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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours surveillance et aéronautique : pilote d'avion }
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours contrôleur des douanes session 2012~\decofourright\\[7pt]Concours : surveillance et aéronautique  : pilote d'avion }\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :\\
%-- L'usage de la calculatrice est interdit,\\
%-- Tous les exercices devront être traités,\\
%-- Chaque réponse devra être rigoureusement justifiée et devra être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte.
%}
%
%\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit la fonction $f : \R \to  \R$ définie par 
\[f(x) = 2^{\sin^2 x} - \cos x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Calculez numériquement les valeurs de $f(x)$ pour
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $f0) = 2^{\sin^2 (0)} - \cos 0 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ ;
\item $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2^1 - 0 = 2$ ;
\item $f(\pi) = 2^{(-1)^2} - (-1) = 2^{(-1)^2}  - 0 = 2^1 = 2$ ;
\item $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2^1 - 0 = 2 $; 
\item $f(2\pi) = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
\end{itemize}

\[x = 0, \quad x = \dfrac{\pi}{2},\quad x = \pi, \quad,  x = \dfrac{3\pi}{2}, \quad x = 2\pi.\]
\item %En détaillant votre réponse, calculez les valeurs de $x \in ]0~;~2\pi]$ pour lesquelles $f$ s'annule.
Comme $- 1 \leqslant \cos x \leqslant 1, \: f$ s'annule uniquement si $2^{\sin ^2 x} = 1$ ou $2^{\sin ^2 x} = - 1$.

Or $\bullet~~2^{\sin ^2 x} = 1 \iff \sin^2 x = 0 \iff \sin x = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2\pi$.

On retrouve les deux solutions de la première question ;

$\bullet~~2^{\sin^2 x} = -1$ : ceci n'est pas possible car $2^{\sin^2 x} \geqslant 1$ et $- 1 < 0$.

Donc sur l'intervalle $]0~;~2\pi[$, l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution.
\item %En remarquant que $f$ est périodique de périodicité $2\pi$, donnez l'ensemble des nombres réels racines de $f$.
Comme $\sin(x + 2\pi) = \sin x $ et $\cos (x + 2\pi) = \cos x$, on en déduit que la fonction $f$ est $2\pi-$périodique.

Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont les réels de la forme $0 + 2k\pi$, \: avec $k \in \Z$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

%On considère un dé à six faces pipé.
%
%La probabilité d'obtenir l'une des face est proportionnelle au chiffre inscrit dessus.
%
%\emph{Dans cet exercice, les résultats devront être exprimés sous  forme de fractions irréductibles.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On lance le dé. Calculer la probabilité $p_i$ d'obtenir la face $i$.
D'après l'énoncé on a $p_i = k \times i$, avec $k \in \R$.

Or on a $p_2 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6  = 1 \iff k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6x = 1 \iff 21k = 1 \iff k = \dfrac{1}{21}$.

On a donc pour $1 \leqslant i \leqslant 6\: : p_i = \dfrac{i}{21}$.
\item On a $p(\text{impair} = p_1 + p_3 + p_5 = \dfrac{1}{21} + \dfrac{3}{21} + \dfrac{5}{21} = \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}$.
%Quelle est la probabilité d'obtenir une face impaire ?

%Justifiez que la probabilité d'obtenir une face paire est de $\dfrac47$.
On a donc $p(\text{pair}) = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac47$.
%\item On joue à un jeu avec ce dé.
%
%Si une face paire sort, le joueur gagne 100\,\% de sa mise.
%
%Si une face impaire sort, le joueur perd 50\,\% de sa mise.
%
%Une partie se déroule en trois jets de dés successifs. 
%
%Le joueur dispose d'une somme d'argent en début de partie. Il est obligé de parier la totalité de son argent à chaque jet de dé.
	\begin{enumerate}
		\item %Détaillez de combien Sophie dispose à l'issue de chaque jet de dé. Donnez, en les justifiant ces résultats sous forme d'un arbre.
		Sophie dispose au départ d'une somme $S$ : voici l'arbre pondéré donnant les gains (ou pertes) à chaque lancer :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{$S~~$}}
{\pstree{\TR{$P~~2S$~~}\taput{$\frac47$}}
	{\pstree{\TR{$P~~4S$~~}\taput{$\frac47$}}
		{\TR{$P~~8S~~$}\taput{$\frac47$}
		\TR{$\overline{P}~~2S~~$}\tbput{$\frac37$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{P}~~S$}\tbput{$\frac37$}}
		{\TR{$P~~2S~~$}\taput{$\frac47$}
			\TR{$\overline{P}~~\dfrac{S}{2}~~$}\tbput{$\frac37$}
		}
	}
\pstree{\TR{$\overline{P}~~\dfrac{S}{2}~~$}\tbput{$\frac37$}}
	{\pstree{\TR{$P~~S$~~}\taput{$\frac47$}}
		{\TR{$P~~2S$~~}\taput{$\frac47$}
		\TR{$\overline{P}~~\dfrac{S}{2}~~$}\tbput{$\frac37$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{P}~~\frac{S}{4}~~$}\tbput{$\frac37$}}
		{\TR{$P~~\dfrac{S}{2}~~$}\taput{$\frac47$}
		\TR{$\overline{P}~~\dfrac{S}{8}~~$}\tbput{$\frac37$}
		}
	}
}
\end{center}
		

