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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture et modifications : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série technologique}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{2026}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé Sujet 0 Voie technologique Sujet 1~\decofourright\\[7pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\textbf{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

\bigskip

\textbf{Question 1}

Le dimanche le temps passé à faire les devoirs est $\dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}
{25 \times 4} = \dfrac14$.

Sur ce temps le temps consacré à l’exposé est de $80\,\%$ soit $
\dfrac{80}{100} \times \dfrac14 = \dfrac14 \times \dfrac{80}{100}$: réponse B

\textbf{Question 2}

Diminuer un prix de 50\,\% c’est le multiplier par $1 - \dfrac{50}{100} = 1 - 0,5 = 0,5$.

Pour retrouver le prix initial il faut doubler ce prix soit l’augmenter de $1 + 1 = 1 + \dfrac{100}{
100}$ , donc l’augmenter de 100\,\%.

\textbf{Question 3}

Pour obtenir 200 à partir de 250, il suffit de multiplier par 200 et de diviser par 250, soit
de le multiplier par $200 \times \dfrac{1}{250} = \dfrac{200}{250} = \dfrac{200 \times 4}
{250 \times 4} = \dfrac{800}{\np{1000}} = 0,8$.

\textbf{Question 4}

On a bien $\dfrac{10^{-5}}{10^8} = 10^{-5-8} = 10^{-13}$.

\textbf{Question 5}

L’épaisseur d’une pile de \np{2000} feuilles est égale à $\np{2000} \times 70 \times 10^{-3} = 2 \times 7 \times 10^{3 + 1 - 3} =14 \times 10^1 = 140$ (mm) ou 14 (cm).

\textbf{Question 6}

Terre : $5,973 \times 10^{24}$ (kg) ; Mercure : $3,302 \times 10^{23}$ (kg) ;

Vénus : $4,868 5 \times 10^{24}$ (kg) ; Mars : $6,418 5 \times 10^{23}$ (kg).

La masse la plus grande est celle de la Terre.

\textbf{Question 7}

On a la somme : $x + 3x + x^2 = 4x + x^2$.

\textbf{Question 8}

La courbe $C$ est au dessous de la courbe $C'$ lorsque $x$ appartient à l’intervalle $[-2~;~-1]$
ou lorsque $x$ appartient à l’intervalle [1~;~2]. Réponse C.

\textbf{Question 9}

La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses négatives.

\textbf{Question 10}

La fonction s’annule en $x = 2$ ce qui élimine B et D.

On a $f(0) > 0$, ce qui élimine C : reste A.

\textbf{Question 11}

On a $C = (1 + t)^2$, donc $C > 0$ et $\sqrt{C}$ existe : on a donc :

$1 + t = \sqrt{C}$ ou $1 + t = - \sqrt{C}$, d’où :

$t = \sqrt{C} - 1$ ou $t = -\sqrt{C} - 1$.

\textbf{Question 12}

C’est l’année 2016.

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE : (6 pts)}

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\textbf{Premier modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer une baisse de $10\,\%$ revient à multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = \dfrac{90}{
100} = 0,9$.

Il y aura un an plus tard en 2026 : $\np{1000} \times 0,9 = 900$ (singes).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u_2$ est égal au nombre de singes en 2025 + 2.
Comme $u_2 = u_1 \times 0,9$ et que $u_1 = 900$, on a $u_2 = 900 \times 0,9 = 810$ (singes).
		\item On a donc d’une année $2025 + n$ à l’année suivante $2025 + n + 1$ :
$u_{n+1} = 0,9u_n$ : cette égalité montre que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique
de raison 0,9 et de premier terme \np{1000}.
		\item Comme $0 < 0,9 < 1$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
	\end{enumerate}
\item La suite est décroissante et chaque année 10\,\% de la population disparait : à terme
la population va diminuer (de plus en plus lentement) mais sera inférieure à 1 : la
population est menacée d’extinction.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Second modèle}

\begin{enumerate}
\item la population en 2026 est :

$v_2 = 0,9 \times v_1 + 150 = 0,9 \times \np{1000} + 150 = 900 + 150 = \np{1050}$ (singes).
\item On saisit dans la case B3 : $\fbox{=0.9*B2+150}$.
\item On lit dans le tableau $v_{16} \approx 1 417 > \np{1400}$.

