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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2022}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes session 2022~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

%\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}
%
%\textbf{Remarque préliminaire :\\
%-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
%-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
%
%\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

%La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau dans l'organisme.
%
%Le taux de vasopressine dans le sang est considéré comme normal s'il est inférieur à $2~\mu$g/ml.
%
%Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
%
%On modélise le taux de vasopressine dans le sang, en fonction du temps $t$ exprimé en minutes écoulé depuis le début d'une hémorragie, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par :
\[f(t) = 3t\e^{- \frac14 t}  + 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Que vaut $f(0)$ ? 
$f(0) = 3\times 0\e^{- \frac14 \times 0} + 2 = 0 + 2 = 2$.
%Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.

Le taux de vasopressine au départ est donc à peu près normal.
\item %Calculer $f(60)$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
$f(60) = 3 \times 60\e^{- \frac14 \times 60}  + 2 \approx \np{2,00006}$.

Le taux n'est pas normal.

%Comment interpréter ce résultat?
\item %Justifier que 12 secondes après le début d'une hémorragie, le taux de vasopressine n'est pas normal.
$f(12) = 3 \times 12\e^{- \frac14 \times 12} + 2 \approx 2,597$ : le taux n'est pas normal.
\item %On admet que la fonction $f$ est dérivable sur [0~;~60].

%Justifier que $f'(t) =\dfrac34 (4 - t)\e^{- \frac14 t}$.
Sur l'intervalle [0~;~60], $f'(x) = 3\e^{- \frac14 t} - \dfrac14 \times 3t\e^{- \frac14 t} = \e^{- \frac14 t}\left(3 - \dfrac{3t}{4}\right) = \dfrac34 (4 - t)\e^{- \frac14 t}$.
\item %Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0$ de [0~;~4] telle que $f(t) = 2,5$.
Comme $\dfrac34\e^{- \frac14 t} > 0$ quel que soit $t \in \R$, le signe de $f'(x)$ est celui de $4 - t$ :

$\bullet~~$$4 - t > 0 \iff t < 4$ sur l'intervalle [0~;~4], $f'(t) > 0$, la fonction $f$ est croissante de $f(0) = 0$ à $f(4) = 12\e^{-1} + 2 \approx 6,4$ ;

$\bullet~~$$4 - t < 0 \iff t > 4$ sur l'intervalle [4~;~60], $f'(t) < 0$, la fonction $f$ est décroissante de $f(4) = 12\e^{-1} + 2 \approx 6,4$ à $f(60) = 12\e^{-1} + 2 \approx \np{2,00006}$.

Sur l'intervalle [0~;~4], la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement croissante de 0 à environ 6,4 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $t_0 \in]0~;~4[$ tel que $f\left(t_0\right) = 2,5$.
\end{enumerate}

On admettra que $f\left(t_0\right) = 2,5 \iff t_0 = 0,174$ et que de la même façon, il existe une solution unique $t_1$ telle que $t \in [4~;~+\infty[$ et $f\left(t_1\right) = 2,5 \iff t_1 = 18,93$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Déterminer pendant combien de temps chez une personne victime d'une
%hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang reste supérieur à $2,5~\mu$g/ml.

Sur l'intervalle $]t_0~;~4] , \: f(t) > 2,5$, puis sur l'intervalle $[4~;~t_1[, \:f(t) > 2,5$, donc $f(t) > 2,5$ sur l'intervalle $]t_0~;~t_1[$.

Le taux de vasopressine dépasse 2,5~$\mu$g/ml entre 0,174 min et 18,93~min.
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[F(t) = -12(t + 4)\e^{-\frac 14 t} + 2t\]

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
La fonction $F$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 12\e^{-\frac 14 t} - \dfrac14 \times (- 12)(t + 4)\e^{-\frac 14 t}  + 2 = \e^{-\frac 14 t}[- 12 + 3(t + 4)] + 2 = \e^{-\frac 14 t}(- 12 + 3t + 12) + 2 = 3t\e^{-\frac 14 t} + 2 = f(t)$.

Conclusion $F$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item %En déduire, en fonction de $t_0$ et $t_1$ le taux moyen de vasopressine lors d'un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5~\mu$g/ml.
Le taux moyen est la moyenne de l'intégrale sur l'intervalle $\left[t_0~;~t_1\right]$ de la fonction $f$  soit :

$\dfrac{1}{t_1 - t_0}\displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{t_1 - t_0}[F(t)]_{t_0}^{t_1} = \dfrac{1}{t_1 - t_0}\left[F(t_1) - F(t_0]\right)$.

