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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours contrôleur des douanes  }
\lfoot{\small{Branche aéronautique : pilote d'avion}}
\rfoot{\small{session 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2015~\decofourright\\[7pt]Branche aéronautique : pilote d'avion}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

%\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}
%
%\textbf{Remarque préliminaire :
%\begin{itemize}
%\item L'usage de la calculatrice est interdit,
%\item Tous les exercices devront être traités,
%\item Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte.
%\end{itemize}
%}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = x^3\e^x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et vers $- \infty$. 

%(On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left|x^3 \e^x\right| = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x$.)
$\bullet~~$On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$,donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$

$\bullet~~$Soit $X$ tel que $X = - x$, alors $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{X \to + \infty} f(X) = - X^3\e^{-X}$.

Or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} X^n\e^{-X} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
\item %Étudier les variations de $f$. Dresser son tableau de variation.
Produit de fonctions dérivables sur $\R$, $f$ l'est aussi et sur cet intervalle :

$f'(x) = 3x^2 \e^x + x^3\e^x = x^2\e^x(3 + x)$.

Comme quel que soit le réel $x, \: x^2\e^x \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3 + x)$ :

$\bullet~~3 + x > 0 \iff x > - 3$ : $f'(x) > 0$ sur $]-3~;~+ \infty[$ et $f$ est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~3 + x < 0 \iff x < - 3$ : $f'(x) < 0$ sur $]-\infty~;~3[$ et $f$ est décroissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~3 + x = 0 \iff x = - 3$ : $f'(-3) = 0, f(- 3) = - 27\e^{-3}\approx - 1,344$ est le minimum de $f$ sur $\R$.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal du plan.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Soit $\mathcal{T}_0$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
On sait que 

$M(x~;~y) \in \mathcal{T}_0 \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$, on a : $M(x~;~y) \in \mathcal{T}_0 \iff y = 0$ (équation de l'axe des abscisses)
		\item %Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-3$.
Soit $\mathcal{T}_{-3}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $- 3$.
On sait que 

$M(x~;~y) \in \mathcal{T}_{-3} \iff y - f(- 3) = f'(-3)(x - (- 3))$.

Avec $f(- 3) = -27\e^{-3}$ et $f'(-3) = 0$, (voir plus haut)  on a : $M(x~;~y) \in \mathcal{T}_{-3} \iff y + 27\e^{-3}= 0 (x + 3) \iff y = - 27\e^{-3}$ (tangente horizontale elle aussi).
		\item %Déduire de la limite de $f(x)$ en $- \infty$ que $\mathcal{C}$ admet une asymptote au voisinage de $- \infty$. Quelle est cette asymptote ?
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ (trouvé à la question 1.) signifie géométriquement que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item % Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$.
Quel que soit $x < 0$, \: $f(x)  = x^3\e^x < 0$ : ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[F(x) = \left(x^3 - 3x^2 + 6x - 6\right)\e^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		$F$ produit d'un fonction polynome et de la fonction exponentielle toutes deux dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle :
		
		$F'(x)c= \left(3x^2 - 6x + 6) \right)\e^x + \left(x^3 - 3x^2 + 6x - 6\right)\e^x = \e^x\left(3x^2 - 6x + 6 + x^3 - 3x^2 + 6x - 6\right) = x^3\e^x = f(x)$.
		
		Ceci montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item %Soit $\mathcal{A}$ l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = -3$.
		
%Calculer $\mathcal{A}$. ($\mathcal{A}$ sera exprimée en unités d'aire u. a.). On rappelle qu'une aire est positive.
Dans l'étude de $f$ on a vu que sur l'intervalle $]- \infty~;~0[, \: f(x) < 0$ donc l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses , la droite d'équation $x = -3$ et la droite d'équation $x = 0$ est égale à l'opposé de l'intégrale $\displaystyle\int_{-3}^0 f(x) \:\text{d}x $, donc à $- \left[F(x)\right]_{-3}^0 = - F(0) + F(-3) = (-27 - 27 - 18 -6)\e^{-3} - \left(-6\e^0\right) = 6 - 78\e^{-3}$.

