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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance -- session 2023
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
%demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
%\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
%\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - \ln (x).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x) = x\text{e}^{x} - 1.\]

$g$ différence de produits de fonctions définies sur $\R$ est définie sur $\R$ est également une différence de produits de fonctions dérivables sur $\R$.

Donc sur $\R$, \: $g'(x) = \e^x + x\e^x = \e^x(1 + x)$.

Comme quel que soit $x \in \R$, \: $\e^x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $1 + x$.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item si $x < - 1$, alors $g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur $-\infty~;~-1[$ ;
\item si $x > - 1$, alors $g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est croissante sur $]- 1~;~ +\infty[$ ;
\item $g'(-1) = 0$ ; $g(-1) = - 1\e^{-1} - 1 = -\e^{-1} - 1 \approx -1,467$ est le minimum de la fonction $g$ sur $\R$.
\end{itemize}

$\bullet~~$Limite en moins l'infini :

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\e^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - 1$.

$\bullet~~$Limite en plus l'infini :

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = + \infty$,donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\e^x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}g(x) = + \infty$
\item %En déduire qu'il existe un réel unique $\alpha$ tel que $\alpha\text{e}^{\alpha} = 1$.

%On admet que $0,567 < \alpha < 0,568$.
D'après la question précédente : sur l'intervalle $[-1~;~+ \infty[$, $g$ est continue et dérivable et croit strictement de $\approx -1,467$ à plus l'infini.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha \in [-1~;~+ \infty[$
 unique tel que $g(\alpha) = 1$.

 \item% Étudier le signe de $g(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.
 On a $g(\alpha) = 0, \quad g(x) < 0$ sur $]0~;~\alpha]$ et $g(x) > 0$ sur $]\alpha~;~ +\infty]$.
\item $f$ fonction différence de deux fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = \e^x - \dfrac1x = \dfrac{x\e^x - 1}{x} = \dfrac{g(x)}{x}$.
%Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et étudier son signe sur $]0~;~+\infty[$.
\item %En déduire les variations de $f$ $]0~;~+\infty[$.
Comme $ x > 0$, le signe de la dérivée est celui du numérateur soit le signe de $g(x)$ trouvé à la question 3.

Donc $f'(x) > 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$ et $f$ est croissante sur cet intervalle ; de même $f'(x) < 0$ sur $]0~;~\alpha]$ et $f$ est décroissante sur cet intervalle.

Enfin $f(\alpha)$ est le minimum de la fonction sur $]0~;~+ \infty[$
\item %Montrer que $f$ admet un minimum $m$ égal à $\alpha + \alpha^{-1}$.
On a vu à la question 2. que $g(\alpha) = 0 \iff \alpha\e^{\alpha} -  1 \iff \alpha\e^{\alpha} = 1 \iff \e^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}$.

On en déduit par croissance de la fonction logarithme népérien : $\alpha = \ln \left( \dfrac{1}{\alpha}\right) = - \ln \alpha$.

Donc $f(\alpha) = \e^{\alpha} - \ln (\alpha) = \dfrac{1}{\alpha} - \ln \alpha = \alpha^{-1} + \alpha$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a <b$ et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~;~b]$.
%
%On suppose connus les résultats suivants:
%
%\[\displaystyle\int_a^b [f(t) + g(t)]\:\text{d}t = \displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t  + \displaystyle\int_a^b g(t)\text{d}t,\]
%
%et si pour $t \in [a~;~b], f(t) \geqslant 0$ alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t\geqslant 0$.
%
%Montrer que : si pour tout $t \in [a~;~b],\: f(t) \leqslant g(t)$ alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_a^b g(t)\:\text{d}t.$
S pour tout $t \in [a~;~b],\: f(t) \leqslant g(t)$ alors $ g(t) \geqslant f(t) \iff g(t) - f(t) \geqslant 0$ donc d’après la propriété ci-dessus (positivité de l’intégrale) $\displaystyle\int_a^b [g(t) - f(t)]\:\text{d}t \geqslant 0
\medskip \iff \displaystyle\int_a^b g(t) \:\text{d}t - \displaystyle\int_a^b f(t) \:\text{d}t \geqslant 0 \iff\displaystyle\int_a^b g(t) \:\text{d}t \geqslant \displaystyle\int_a^b f(t) \:\text{d}t$.