On obtient : 

$\dfrac{1}{18,93 - 0,174}\left[12(4 + 18,93)\e^{- \frac{18,93}{4}} + 2 \times 18,93 + 12 (4 + 0,174)\e^{- \frac{0,174}{4}} - 2 \times 0,174 \right] \approx 4,43$.

%Pour cet exercice, vous aurez besoin d'utiliser les valeurs suivantes :
%
%\begin{center}$\e^{-15} \approx 3,059 \cdot 10^{-7},\qquad \e^{-0,05} \approx 0,95$\quad \ et \quad $\e^{-1} \approx 0,367$\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.65cm,comma=true,algebraic}
\begin{pspicture}(-1,-0.75)(20,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2.5]{->}(0,0)(0,0)(20,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{20}{3*x*2.71828^(-x/4)+2}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{2x-12*(4+x)*2.71828^(-x/4)}
\psline(0.174,0)(0.174,2.5)(18.93,2.5)(18.93,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

%Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablettes, il décide d'offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente.
%
%Parmi les tablettes gagnantes, $60$\,\% permettent de gagner exactement une place et $40$\,\% exactement deux places.
%
%On note $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Un client achète une tablette de chocolat.

%On considère les évènements suivants:
\begin{description}
\item[ ] $G$ : \og le client achète une tablette gagnante\fg
\item[ ] $U$ : \og le client gagne exactement une place de cinéma\fg
\item[ ] $D$ : \og le client gagne exactement deux places de cinéma\fg
\end{description}

	\begin{enumerate}
		\item %Donner $p(G),\:P_G(U),\: P_G(D)$.
L'énoncé donne :  $p(G) = 0,5$, \quad $P_G(U) = 0,6$, \quad $P_G(D) = 0,4$.
		\item %Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est égale à $0,3$.
$p(U) = p(G) \times p_G(U) = 0,5 \times 0,6 = 0,3$.
		\item %Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client.
		
%Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\bullet~~$ on $p(X = 0) = \dfrac12 = 0,5$ ;

$\bullet~~$ on $p(X = 1) = \dfrac12 = 0,3$ ;

$\bullet~~$ on $p(X = 2) = 0,5 \times 0,4 = 0,2$.

%Calculer l'espérance mathématique de $X$.
$E(X)  = 0\times 0,5 + 1\times 0,3 + 2 \times 0,2 = 0 + 0,3 + 0,4 = 0,7$.
	\end{enumerate}
\item Un autre client achète deux jours de suite une tablette de chocolat.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place de cinéma.
		À chaque achat il a une chance sur deux de perdre, donc avec deux achats la probabilité est égale à $\dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac14 = 0,25$.
		\item %Déterminer la probabilité qu'il gagne au moins une place de cinéma.
C'est la négation de gagner 0 place de cinéma donc le complément à 1 de 0,25 soit 0,75.
		\item %Montrer que la probabilité qu'il gagne exactement deux places de cinéma est égale à $0,29$.
Il peut gagner  soit :
		
$\bullet~~$ 0 puis 2 places probabilité $0,5 \times 0,2 = 0,1$ ;

$\bullet~~$ 1 puis 1 place probabilité $0,3\times 0,3 = 0,09$ ;

$\bullet~~$ 2 puis 0 places probabilité $0,2 \times 0,5 = 0,1$ ;

Au total la probabilité de gagner deux places est égale à : $0,1 + 0,09 + 0,1 = 0,29$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère les points 

\begin{center}A(0~;~0~;~2),\qquad  B(0~;~4~;~0)\quad et \quad C(2~;~0~;~0)\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$.
$\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}0\\4\\-2\end{pmatrix}$, \quad $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}$, puis 
$\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0+ 0 + 4 = 4$.

Les points déterminent un plan si les vecteurs ne sont pas colinéaires. En comparant leurs troisièmes composantes le coefficient de colinéarité serait 1, ce qui n'est pas possible pour les autres composantes.

A, B, C déterminent bien un plan.
%Les points A, B et C déterminent-ils un plan ? 
		\item %Démontrer que le vecteur $\vect{u}(2~;~1~;~2)$ est normal au plan (ABC).
On a $\vect{u} \cdot \vect{\text{AB}} = 0 + 4 - 4 = 0$ et  $\vect{u} \cdot \vect{\text{AC}} = 4 + 0 - 4 = 0$.

Conclusion : le vecteur $\vect{u}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est donc normal à ce plan.
		\item %Justifier alors que $2x+ y+ 2z = 4$ est une équation de ce plan.
On sait que :
		
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 2x + 1y + 2z + d = 0, \: d \in \R$.
		
