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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 20 mars 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours du 20 mars 2013~\decofourright\\[7pt]Contrôleur des douanes : surveillance \\
}}}


\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :}
\textbf{
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.
}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par
\[u_n = \dfrac{4n - 2}{n + 2}.\]

\begin{enumerate}
\item %Donner, par calcul, les valeurs approchées au centième de $u_0$ à $u_{10}$ et $u_{100}$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$u_0 = - 1$&$u_1 \approx 0,67$&$u_2 = 1,5$&$u_3 = 2$\\ \hline
$u_4 \approx  2.33$&$u_5 \approx  2.57$&$u_6 = 2.75$&$u_7 \approx  2.89$\\ \hline
$u_8 = 3$&$u_9 \approx  3.09$&$u_{10} \approx 3.17$&$u_{100} \approx  3.98$\\ \hline
\end{tabularx}
\item %Montrer que pour tout $n \in  \N$, on a 

%\[-1 \leqslant  u_n \leqslant 4.\]
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Pour $n = 0$ : $u_0 = - 1$, donc $-1 \leqslant  u_0 \leqslant 4$ ;
\item Pour $n \geqslant 1$ : $4n \geqslant 4 \longrightarrow 4n - 2 \geqslant 2 > 0$ et comme $n + 2 \geqslant 2 < 0$, le quotient $u_n$ est le quotient de deux termes positifs, donc $u_n > 0$.
\item Pour tout $n \in \N,\: u_n = \dfrac{4n + 8 - 6}{n + 2} = \dfrac{4n + 8}{n + 2} - \dfrac{6}{n + 2} = 4 - \dfrac{6}{n + 2}$.

Comme $\dfrac{6}{n + 2} > 0$, on conclut $u_n \leqslant 4$.

Finalement : pour tout naturel $-1 \leqslant  u_n \leqslant 4.$
\end{itemize}

On dit (remplir les blancs) que la suite
$\left(u_n\right)$ est {\blue minorée} par $-1$ et {\blue majorée } par $4$.
\item %Étudier le sens de variation de $\left(u_n\right)$.
On a pour tout naturel $u_{n+1} = \dfrac{4(n + 1) - 2}{n+ 1 + 2} = \dfrac{4n + 2}{n + 3}$

Puis $u_{n+1} - u_n = \dfrac{4n + 2}{n + 3} - \dfrac{4n - 2}{n + 2} = \dfrac{(4n + 2)(n + 2) - (4n - 2)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)} =$

$ \dfrac{4n^2 + 8n + 2n + 4 - 4n^2 - 12n + 2n + 6}{(n + 2)(n + 3)} = \dfrac{10}{(n + 2)(n + 3)}$.

Tous les termes de ce quotient sont supérieurs à zéro, on a donc $u_{n+1} - u_n > 0 \iff u_{n + 1} > u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Démontrer que, pour $n$ suffisamment grand, on a $u_n > 3,999$.
On a $u_n > 3,999 \iff \dfrac{4n - 2}{n + 2} > 3,999 \iff 4n - 2 > 3,999(n + 2) \iff 4n - 2 > 3,999n + 7,998 \iff 0,001n > 9,998 \iff n > \dfrac{9,998}{0,001} \iff n > \np{9998}.$

\emph{Exemple} $u_{\np{9999}} = \dfrac{\np{39994}}{\np{10001}} \approx \np{3,9990009}$.

Que peut-on penser de $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$ ?

On a vu que $u_n = 4 - \dfrac{6}{n + 2}$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n+2 = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{n + 2} = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 4$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par:
\[f(x)= ax + b + 3\ln (x + 1)\]

%où $a$ et $b$ désignent deux réels que l'on déterminera dans la question 1.
%
%On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
%
%$\mathcal{C}_f$ vérifie les conditions suivantes : 
%elle passe par le point A(0~;7) où elle admet une tangente horizontale et est monotone de part et d'autre de cet extremum.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $a$ et $b$.
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $\mathcal{C}_f$ contient A(0~;~7), donc $f(0) = 7 \iff b + 3\ln 1 = 7 \iff b = 7$ ;
\item La tangente à $\mathcal{C}_f$ en A est horizontale : ceci signifie que $f'(0) = 0$.
\end{itemize}
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]-1~;~+ \infty[$ : elle est donc dérivable sur cet intervalle et 

$f’(x) = a  + 3 \times \dfrac{1}{x + 1}$ et en particulier $f’(0) = a + 3$.

Donc $f’(0) = a + 3 = 0 \iff a = - 3$.