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle $f_n$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f_n(x ) = \ln \left(1 + x^n\right)\]

et on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x$.

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f_1$ en $+\infty$.
		$f_1(x) = \ln (1 + x)$
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x  = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + x  = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln (1 + x)  = + \infty$.
		\item %Étudier les variations de $f_1$ sur $[0~;~+\infty[$.
$f_1$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle $f’_1(x) = \dfrac{1}{1 + x}$.

omme $1 + x \geqslant 1 > 0$, on a $f’_1(x) > 0$ : la fonction est (strictement) croissante sur $[0~;~+\infty[$ de $\ln 1 = 0$ à plus l’infini.
		\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$ et interpréter graphiquement le résultat.
		
%Pour le calcul de $I_1$ on pourra utiliser le résultat suivant : 

%pour tout
%\[x \in [0~;~1],\quad \dfrac{x}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}.\]
$I_1 = \displaystyle\int_0^1 \ln (1 + x)\:\text{d}x$.

On pose $\left\{\begin{array}{l c l l c l}
u(x)&=&\ln(1 + x)&\text{d}v &=& \text{d}x\\
\text{d}u(x)&=&\dfrac{1}{1 + x}&v&=&x
\end{array}\right.$

On intègre par parties : $I_1 = [x\ln (1 + x)]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1 + x}\text{d}x$.

Soit $J= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1 + x}\text{d}x$.

On a $\dfrac{x}{1 + x} = \dfrac{x + 1 - 1}{1 + x} = \dfrac{x + 1}{1 + x} - \dfrac{1}{x + 1} = 1 -  \dfrac{1}{x + 1}$.

Donc $J = \displaystyle\int_0^1 1\text{d}x - \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x + 1}\text{d}x = [x]^1_0 - [\ln (1 + x) ]_0^1 = 1 - \ln 2$.

Finalement $I = 1\ln 2 - (1 - \ln 2) = 2\ln 2 - 1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$ , on a: $0 \leqslant I_n \leqslant \ln (2)$.
On intègre entre 0 et 1, donc :
		
$0 \leqslant x \leqslant 1 \Longrightarrow 0\leqslant x^n \leqslant 1 \Longrightarrow 1 \leqslant 1 + x^n \leqslant 2 \Longrightarrow \ln 1 \leqslant \ln \left(1 + x^n\right) \leqslant \ln 2$ et en intégrant ces trois fonctions entre 0 et 1 :
		
$0 \leqslant I_n \leqslant \displaystyle\int_0^1 \ln 2\text{d}x$, soit $0 \leqslant I_n \leqslant \ln 2 < \ln \e = 1$ et finalement $0 \leqslant I_n \leqslant 1$, quel que soit $n \in \N$.
		\item %Étudier les variations de la suite $\left(I_n\right)$.
On sait que pour $x \leqslant x \leqslant 1$, la suite $\left(x^n\right)$ est décroissante, donc $x^{n+1} < x^n \Longrightarrow 1 + x^{n+1} < 1 + x^n \Longrightarrow \ln \left(1+ x^{n+1}\right) < \ln\left(1 + x^n\right) \Longrightarrow I_{n+1} < I_n$ : la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item %En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
Les intégrales $I_n$ sont positives car intégrales de fonctions positives ; elles sont donc minorées par 0.

Conclusion : minorée par zéro et décroissante la suite $\left(I_n\right)$ est convergente vers une limite $\ell \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[g(x) = \ln(1 + x) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
Différence de fonctions dérivables sur  $[0~;~+\infty[$, la fonction $g$ est dérivable sur cet intervalle et :

$g'(x) = \dfrac{1}{1 + x} - 1 = \dfrac{1 - (1 + x)}{1 + x} = \dfrac{- x}{1 + x}$ qui est du signe de $- x$ car $1 + x \geqslant 1 > 0$, quel que soit $x \in ]0~;~+ \infty[$. 