		\item %Quelle est la probabilité associée à chacun des gains possibles à l'issue du troisième jet de dé.
		On a $p(8S) = \left(\dfrac47\right)^3 = \dfrac{64}{343}$ ;

$p(2S) = 3 \times \left(\dfrac47\right)^2\times \dfrac37 = \dfrac{144}{343}$ ;

$p\left(\dfrac S2\right) =  3 \times \left(\dfrac47\right)\times \left(\dfrac37\right)^2 = \dfrac{108}{343}$ ;

$p\left(\dfrac S8\right) = \left(\dfrac37\right)^3 = \dfrac{27}{343}$.

		\item %Ce jeu est-il en faveur ou défaveur de Sophie ? Justifiez.
		La probabilité de gagner est égale à :
		
$p(8S) + p(2S) = \dfrac{64}{343} + \dfrac{144}{343} = \dfrac{208}{343} \approx 0,61$.

61\,\% de chances de gagner sur un grand nombre de parties donc 39\,\% de chances de perdre ; le jeu est en faveur de Sophie.
		\item %Si le dé n'était pas pipé, le jeu serait-il en faveur ou en défaveur de Sophie ? Justifiez.
		
Trois faces portant un nombre pair donc 3 faces portant un nombre impair, donc $p(\text{pair}) = p(\text{impair})  = \dfrac12 = 0,5$.
		
	Sophie aura donc 1 chance sur 2 de gagner et 1 chance sur 2 de perdre : le jeu sera équilibré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

En vous aidant des propriétés de la fonction exponentielle, répondez en détaillant vos calculs aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelles sont dans $\R$ les solutions -- si elles existent-- de l'équation 
%\[x^{\sqrt x} = \left(\sqrt x\right)^x.\]

Si $x > 0$, \: $x^{\sqrt x} = \left(\sqrt x\right)^x\iff \e{\sqrt x \ln x} = \e^{x \ln x }$ si $x > 0$ et par croissance de la fonction logarithme népérien $\sqrt x \ln x = x \ln \sqrt x$ ou $\sqrt x \ln x = \dfrac12 x \ln x \iff \sqrt x = 2 \iff x = 4$.

$S = \{4\}$. (Effectivement : $4^2 = 2^4$).
\item Calculez la limite quand  $x \to + \infty$ de la fonction $f$ définie par 
\[f(x) = \dfrac{\left(x^x \right)^x}{x^{\left(x^x\right)}} ?\]

$\dfrac{\left(x^x \right)^x}{x^{\left(x^x\right)}} = \dfrac{\left(\e^{x\ln x}\right)^x}{\e^{x^x \ln x}} = \dfrac{\e^{x\left(\ln\left(\e^{x\ln x}\right)\right)}}{\e^{x^x \ln x}}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{x^x} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Or $\ln \left(\e^{x\ln x }\right) = x \ln x$, donc le quotient est égal à : $\dfrac{\e^{x^2\ln x}}{\e^{x^x \ln x}}$

\item Quelle est la solution -- si elle existe -- de l'équation
\[x^{\frac{\ln (\ln x)}{\ln x}} = \sin ^2 x + \cos^2 x.\]

$x^{\frac{\ln (\ln x)}{\ln x}} = \sin ^2 x + \cos^2 x\iff \e^{\frac{\ln (\ln x)}{\ln x} \ln x} = 1 \iff \e^{\ln (\ln x)} = 1$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$\ln(\ln x) = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \iff x = \e$.\: $S = \{\e\}$
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Soit la fonction réelle
\[f(x)= \dfrac{\ln(x)}{x}.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donnez le domaine de définition de $f$.
$\ln x $ existe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dans ce cas le dénominateur est non nul : $\mathcal{D}_f = ]0~;~+ \infty[$.
\item %Calculez la dérivée de $f$ et donnez son domaine de définition.
$f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$, le dénominateur étant non nul.

