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% Merci à Benoît Blaszczyk
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement D 13 mai 2015}

Durée : 2 heures  
\end{center}


\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

\textbf{Pharmacocinétique}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude du premier traitement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ sont les fonctions qui s'écrivent  :

\[f_0(t) = K\text{e}^{-0,1t}\:\: \text{où}\:\: K \:\:\text{est un nombre  réel.}\]
		
		\item Dérivons $h$ comme un produit : $h(t) = 2t\text{e}^{-0,1t}$. Donc  sa dérivée est :
		
$h'(t) =  2\text{e}^{-0,1t} + 2t\times (- 0,1)\text{e}^{-0,1t} = \text{e}^{- 0,1t}(2 - 0,2t).$
		
L'équation différentielle (E) donne  :
		
$h'(t) + 0,1h(t) = \text{e}^{- 0,1t}(2 - 0,2t) + 0,1 \times 2t\text{e}^{- 0,1t} = \text{e}^{- 0,1t}(2 - 0,2t + 0,2t) = 2\text{e}^{- 0,1t}$.
		
$h$ est bien une solution particulière de (E).
		\item Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions qui s'écrivent comme somme de l'équation particulière et des solutions de l'équation sans second membre soit :
		
		\[f(t) = K\text{e}^{-0,1t} + 2t\text{e}^{-0,1t}\:\: \text{où}\:\: K \:\:\text{est un nombre  réel.}\]
		
On a également : $f(t) = \text{e}^{- 0,1t}(K + 2t)$.		
		
		\item La condition $f0) = 1$ entraîne  $K  = 1$.
		
La fonction cherchée est donc $f(t) = \text{e}^{- 0,1t}(1 + 2t)$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude d'une fonction}
\begin{enumerate}
		\item On a $f(t) = \text{e}^{-0,1t} + 2t\text{e}^{-0,1t}$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,1t} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} t\text{e}^{- 0,1t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$, ce qui démontre que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ au voisinage de plus l'infini.
		\item On sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{- 0,1t} > 0$, donc
 le signe de $f'(t)$ est celui de $1,9 - 0,2t$.

$\bullet~~$$1,9 - 0,2t > 0 \iff 1,9 > 0,2t \iff 9,5 > t$ : $f'(t) > 0$ sur $]0~;~9,5[$ ;

$\bullet~~$$1,9 - 0,2t < 0 \iff 1,9 < 0,2t \iff 9,5 < t$ : $f'(t) < 0$ sur $]9,5~;~\infty[$. 

$f(0) = 1$.

$f(9,5) = \text{e}^{- 0,95}(1 + 19) = 20\text{e}^{- 0,95} > 0$.

La fonction est donc croissante de $1$ à $f(9,5) > 0$ et décroissante de $f(9,5)$ à $0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'étude précédente la quantité de principe actif sera maximale au bout de  9,5 heures et égale à $f(9,5)  = 20\text{e}^{- 0,95} \approx 7,73$.
		\item L'équation $f(x) \geqslant 5$ ne pouvant pas se résoudre algébriquement, on peut utiliser  la calculatrice.
		
Elle donne $f(2,81) \approx 4,998$ et $f(2,82) \approx 5,008$ ;

$f(21,95) \approx 4,999$
		
On trouve donc l'intervalle [2,82~;~21,94] (en heures) soit de 2 h 49 min à 21 h 56 min.
		\item On sait que la valeur moyenne de la fonction est égale à  :
		
$V_m = \dfrac{1}{24 - 0} \displaystyle\int_0^{24} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{24} \times\left(210 - 690\text{e}^{-2,4}\right) \approx 6,14$, soit environ 6,1~mg au dixième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude statistique du second traitement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il doit y avoir répétition du phénomène : augmentation très rapide du produit suivie d'une élimination par les reins : seule  la figure 3 répond à ce double impératif.\item  
	\begin{enumerate}
		\item  ~
		\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ 	&0		&4		&8		&12		&16		&20		& 24\\ \hline
$q_i$ 	&1,8	&9,5 	&15,5 	&20,2 	&23,7 	&26,8 	&28,7\\ \hline
$y_i$	&3,53	& 3,28	&3,02	&2,76	&2,51	&2,22	&1,99\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item La calculatrice donne $y = -0,06t + 3,54$.
		\item On sait que $y = \ln (36 - q)$ ; donc $\ln (36 - q) = - 0,06t + 3,54$ ou $36 - q = \text{e}^{- 0,06t + 3,54}$ et enfin $q = 36 -  \text{e}^{- 0,06t + 3,54}$.
		