Or A$(0~;~0~;~2) \in (\text{ABC}) \iff 2\times 0  + 1\times 0 + 2 \times 2 + d = 0 \iff 4 + d = 0\iff d = - 4$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 2x + y + 2z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le triangle ABC est isocèle en B.
On a BA$^2 \left|\text{AB}\right|^2 = 0 + 16 + 4 = 20$.

De même BC$^2 \left|\text{BC}\right|^2 = 4 + 16 + 0 = 20$.

Donc BA$^2 = \text{BC}^2 \Longrightarrow \text{BA} = \text{BC}$ : le triangle (BAC) est isocèle en B.
		\item %Démontrer que le point H$\left(\dfrac89~;~\dfrac49~;~\dfrac89\right)$ est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
Si  H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC), le vecteur $\vect{\text{OH}}$ est normal au plan (ABC) donc est colinéaire au vecteur $\vect{u}$ ci dessus, donc il existe $\alpha \in \R$ tel que $\vect{\text{OH}} = \alpha\vect{u}$, donc $\vect{\text{OH}}\begin{pmatrix}2\alpha\\\alpha\\2\alpha\end{pmatrix}$.
		
Il en résulte que H$(2\alpha~;~\alpha~;~2\alpha)$, mais H $\in $ (ABC) donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan (ABC) d'où :

$4\alpha + \alpha + 4\alpha - 4 \iff 9\alpha -  4 = 0 \iff \alpha = \dfrac49$.

Les coordonnées de H sont donc $\left(2 \times \dfrac49~;~\dfrac49~;~2 \times \dfrac49\right)$ ou H$\left(\dfrac89~;~\dfrac49~;~\dfrac89\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip
%Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
%
%Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à découverte de vestiges, il est dit positif.
%
%L'évènement \og le $n$-ième sondage est positif\fg est noté $V_n$, on note $p_n$ la probabilité de l'évènement $V_n$.
%
%L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
%\begin{itemize}
%\item si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif;
%\item si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif.
%\end{itemize}
%
%On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire que $p_1 = 1$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item %$A$ : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg;
On a $p(A) = 0,6 \times 0,6 = 0,36$.
		\item %$B$ : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg
On a $p(B) = (1 - 0,6) \times 0,9 = 0,4 \times 0,9 = 0,36$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité $p_3$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif.
Il y a deux possibilités :

PP$\overline{\text{P}}$ : de probabilité $1 \times 0,6 \times 0,4 = 0,24$ ;

P$\overline{\text{P}}\overline{\text{P}}$ de probabilité $1 \times 0,4 \times 0,9 = 0,36$.

Donc $p_3 = 0,24 + 0,36 = 0,6$.
\item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Recopier sur votre copie et compléter l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V_n$~}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{0,4}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V_n}$~}\tbput{$1 - p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{0,9}
	}
}
\end{center}

\item %Pour tout entier $n$ non nul, établir que $p_{n+1} = 0,5 p_n + 0,1$.
On a donc d'après l'arbre pondéré ci-dessus :

$p_{n+1} = p_n \times 0,6 + \left(1 - p_n \right)\times 0,1 = 0,6p_n + 0,1 - 0,1p_n = 0,5 p_n + 0,1$.
\item On note $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout entier $n$ non nul par : $u_n = p_n - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\left(u_n\right)$  est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
		Quel que soit $n \in \N, \: u_{n+1} = p_{n+1} - 0,2  = 0,5 p_n + 0,1 - 0,2 = 0,5 p_n - 0,1 = 0,5\left(p_n - 0,2\right) = 0,5u_n$.
		
L'égalité $u_{n+1} = 0,5 u_n$, vraie pour tout naturel montre que la suite $\left(u_n\right)$  est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_1 = p_1 - 0,2 = 1 - 0,2 = 0,8$.
		\item %Exprimer $p_n$ en fonction de $n$.
On sait que quel que soit $n \in \N^*, \: u_n = 0,8 \times 0,5^{n-1}$.

Or $u_n = p_n - 0,2 \iff p_n = u_n + 0,2 = 0,8 \times 0,5^{n-1} + 0,2 = p_n$.

Pour $n \in \N, \: n \geqslant 1, \: p_n = 0,8 \times 0,5^{n-1} + 0,2$.
		\item %Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$ de la probabilité $p_n$.
		Comme $0< 0,5 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,5^{n-1} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8 \times 0,5^{n-1} = 0$, donc 
		
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = 0,2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}