Sur cet ensemble : $f'(x) = \dfrac{\frac 1x\times x - 1\times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$. $\mathcal{D}_{f'} = ]0~;~+ \infty[$.
\item %Étudiez le signe de la dérivée de $f$ et déduisez-en les variations de $f$.
Le dénominateur étant positif le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $1 - \ln x$ :

$\bullet~~1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \e > x \iff x < \e$.

$f'(x) > 0$ sur l'intervalle $]0~;~\e[$, donc $f$ est croissante sur cet intervalle.

$\bullet~~1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff \e < x \iff x > \e$.

$f'(x) < 0$ sur l'intervalle $]\e~;~+ \infty[$, donc $f$ est décroissante sur cet intervalle.

$\bullet~~1 - \ln x = 0 \iff x = \e \::\: f(\e) = \frac{\ln \e}{\e} = \dfrac{1}{\e} = \e^{-1}$ est le maximum de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'équation 
\[n^p= p^n,\]
 où $p$ et $n$ sont des entiers naturels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les propriétés du logarithme népérien et de la fonction exponentielle, réexprimez l'équation sous la forme de quotients.
En utilisant la définition $a^b = \e^{b \ln a}$, on a :

Pour $n \in \N^*, \: p \in \N^*,\: \:n^p= p^n \iff \e^{p \ln n} = \e^{n \ln p} \iff p \ln n = n \ln p$ (par croissance de la fonction exponentielle) ou encore $\dfrac{\ln n}{n} = \dfrac{\ln p}{p}$.

$\ln (4) = \ln 2^2 = 2\ln 2$.

%Exprimez $\ln (4)$ en fonction de $\ln (2)$.
\item %En utilisant les résultats obtenus dans la partie A, prouvez que l'équation $n^p= p^n$ n'admet qu'une seule solution $(n~;~p)$ avec $n \in \N$ et $p \in \N$. Donnez cette solution.
Le résultat précédent montre qu'il faut trouver deux naturels ayant la même image par la fonction $f$ : \: $f(n) = f(p)$.

Le tableau de variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize= 2pt 3}
\begin{pspicture}(13,2.5)
\psframe(13,2.5)\psline(0,2)(13,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=red](1.075,0)(1.075,2)
\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=red](1.125,0)(1.125,2)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.1,1.9){0} \uput[u](3,1.9){1} \uput[u](5,1.9){2} \uput[u](7,1.9){e}\uput[u](9,1.9){3} \uput[u](11,1.9){4}\uput[u](12.5,1.9){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\rput(3,0.8){0}\uput[d](7,2){$\e^{-1}$}\uput[u](12.8,0){$0$}
\psline{->}(1.4,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(12.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

montre que pour tout réel $a \in \left]0~;~\e^{-1}\right[$, il existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires deux réels $\alpha \in ]0~;~\e[$ et $\beta \in ]\e~;~+ \infty[$ tels que $f(\alpha) = f(\beta) = a$.

Or on cherche des solutions naturelles  : entre 0 et e il n'y a que 1 qui est exclu car $f(1) = 0$ et il n'existe pas de naturel supérieur à e tel son image soit égale à 0.

Il ne reste donc que 2 et $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2}$.

Or on a vu que $\ln 4 = 2 \ln 2$, donc $f(4) = \dfrac{\ln 4}{4} = \dfrac{2\ln 2}{2 \times } =  \dfrac{\ln 2}{2}$.

Conclusion les solutions sont (2~;~4) ou (4~;~2). Effectivement $2^4 = 4^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5}

\medskip

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies sur $\N$ par

\begin{center}$u_0 = 2, \quad v_n = \dfrac{2}{u_n}$\quad et \quad $u_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2}$\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrez par récurrence que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont minorées par 1 et majorées par 2.
\emph{Initialisation} :

$\bullet u_0 = 2$, donc $1\leqslant u_0 \leqslant 2$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;

$\bullet v_0 = \dfrac22 = 1$, donc $1\leqslant v_0 \leqslant 2$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;

\emph{Hérédité} : 

$\bullet~~$ On suppose que pour $n \in \N,\: 1 \leqslant u_n \leqslant 2 \quad (1)\iff \dfrac12 \leqslant \dfrac{1}{u_0} \leqslant \dfrac11 \iff$

$ 1 \leqslant \dfrac{2}{u_n} \leqslant 2 \iff 1 \leqslant v_n \leqslant 2 \quad (2)$.

