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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : Ronan Charpentier
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}}
\rfoot{\footnotesize{9 mai 2017}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier  9 mai 2017}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}
\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip


\textbf{A. Étude expérimentale du refroidissement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le coefficient de corrélation linéaire de cette nouvelle série $(t~;~z)$ est 
$r_2 \approx - 0,997$, ce qui est plus proche de 1 en valeur absolue que le coefficient de corrélation $r_1=-0,886$, par conséquent le changement de variable est pertinent.
\item Une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ est $z = -0,15t + 4,01$, avec des coefficients arrondis au
centième.
\item On en déduit que $\ln\left(T-20\right)$ donc $T-20=\text{e}^{-0,15t+4,01} = \text{e}^{-0,15t} \text{e}^{4,01}$

donc  $T = 20 + 55 \text{e}^{-0,15t}$, où $C_0=\text{e}^{4,01} \approx 55$, arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude théorique du refroidissement à l'aide d'une équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $(E):\, y'=-0,15(y-20)$ s'écrit aussi $y'=-0,15 y+3$ en développant, 
soit 

$y'+0,15y=3$.

\item Les solutions de l'équation différentielle 
$\left(E_0\right) : \quad  y' + 0,15 y = 0$ sont les fonctions de la forme 

$y=k \text{e}^{-0,15 t}$ où $k \in \mathbb{R}$.


\item La fonction constante $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = c$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ si $g'(t)+0,15 g(t)=3$ pour tout $t \in \left[ 0 ; +\infty \right[$, ce qui revient à $0+0,15 c=3$ soit $c=20$.

Ainsi une solution de $(E)$ est $g(t)=20$.

\item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions $y=k \text{e}^{-0,15 t}+20$.
\item La condition initiale $f(0)=75$ se traduit par $k \text{e}^{-0,15 \times 0}+20=75$ soit $k+20=75$ donc $k=55$ 

ainsi $f(t)=55 \text{e}^{-0,15 t}+20$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Exploitation du modèle précédent}

\medskip


\begin{enumerate}
\item D'après le tableau, la température de la monture au bout de 15 minutes est $f(15)\approx 26$ °C.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $t \in \left[ 0 ; +\infty \right[$,  $f'(t)=55(-0,15)\text{e}^{-0,15t}=-8,25\text{e}^{-0,15t}$.
		\item Comme $\text{e}^{-0,15t}>0$ pour tout $t \in \left[ 0 ; +\infty \right[$,et $-8,25<0$, on a $f'(t)<0$ sur cet intervalle et $f$ est strictement décroissante sur  $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  \text{e}^{-0,15t}=0$ donc par produit $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 55 \text{e}^{-0,15t}=0$ et par somme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  f(t)=20$.
		\item On déduit de cette limite que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y=20$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au
voisinage de zéro.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}
\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
&PolylnômeTaylor[20+55*exp($-$0.15*t), t,0,  2]\\ \hline
1\rule[-10pt]{0pt}{28pt}&$\to 75 - \dfrac{33}{4} t + \dfrac{99}{160} t^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse zéro est 
$y = 75 - \dfrac{33}{4}t$ 

(et $\mathcal{C}$ est au-dessus de $T$ au voisinage de zéro car $\dfrac{99}{160} t^2 \geqslant 0$).


\item L'objectif de cette question est de déterminer à partir de quel instant la température de la
monture en acétate est inférieure à 24 \degres C.

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\emph{Initialisation}\\
$t$ prend la valeur 15\\
\emph{Traitement}\\
Tant que $f(t) > 24$\\
\hspace{1.2cm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\
Fin de Tant que\\
\emph{Sortie}\\
Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On a fait tourner l'algorithme \og à la main\fg{} et complété le tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Étapes& Valeurs de $t$& Valeurs de $f(t)$& Condition $f (t) > 24$& Affichage\\ \hline
étape 1& 15 &\small $f(15) \approx 25,8$& VRAIE &aucun\\ \hline
étape 2& 16 &\small $f(16)\approx 25,0$& VRAIE& aucun\\ \hline
étape 3& 17 &\small $f(17)\approx 24,3$& VRAIE& aucun\\ \hline
étape 4& 18 &\small $f(18)\approx 23,7$& FAUSSE & 18\\ \hline