La population devrait dépasser \np{1400} individus en 2025 + 16 = 2041.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\bullet~$ La courbe $C$ contient le point de coordonnées (0~;~2), donc $f(2) = 0$.

$\bullet~$ La tangente $T$ contient les points (0~;~12) et (2~;~0) ; son coefficient directeur
égal au nombre dérivé $f'(2)$ est donc $\dfrac{0 - 12}{
2 - 0} = \dfrac{-12}{2} = - 6$.
		\item L’ordonnée à l’origine est égale à 12 et le coefficient directeur est égal à $- 6$,
donc :

$M (x~;~y) \in T$ si $y = - 6x + 12$.

		\item~

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,2.5)
\psframe(8.5,2.5)\psline(0,2)(8.5,2)\psline(2.5,0)(2.5,2.5)
\uput[u](1.25,1.9){$x$}\uput[u](2.7,1.9){$-2$}\uput[u](4.5,1.9){0}\uput[u](6.5,1.9){4}\uput[u](8.4,1.9){6}
\rput(1.25,1){Variations de $f$}\uput[d](4.5,2){8}\uput[u](6.5,0){$-8$}
\psline{->}(2.7,0.4)(4.3,1.75)\psline{->}(4.7,1.75)(6.3,0.4)\psline{->}(6.8,0.4)(8.3,1.75)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une fonction polynôme dérivable pour tout réel $x$ et :

$f'(x) = 3 \times 0,5 \times x^2 - 2 \times 3x = 1,5x^2 - 6x = 1,5x(x - 4)$.
		\item On établit le tableau de signes de cette fonction dérivée :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2)\psline(0,0.5)(8,0.5)\psline(0,1)(8,1)\psline(0,1.5)(8,1.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.4){$x$}
\uput[u](2.2,1.4){$-2$}\uput[u](4,1.4){0}\uput[u](6,1.4){4}\uput[u](7.9,1.4){6}
\uput[u](1,0.9){$1,5x$}\uput[u](3,0.9){$-$}\uput[u](5,0.9){$+$}\uput[u](7,0.9){$+$}
\uput[u](1,0.4){$x - 4$}\uput[u](3,0.4){$-$}\uput[u](5,0.4){$-$}\uput[u](7,0.4){$+$}
\uput[u](1,-0.1){$f'(x)$}\uput[u](3,-0.1){$+$}\uput[u](5,-0.1){$-$}\uput[u](7,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item $f(x) \leqslant - 6x + 12$ sur l’intervalle [0~;~2] : géométriquement la courbe $C$ est au-dessous de la tangente $T$ (en rouge) sur l’intervalle [0~;~2].
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 (X points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L’affirmation est fausse puisque la probabilité est supérieure à 1.
		\item Il y a 15 positifs non dopés sur 20 positifs, soit une probabilité de $\dfrac{15}{
20} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} =$

$\dfrac{3 \times 5 \times 5}{4 \times 5 \times 5} = \dfrac{75}{100}$ : affirmation exacte.
		\item IL y a 15 positifs non dopés et 2 négatifs et dopés : il y a donc en tout $15 + 2$
erreurs, soit une proportion de $\dfrac{17}{200} = \dfrac{8,5}{100} = 8,5\,\%$ : affirmation exacte.
	\end{enumerate}
\item
$\bullet~$la probabilité de réussir les deux services est égale à $0,9 \times 0,9 = 0,81$ ;

$\bullet~$la probabilité de rater les deux services est égale à $0,1 \times 0,1 = 0,01$.

Conclusion : la probabilité de réussir un seul service est donc 

$1 - (0,81 + 0,01) = 1 - 0,82 = 0,18$ : l'affirmation est fausse.
\end{enumerate}
\end{document}