Comme $x \geqslant 0, - x \leqslant 0$ ; la dérivée est négative, la fonction $g$ est décroissante (strictement) sur $[0~;~+\infty[$.
		\item %En déduire le signe de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
$g$ décroit de $g(0) = \ln (1 + 0) - 0 = 0$ à $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$

En écrivant $g(x) = x \left[\dfrac{\ln (1 + x)}{x} - 1\right]$, on voit que :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (1 + x)}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left[\dfrac{\ln (1 + x)}{x} - 1\right] = - 1$ et par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x) = - \infty$.

Conclusion : quel que soit $x \in [0~;~+ \infty[$, alors $g(x) = \ln (1 + x) - x \leqslant 0 \iff \ln (1 + x) \leqslant x$.
		
%Montrer alors que pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a :
%\[\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n.\]
Or quel que soit $x \in [0~;~+ \infty[$, il existe $X\in [0~;~+ \infty[$ tel que $x = X^n$ et on a donc $\ln \left(1 + X^n\right) \leqslant X^n$ pour $X \in [0~;~+ \infty[$.

En remplaçant l'étiquette $X$ par $x$ on a l'inégalité demandée.
		\item %En déduire la limite de $\left(I_n\right)$.
Le résultat précédent $\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n$ entraîne que $\displaystyle\int_0^1 \ln \left(1 + x^n\right)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_0^1 x^n \:\text{d}x$, soit :

$I_n \leqslant \left[\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1$ et enfin $I_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n + 1} = 0$, donc d'après le théorème des gendarmes (puisque $I_n \geqslant 0$), \: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par:

\begin{center}$u_0 = 1$\quad et pour tout \quad $n \in \N, \:\: u_{n+1} = \dfrac13 u_n + n - 2$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1, u_2$ et $u_3$.
$u_1 = \dfrac13 + 0 - 2 = \dfrac13 - 2 = - \dfrac53$ ;

$u_2 = \dfrac13 \times \left(-\dfrac53\right) + 1 - 2 = -\dfrac59 - 1 = - \dfrac{14}{9}$ ;

$u_3 = \dfrac13 \times \left(-\dfrac{14}{9}\right) + 2 - 2  = - \dfrac{14}{27}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4, \: u_n \geqslant 0$ ;
		Par récurrence :
		
		\emph{Initialisation } On a pour $n = 4$ :
		
$u_4 = \dfrac13 \times \dfrac{25}{27} + 4 - 2 = \dfrac{25}{81} + 2 = \dfrac{25 + 162}{81} = \dfrac{187}{81} \geqslant 0$ = la relation est vraie au rang 4.
		
\emph{Hérédité} :

Supposons qu'il existe $n \in \N$, avec $n \geqslant 4$ tel que $u_n \geqslant 0$, alors  d'une part  $n \geqslant 4 \Longrightarrow n - 2 \geqslant 2$ et

$u_n \geqslant 0 \Longrightarrow \dfrac13u_n \geqslant 0 \Longrightarrow \dfrac13u_n + n - 2 \geqslant 2 \geqslant 0$, soit $u_{n+1} \geqslant 0$ : la relation est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : la relation est vraie au rang 4 et si elle est vraie à un rang supérieur ou égal à 4 elle est vraie au rang suivant : d'après le principe de récurrence si $n \geqslant 4$, alors $u_n \geqslant 0$.
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5, \: u_n \geqslant n - 3$
Pour $n \geqslant 5, \: u_n = \dfrac13u_{n-1} + (n - 1) - 2$ ; or si $n \geqslant 5, \: n - 1\geqslant 4$ et $u_{n-1} \geqslant 0$, donc 

