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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2021}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance --session 2021
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

Remarque préliminaire:

-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.

-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les points A(1~;~2) et $M(-1~;~m)$, $m \in \R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une équation cartésienne de la droite $D_m$ passant par A et $M$.
On a A(1~;~2)$ \in D_m \iff 2 = 1\alpha + \beta$ et 

$M(-1~;~m) \in D_m \iff m = - \alpha + \beta$, avec $\alpha \in \R, \: \beta \in \R$.

Soit $\left\{\begin{array}{l c l}
2 &=& 1\alpha + \beta\\
m &=& - \alpha + \beta
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par somme) $m + 2 = 2\beta \iff \beta = \dfrac{m + 2}{2}$.

En remplaçant $\beta$ dans la première par cette valeur :

$\alpha = 2 - \beta = 2 - \left(\dfrac{m + 2}{2}\right) = \dfrac{2 - m}{2}$.

On a donc $X(x~;~y) \in D_m \iff y = \dfrac{2 - m}{2}x + \dfrac{m + 2}{2}$.

%Tracer $D_1$ et $D_2$ .
On a $X(x~;~y) \in D_1 \iff y = \dfrac{2 - 1}{2}x + \dfrac{1 + 2}{2}$, soit $X(x~;~y) \in D_1 \iff y = \dfrac12x + \dfrac32$ ;

On a $X(x~;~y) \in D_2 \iff y = \dfrac{2 - 2}{2}x + \dfrac{2 + 2}{2}$, soit $X(x~;~y) \in D_2 \iff y = 2$ ;
\item %Quel est le coefficient directeur de $D_m$ ?
Le coefficient directeur de $D_m$ est $\dfrac{2 - m}{2}$.
\item Déterminer $m$ tel que: 
\setlength\parindent{1cm}

%$D_m$ passe par B(2~;~1) ;
$\bullet~~$B(2~;~1) $\in D_m \iff 1 = \dfrac{2 - m}{2}\times 2 + \dfrac{m + 2}{2} \iff 2 = 2(2 - m) + m + 2 \iff 0 = 4 - m \iff m = 4$ (équation de $D_4$ : $y = - x + 3$)
%$D_m$ soit parallèle à l'axe O$x$ ;

$\bullet~~$Le coefficient directeur est nul, soit $\dfrac{2 - m}{2} = 0 \iff 2 - m = 0 \iff 2 = m$. (équation de $D_2 : y = 2$.)

%$D_m$ coupe l'axe O$x$ en un point C d'abscisse $-2$ ;

$\bullet~~$C$(-2~;~0) \in D_m \iff 0 = \dfrac{2 - m}{2}\times (- 2) + \dfrac{m + 2}{2} \iff m - 2) + \dfrac{m + 2}{2}  = 0\iff 2m - 4 + m + 2 = 0 \iff 3m - 2 = 0 \iff m = \dfrac{2}{3}$. (équation de $D_{\frac23} : y = \dfrac43 x + \dfrac 83$).

$\bullet~~$$D_m$ coupe l'axe O$y$ en un point D d'ordonnée 3.

D$(0~;~3) \in D_m \iff 3 = \dfrac{2 - m}{2}\times 0 + \dfrac{m + 2}{2} \iff 6 = m + 2 \iff m = 4$. (équation de $D_4 : y = - x + 3$).

%Représenter $D_m$ dans chaque cas, sur le même dessin.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.99,-2.99)(4,4)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{3 x sub }\uput[dl](4,-1){$D_{4}$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{ x 4 mul 3 div 8 3 div add}\uput[dr](1,4){$D_{\frac23}$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{2}\uput[dl](4,2){$D_{2}$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{0.5 x mul 1.5 add}\uput[ul](4,3.5){$D_{1}$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{4}{2}\uput[dl](4,2){$D_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

\item %A-t-on toutes les droites passant par A, lorsque l'on fait décrire à $m$ l'ensemble $\R$ ?
A$(1~;~2) \in D_m \iff 2 = \dfrac{2 - m}{2} + \dfrac{2 + m}{2}  \iff 4 = 2 - m + 2 + m \iff 4 = 4$ qui est vraie. Conclusion : toutes les droites $D_m$ contiennent A. La réponse est oui.