En sommant les encadrements de nombres positifs (1) et (2), on obtient :

$2 \leqslant u_n + v_n\leqslant 4 \iff 1 \leqslant \dfrac{u_n + v_n}{2} \leqslant 2$, soit finalement $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ : l'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

$\bullet~~$ On suppose de même que pour $n \in \N,\: 1 \leqslant v_n \leqslant 2$ mais alors comme précédemment on a $1 \leqslant u_n \leqslant 2$ puis d’après le point précédent  $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ et en passant aux inverses puis en multipliant par 2, on obtient  $1 \leqslant v_{n+1} \leqslant 2$.

Conclusion : les encadrements sont vrais au rang 0
 et s’ils sont vrais au rang $n$, ils le sont aussi au rang $n+ 1$.
 
 D’après le principe de récurrence quel que soit le naturel $n$, \: $1 \leqslant u_n \leqslant 2$ et $1 \leqslant v_n \leqslant 2$.
 \item %Montrez que pour tout $n \in \N, \quad  u_{n+1} - v_{n + 1} = \dfrac{\left(u_n - v_n\right)^2}{2\left(u_n  v_n\right)}$.

%Indication: remarquez que $v_n = \dfrac{2}{u_n} \iff v_n u_n = 2$.
Pour tout $n \in \N, \quad  u_{n+1} - v_{n + 1} = u_{n + 1} - \dfrac{2}{u_{n+1}}  =\dfrac{u_{n+1}^2 - 2}{u_{n+1}}  = \dfrac{\frac{\left(u_n + v_n \right)^2}{4} - 2}{\frac{u_n + v_n}{2}}$.

En remplaçant $2$ par  $u_nv_n$ on obtient 

$u_{n+1} - v_{n + 1} = \dfrac{\left(u_n + v_n \right)^2 - 4u_nv_n}{2\left( u_n + v_n\right)} = \dfrac{u+_n^2 + v_n^2 + 2u_nv_n - 4u_nv_n}{2\left( u_n + v_n\right)} = \dfrac{\left(u_n - v_n\right)^2}{2\left(u_n  v_n\right)}$.
\item %Montrez que pour tout $n \in \N, \: u_n > v_n$.
L’égalité précédente montre que pour tout $n \in \N, \: u_{n+1} - v_{n+1}$ est positif comme quotient de deux termes positifs.

On sait que $u_0 > v_0$ et on montre facilement par récurrence de $u_n - v_n > 0$ que $u_{n+1} - v_{n+1} > 0$.

Donc $u_n > v_n$ quel que soit $n \in \N$.
\item %Montrez que $\left(u_n\right)$ est décroissante et $\left(v_n\right)$ croissante.
$\bullet~~u_{n+1} - u_n  = \dfrac{u_n + v_n}{2} - u_n = \dfrac{v_n - u_n}{2}$ : or on vient de voir que $u_n > v_n \iff u_n - v_n > 0 \iff v_n - u_n < 0$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$ ce qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

$\bullet~~v_{n+1} - v_n = \dfrac{2}{u_{n+1}} - \dfrac{2}{u_{n}} = \dfrac{2\left(u_n - u_{n+1}\right)}{u_nu_{n+1}}$.

Or on vient de démontrer que $u_n - u_{n+1} > 0$ et on sait que $u_nu_{n+1} > 0$, donc finalement $v_{n+1} - v_n > 0$ ce qui montre que la suite $\left(v_n\right)$  est croissante.
\item %On considère la relation suivante: $u_n - v_n \leqslant  \dfrac{1}{4^n}$ pour tout $n \in \N$. (On ne demande pas de démontrer cette relation)

%En déduire un encadrement de $u_n- v_n$.
On a vu que pour tout $n \in \N$, \: $u_n - v_n > 0$, donc on a 

$0 < u_n - v_n < \leqslant  \dfrac{1}{4^n}$
\item %Calculez la limite de la suite $(\left(w_n\right)$ définie par $w_n = u_n - v_n$.

%Qu'en déduisez-vous ?
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{4^n} = 0$, donc d’après le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}w_n = 0$.
\item %En déduire la limite des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Justifiez.
Les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont adjacentes (l’une est croissante, l’autre décroissante et la limite de leur différence est égale à 0) : elles ont donc la même limite $\ell$.

Par continuité la relation $v_{n} = \dfrac{2}{u_n}$, donne $\ell = \dfrac{2}{\ell} \iff \ell^2 = 2 \Rightarrow \ell = 2$ (la solution 

$\ell = - \sqrt 2$ n’est pas valide car la limite est positive).
\end{enumerate}
\end{document}