$u_n = \dfrac13u_{n-1} + (n - 1) - 2 \geqslant (n - 1) - 2$ ou encore $u_n \geqslant n - 3$.
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$.
		Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (n - 3) = + \infty$ le résultat précédent montre que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = + \infty$.
	\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ par : 
\begin{center}pour tout $n \in \N, \quad  v_n = - 2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
Quel que soit $n \in \N, \: v_{n+1} = - 2u_{n+1} + 3(n + 1) - \dfrac{21}{2} = - 2\left(\dfrac13u_n + n - 2\right) + 3n + 3 - 2 = \dfrac13\left(-2u_n\right) - 2n + 4 + 3n + 3 - \dfrac{21}{2} = \dfrac13\left(-2u_n\right) + n + 7 - \dfrac{21}{2} = \dfrac13\left(-2u_n\right) + n - \dfrac72 = \dfrac13\left(-2u_n + 3n - \dfrac{21}{2} \right) = \dfrac13v_n$ :

La relation vraie pour tout naturel $n, \: \: v_{n+1} = \dfrac13v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $v_0 = -2u_0 - \dfrac{21}{2} = - 2 - \dfrac{21}{2} = - \dfrac{25}{2}$.
		\item %En déduire que: pour tout $n \in \N,\:$
%\[ u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac13\right)^n + \dfrac32 n - \dfrac{21}{4}.\]
On sait que le terme général de la suite géométrique $\left(v_n\right)_{n \in \N}$est :

$v_n = v_0 \times \left(\dfrac13\right)^{n} = - \dfrac{25}{2} \times \left(\dfrac13\right)^{n}$ et en utilisant la définition de $v_n$ :

$2u_n = - v_n + 3n - \dfrac{21}{2} = \dfrac{25}{2} \times \left(\dfrac13\right)^{n} + 3n - \dfrac{21}{2} \iff u_n = \dfrac{25}{4} \times \left(\dfrac13\right)^{n} + \dfrac32 n - \dfrac{21}{4}$.
		\item Soit la somme $S_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $S_n = \displaystyle\sum_{k = 0}^n u_k$.
		
%Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.
Soit $s_1 = \displaystyle\sum_{k = 0}^n \dfrac{25}{4} \times \left(\dfrac13\right)^{k}$ ;

En multipliant par $\dfrac13$, on obtient $\dfrac13 s_1 = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n+1} \dfrac{25}{4} \times \left(\dfrac13\right)^{k}$ puis par différence entre les deux dernières expressions :

$\dfrac23s_1 = \dfrac{25}{4} \left(1 - \dfrac{1}{3^{n+1}}\right)$. En multipliant par $\dfrac32, \quad s_1 = \dfrac{75}{8}\left(1 - \dfrac{1}{3^{n+1}}\right)$

Soit $s_2 = \displaystyle\sum_{k = 0}^n \dfrac32 k = \dfrac32 \times \dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{3n(n+1)}{4}$.

Enfin soit $s_3 = \displaystyle\sum_{k = 0}^n - \dfrac{21}{4} = - \dfrac{21}{4}(n + 1)$.

Donc $S_n = s_1 + s_2 + s_3 = \dfrac{75}{8}\left(1 - \dfrac{1}{3^{n+1}}\right) + \dfrac{3n(n+1)}{4} - \dfrac{21}{4}(n + 1)$.

$S_n = \dfrac{75}{8}\left(1 - \dfrac{1}{3^{n+1}}\right) + \dfrac{3(n + 1)(n - 7)}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

%Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de
% départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours.
%
%La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de \np{1400}~mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R$_{1}$ et R$_{2}$.
%
%Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à \np{2500}~mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R$_{3}$, ou atteindre le sommet directement.
%
%\medskip
%
%\parbox[c]{0.58\textwidth}{La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R$_1$ est 
%égale à $\dfrac{1}{3}$.\\
%La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_1$ est égale à 
%$\dfrac{3}{4}$.\\
%La probabilité de monter directement au sommet en partant de 
%R$_2$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.\\}
%\parbox[c]{0.32\textwidth}{\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
%\begin{pspicture}(4.5,5)
%%\psgrid
%\pscurve(0.4,1)(0.7,1.7)(1,2)(1.3,2.5)(1.5,2.7)(2,3.2)(2.5,3.8)(3,4.3)(3.4,4.7)
%\pscurve(3,0.4)(2.5,0.5)(2.1,1)(2,1.2)(1.7,1.5)(1.5,1.6)(1.4,1.7)(1.4,1.9)(1.5,2.2)
%(2,2.7)(2.3,3)(2.5,3.1)(2.7,3.3)(2.8,3.7)(2.9,4)(3,4)(3.3,4.4)(3.4,4.7)
%\pscurve(3,0.4)(3.4,1)(3.6,1.1)(3.7,1.5)(3.9,1.8)(4,2)(3.7,2.5)(3.5,3)(3.4,3.5)
%(3.3,4)(3.3,4.4)
%\pscurve(1.4,1.9)(1.5,2)(1.7,2.1)(2,2.3)(2.4,2.5)(3,2.7)(3.1,3)(3.2,3.8)(3.3,4.4)
%\pscurve(3.9,1.8)(3.8,2)(3.6,2.2)(3,2.7)
%\pscurve(5,0.7)(4.7,1.3)(4.6,1.8)(4.2,2)(4,3)(3.8,3.8)(3.4,4.7)
%\rput(2.55,3.5){5,5} \rput(3,3.5){2} \rput(3.53,3.5){6} 
%\rput(2.1,2.1){4} \rput(3.2,2){4,5} \rput(1.5,1.1){5}
%\rput(3.9,1.1){4} 
%\rput(3.6,4.7){S} \rput(3,2.4){R$_{3}$} \rput(1.2,1.7){R$_{1}$} 
%\rput(4.2,1.7){R$_{2}$} \rput(3,0.2){D}
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du
% départ D jusqu'au sommet S.
%\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :
%
%E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont
%passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ;
%
%E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;
%
%E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont
%fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;
%
%E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le
%deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg.
%\item On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre
%du point $M$ au point $N$.
%
%On donne $d$(D, R$_1$) = 5 \:;~$d$(D, R$_2$) = 4 \:;~$d$(R$_1$,~ R$_3$) = 
%4 \:;~$d$(R$_2$,~R$_3$) = 4,5 \:;
%
%$d$(R$_3$, S) = 2 \:;~$d$(R$_1$,~S) = 5,5 \:;~ $d$(R$_2$,~S) = 6.
%
%Soit $X$ la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les
%randonneurs pour aller du départ D au sommet S.
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
%		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\begin{enumerate} 
\item On trace un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu'au sommet S. On distingue les deux façons d'arriver au sommet: la façon directe notée \og Sd \fg{}, et la façon indirecte notée \og Si \fg{}. 

%\begin{center}
%%\bigskip
%  \pstree[treemode=R,nodesep=4pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.2cm]{\TR{D}}
% {
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_1$}\ncput*{\blue $\frac{1}{3}$}}
% 	  { 
% 		  \TR{Sd}\ncput*{\blue $\frac{3}{4}$}
%		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_3$}\ncput*{\blue $\frac{1}{4}$}}
% 	  		{\TR{Si}\ncput*{\blue $1$}}
% 	  }
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_2$}\ncput*{\blue $\frac{2}{3}$}}
% 	  {
% 		 \TR{Sd}\ncput*{\blue $\frac{2}{3}$}
%		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_3$}\ncput*{\blue $\frac{1}{3}$}}
% 	  		{\TR{Si}\ncput*{\blue $1$}}
%     }
%}
%\bigskip
%\end{center}

\begin{center}
%\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesep=4pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.2cm,nrot=:U]{\TR{D}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_1$}\naput{\blue $\frac{1}{3}$}}
 	  { 
 		  \TR{Sd}\naput{\blue $\frac{3}{4}$}
		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_3$}\nbput{\blue $1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$}}
 	  		{\TR{Si}\nbput{\blue $1$}}
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_2$}\nbput{\blue $1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$}}
 	  {
 		 \TR{Sd}\naput{\blue $\frac{2}{3}$}
		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_3$}\nbput{\blue $1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$}}
 	  		{\TR{Si}\nbput{\blue $1$}}
     }
}
\bigskip
\end{center}


%\bigskip

\item %Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

%E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ; 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item$p\left(\text{E}_1\right) = p_{\text{R}_1}\left(\text{R}_3\right)  = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$.
%E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;