%Soit maintenant $\Delta_m$ la droite d'équation:

\[\Delta_m : \quad (m+ 7)x + (m + 3)y - 2m - 9 = 0\]

\item %Montrer que $\Delta_m$ passe par un point fixe E dont on déterminera les coordonnées.

On a $(m+ 7)x + (m + 3)y - 2m - 9 = 0 \iff mx + 7x + my + 3y - 2m - 9 = 0 \iff m(x + y - 2) + 7x + 3y  - 9 = 0$ : cette égalité est vraie si :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 2&=&0\\
7x + 3y  - 9&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-3x - 3y + 6&=&0\\
7x + 3y  - 9&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par somme) $4x - 3 = 0 \iff x = \dfrac34$, d'où en utilisant la première équation : $y = 2 - x = 2 - \dfrac34 = \dfrac54$.

 Ceci signifie que toutes les droites $\Delta_m$ contiennent le point E$\left(\dfrac34~;~\dfrac54\right)$.
\item %Étudier suivant les valeurs de $m$ la position relative de $D_m$ et $\Delta_m$.
$M(x~;~y) \in \Delta_m \iff y = - \dfrac{m + 7}{m + 3}x +  \dfrac{9}{m + 3}$. Donc :

$\bullet$$D_m$ et $\Delta_m$ sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaus c'est-à-dire si :

$\dfrac{2 - m}{2} = - \dfrac{m + 7}{m + 3} \iff (2 - m)(m + 3) = -2(m + 7) \iff 2m + 6 - m^2 - 3m  = - 2m - 14 \iff m^2 - m - 20 = 0 $

Avec $\Delta = (- 1)^2 - 4 \times 1 \times (- 20) = 1 + 80 = 81 = 9^2 > 0$.

L'équation a deux solutions $m_1 = \dfrac{1 + 9}{2} = 5$ et $\dfrac{1 - 9}{2} = - 4$.

Conclusion $D_5$ et $\Delta_5$ sont parallèles  ; $D_{-4}$ et $\Delta_{-4}$ sont parallèles.

En dehors de ces deux valeurs $m = 5$ ou $m = -4$ les droites $D_m$ et $\Delta_m$ sont sécantes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%On lance trois dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on considère les évènements suivants :
%
%$\bullet~~$ $A$: \og on obtient au moins un six \fg
%
%$\bullet~~$ $B$: \og deux dés, au moins, donnent un résultat identique \fg.
%
%On note respectivement $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$.
%
%Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Calculer la probabilité des évènements: $\overline{A},\: \overline{B},\:A, \:B$.
$\bullet~~$ On a $p\left(\overline{A}\right) = \left(\dfrac56\right)^3 = \dfrac{5^3}{6^3} = \dfrac{125}{216}$ ;

$\bullet~~$On en déduit que $p(A) = 1 - p\left(\overline{A}\right) = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216}$.

$\bullet~~$ $\overline{B}$ désigne l'évènement : \og Les trois résultats sont différents \fg.
Avec comme premier tirage 1 on a les issues favorables :

123, 124, 125, 126, 132, 134, 135, 136, 142, 143, 145, 146, 152, 153, 154, 156,162 163, 164, 165, autant d'issues avec les cinq autres chiffres, soit finalement $p\left(\overline{B}\right) = \dfrac{6 \times 20}{6^3} = \dfrac{120}{216} = \dfrac{15}{27}  = \dfrac{5}{9}$.

$\bullet~~$ D'où $p(B ) = 1 - p\left(\overline{B}\right) = \dfrac{4}{9}$.

\item %Décrire l'évènement $\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$ puis calculer sa probabilité.
$\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$ désigne l'évènement : \og les trois résultats sont différents et il n'y a pas de 6.

En premier on a 5 possibilités, en deuxième 4 possibilités et en dernier 3 possibilités, soit $5 \times 4 \times 3 = 60$ tirages favorables et une probabilité :

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = \dfrac{60}{216} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$.

