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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes~\decofourright \\[7pt]20 novembre 2023\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

%\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}
%
%\textbf{Remarque préliminaire :\\
%-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
%-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. \emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}
%
%\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie par:
\[f(x)= \dfrac{2x^2 + 12x+ 18}{x^2 + 3}.\]

%On note $f'$ sa dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$. Justifier.
On a quel que soit $x \in \R$, \:: $x^2 \geqslant 0 \Longrightarrow x^2 + 3 \geqslant 3$.

Le dénominateur de $f(x)$ n'est pas nul, donc $f(x)$ est définie pour tout réel. $\mathcal{D}_f = \R$.
\item $f$ est un quotient de fonctions polynômes dérivables sur $\R$ le dénominateur étant non nul ; elle est donc dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{4x + 12)\left(x^2 + 3\right) - 2x\left(2x^2 + 12x+ 18\right)}{\left(x^2 + 3\right)^2} = \dfrac{4x^3 + 12x  + 12x^2 + 36 - 4x^3 - 24x^2 - 36x}{\left(x^2 + 3\right)^2} = \dfrac{-12x^2 - 24x + 36}{\left(x^2 + 3\right)^2} = \dfrac{12\left(-x^2 - 2x + 3 \right)}{\left(x^2 + 3\right)^2}$.

%Montrer que $f'(x) = \dfrac{-12x^2 - 24x + 36}{\left(x^2 + 3\right)^2}.$
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Comme $12 > 0$ et $x^2 + 3 \geqslant 3 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $-x^2 - 2x + 3$.

Celui-ci a une racine évidente 1 et le produit des racines étant égal à $\dfrac{c}{a} = - 3$, l'autre racine est égale à $- 3$.

On sait que ce trinôme est négatif (du signe de $a = -1$), sauf entre les racines $- 3$ et 1.

Le trinôme et donc la dérivée sont positifs sur $[-3~;~1]$ et négatifs ailleurs.

La fonction $f$ est donc :
\begin{itemize}
\item croissante sur $[-3~;~1]$ ;
\item décroissante sur $]- \infty~;~-3]$ et sur $[1~;~+ \infty[$.
\end{itemize}

Limites de $f$ au voisinage de l'infini :

En écrivant $f(x) = \dfrac{x^2\left(2 + \frac{12}{x} + \frac{18}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{3}{x^2}\right)} = \dfrac{2 + \frac{12}{x} + \frac{18}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$ (avec $x^2 \ne 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{a}{x^n}, \: (a \in \R, \: n \in \N) = 0$, on obtient :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} = 2$.

La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à $C$ au voisinage de l'infini.

$f(-3) = \dfrac{18 - 36 + 18}{12} = 0$ et $f(1) = \dfrac{2 + 12 + 18}{1 + 3} = \dfrac{32}{4} = 8$.

D'où le tableau :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$-3$} \uput[u](7,2.4){$1$}
\uput[u](9.6,2.4){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$} \uput[u](7,1.9){$0$}\uput[u](8.5,1.9){$-$}\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)
\uput[d](1.4,2){2}\uput[u](4,0){0}\uput[d](7,2){8}\uput[u](9.5,0){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %$f$ possède-t-elle des extremums locaux ?
$f$ a deux extremums locaux : $f(-3) = 0$ et $f(1) = 8$.
\item %Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de  cette fonction au
%point d'abscisse $0$.
On sait que si $(T)$ est la tangente à la courbe représentative de  cette fonction au
point d'abscisse $0$ alors :

$M(x~;~) \in (T) \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = \dfrac{18}{3} = 6$ et $f'(0) = \dfrac{36}{3^2} = 4$, on a alors :

$M(x~;~) \in (T) \iff y - 6 = 4x \iff y = 4x + 6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère un entier naturel $n$ et les fonctions 
\begin{center}$f(x) = (1 + x)^n$\qquad  et \qquad $g(x) = 1 + nx$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout réel $x > 0,\: f(x) \geqslant g(x)$.
On peut faire une démonstration par récurrence.

Autre méthode : 

$\bullet~~$Si $n = 0$, \: $(1 + x)^0 = 1$ et $1 + nx = 1 + 0$. On a bien $1 + x)^0 \geqslant 1 + 0x$

$\bullet~~$Soit donc $n \geqslant 1$ et soit $h$ la fonction définie par $h(x) = f(x) - g(x) = n(1 + x)^n - (1 + nx)$.

Cette fonction est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = n(1 + x)^{n-1} - 1$.