\item D'après la formule des probabilités totales: 

%$p(\text{E}_2)$ est la réunion des évènements disjoints $\text{R}_3 \cap \text{R}_1$ et $\text{R}_3 \cap \text{R}_2$ ;

$p\left(\text{E}_2 \right) = p\left(\text{R}_3 \right) = p\left(\text{R}_3 \cap \text{R}_1 \right)  + p\left(\text{R}_3 \cap \text{R}_2 \right) 
= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} 
= \dfrac{1}{12} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3 + 8}{36} = \dfrac{11}{36}$.

%E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;
\item $p\left(E_3 \right) = p_{\text{R}_3}\left(\text{R}_1\right) = \dfrac{p\left(\text{R}_1 \cap \text{R}_3\right)}{p\left(\text{R}_3\right)} = \dfrac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{\frac{11}{36}} = \dfrac{3}{11}$.

%E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg.
\item $p\left(E_4\right) = p_{\text{Sd}}\left(\text{R}_2 \right) = \dfrac{p\left(\text{Sd} \cap \text{R}_2 \right)}{p(\text{Sd})}$.

Or $p(\text{Sd}) = p(\text{Sd} \cap \text{R}_1) + p(\text{Sd} \cap \text{R}_2) 
=  \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} 
 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{9+16}{36} = \dfrac{25}{36}$.

Donc $p\left(E_4\right) = \dfrac{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{25}{36}} = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{36}{25} = \dfrac{16}{25}$.
\end{list}

\item %On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point $M$ au point $N$.

%On donne $d$(D, R$_1$) = 5 ;~$d$(D, R$_2$) = 4 ;~$d$(R$_1$,~ R$_3$) = 4 ;~$d$(R$_2$,~R$_3$) = 4,5 ;

%$d$(R$_3$, S) = 2 ;~$d$(R$_1$,~S) =  5,5 ;~ $d$(R$_2$,~S) = 6.

%Soit $X$ la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les randonneurs pour aller du départ D au sommet S.

On modifie l'arbre précédent en rajoutant les longueurs des trajets.


\begin{center}
%\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesep=4pt,levelsep=2.5cm,treesep=1.2cm]{\TR{D}}
 {
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_1$}\ncput*{\red $5$}}
 	  { 
 		  \TR{Sd}~{\red $5+5,5=10,5$}\ncput*{\red $5,5$}
		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_3$}\ncput*{\red $4$}}
 	  		{\TR{Si}~{\red $5+4+2=11$}\ncput*{\red $2$}}
 	  }
 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_2$}\ncput*{\red $4$}}
 	  {
 		 \TR{Sd}~{\red $4+6=10$}\ncput*{\red $6$}
		\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{R$_3$}\ncput*{\red $4,5$}}
 	  		{\TR{Si}~{\red $4+4,5+2=10,5$}\ncput*{\red $2$}}
     }
}
\bigskip
\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\begin{list}{\textbullet}{On a:}
\item $p(X = 10) = p\left(\text{R}_2 \cap \text{Sd}\right) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$

\item $p(X = 11) = p \left(\text{R}_1 \cap \text{R}_3 \cap \text{Si}\right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times 1= \dfrac{1}{12}$

\item $p(X = 10,5) = p\left(\text{R}_1 \cap \text{Sd} \right) + p\left(\text{R}_2 \cap \text{R}_3 \cap \text{Si} \right) =  \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} +  \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}\times 1 =  \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{17}{36}$
\end{list} 

On en déduit la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
$x_i$ & $10$ & $10,5$ & $11$\\
\hline
$p(X=x_i)$ & $\dfrac{4}{9}$ &$\dfrac{17}{36}$ &$\dfrac{1}{12}$ \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}


		\item On calcule l'espérance mathématique de $X$.
		
$E(X) = 10 \times  \dfrac{4}{9} + 10,5 \times  \dfrac{17}{36} + 11 \times \dfrac{1}{12}  = \dfrac{371,5}{36} \approx 10,3194$ soit $10,32$ au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}