$\mathcal{A} \approx 2,116$~(u. a).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Une urne contient $n + 8$ boules : $n$ boules noires ($n$ étant un entier au moins égal à deux) et huit boules blanches.

%Tous les tirages effectués sont supposés équiprobables.
%
%On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. Pour chaque boule blanche tirée il gagne un euro, mais pour chaque noire il perd deux euros.

\medskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Dans cette question, le jeu consiste à effectuer deux tirages successifs avec remise: le joueur tire une première boule de l'urne, il la remet dans l'urne, puis il effectue un deuxième tirage.

	\begin{enumerate}
		\item ~
$\bullet~~$S'il tire 2 boules noires il perdra 4~\euro ;

$\bullet~~$S'il tire 1 boule noire et une boule blanche il perdra $2 - 1 = 1$~\euro ;

$\bullet~~$S'il tire 2 boules blanches il gagnera 2~\euro.
%Montrer que le joueur peut, soit gagner deux euros, soit perdre un euro, soit perdre quatre euros. 
		\item %Calculer, en fonction de $n$, la probabilité correspondant à chacun des cas.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~~}\taput{$\frac{8}{8 + n}$}}
	{
	\TR{$B$~~}\taput{$\frac{7}{7 + n}$}
	\TR{$N$~~}\tbput{$\frac{n}{7 + n}$}
	}
\pstree{\TR{$N$~~}\tbput{$\frac{n}{8 + n}$}}
	{
	\TR{$B$~~}\taput{$\frac{8}{7 + n}$}
	\TR{$N$~~}\tbput{$\frac{n-1}{7 + n}$}
	}
}
\end{center}
\bigskip

On a 

$\bullet~~p(N \cap N) = \frac{n}{8 + n} \times \frac{n-1}{7 + n} = \frac{n(n - 1)}{(8 + n)(7 + n)}$ ;

$\bullet~~p(B \cap B) = \frac{8}{8 + n} \times \frac{7}{7 + n} = \frac{56}{(8 + n)(7 + n)}$ ;

$\bullet~~p(B \cap N) =\frac{8}{8 + n} \times \frac{n}{7 + n} +  \frac{n}{8 + n} \times \frac{8}{7 + n} = \frac{8n}{(8 + n)(7 + n)} + \frac{8n}{(8 + n)(7 + n)} = \frac{16n}{(8 + n)(7 + n)}$ ;

		\item %Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque jeu le gain (positif ou négatif) réalisé à l'issue des deux tirages. Calculer, en fonction de $n$, l'espérance mathématique de $X$.
On a $E(X) = -4 \times \frac{n(n - 1)}{(8 + n)(7 + n)} - 1 \times \frac{56}{(8 + n)(7 + n)} + 2 \times \frac{16n}{(8 + n)(7 + n)} = \dfrac{-4n(n - 1) - 56 + 2 \times 16n}{(8 + n)(7 + n)} = \dfrac{- 4n^2 + 4n - 56 + 32n}{(8 + n)(7 + n)} = \dfrac{- 4n^2 + 36n - 56}{(8 + n)(7 + n)}$.

%Y a-t-il une valeur de $n$ pour laquelle cette espérance est nulle ? Si oui, la donner.
$E(X) = 0 \iff - 4n^2 + 36n - 56 = 0 \iff -4\left(n^2 - 9n + 14 \right) = 0 \iff n^2 - 9n + 14  = 0$.
Si ce trinôme a des racines entières elles ne peuvent être que des diviseurs de 14 : 1 et 14 ne sont pas solutions mais 2 et 7 oui car $2^2 - 9\times 2 + 14 = 18 - 18 = 0$ et $7^2 - 9\times 7 + 14 = 63 - 63 = 0$. 

Conclusion : $E(X) = 0\iff n = 2 \: \text{ou }\: x = 7$.

Le jeu est équitable avec 2 ou 7 boules noires.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $n$ est fixé égal à 6 (il y a donc 6 boules noires et 8 blanches dans l'urne).