On a $1 \geqslant 1 \Longrightarrow 1 + x \geqslant 1 \:(x > 0), \: \Longrightarrow (1 + x)^{n-1} \geqslant 1^{n-1}$, soit $(1 + x)^{n-1} \geqslant 1$ et puisque $n - 1 \geqslant 0$, \: $n(1 + x)^{n-1} \geqslant 1$ ou encore $n(1 + x)^{n-1} - 1 \geqslant 0$.

Comme $h'(x) \geqslant 0, \:h$ est croissante ; comme $h(0) = 0$, on a donc pour $x > 0, h(x) \geqslant h(0) = 0$, soit $n(1 + x)^n - (1 + nx) \geqslant 0 \iff n(1 + x)^n \geqslant 1 + nx$.
\item %Soit un nombre réel $q > 1$ et $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout naturel $n$ par $u_n = q^n$.
Soit $q \in \R$ tel que $q > 1$; Il existe donc $x \in \R$ tel que $q = 1 + x$, d'où $q^n = (1 + x)^n \geqslant 1 + nx$, d'après la question précédente.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 + nx = + \infty$ et par comparaison  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (1 + x)^n = q^n = + \infty$.

Étudier la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item %On considère maintenant que $0 < q < 1$.

%En posant $q = \dfrac 1p$, déduire de la question précédente que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_n = 0$.
$0 < q < 1 \Longrightarrow 1 < \dfrac1q \iff 1 < p$, avec $p = \dfrac{1}{q}$.

D'après la question précédente $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p^n = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} q^n = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&0  \quad \text{et}\\
u_{n+1}&=&\dfrac{2u_n + 2}{u_n + 3}\: \text{pour tout entier naturel}\: n,
\end{array}\right.\]

On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ par la relation
\[v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique
$\bullet~~$On a $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2u_n + 2}{u_n + 3} - u_n = \dfrac{2u_n + 2 - u_n^2 - 3u_n}{u_n + 3} = \dfrac{- u_n^2 - u_n + 2}{u_n + 3}  = \dfrac{\left(u_n - 1 \right)\left(-u_n - 2 \right)}{u_n + 3}$.

Or $u_0 = 0, \: u_1 = \dfrac23$,donc cette suite n'est pas constante donc la différence $u_{n+1} - u_n$ non plus et la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

$\bullet~~$Comme $u_1 = \dfrac23$ et $u_0 = 0$, il n'existe pas $q \in \R$ tel que $u_1 = u_0 \times q$ : la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
\item %Calculer $v_0$
$v_0 = \dfrac{u_0 - 1}{u_0 + 2} = \dfrac{-1}{2} = - \dfrac12$
\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
On a $v_{n+1} \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 2} = \dfrac{\dfrac{u_n - 1}{u_n + 2} - 1}{\dfrac{u_n - 1}{u_n + 2} + 2} = \dfrac{2u_n + 2 - u_n - 3}{2u_{n+2} + 2 + 2u_n + 6} = \dfrac{u_n - 1}{4u_n + 8} = \dfrac14 \times \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2} = \dfrac14 v_n$.

Pour tout naturel $n, \: v_{n+1} = \dfrac14 v_n$ signifie que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac14$.

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
On sait que si $n \in \N$, alors $v_n = v_0 \times q^n$, $q$ étant la raison.

On a donc $v_n = - \dfrac12 \times \left(\dfrac14\right)^n$, quel que soit $n \in \N$.
\item %Quelle est la limite de $\left(v_n\right)$ ?
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac14\right)^n = 0$ car $0 < \dfrac14 < 1$ , donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} - \dfrac12\left(\dfrac14\right)^n = 0$.

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$.
\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.
On a par définition $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}\iff v_n\left(u_n + 2\right) = u_n - 1 \iff $

$u_n\left(v_n - 1 \right) = - 2v_n - 1 \iff u_n = \dfrac{- 2v_n - 1}{1 - v_n} = \dfrac{1 + 2v_n}{1 - v_n}$.
\item %En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
On a vu que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(v_n\right) = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1 + 2v_n}{1 - v_n} = \dfrac11 = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\textbf{Les parties I et II sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