		Comme $\text{e}^{- 0,06t + 3,54} = \text{e}^{- 0,06t} \times \text{e}^{3,54} \approx 34,47$, on peut aussi écrire :
		
$q = 36 - 34,47\text{e}^{- 0,06t}$.
		\item La limite de la fonction $q$ est 36, donc l'état stationnaire sera atteint quand $q \geqslant 35$.
		
		Donc $36 - 34,47\text{e}^{- 0,06t} \geqslant 35$ ou $1 \geqslant  34,47\text{e}^{- 0,06t}$ puis $\dfrac{1}{34,47} \geqslant \text{e}^{- 0,06t}$, puis en prenant le logarithme népérien :
		
$\ln \left (\dfrac{1}{14,47}\right) \geqslant - 0,06t$ ou $0,06t \geqslant - \ln \left (\dfrac{1}{14,47}\right)$ et finalement 

$t \geqslant \dfrac{1}{0,06}\left[- \ln \left (\dfrac{1}{14,47}\right) \right]$.

La calculatrice donne $t \geqslant 59$~h soit en fait moins de trois jours (72 h mais plus de deux jours).		
		
L'état stationnaire est atteint en moins de trois jours (3j = 72h).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2 :}
 
\medskip
 
\textbf{Partie A : Étiquetage}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les évènements A et D étant  indépendants,on a :

$P(A \cap D) = P(A) \times  P(D) = .0,01 \times  0,03 = \np{0,0003}$.
\item On a $P\left(\overline{A} \cap  \overline{D}\right) = P\left(\overline{A}\right)  \times  P\left(\overline{D}\right) = (1 - 0,01)(1 - 0,03)  = 0,99 \times  0,97 = \np{0,9603}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la contenance}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La calculatrice donne  $P(57,9 \leqslant V \leqslant  5 58,1) \approx  0,99$.

La probabilité qu'un flacon ne soit pas conforme est donc $1 - 0,99 = 0,01$.
\item  On a $h = 1,96 \times  0,04 = 0,0784 \approx 0,08$ au centième près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Test d'hypothèse}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les centres des  classes sont   57,95~;~57,99~;~58,03~;~58,07~;~58,09~;~58,11.

D'où $\dfrac{2\times 57,95 + 10\times 57,99 + 39 \times 58,03 + 21 \times 58,07 + 8 \times 58,11}{80} \approx 58,041$ et d'autre part grâce à la calculatrice $s \approx 0,036$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le cours c'est l'intervalle $L = \left[58 - 1,96 \times\dfrac{0,04}{\sqrt{80}} ~;~ 58 + 1,96 \times\dfrac{0,04}{\sqrt{80}}\right]$.
		\item On prélève un échantillon de 80 flacons et on calcule sa moyenne $\overline{v}$.
		
$\bullet~~$ si $\overline{v} \in  L \approx  [57,991~;~58,009]$ on accepte $H_0$ et on rejette $H_1$ ;

$\bullet~~$ si $\overline{v} \notin  L \approx  [57,991~;~58,009]$ on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$ ; le contrôle rejette cette livraison.
	\end{enumerate} 
\item  $\overline{v} \approx  58,042$  et  $L = [57,99~;~58,01]$ donc on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$ au seuil de 5\,\%.

On conclut, au seuil de 5\,\%, que le service de contrôle n'acceptera pas la livraison.
\end{enumerate}
\end{document}