\end{tabularx}
\end{center}

		\item La température de la monture est inférieure à 24 \degres C à partir de $t_0=18$ minutes.
		\item  Pour que l'algorithme permette d'obtenir une
valeur approchée de $t_0$ arrondie au dixième, il suffit de remplacer la ligne \og $t$ prend la valeur $t + 1$ \fg{} par \og $t$ prend la valeur $t + 0,1$ \fg{}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur $900+600=1500$ paires de lentilles, 900 sont rigides donc $P(R) =\dfrac{900}{1500}= 0,6$.
		\item $P(S)=0,4$, $P_R(D)=0,01$ et $P_S(D)=0,02$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $P(R \cap D)=P(R) P_R(D)=0,6 \times 0,01=0,006$.
\item La probabilité que la paire de lentilles soit défectueuse est 

$P(D)=P(R \cap D)+P(S \cap D)=0,006+0,4\times 0,02=0,014$.
\item La probabilité que la paire de lentilles soit rigide sachant qu'elle est
défectueuse est 

$P_D(R)=\dfrac{P(D \cap R)}{P(D)}=\dfrac{0,006}{0,014}\approx 0,429$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi normale}

\medskip

On considère que l'entreprise fabrique un stock important de paires de lentilles de contact.

On admet que 1,4\,\% des paires de lentilles de ce stock sont défectueuses.

On prélève au hasard $n$ paires de lentilles dans ce stock. Le stock est suffisamment
important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de n paires
de lentilles.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le
nombre de paires de lentilles défectueuses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On répète $n$ fois, indépendamment, une épreuve à deux issues, le succès \og la paire de lentilles est défectueuse \fg{} de probabilité $p=0,014$, et l'échec, donc le nombre de succès $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014$.

\newpage

\item Dans cette question $n = 150$.
	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 0)\approx 0,121$, avec la calculatrice.
		\item La probabilité qu'au moins une paire de lentilles soit défectueuse est 
		
		$P(X \geqslant 1)=1-P(X=0)\approx 0,879$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question $n = \np{1000}$.

On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de
moyenne $14$ et d'écart type $3,715$.
	\begin{enumerate}
		\item On approche la loi de $X$ par la loi normale
		
		\begin{itemize}
		\item[$\bullet$]de même espérance $\mu=np=1000\times 0,014=14$ 
		
		\item[$\bullet$]et de même écart type $\sigma=\sqrt{n p (1-p)}=\sqrt{1000 \times 0,014 \times 0,986} \approx 3,715$.
\end{itemize}		 
		\item Avec $Y$ une variable aléatoire de loi normale de moyenne $14$ et d'écart type $3,715$, on estime la probabilité d'avoir au plus $10$ paires de lentilles défectueuses par $P(Y \leqslant 10,5)\approx 0,173$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
La valeur approchée de $h$ arrondie au centième est 0,08.

(On sait que $\overline{Z}$ suit une loi normale, d'espérance $\mu=15$ et d'écart-type $\sigma\left(\overline{Z}\right)=\dfrac{0,4}{\sqrt{100}}=0,04$, 

donc $P\left(15-h\leqslant\overline{Z}\leqslant15+h\right)=0,95 \iff h=1,96 \times 0,04 \approx 0,08$) 

\item On prélève un échantillon de $100$ lentilles dans la production et on calcule la moyenne $\overline{z}$ des diamètres des lentilles de cet échantillon.

Si $\overline{z} \in \left[ 14,92 ; 15,08 \right]$,

alors on accepte l'hypothèse nulle $H_0$,

sinon on rejette l'hypothèse nulle, avec un risque d'erreur $\alpha=0,05$.
 
\item  $\overline{z} = 14,94$~mm $\in \left[ 14,92 ; 15,08 \right]$

donc on accepte $H_0$.
\end{enumerate}
\end{document}