S_n = 30$.

Par contre comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}6(n + 1) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S'_n = + \infty$.

%On définit, pour tout $n \in \N$ , la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n = \ln \left(v_n\right)$.
\item %Montrez que $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique et précisez sa raison.
On a pour tout $n \in \N$, \: $w_{n+1} - w_n = \ln \left(v_{n+1}\right) - \ln \left(v_n\right) = \ln \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \ln \frac12$ où $- \ln 2$.

L'égalité $w_{n+1} - w_n = - \ln 2$, vraie pour tout $n \in \N$, montre que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \ln 2$ de premier terme $w0 = \ln v_0 = \ln 15$.

On a pour tout $n \in \N$, \: $w_n = w_0 + (n + 1)(- \ln 15)$.
\item %Exprimez $S''_n = w_0 + w_1 + \ldots + w_n$  en fonction de $n$, puis calculer la limite de $\left(S''_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
$S''_n = w_0 + w_1 + \ldots + w_n$ et 

$S''_n = w_n + w_{n-1} + \ldots + w_1 + w_0$ : en sommant et en divisant par 2 le résultat, on obtient :

$S''_n = \dfrac{n+1}{2}\ln \dfrac{15^2}{2^n}$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{15^2}{2^n} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\ln \dfrac{15^2}{2^n} = - \infty$ et enfin par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S''_n = - \infty$.
\item %Calculez le produit $P_n= v_0v_1\ldots v_n$ en fonction de $n$.
On a $w_n = \ln \left(v_n\right) \iff \e^{w_n} = v_n$, donc 

$P_n = v_0v_1\ldots v_n = \e^{w_0}\e^{w_1} \ldots \e^{w_n} = \e^{w_0 +w_1 + \ldots + w_n} = \e^{S''_n} = \e^{\frac{n+1}{2}\ln \dfrac{225}{2^n}} = \e^{\ln \left(\dfrac{225}{2^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}} = \left(\dfrac{225}{2^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}$.

De $P_n = \e^{S''_n}$ et compte tenu du fait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S''_n = - \infty$, on a 

$\displaystyle\lim_{\to + \infty}P_n = 0$.
%Déduisez-en la limite de $\left(P_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :
\[f(x) = x\e^{-x + 2}.\]

%On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe $(\mathcal{C})$.
Produit de fonctions dérivables sur $[0~;~ +\infty[$, \:$f$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = \e^{-x + 2} - x\e^{-x + 2} = \e^{-x + 2}(1 - x)$.

Comme quel que soit $x \in \R, \: \e^{-x + 2} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$. Donc :

$\bullet~~$Sur [0~;~1[, \: $f'(x) < 0$ : la fonction est croissante sur [0~;~1[ ;

$\bullet~~$Sur $]1~;~+ \infty[, \: f$ est décroissante ;

$\bullet~~f(1) = 1\e^{1-2} = \e^{-1} = \dfrac{1}{\e}\approx \np{0,3679}$ est le maximum de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Comme $f(x) = x \times \e^{-x} \times \e^2 =  \e^2 \times \dfrac{x}{\e^x}$, on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\e^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$1$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$} 
\uput[u](1.15,0){$0$} \uput[d](4,2){$\e^{-1}$}\uput[u](6.5,0){$0$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Tracer l'allure de la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi que celle de la courbe de la fonction logarithme népérien que l'on notera $L$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-3.1)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3)(8,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{2.71828 2 x sub exp x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.01}{8}{x ln}
\uput[u](7,0){$(\mathcal{C})$}\rput{8.5}(7,1.8){$y = \ln x$}
\end{pspicture*}
\end{center}	
%Déduire du graphique réalisé, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \ln x$ sur $[1~;~ +\infty[$.
Graphiquement les deux courbes n'ont qu'un point commun.
		\item %Montrer que la fonction $g$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \ln (x) - f(x)$ est strictement croissante sur $[1~;~ +\infty[$.
Sur $]0~;~ +\infty[$ $g$ est dérivable comme différence de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et :

$g'(x) = \dfrac 1x - \e^{-x + 2}(1 - x) = \dfrac 1x + \e^{-x + 2}(x - 1)$.

