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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture François Hache
%Merci à Ronan Charpentier pour le sujet
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{septembre 2020}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier  septembre 2020}  
\end{center}
%Corrigé Ronan Charpentier
\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A. Statistiques à 2 variables}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire de cette nouvelle série $(t~;~z)$ est $r_2 \approx 0,999$, ce qui est plus proche de 1 (en valeur absolue) que le coefficient de corrélation $r_1=0,865$ de la série $(t;T)$, c'est pourquoi le changement de variable est pertinent.
\item Une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ selon la méthode des moindres carrés 

est $z = 0,251t + 0,016$, avec des coefficients arrondis au millième.
\item Alors $z=\ln\left(\dfrac{\np{1500}}{\np{1500}-T}\right)$ donc $\ln\left(\dfrac{\np{1500}-T}{\np{1500}}\right)=-z$ donc $1 -\dfrac{T}{\np{1500}}=\text{e}^{-z}$ 
et $T= \np{1500}\left(1-\text{e}^{-z}\right)$

soit $T= \np{1500} - \np{1500} \text{e}^{-(0,251t+0,016)}= \np{1500} - \np{1500} \text{e}^{-0,016} \text{e}^{-0,251t}$ 

donc $T=A e^{-0,251 t}+ \np{1500}$ où $A=- \np{1500} \text{e}^{-0,016} \approx \np{1476}$ arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right) :\,  y' + 0,25y = 0$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-0,25 t}$ où $k \in \mathbb{R}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $g(t) = \np{1500}$ donc $g'(t)+0,25 g(t)=0+0,25 \times \np{1500} = 375$
		
donc $g$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-0,25 t}+ \np{1500}$.
 	\end{enumerate}
\item La condition initiale $h(0)=24$ donne $k \text{e}^{-0,25 \times 0}+ \np{1500} = 24$ donc $k=-1476$

par conséquent $h(t)=-1476 \text{e}^{-0,25t}+ \np{1500}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(t) = 369 \text{e}^{-0,25t}$ or $\text{e}^{-0,25t}>0$ donc $f'(t)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = \np{1500}$ 
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont l'équation est $y = \np{1500}$
		\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est
$y = 369t + 24$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D. Étude d'une suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-24=0,9 u_n +2,4 -24=0,9 u_n -21,6 =0,9 (u_n -24)=0,9 v_n$ 

donc $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,9 ; son premier terme est $v_0=u_0-24=1500-24=1476$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On en déduit que $v_n= 1476 \times 0,9 ^n$,
		\item or $u_n=v_n+24$ donc pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{1476} \times 0,9^n + 24$.
	\end{enumerate}
\item  $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} 0,9 ^n =0$ donc par produit $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} 1476 \times 0,9 ^n =0$ et par somme $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =24$.

A long terme la température se rapproche de 24 °C.
\item  En sortie de l'algorithme, la valeur de $n$ est $70$, ce qui signifie que la température descend en dessous de 25 °C au bout de 70 minutes, et pas avant.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $80$ et d'écart-type $0,16$ donc la probabilité qu'une tige soit conforme est $P(79,63 \leqslant X \leqslant 80,37) \approx 0,979$ à la calculatrice.

Par conséquent la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production ne soit pas conforme est $1-0,979=0,021$.

(On peut aussi calculer $P(X<79,63) + P(X>80,37)$, on trouve la même réponse).

\item $P(X \leqslant 80,28) \approx 0,960$, à nouveau ce résultat est obtenu à l'aide de la calculatrice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On répète $n$ fois, indépendamment (tirage avec remise), une épreuve à deux issues, le succès \og la tige n'est pas conforme \fg{} de probabilité $p=0,02$, et l'échec. 

La variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de succès suit donc une loi binomiale.
\item Pour cette question, on prend $n = 50$ donc $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(50~;~0,02)$.

La probabilité qu'il y ait exactement $2$ tiges de longueur non conforme dans ce
prélèvement est 

$P(Y = 2) \approx 0,186$, à l'aide de la calculatrice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On approche $\mathcal{B}(200~;~0,02)$par la loi de Poisson de même espérance $\lambda=n p = 200\times 0,02= 4$.
				\item En approchant $Y$ par $Z$ qui suit $\mathcal{P}(4)$, la probabilité d'avoir au plus $3$ tiges de longueur non conforme est $P(Z \leqslant 3) \approx 0,433$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Test d'hypothèse}

\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0 : \mu =80$, 
$P(80 - h < \overline{L} < 80 + h) = 0,95$
 pour $h=2 \sigma\left(\overline{L}\right)=2 \times 0,016=0,032$.
\item 
On prélève un échantillon de 100 tiges du lot et on calcule leur longueur moyenne $\overline{l}$.

Si $\overline{l} \in [79,968;80,032]$
alors on accepte $H_0$
sinon on rejette $H_0$, avec un risque d'erreur $\alpha=0,05$.



\item $80,02 \in [79,968~;~80,032]$ donc on accepte $H_0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : évènements indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par indépendance de $B$ et $C$, on a  $P(B \cap C)= P(B) \times P(C) = 0,02 \times 0,05 =0,001$.
\item La probabilité que la tige contrôlée ait au moins un des deux défauts est 

$P(B \cup C)=P(B)+P(C)-P(B \cap C)=0,02 + 0,05-0,001 =0,069$.
\item La probabilité que la tige contrôlée n'ait aucun des deux défauts est $P\left( \overline{B} \cap \overline{C} \right) = 1 - P ( B \cup C)=0,931$.
\end{enumerate}
\end{document}