%Le joueur tire maintenant trois boules simultanément et il n'effectue qu'un seul tirage.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer qu'il peut, soit gagner trois euros, soit perdre six euros, soit perdre trois euros, soit ne rien gagner ni ne rien perdre.
		$\bullet~~$S'il tire 3 boules noires il perdra 6~\euro ;

$\bullet~~$S'il tire 2 boules noires et une boule blanche il perdra $4 - 1 = 3$~\euro ;

$\bullet~~$S'il tire 1 boule noire et deux boule blanche il perdra ou gagnera 2 - 2 = 0 $4 - 1 = 3$~\euro ;

$\bullet~~$S'il tire 3 boules blanches il gagnera 3~\euro.
		\item~ %Calculer la probabilité correspondant à chaque cas. Les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~}\taput{$\frac{8}{14}$}}
	{\pstree{\TR{$B$}\taput{$\frac{7}{13}$}}
		{\TR{$B$}\taput{$\frac{6}{12}$}
		\TR{$N$}\tbput{$\frac{6}{12}$}
		}
	\pstree{\TR{$N$}\tbput{$\frac{6}{13}$}}
		{\TR{$B$}\taput{$\frac{7}{12}$}
		\TR{$N$}\tbput{$\frac{5}{12}$}
		}
	}
\pstree{\TR{$N$~}\tbput{$\frac{6}{14}$}}
	{\pstree{\TR{$B$}\taput{$\frac{8}{13}$}}
		{\TR{$B$}\taput{$\frac{7}{12}$}
		\TR{$N$}\tbput{$\frac{5}{12}$}
		}
	
	\pstree{\TR{$N$}\tbput{$\frac{5}{13}$}}
		{\TR{$B$}\taput{$\frac{8}{12}$}
		\TR{$N$}\tbput{$\frac{4}{12}$}
		}
	}
}
\end{center}	

\medskip

$\bullet~~p(B \cap B \cap B) = \frac{8}{14} \times \frac{7}{13} \times\frac{6}{12} \frac{2}{13}$.

$\bullet~~p(B \cap B \cap N) = \frac{8}{14} \times \frac{7}{13} \times\frac{6}{12} + \frac{8}{14} \times \frac{6}{13} \times\frac{7}{12} + \frac{6}{14} \times \frac{8}{13} \times\frac{7}{12} = \frac{6}{13}$.

$\bullet~~p(B \cap N \cap N) = \frac{8}{14} \times \frac{6}{13} \times\frac{5}{12} + \frac{6}{14} \times \frac{8}{13} \times\frac{5}{12} + \frac{6}{14} \times \frac{5}{13} \times\frac{8}{12} = \frac{30}{91}$.

$\bullet~~p(N \cap N \cap N) = \frac{6}{14} \times \frac{5}{13} \times\frac{4}{12} = \frac{5}{91}$.

Vérification : $\frac{2}{13} + \frac{6}{13} + \frac{30}{91} + \frac{5}{91} = \frac{8}{13} + \frac{35}{91} = \frac{56}{91} + \frac{35}{91} = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

%On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies sur l'ensemble des entiers naturels $n$ non nuls par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=& \sin \left(\dfrac{1}{n^2}\right) + \sin \left(\dfrac{2}{n^2}\right) + \ldots + \sin \left(\dfrac{n}{n^2}\right)\\
v_n &=& \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \ldots + \dfrac{n}{n^2}.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ converge vers 0,5.
On a $v_n = \dfrac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2}$ et l'on sait que $1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$, donc :

$v_n = \dfrac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \dfrac{n(n+1)}{2n^2} = \dfrac{n^2 + n}{2n^2} = \dfrac12 + \dfrac{1}{2n}$.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{2n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = \dfrac12$.
\item %On souhaite démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
	\begin{enumerate}
		\item $f,\: g$ et $h$ sont les fonctions définies sur $\R$ par : 
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x)&=&x - \sin x,\\
g(x)& =& - 1 + \cos x+ \dfrac{x^2}{2}\\
\text{et}\: h(x) &=& - x + \sin x + \dfrac{x^3}{6}.
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

%Démontrer que ces trois fonctions ne prennent que des valeurs positives ou nulles sur $[0~;~+ \infty[$. (Utiliser les variations de ces fonctions.)
$\bullet~~f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $f'(x) = 1 - \cos x$.