Or $x \geqslant 1 \Longrightarrow x - 1 \geqslant 0$ et comme $\e^{-x + 2} > 0$ quel que soit $x \in \R$ par produit $\e^{-x + 2}(x - 1) \geqslant 0$, or  $x \geqslant 1 \Longrightarrow 0 x \dfrac 1x \leqslant 1$, donc finalement par somme $g'(x) \geqslant 0$ : la fonction $g$ est croissante sur 
$]0~;~ +\infty[$.

%En déduire que l'équation $f(x) = \ln x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~ +\infty[$
On a $g(1) = \ln 1 - f(1) = 0 - \e^{-1} \approx - \np{0,3679}$ et d'une part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ et d'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.

Conclusion : la fonction $g$ est continue car dérivable sur $[1~;~ +\infty[$, \: $f(1) < 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.

La fonction $g$ étant croissante sur $[1~;~ +\infty[$, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe un réel unique $\alpha \in [1~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$.

La calculatrice montre que $3 < \alpha < 3,1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
\[h(x) = \e^x\left(4 - \e^x\right).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$
$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 4 - \e^{x} = 4$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{x}\left(4 - \e^x\right) = 0$.

$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 4 - \e^{x} = - \infty$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{x}\left(4 - \e^x\right) = - \infty$.

\item Soit $h'$ la dérivée de $h$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $h'(x)$.
$h$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet intervalle et 
		
$h'(x) = \e^x\left(4 - \e^x\right) - \e^x \times \e^x = \e^x\left(4 - \e^x - \e^x\right) = \e^x\left(4 - 2\e^x \right)  = 2\e^x\left(2 - \e^x \right)$.
		\item %Résoudre l'inéquation $2 - \e^x > 0$ et en déduire le signe de $h'(x)$ et le sens de variations de $h$.
$2 - \e^x > 0 \iff 2 > \e^x \iff \ln 2 > x \iff x < \ln 2$.

On a donc sur l'intervalle $]- \infty~;~\ln 2[, \: 2 - \e^x > 0$ et comme $\e^x > 0$, par produit $h'(x) > 0$ : la fonction $h$ est croissante sur $]- \infty~;~\ln 2[$ ;

De même $2 - \e^x < 0$ sur l'intervalle $]\ln 2~;~+ \infty[$ et $h'(x) < 0$ sur cet intervalle où $h$ est décroissante.
	\end{enumerate}
\item %Dresser le tableau de variations de $h$.
On a $h(\ln 2) = \e^{\ln 2}\left(4 - \e^{\ln 2}\right) = 2 (4 - 2) = 4$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.45,2.4){$-\infty$} \uput[u](4,2.4){$\ln 2$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$h'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$-$} 
\uput[u](1.15,0){$0$} \uput[d](4,2){$4$}\uput[u](6.5,0){$-\infty$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)\rput(0.5,1){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item On considère l'équation $h(x) = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $x = 0$ est solution de cette équation.
On a $h(0) = 1\times (4 - 1) = 3$, donc $x = 0$ est solution de l'équation $h(x) = 3$.
		\item %Vérifier la relation $h(x) - 3 = \left(\e^x - 3\right) \left(1 - \e^x \right)$ et en déduire la valeur de la solution non nulle, $\lambda$, de l'équation $h(x) = 3$.
		Posons $\e^x = X$, alors $h(x) - 3 = X(4 - X) - 3 = 4X - X^2 - 3$.
		
$X = 1$ est une racine évidente de ce trinôme dont la seconde racine est $\dfrac{3}{1} =  3$.

On sait qu'alors $h(X) - 3 = (X - 1)(-X + 3) = \left(\e^x - 1 \right)\left(- \e^x + 3 \right)$.

Conclusion : $h(x) - 3 = 0\iff \left(\e^x - 1 \right)\left(- \e^x + 3 \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\e^x - 1 &=&0\\
- \e^x + 3&= &0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\e^x &=&1\\
\e^x &= &3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&0\\
x &= &\ln 3
\end{array}\right.$

Conclusion : $\lambda = \ln 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

