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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2022
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :}
\begin{itemize}
\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Enlever 5\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{5}{100} = 1 - 0,05 = 0,95$.

mais chaque année on ajoute 200 tonnes de nouveaux déchets. On a donc à partir de $u_0 = \np{40000}$ :

$\bullet~~$$u_1 = u_0 \times 0,95 + 200 = \np{40000} \times 0,95 + 200  = \np{38000} + 200 = \np{38200}$ ;

$\bullet~~$$u_2 = u_1 \times 0,95 + 200 = \np{38200} \times 0,95 + 200  = \np{36290} + 200 = \np{36490}$.
\item On a vu que d'une année sur l'autre on multiplie la quantité de déchets par 0,95 et on ajoute ensuite 200, soit pour tout naturel $n$, \: $u_{n+1} = 0,95u_n + 200$.
\item On a pour $n \in \N$, \: $s_n = u_n - \np{4000}$, donc 

$s_{n+1} = u_{n+1} - \np{4000} = 0,95u_n + 200 - \np{4000} = 0,95u_n - \np{3800}  = 0,95\left(u_n - \dfrac{\np{3800}}{0,95} \right) =$

$0,95\left(u_n - \np{4000}\right)$, soit finalement :

\[s_{n+1} = 0,95s_n, \quad n \in \N\]

Cette égalité montre que la suite $\left(s_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95, de premier terme $s_0 = u_0 - \np{4000} = \np{40000} - \np{4000} = \np{36000}$.
\item On sait que pour tout $n \in \N, \: s_n = s_0 \times 0,95^n = \np{36000} \times 0,95^n$.

Or $s_n = u_n - \np{4000} \iff u_n = s_n + \np{4000}  = \np{4000} + \np{36000} \times 0,95^n$, quel que soit $n \in \N$.
\item Comme $0 < 0,95 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,95^n = 0$ et par conséquent 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \np{36000} \times 0,95^n = 0$. 
Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \np{4000}$.

À terme la quantité de déchets va descendre à \np{4000} tonnes.
\item Il faut résoudre dans $\N$, l'inéquation $u_n < \np{30000}$, soit :

$\np{4000} + \np{36000} \times 0,95^n < \np{30000}$ ou encore 

$\np{36000} \times 0,95^n < \np{26000}$ ou $0,95^n < \dfrac{26}{36}$ ou $0,95^n < \dfrac{13}{18}$, soit d'après l'indication de l'énoncé :

$0,95^n < 0,722$.

La calculatrice donne $0,95^6 \approx 0,735$ et $0,95^7 \approx 0,698 < 0,722$.

L'entreprise respectera ses engagement en $2010 + 7 = 2017$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec les données de l'énoncé on dresse l'arbre de probabilités pondéré suivant :

\begin{center}
				\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~}\taput{$0,04$}}
	{\TR{$A$}\taput{$0,03$}
\TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,97$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}\tbput{$0,96$}}
	{\TR{$A$}\taput{$0,06$}
\TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,94$}
	}
}
\end{center}
\item On a donc :

$\bullet~~$$p(C) = 0,04$ ;

$\bullet~~$$p_C(A) = 0,03$ ;

$\bullet~~$$p_C\left(\overline{A}\right) = 1 - 0,03 = 0,97$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Il faut trouver $p(A \cap C)$ :
		
$p(A \cap C) = p(A) \times p_A(C) = 0,04 \times 0,03 = \np{0,0012}$.
		\item $p\left(A \cap \overline{C}\right) = p(A) \times p_A\left(\overline{C}\right) = [1 - p(C)] \left(1 - p_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right)\right) = (1 - 0,04) \times (1 - 0,94) =$
		
$ 0,96 \times 0,06 = \np{0,0576}$.
		\item D'après la loi des probabilités totales :
		
$p(A) = p(A \cap C) + p\left(A \cap \overline{C}\right) = \np{0,0012} + \np{0,0576} = \np{0,0588}$.
\item Il faut trouver $p_A(C) = \dfrac{p(A \cap C)}{p(A)} = \dfrac{\np{0,0012}}{\np{0,0588}} = \dfrac{12}{588} = \dfrac{6}{294} = \dfrac{3}{147} = \dfrac{1}{49}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur $\R$, \quad $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $\R$, le dénominateur ne s'annulant pas : elle est donc dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$, avec $u(x) = 1 + \text{e}^{- 2x}$ et donc $u'(x) = 3 \times \left(- 2\text{e}^{- 2x}\right)$, on a 

$f'(x) = - \dfrac{- 6\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)^2} = \dfrac{6\text{e}^{- 2x}}{\left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)^2}$.