Comme $- 1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, alors $- 1 \leqslant - \cos x \leqslant 1$ et en ajoutant 1 : $0 \leqslant 1 - \cos x \leqslant 2$ : donc $f'(x) \geqslant 0$.

$f$ est donc croissante en particulier sur $[0~;~+ \infty[$ de 0 à plus l'infini, donc $f(x) \geqslant 0$.

$\bullet~~g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $g'(x) = - \sin x + x = f(x)$ qui on vient de le voir est positive sur $[0~;~+ \infty[$ ; la fonction est donc croissante de $g(0) = 0$ à plus l'infini : on a également $g(x) \geqslant 0$.

$\bullet~~h$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle $h'(x) = - 1 + \cos x + \dfrac{x^2}{2} = $

$g(x) \geqslant 0$ sur $[0~;~+ \infty[$, donc $h$ est elle aussi croissante à partir de $h(0) = 0$, donc sur $[0~;~+ \infty[, \: h(x) \geqslant 0$.
		\item %Justifier que pour tout $n \geqslant 1$, \:  $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 \leqslant n^4$. (On pourra utiliser un raisonnement par récurrence.)
\emph{initialisation} : pour $n = 1, \: 1^3 \leqslant 1^4$ : l'inégalité est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité} : soit $n \geqslant 1$ et supposons que $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 \leqslant n^4$, alors $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 \leqslant n^4 + (n + 1)^3$ ou 
$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 \leqslant n^4 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1$.

Or $(n + 1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$.

Comme $n^3 < 4n^3, \: 3n^2 < 6n^2$ et $3n < 4n$ en sommant membre à membre on obtient :

$1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 < (n + 1)^4$ : l'inégalité est vraie au rang $n + 1$.

L'inégalité est vraie au rang 1 et si elle est vraie à un rang au moins égal à 1, elle l'est aussi au rang suivant : d'après le principe de récurrence :

pour tout $n \geqslant 1$, \:  $1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 \leqslant n^4$.

%Déduire de l'étude des fonctions $f$ et $h$ faite au a. que pour tout entier naturel $n$ non nul on a l'inégalité 
%\[v_n - \frac{1}{6n^2} \leqslant  u_n \leqslant v_n.\]

$\bullet~~$On a démontré que sur $[0~;~+ \infty[, \: f(x) > 0 \iff x - \sin x > 0 \iff x > \sin x$. On a donc :

$\frac{1}{n^2} > \sin \frac{1}{n^2}$ ;

$\frac{2}{n^2} > \sin \frac{2}{n^2}$ ;

\ldots\ldots\ldots\ldots

$\frac{n}{n^2} > \sin \frac{n}{n^2}$ ; d'où en sommant membre à membre :

$v_n > u_n \iff u_n < v_n$

$\bullet~~$On a démontré que sur $[0~;~+ \infty[, \: h(x) > 0 \iff - x + \sin x  + \dfrac{x^3}{6} > 0 \iff$

$x < \sin x + \dfrac{x^3}{6}$. On a donc :

$\frac{1}{n^2} < \sin \frac{1}{n^2} + \dfrac{1}{6n^6}\times 1^3$ ;

$\frac{2}{n^2} < \sin \frac{2}{n^2} + \dfrac{1}{6n^6}\times 2^3$ ;

\ldots\ldots\ldots\ldots

$\frac{n}{n^2} < \sin \frac{n}{n^2}+ \dfrac{1}{6n^6}\times n^3$ ; d'où en sommant membre à membre :

$v_n < u_n  + \dfrac{1}{6n^6}\left(1^3 + 2^3 + \ldots + n^3\right)$.

Or on vient de démontrer que pour $x \geqslant 0, \: 1^3 + 2^3 + \ldots + x^3 < x^4$, donc en remplaçant dans l'inéquation précédente :

$v_n < u_n + \dfrac{1}{6n^6}\times n^4 \iff v_n < u_n + \dfrac{1}{6n^2} \iff v_n - \dfrac{1}{6n^2} < u_n $.