%Une entreprise est composée de trois services A, B, et C d'effectifs respectifs $450, 230$ et $320$~ employés.
%
%Une enquête effectuée sur le temps de parcours quotidien entre le domicile des employés et l'entreprise a montré que :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
%\item 40\,\% des employés du service A résident à moins de 30~minutes de l'entreprise;
%\item 20\,\% des employés du service B résident à moins de 30~minutes de l'entreprise;
%\item 80\,\% des employés du service C résident à moins de 30~minutes de l'entreprise.
%\end{itemize}
%
%On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements suivants:
%
%\begin{itemize}
%\item $A$ : \og l'employé fait partie du service A \fg
%\item $B$ : \og l'employé fait partie du service B \fg
%\item $C$ : \og l'employé fait partie du service C \fg
%\item $T$ : \og l'employé réside à moins de $30$~minutes de l'entreprise \fg.
%\end{itemize}
%\medskip
%
%On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité d'un évènement $E$ est notée $p(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $p_F(E)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier $p(A) = 0,450$.
Il y a dans l'entreprise : $450 + 230 + 320 = 450 + 550 = \np{1000}$employés.

Donc $p(A) = \dfrac{450}{\np{1000}} = 0,450$.
		\item Parmi les employés du service A, 40\,\% résident à moins de 30~minutes de l'entreprise, donc $p_A(T) = \dfrac{40}{400} = 0,4$.
		
		%Donner $p_A(T)$.
		\item ~%Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.
		
\begin{center}
Arbre pondéré

\medskip

\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~} \taput{0,45}}
	{\TR{$T$~~}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,6}
	}
\pstree{\TR{$B$~~} \taput{0,23}}
	{\TR{$T$~~}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{T}$~~}\tbput{0,8}
	}
\pstree{\TR{$C$~~} \tbput{0,32}}
	{\TR{$T$~~}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{T}$~~}\tbput{0,2}
	}
}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit du service A et qu'il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.
Il faut trouver $p(A \cap T) = p(A) \times p_A(T) = 0,45 \times 0,4 = 0,18$.
\item %Montrer que $p(T) = 0,482$.
De même $p(B \cap T) = 0,23 \times 0,2 = 0,046$ ;

$p(C \cap T) = 0,32 \times 0,8 = 0,256$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(T) = p(A \cap T) + p(B \cap T) + p(C \cap T) = 0,18 + 0,046 + 0,256 = 0,482$.
\end{enumerate}

Pour la question 4, le candidat ne donnera pas de valeur calculée approchée. Le résultat sera présenté sous forme de fraction.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Sachant qu'un employé de l'entreprise réside à plus de $30$~minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu'il fasse partie du service C.
Il faut trouver 
$p_{\overline{T}(C)} = \dfrac{p\left(\overline{T} \cap C \right)}{p\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{p_C\left(\overline{T}\right) \times p(C)}{1 - p(T)} = 
\dfrac{0,2 \times 0,32}{1 - 0,482} \approx 0,124$.
\item %On choisit successivement et de manière indépendante 5 employés de l'entreprise. 

%On considère que le nombre d'employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement 2 employés d'entre eux résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'employés résidant à moins de 30 minutes de leur lieu de travail parmi les 5 employés interrogés.

La variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,482$.

On a $p(X = 2) = \binom{5}{2} \times 0,482^2 \times (1 - 0,482)^3 \approx \np{0,3229}$ soit environ 0,323.
\end{enumerate}

\medskip

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés. Un sondage auprès de quelques employés est effectué afin d'estimer la proportion d'employés dans l'entreprise intéressée par cette offre de transport. On souhaite ainsi obtenir un intervalle de confiance d'amplitude strictement inférieur à $0,15$ avec un niveau de confiance de $95\,\%$.
%
%Quel est le nombre minimal d'employés à consulter ?

%\medskip
%
%\textbf{Aide aux calculs, si besoin :}
%
%$\begin{array}{l l} 
%\dfrac{1}{0,15}\approx 6,7&\left(\dfrac{1}{0,15}\right)^2 \approx 44,4\\
%\dfrac{2}{0,15}\approx 13,3&\left(\dfrac{1}{0,15}\right)^2 \approx 177,8\\
%\dfrac{2}{0,95}\approx 2,1&\left(\dfrac{2}{0,95}\right)^2 \approx  4,4\\
%\dfrac{1}{0,15}\approx 1,1&
%\end{array}$
L'amplitude de l'intervalle de confiance à 95\,\% est égal à $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$, $n$ étant le nombre de personnes consultées.

On doit donc avoir $\dfrac{2}{\sqrt{n}} < 0,15 \iff \dfrac{2}{0,15} < \sqrt{n} \iff n >  \left(\dfrac{2}{0,15} \right)^2$.

Or $\left(\dfrac{2}{0,15} \right)^2 \approx 177,7$.

Il faut consulter au moins 178 employés.
\end{document}