%On réalise une enquête portant sur la réussite à un concours administratif (qui ne comporte
%qu'une seule épreuve).
%
%Cette enquête montre que :
%
%\begin{itemize}
%\item avant de s'y présenter, 75\,\% des candidats ont travaillé très sérieusement ce concours;
%\item lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement ce concours, il l'obtient dans 80\,\% des cas ;
%\item lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé ce concours, il ne l'obtient pas dans 70\,\% des cas.
%\end{itemize}
%
%On interroge au hasard un candidat qui vient de passer le concours (on suppose que les résultats sont connus dès la fin de l'unique épreuve).
%
%On considère les évènements suivants:
%
%T l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement\fg{} ;
%
%R l'évènement \og le candidat est reçu à ce concours \fg{} ;
%
%Les résultats seront donnés sous forme de décimales (en utilisant des puissances, le cas échéant).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Calculer la probabilité de l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement et est reçu au concours\fg
		Arbre pondéré des probabilités :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~~}\taput{0,75}}
	{\TR{$B$~~} \taput{0,80}
	\TR{$\overline{B}$~~} \tbput{0,20}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$~~}\tbput{0,25}}
	{\TR{$B$~~} \taput{0,30}
	\TR{$\overline{B}$~~} \tbput{0,70}
	}	
}
\end{center}

On a donc $P(T \cap B) = (P(T) \times P_T(B) = 0,75 \times 0,8 = 0,60$.
		\item %Montrer que la probabilité $P(R)$ qu'un candidat soit reçu à ce concours est égale à 0,675.
		D'après la loi des probabilités totales : $P(R) = P(T \cap B) + P\left(\overline{T} \cap B) \right)$.
		
Or $P\left(\overline{T} \cap B) \right) = 0,25 \times 0,30 = 0,075$.

D'où $P(R) = 0,60 + 0,075 = 0,675$.
		
	\end{enumerate}
\item %Le candidat interrogé vient d'échouer au concours. Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement ?
On a $P\left(\overline{B} \right) = 1 - P(B) =  1 - 0,675 = 0,325$.

Il faut trouver $P_{\overline{B}}(T) = \dfrac{P\left(\overline{B} \cap T\right)}{P\left(\overline{B}\right)} = \dfrac{P\left(T \cap \overline{B} \right)}{P\left(\overline{B}\right)} = \dfrac{0,75 \times 0,20}{0,325} \dfrac{0,15}{0,325} \approx 0,462$.
\item %À la sortie de l'épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats. Calculer la probabilité $P3$ d'interroger au moins une personne ayant échoué au concours.
La variable aléatoire $X$ égale au nombre de candidats ayant échoué au concours suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0,325$.

On a donc $P(X = 0) = \binom{3}{0}\times 0,325^0 \times 0,675^3 = 0,675^3$, donc 

$P(X \geqslant 1) = 1 - 0,675^3 \approx \np{0,6924}$ soit environ 0,692.

$P3 \approx 70\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Un marchand de guitares vend le même jour cinq guitares identiques à des particuliers.

Ce marchand accorde les guitares avant de les remettre à ses clients.

La probabilité qu'une guitare de ce type soit toujours accordée 6 mois après la vente est de 0,8.

%Calculer les probabilités pour que:

\medskip

La variable aléatoire $X$ égale au nombre de guitares encore accordée(s) au bout de 6 mois suit une loi binomiale de paramètres $n = 8$ et $p = 0,8$.

\begin{enumerate}
\item %les cinq guitares soient toujours accordées 6 mois après la vente ;
Donc $p(X = 5) = \binom{5}{5}\times 0,8^5 \times (1 - 0,8)^0 = 0,8^5 \approx 0,3277$ soit 0,328 au millième près.
\item %les cinq guitares soient désaccordées 6 mois après la vente;
De même $p(X = 0) = \binom{5}{0}\times 0,8^0 \times(1 - 0,8)^5 = 0,2^5 = \np{0,00032}$.
\item %trois guitares soient désaccordées 6 mois après la vente;
$p(X = 2) = \binom{5}{2}\times 0,8^2 \times(1 - 0,8)^3 = 10 \times 0,8^2 \times 0,^3 = \np{0,0512}$.
\item %deux guitares au plus soient désaccordées 6 mois après la vente.
On a $p(X = 1) = \binom{5}{1}\times 0,8^1 \times(1 - 0,8)^4  = 5 \times 0,8 \times 0,2^4 = \np{0,0064}$.

Donc $p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = \np{0,00032} + \np{0,0064} + \np{0,0512} = \np{0,05792} \approx 0,058$ au millième près.
\end{enumerate}
\end{document}