Finalement : $f(x) =  -3x + 7 + 3\ln (x+ 1).$
\item %En utilisant les données de l'énoncé, que peut-on dire du sens de variation de $f$ ? (sans étudier le signe de la dérivée).
$f$ ayant un extremum en 0 et la fonction étant monotone de part et d’autre de 0, la fonction est :

soit croissante sur $]- 1~;~0]$ puis décroissante sur $[0~;~+ \infty[$,

soit décroissante sur $]- 1~;~0]$ puis croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item %On suppose désormais que la fonction $f$ est définie sur $]-1~;~ + \infty[$ par: 
%\[f(x) = -3x + 7 + 3\ln (x+ 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de $f$ en $-1$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - 1} - 3x + 7 = 10$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to - 1}\ln (x + 1) = - \infty$, d’où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty$.
%Interpréter graphiquement le résultat.

Graphiquement ce résultat signifie que la droite d’équation $x = - 1$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $- 1$.
		\item En admettant que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 0$, calculer  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}$.

On a pour $x\ne 0$, \:$ f(x) = x\left(- 3 + \dfrac{7}{x} + 3\dfrac{\ln (x + 1)}{x} \right)$.

Avec $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{7}{x} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln (x + 1)}{x} = 0$, donc par somme de limites la parenthèse a pour limite $- 3$ et enfin par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$.
La dérivée a été calculée au-dessus : $f’(x) = - 3 + \dfrac{3}{x + 1}$.

On peut vérifier que $f’(x) > 0 \iff - 3 + \dfrac{3}{x + 1} > 0 \iff  \dfrac{3}{x + 1} > 3 \iff  \dfrac{1  }{x + 1} > 1 \iff 1 > x + 1 \iff 0 > x$ ou $x < 0$.

Donc $f’(x) > 0$ sur $]- 1~;~0[$ : la fonction $f$ est croissante sur $]- 1~;~0[$ et de même on trouve que $f$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.

%Dresser le tableau de variation.
D’où le tableau de variations :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)  \psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)  \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](.5,2.4){$x$} \uput[u](1.2,2.4){$-1$} \uput[u](4,2.4){0} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](.5,1.9){$f’(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](4,1.9){0} \uput[u](5.5,1.9){$-$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){7}\uput[u](6.5,0){$- \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On a $g’(x) = 1\ln (x + 1) + (x +1) \times \dfrac{1}{x + 1}
 - 1 = \ln (x + 1)$.

De $f(x) = - 3x + 7 + 3 \ln (x + 1)$, on a :

$- 3x$ a pour primitive $- \dfrac{3x^2}{2}$ ;

$7$ a pour primitive $7x$

$3\ln (x + 1)$ a pour primitive $(x + 1)\ln (x + 1) - x$ (d’après la question précédente)

Donc les primitives de $f$ sont de la forme $- \dfrac{3x^2}{2} + 7x + (x + 1)\ln (x + 1) - x + K = 6x - \dfrac{3x^2}{2} + (x + 1)\ln (x + 1) + K$ avec $K \in \R$ : la seule de ces primitives s’annulant en 0 est la fonction 
\[F(x) = 6x - \dfrac{3x^2}{2} + (x + 1)\ln (x + 1) .\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

%Un concours des douanes compte \np{11000}~inscrits dont 40\,\% sont des femmes. 
%
%On dénombre 30\,\% des hommes et 40\,\% des femmes qui parlent une langue étrangère.
%
%Partant du principe qu'on interroge l'un de ces \np{11000}~candidats :
%
%\medskip
Soit $F$ l’évènement « être une femme \fg{} et $L$ l’évènement « parler une langue étrangère ; on peut dresser l’arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,treesep=1.cm,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~~}\taput{0,4 }}
		{\TR{$L$}\taput{$0,4$}
		\TR{$\overline{L}$}\tbput{$0,6$}
		}

\pstree{\TR{$\overline{F}$~~} \tbput{0,6}}
	{\TR{$L$}\taput{$0,3$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$0,7$}	
	}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que cette personne soit une femme parlant une langue étrangère. 
La probabilité cherchée est :

$p(F \cap L) = 0,4 \times 0,4 = 0,16$.
\item %Calculer la probabilité que cette personne soit une femme ne parlant aucune langue étrangère.
La probabilité cherchée est :

$p\left(F \cap \overline{L}\right) = 0,4 \times 0,6 = 0,24$.
\item %Sachant que la personne parle une langue étrangère, quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une femme?
On calcule la probabilité qu’un homme pratique un langue étrangère, soit :

$p\left(\overline{F} \cap L \right) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$.

D’après la loi des probabilités totales, on a :

$p(L) = p(F \cap L) + p\left(\overline{F} \cap L\right) = 0,16 + 0,18 = 0,34$.

Parmi les candidats parlant une langue étrangère, la probabilité d’avoir une femme est :

$p_L(F) = \dfrac{p(L \cap F)}{p(L)} = \dfrac{p(F \cap L)}{p(L)}
 = \dfrac{0,16}{0,34}= \dfrac{16}{34} = \dfrac{8}{17} \approx 0,47$.
\end{enumerate}
\end{document}