Finalement pour tout naturel :

$v_n - \frac{1}{6n^2} \leqslant  u_n \leqslant v_n.$

		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. Quelle est sa limite ?
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{6n^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n - \dfrac{1}{6n^2} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = \dfrac12$.
		
Conclusion : d'après le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \dfrac12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

%Une usine fabrique des pièces dont 1\,\% sont défectueuses.
%
%Après fabrication, chaque pièce, bonne ou défectueuse, est envoyée à un service de contrôle. Le contrôle s'effectue de la manière suivante:
%
%\begin{itemize}
%\item sachant qu'une pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de $0,97$ ;
%\item sachant qu'une pièce est défectueuse, elle est refusée avec une probabilité de $0,99$.
%\end{itemize}
%
%\medskip
Arbre pondéré avec :

-- évènement $B$ : \og la pièce est bonne \fg{} ;

--évènement $T$ :  \og la pièce est acceptée par le test \fg{} ;

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cmcm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B~~$} \taput{0,99}}
	{\TR{$T~~$}\taput{0,97}
	\TR{$\overline{T}~~$}\tbput{0,03}
	}
\pstree{\TR{$\overline{B}~~$} \tbput{0,01}}
	{\TR{$T~~$}\taput{0,01}
	\TR{$\overline{T}~~$}\tbput{0,99}
	}
}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité pour qu'une pièce soit défectueuse et acceptée? 
Il faut trouver $p\left(\overline{B} \cap \overline{T} \right) = p\left(\overline{B} \right) \times p_{\overline{B}}\left(\overline{T}\right) = 0,01 \times 0,99 = \np{0,0099}$.
		\item %Quelle est la probabilité pour qu'une pièce soit bonne et refusée ?
On a $p\left(B \cap \overline{T}\right) = p(B) \times p_B\left(\overline{T}\right) = 0,99 \times 0,03 = \np{0,0297}$.
		\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait une erreur dans le contrôle ?
		On a $p\left(B \cap \overline{T}\right)  + p\left(\overline{B} \cap \overline{T} \right) =  \np{0,0099} + \np{0,0297} = \np{0,0396}$ soit un peu moins de 4\,\%.
	\end{enumerate}
\item %Si l'on effectue cinq contrôles de suite, quelle est la probabilité pour qu'il y ait exactement deux erreurs de contrôle? (On pourra donner le résultat sous la forme d'un produit de puissances de nombres réels)
On peut considérer que l'on a une épreuve de Bernoulli  la variable donnant le nombre d'erreurs suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n = 5~;~p = \np{0,0396})$.

La probabilité qu'il y ait 2 erreurs sur 5 contrôles est donc égale à :

$\binom{5}{2} \times \np{0,0396}^2 \times (1 - \np{0,0396})^{5-2} = 10 \times \np{0,0396}^2 \times \np{0,9604}^3 \approx \np{0,0139}$  donc un peu moins de 1,5\:\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \ln (1 + x).\]

On note $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1} = \ln \left(1 + u_n\right)$.

On donne les valeurs approchées au centième près par défaut suivantes : 
\[\ln 2 \approx 0,69\quad ;\quad \ln 3 \approx 1,09.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$.
$f$ est définie et dérivable sur $]-1~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{1}{1 + x} > 0$ donc $f$ est strictement croissante de moins l'infini (quand $x$ tend vers$- 1$ , $1 + x$ tend vers 0 et $\ln (1 + x)$ tend vers moins l'infini à plus l'infini en s'annulant en $x = 0$ puisque $f(0)  = \ln 1 = 0$.
\item %À l'aide des valeurs $f(0),\: f(1)$ et $f(2)$ (approchées si besoin), tracer dans un repère orthonormal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$, restreinte à l'intervalle [0~;~2].

%Tracer dans ce même repère la droite $D$ d'équation $y = x$, restreinte à l'intervalle [0~;~2].

%Placer le point A de coordonnées $\left(u_0~;~0\right)$.