\item En remarquant que: $\overline{A} = \left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap  B\right)$, déduire de 2. la probabilité de l'évènement $\left(\overline{A} \cap B\right)$.
\item Par une méthode semblable, calculer la probabilité de l'évènement $A \cap B$.
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x)= \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\]

%La courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère
%orthogonal est donnée ci-après. Cette figure est à reproduire sur votre copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{-x} = 1$ et par composition $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) = \ln 1 = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{3}x = + \infty$, on a finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de $f(x)- \dfrac{1}{3}x$ en $+ \infty$.
		
%Que peut-on dire de la droite $(D)$ d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ par rapport à la courbe $(C)$,
D'après la question précédente $f(x)  - \dfrac{1}{3}x = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$ et on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) = 0$.

Ceci montre géométriquement que la droite $(D)$ d'équation $y  = \dfrac13 x$ est asymptote oblique à la courbe $(C)$ au voisinage de plus l'infini.
%Tracer $(C)$.
		\item %Étudier la position relative de $(D)$ et de $(C)$.
On étudie la fonction différence $d$ définie sur $\R$ par :

\[d(x) = f(x) - \dfrac13 x = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right).\]

Or on sait que pour tout réel $x$, \: $\text{e}^{-x} > 0$, d'où en ajoutant 1 : $1 + \text{e}^{-x} > 1$ et $\left(1 + \text{e}^{-x}\right) > \ln 1 = 0$.

Autrement dit quel que soit le réel $x$, \: $d(x) > 0$, ce qui signifie géométriquement que la courbe $(C)$ est au dessus de la droite $(D)$.
		\item %Montrer que pour tout réel $x$,\: $f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$.
		Quel que soit $x \in \R$, \: $f(x)= \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x = \ln \left(1 + \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x  =$
		
$ \ln \left(\dfrac{\text{e}^{x} + 1}{\text{e}^{x}}\right) + \dfrac{1}{3}x  = \ln \left(\text{e}^{x} + 1\right) - \ln \left(\text{e}^{x}\right) + \dfrac{1}{3}x = \ln \left(\text{e}^{x} + 1\right) - x + \dfrac{1}{3}x = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$.
		\item %En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x  + 1= 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \ln \left(\text{e}^x  + 1\right) = \ln 1 = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac13 x = - \infty$, on a par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout $x$ réel,

On pose $u(x) = 1 + \text{e}^{-x}$, donc $u'(x) = - \text{e}^{-x}$, puis comme $\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{- \text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}$ et $\left(\dfrac13 x\right)' = \dfrac13$, la dérivée de la somme étant égale à la somme des dérivées de chaque terme :

$f'(x) = \dfrac{- \text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}} + \dfrac13$
soit en multipliant chaque terme du quotient par $\text{e}^x$ :

$f'(x) = \dfrac{- 1}{\text{e}^x + 1} + \dfrac13 = \dfrac{- 3  + 1 + \text{e}^x}{3\left( \text{e}^x + 1\right)} = \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left( \text{e}^x + 1\right)}$.

%En déduire les variations de la fonction $f$.
Comme $\text{e}^x > 0$, quel que soit le réel $x$, on a $\text{e}^x + 1> 1 > 0$, donc le dénominateur étant supérieur à zéro, le signe de $f'(x)$ est celui de son numérateur, soit :

$\bullet~~$$\text{e}^x - 2 > 0\iff \text{e}^x > 2$ et par croissance de la fonction logarithme népérien $x > \ln 2$ : la fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle $[\ln 2~;~+ \infty[$. De même 

$\bullet~~$$\text{e}^x - 2 < 0\iff \text{e}^x < 2$ et par croissance de la fonction logarithme népérien $x < \ln 2$ : la fonction $f$ est donc décroissante sur l'intervalle $[- \infty~;~\ln 2[$.

$\bullet~~$$f(\ln 2)  = \ln \left(1 + \text{e}^{- \ln 2} \right) + \dfrac13 \ln 2 = \ln \left(1 + \dfrac{1}{ \text{e}^{\ln 2}} \right) + \dfrac13 \ln 2  = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2} \right) + \dfrac13 \ln 2 = \ln \dfrac32 + \dfrac13 \ln 2 = \ln 3 - \ln 2 + \dfrac13 \ln 2 = \ln 3 - \dfrac23 \ln 2 \approx 0,637$.