On sait que quel que soit $X \in \R$, \: $\text{e}^X > 0$ et que d'autre part $\left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)^2 > 0$, donc $f'(x)$ quotient de deux termes supérieurs à zéro est supérieur à zéro.

Conclusion : comme $f'(x) > 0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
\item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{- 2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 + \text{e}^{- 2x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 3$ : ceci signifie que la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$ est asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de plus l'infini.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 3 - f(x) = 3 - \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3 - 3 - 3\text{e}^{- 2x}}{1 + \text{e}^{- 2x}} = \dfrac{3\text{e}^{- 2x}}{1 + \text{e}^{- 2x}}$.

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique de l'énoncé et la partie A, la fonction $f$ est strictement croissante de $0$ à $3$. On a donc :

$0 \leqslant f(x) \leqslant 3$ ou $- 3 \leqslant - f(x)  \leqslant 0$ ou en ajoutant 3 à chaque membre :

$0 \leqslant 3 - f(x) \leqslant 3$, soit $0 \leqslant h(x) \leqslant 3$ : en particulier $h$ est donc positive sur $\R$.
\item La fonction $H$ est une fonction composée de fonctions dérivables sur $\R$ : elle donc dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$H'(x) = - \dfrac32 \times \dfrac{- 2\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)} = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)} = h(x)$.

Donc $H'(x) = h(x)$ montre que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
\item Comme $a$ est supérieur à zéro, l'intégrale de la fonction $h$ positive sur l'intervalle $[1~;~a]$ est égale en unité d'aire à l'aire de la surface limitée par la représentation graphique de $h$ sur l'intervalle $[1~;~a]$,  les deux droites d'équation $x = 0$ et $x = a$ et la droite $\Delta$.
\item D'après la question 2., on a $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = [H(x)]_0^a = H(a) - H(0) =$

$ - \dfrac32\ln \left(1 + \text{e}^{-2a} \right) - \left[- \dfrac32\ln \left(1 + \text{e}^{-2\times 0} \right)\right] = - \dfrac32\ln \left(1 + \text{e}^{-2a} \right) + \dfrac32 \ln 2 =$

$\dfrac32\left[\ln 2 - \ln \left(1 + \text{e}^{-2a} \right)\right] = \dfrac32 \ln \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-2a}}$. (d'après $\ln a - \ln b = \ln \dfrac{a}{b}$.)
\item D'après la question précédente l'aire en unité d'aire de $D$ est égale à :

$\displaystyle\int_0^{+ \infty} h(x)\:\text{d}x \approx \np{1,0397}$.

\emph{Rem.} On a $\displaystyle\int_0^{4} h(x)\:\text{d}x \approx \np{1,0392}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé $\vect{\text{AB}} = 6 \vect{\text{AI}}$, donc B(6~;~0~;~0), et de même D(0~;~4~;~0), E(0~;~0~;~2) et G(6~;~4~;~2).
\item Avec $\vect{\text{IJ}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$, on a $\vect{n} \cdot \vect{\text{IJ}} = - 2 + 2 + 0 = 0$.

De même avec $\vect{\text{IG}}\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}$, on a $\vect{n} \cdot \vect{\text{IG}} = 10 + 8 -18 = 0$.

Les deux vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IG}}$ ne sont pas colinéaires.

Conclusion : le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colin"aires du plan IJG est normal à ce plan.
\item D'après le résultat précédent on sait que :

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z = d, \: d \in \R.\]

En particulier $I(1~;~0~;~0) \in (\text{IJG}) \iff 2 + 0 - 0 = d \iff d = 2$.

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJG}) \iff 2x + 2y - 9z = 2.\]
\item On cherche deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (BCG) : par exemple 

$\vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{BG}}\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}$.

Soit $\vect{n}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ un vecteur orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{BG}}$. On a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\vect{\text{BC}} \cdot \vect{n} &=& 0\\
\vect{\text{BG}} \cdot \vect{n} &=& 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
4y&=&0 \\
4y + 2z &=& 0
\end{array}\right.\Rightarrow y = 0$ puis $z = 0$. Comme B, C, G ont pour abscisse 6, on a donc :

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{BCG}) \iff x = 6.\]

\emph{Rem.} On peut voir que le plan (BCG) est un plan vertical, que tous les points de ce plan ont pour abscisse 6, donc que l'une de ses équations est $x - 6 = 0$.
\end{enumerate}
\end{document}