%Construire les points de l'axe des abscisses d'abscisses respectives $u_1,\: u_2, u_3$ et $u_4$ en laissant les traits de construction apparents.
Avec $f(0) = 0, \quad f(1) = \ln 2 \approx 069$ et $f(2) = \ln (1 + 2) = \ln 3 \approx 1,09$ :

\begin{center}
\psset{unit=5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(2.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(2.2,2.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{2}{1 x add ln}\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.}{2}{x}
\psdots[linecolor=green](2,0)\uput[dr](2,0){\green $u_0$}\uput[ul](2,0){\green A}
\psdots[linecolor=red](0,0)(1,0.69)(2,1.09)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](2,0)(2,1.098)(1.098,1.098)(1.098,0.741)(0.741,0.741)(0.741,0.555)(0.555,0.555)(0.555,0.441)(0.441,0.441)(0.441,0.365)
\psline[linewidth=0.4pt]{->}(1.098,1.098)(1.098,0)\uput[d](1.098,0){\green $u_1$}
\psline[linewidth=0.4pt]{->}(0.741,0.741)(0.741,0)\uput[d](0.741,0){\green $u_2$}
\psline[linewidth=0.4pt]{->}(0.555,0.555)(0.555,0)\uput[d](0.555,0){\green $u_3$}
\psline[linewidth=0.4pt]{->}(0.441,0.441)(0.441,0)\uput[d](0.441,0){\green $u_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Que peut-on prévoir pour le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ ?
On peut envisager une limite nulle pour la suite $\left(u_n\right)$.
\item %À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n$ est strictement positif.
\emph{Initialisation} : $u_0 = 2 > 0$ la proposition est vraie au rang 0.

\emph{Hérédité} : Supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_n > 0$, alors $1 + u_n > 1$ d'où par croissance de la fonction logarithme népérien : $\ln (1 + u_n) > \ln 1$ ou encore $u_{n+1} > 0$ : la proposition est vraie au rang $n + 1$

\emph{Conclusion} : la proposition est vraie au rang 0 et si elle vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence pour tout entier naturel $n,\: u_n > 0$.
\item %Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par:
\[g(x) = \ln (1 + x) - x.\]
Différence de deux fonctions dérivables sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ la fonction $g$ est dérivable et sur cet intervalle :

$g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{1}{1 + x} - 1 = \dfrac{1 - 1 - x}{1 + x} = - \dfrac{x}{1 + x}$.

Comme $1 + x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $- x$, donc :

$\bullet~~$si $-1 < x < 0, \quad - x > 0$ et $g'(x) > 0$ : par suite la fonction $g$ est croissante sur $]-1~;~0[$ de moins l'infini à $g(0) = 0$.

$\bullet~~$si $x > 0$, alors $- x < 0$ et $g'(x) < 0$ : donc la fonction $g$ est décroissante sur $]0~;~+ \infty]$ de 0 à moins l'infini..

%Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif on a :
%\[0 < \ln (1 + x) < x.\]
On vient de démontrer que $x > 0 \Rightarrow g(x) < g(0) = 0$ soit $\ln(1 + x) - x < 0 \iff$

$ \ln(1 + x) < x$.

D'autre part $x > 0 \Rightarrow 1 + x > 1 \Rightarrow \ln (1 + x) > \ln 1 = 0$, donc finalement 

Si $x > 0$, alors $0 < \ln(1 + x) < x$.
%En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
On a démontré que quel que soit $n \in \N, \quad u_n > 0$, donc $g\left(u_n\right) <  g(0)$.

Or $g(0) = \ln (1 + 0) - 0 = \ln 1 = 0$, donc $ \ln (1 + u_n) - u_n < 0 \iff \ln \left(1 + u_n\right) < u_n \iff u_{n+1} < u_n$ ce qui démontre que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\item %Déduire de ce qui précède que la suite $\left(u_n\right)$ converge et que sa limite est $0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par zéro : elle converge donc vers un réel $\ell \geqslant 0$.

Par continuité la double inégalité $0 < \ln (1 + u_n) < u_n$ donne $\ln(1 + \ell) = \ell \iff$

$ \ln (1 + \ell) - \ell = 0 \iff g(\ell) = 0$.

Or l'étude de la fonction $g$ a montré que celle-ci a un maximum unique $0$ obteu pour $x = 0$, soit ici $\ell = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_n = 0$.
\end{enumerate}

\end{document}