$f(\ln 2)$est le minimum de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe $(C)$. 

On note $(T)$ la tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le coefficient directeur de $(T)$ puis construire $(T)$ sur le graphique reproduit sur votre copie.
On sait que le coefficient directeur de $(T)$ est égal au nombre dérivé $f'(0) = \dfrac{\text{e}^0 - 2}{3\left(\text{e}^0 + 1 \right)} = \dfrac{1 - 2}{3 \times (1 + 1)} = - \dfrac16$.

Pour construire cette tangente on part du point $(0~;~f(0))$ et on se déplace de 6 unités vers la droite et de 1 unité vers le bas (ou 3 à droite et 0,5 vers le bas).
\item %Soient M et N deux points de la courbe $(C)$ d'abscisses non nulles et opposées. Montrer que la droite (MN) est parallèle à la droite $(T)$.
On a M$\left(x~;~\ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x\right)$ et N$\left(-x~;~\ln \left(1 + \text{e}^{x}\right) - \dfrac{1}{3}x\right)$.

Donc le coefficient directeur de la droite (MN) est égal à  (pour $x \ne 0$:

$c = \dfrac{\ln \left(1 + \text{e}^{x}\right) - \dfrac{1}{3}x - \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) - \dfrac{1}{3}x}{- x - x} = \dfrac{\ln \left(1 + \text{e}^{x}\right) - \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) - \dfrac23 x}{- 2x}$.

$c = \dfrac{\ln \dfrac{1 + \text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{-x}}  - \dfrac23 x}{- 2x} = \dfrac{\ln \dfrac{1 + \text{e}^{x}}{1 + \frac{1}{\text{e}^x}}  - \dfrac23 x}{- 2x} = \dfrac{\ln \dfrac{1 + \text{e}^{x}}{\frac{\text{e}^x + 1}{\text{e}^x}}  - \dfrac23 x}{- 2x} = \dfrac{\ln \dfrac{1}{\frac{ 1}{\text{e}^x}}  - \dfrac23 x}{- 2x}$ après simplification par $\text{e}^x + 1 \ne 0$. Enfin

$c = \dfrac{\ln \text{e}^x - \dfrac23 x}{- 2x} = \dfrac {x - \dfrac23 x}{- 2x} = \dfrac{\dfrac13 x}{- 2x} = - \dfrac16 = f'(0)$.

Cette égalité montre que pour $x \in \R, \: x \ne 0$, la droite (MN) est parallèle à la tangente au point de la courbe d'abscisse zéro.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-1)(5,3.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{5}{1 2.71828 x exp div 1 add ln  x 3 div add}
\uput[u](5.4,0){$x$}\uput[r](0,3.4){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x)= \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right)\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $C$ est représentée ci-après.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.
On a $x\e^{-x} = \dfrac{x}{\e^x}$ et on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\e^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right) = \ln 1 = 0$.
\item %Justifier que, pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$.
La fonction $f$ est une fonction composée de fonctions dérivables $x \longmapsto x\e^{-x}$ et $x \longmapsto \ln x$ pour $x > 0$ : $f$ est donc dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\e^{-x} - x\e^{-x}}{1 + x \e^{- x}} = \dfrac{\e^{-x}(1 - x)}{1 + x \e^{- x}}$.

Comme $\e^{-x} \geqslant 0, \: x\e^{-x} \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$.
\item %Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $1 - x > 0 \iff x < 1$, donc sur l'intervalle [0~;~1[, $f'(x) > 0$, et $f$ est strictement croissante sur cet intervalle ;
\item $1 - x < 0 \iff x > 1$, donc sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[, f'(x) < 0$, et $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle ;
\item $1 - x = 0 \iff x = 1$, donc $f'(1) = 0$ ; comme $f(1) = \ln \left(1 + \e^{-1}\right) \approx 0,313$. Le point de coordonnées $\left(1~;~ \ln \left(1 + \e^{-1}\right)\right)$ est le maximum de la fonction $f$.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $A(\lambda) = \displaystyle\int_0^{\lambda} f(x)\:\text{d}x$.

On se propose de majorer $A(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes.

\medskip

\textbf{Première méthode}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Reproduire sur votre copie le graphique ci-dessous et y représenter la partie du plan dont l'aire en unité d'aire est égale à $A(\lambda)$.
Voir ci-dessous l'exemple $\mathcal{A}(2,5)$.
\item %Justifier que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $A(\lambda) \leqslant \lambda f(1)$.
On a vu que $f$ a un maximum sur $\R_+$. Donc : quel que soit $x >0$,

$f(x) \leqslant f(1) \Longrightarrow \displaystyle\int_0^{\lambda} f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_0^{\lambda} f(1)\:\text{d}x$, soit 

$A(\lambda) \leqslant f(1)\displaystyle\int_0^{\lambda}\:\text{d}x$ ou encore 

$A(\lambda) \leqslant f(1) \times \lambda$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Seconde méthode}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la fonction $x \longmapsto  -(x + 1) \text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto  x \text{e}^{-x}$ sur $\R^{+}$.
Soit $G$ la fonction définie pour x réel positif par :

$G(x) = -(x + 1) \e^{-x}$ : produit de fonctions dérivables sur $\R_+$ cette fonction est dérivable et  sur cet intervalle :

$G'(x) = - \e^{-x} - \left[-(x + 1) \e^{-x}\right] = - \e^{-x} + (x + 1) \e^{-x} = \e^{-x}(-1 + x + 1) = x\e^{-x} = f(x)$.

Conclusion $F(x)$ est une primitive de $x\e^{-x}$ sur $\R_+$.

%Calculer ensuite $\displaystyle\int_0^{\lambda}  x \text{e}^{-x} \:\text{d}x$ en fonction de $\lambda$.

On a donc $\displaystyle\int_0^{\lambda} x \text{e}^{-x} \:\text{d}x = \left[-(x + 1) \e^{-x}\right]_0^{\lambda} = 1 - (\lambda + 1) \e^{-\lambda}$.
\item %On admet que, pour tout nombre réel positif $u$,\: $\ln (1 + u)\leqslant u$.

%Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif: 

%$A(\lambda) \leqslant - \lambda \text{e}^{-\lambda} - \text{e}^{-\lambda} + 1$.
En utilisant l'indication $\ln (1 + u) \leqslant u$ avec $u = x\e^{-x} \geqslant 0$, on a 

$\ln \left(1 + x\e^{-x} \right)\leqslant \ln \left(x\e^{-x}\right) $, donc en intégrant entre 0 et $\lambda$ :

$\mathcal{A}(\lambda) \leqslant \displaystyle\int_0^{\lambda} x \text{e}^{-x} \:\text{d}x  = 1 - (\lambda + 1) \e^{-\lambda}$, donc finalement

$\mathcal{A}(\lambda) \leqslant 1 - \lambda\e^{-\lambda} - \e^{-\lambda}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Application numérique}

\medskip

%Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $A(5)$, arrondi au centième.
%
%Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? 
%
%On donnera comme valeurs approchantes: $\text{e}^{-5} \approx 0,007$ et 
%$\ln \left(1 + \dfrac{1}{\text{e}} \right) \approx 0,31$.
$\bullet~~$ Première majoration :

$\mathcal{A}(5) \leqslant 5f(1) \approx \np{1,566}$.

$\bullet~~$ Seconde majoration :

$\mathcal{A}(5) \leqslant 1 - 5\e^{-5} - \e^{-5} \approx 0,960$.

Cette majoration est meilleurs que la première (la calculatrice donne $\mathcal{A}(5) \approx 0,855$.)

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6.25,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.01}{2.5}{1 x 2.71828 x exp div add ln}\psline(2.5,0.147)(2.5,0)(0,0)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{5}{1 x 2.71828 x exp div  add ln}
\uput[u](5.4,0){$x$}\uput[r](0,0.9){$y$}
\rput(3,1.1){Exemple : $\mathcal{A}(2,5)$}
\psframe(1,0.313)\uput[l](0,0.313){$f(1)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}