%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Ronan Charpentier \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du BTS Opticien-lunetier}, pdftitle = {9 mai 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[margin=3cm]{geometry} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\footnotesize Corrigé du brevet de technicien supérieur } \lfoot{\footnotesize{Opticien--lunetier}} \rfoot{\footnotesize{9 mai 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Opticien--lunetier 9 mai 2017} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \textbf{A. Étude expérimentale du refroidissement} \medskip \begin{enumerate} \item Le coefficient de corrélation linéaire de cette nouvelle série $(t~;~z)$ est $r_2 \approx - 0,997$, ce qui est plus proche de 1 en valeur absolue que le coefficient de corrélation $r_1=-0,886$, par conséquent le changement de variable est pertinent. \item Une équation de la droite de régression de $z$ en $t$ est $z = -0,15t + 4,01$, avec des coefficients arrondis au centième. \item On en déduit que $\ln\left(T-20\right)$ donc $T-20=\text{e}^{-0,15t+4,01} = \text{e}^{-0,15t} \text{e}^{4,01}$ donc $T = 20 + 55 \text{e}^{-0,15t}$, où $C_0=\text{e}^{4,01} \approx 55$, arrondi à l'unité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude théorique du refroidissement à l'aide d'une équation différentielle} \medskip \begin{enumerate} \item L'équation $(E):\, y'=-0,15(y-20)$ s'écrit aussi $y'=-0,15 y+3$ en développant, soit $y'+0,15y=3$. \item Les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right) : \quad y' + 0,15 y = 0$ sont les fonctions de la forme $y=k \text{e}^{-0,15 t}$ où $k \in \mathbb{R}$. \item La fonction constante $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = c$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ si $g'(t)+0,15 g(t)=3$ pour tout $t \in \left[ 0 ; +\infty \right[$, ce qui revient à $0+0,15 c=3$ soit $c=20$. Ainsi une solution de $(E)$ est $g(t)=20$. \item Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions $y=k \text{e}^{-0,15 t}+20$. \item La condition initiale $f(0)=75$ se traduit par $k \text{e}^{-0,15 \times 0}+20=75$ soit $k+20=75$ donc $k=55$ ainsi $f(t)=55 \text{e}^{-0,15 t}+20$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Exploitation du modèle précédent} \medskip \begin{enumerate} \item D'après le tableau, la température de la monture au bout de 15 minutes est $f(15)\approx 26$ °C. \item \begin{enumerate} \item Pour tout $t \in \left[ 0 ; +\infty \right[$, $f'(t)=55(-0,15)\text{e}^{-0,15t}=-8,25\text{e}^{-0,15t}$. \item Comme $\text{e}^{-0,15t}>0$ pour tout $t \in \left[ 0 ; +\infty \right[$,et $-8,25<0$, on a $f'(t)<0$ sur cet intervalle et $f$ est strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,15t}=0$ donc par produit $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 55 \text{e}^{-0,15t}=0$ et par somme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)=20$. \item On déduit de cette limite que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y=20$ en $+\infty$. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de zéro. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|} \multicolumn{2}{l}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline &PolylnômeTaylor[20+55*exp($-$0.15*t), t,0, 2]\\ \hline 1\rule[-10pt]{0pt}{28pt}&$\to 75 - \dfrac{33}{4} t + \dfrac{99}{160} t^2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse zéro est $y = 75 - \dfrac{33}{4}t$ (et $\mathcal{C}$ est au-dessus de $T$ au voisinage de zéro car $\dfrac{99}{160} t^2 \geqslant 0$). \item L'objectif de cette question est de déterminer à partir de quel instant la température de la monture en acétate est inférieure à 24 \degres C. On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline \emph{Initialisation}\\ $t$ prend la valeur 15\\ \emph{Traitement}\\ Tant que $f(t) > 24$\\ \hspace{1.2cm}$t$ prend la valeur $t + 1$\\ Fin de Tant que\\ \emph{Sortie}\\ Afficher $t$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On a fait tourner l'algorithme \og à la main\fg{} et complété le tableau. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Étapes& Valeurs de $t$& Valeurs de $f(t)$& Condition $f (t) > 24$& Affichage\\ \hline étape 1& 15 &\small $f(15) \approx 25,8$& VRAIE &aucun\\ \hline étape 2& 16 &\small $f(16)\approx 25,0$& VRAIE& aucun\\ \hline étape 3& 17 &\small $f(17)\approx 24,3$& VRAIE& aucun\\ \hline étape 4& 18 &\small $f(18)\approx 23,7$& FAUSSE & 18\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item La température de la monture est inférieure à 24 \degres C à partir de $t_0=18$ minutes. \item Pour que l'algorithme permette d'obtenir une valeur approchée de $t_0$ arrondie au dixième, il suffit de remplacer la ligne \og $t$ prend la valeur $t + 1$ \fg{} par \og $t$ prend la valeur $t + 0,1$ \fg{}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur $900+600=1500$ paires de lentilles, 900 sont rigides donc $P(R) =\dfrac{900}{1500}= 0,6$. \item $P(S)=0,4$, $P_R(D)=0,01$ et $P_S(D)=0,02$. \end{enumerate} \item Calculer $P(R \cap D)=P(R) P_R(D)=0,6 \times 0,01=0,006$. \item La probabilité que la paire de lentilles soit défectueuse est $P(D)=P(R \cap D)+P(S \cap D)=0,006+0,4\times 0,02=0,014$. \item La probabilité que la paire de lentilles soit rigide sachant qu'elle est défectueuse est $P_D(R)=\dfrac{P(D \cap R)}{P(D)}=\dfrac{0,006}{0,014}\approx 0,429$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Loi binomiale et loi normale} \medskip On considère que l'entreprise fabrique un stock important de paires de lentilles de contact. On admet que 1,4\,\% des paires de lentilles de ce stock sont défectueuses. On prélève au hasard $n$ paires de lentilles dans ce stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de n paires de lentilles. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le nombre de paires de lentilles défectueuses. \medskip \begin{enumerate} \item On répète $n$ fois, indépendamment, une épreuve à deux issues, le succès \og la paire de lentilles est défectueuse \fg{} de probabilité $p=0,014$, et l'échec, donc le nombre de succès $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014$. \newpage \item Dans cette question $n = 150$. \begin{enumerate} \item $P(X = 0)\approx 0,121$, avec la calculatrice. \item La probabilité qu'au moins une paire de lentilles soit défectueuse est $P(X \geqslant 1)=1-P(X=0)\approx 0,879$. \end{enumerate} \item Dans cette question $n = \np{1000}$. On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi normale de moyenne $14$ et d'écart type $3,715$. \begin{enumerate} \item On approche la loi de $X$ par la loi normale \begin{itemize} \item[$\bullet$]de même espérance $\mu=np=1000\times 0,014=14$ \item[$\bullet$]et de même écart type $\sigma=\sqrt{n p (1-p)}=\sqrt{1000 \times 0,014 \times 0,986} \approx 3,715$. \end{itemize} \item Avec $Y$ une variable aléatoire de loi normale de moyenne $14$ et d'écart type $3,715$, on estime la probabilité d'avoir au plus $10$ paires de lentilles défectueuses par $P(Y \leqslant 10,5)\approx 0,173$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Test d'hypothèse} \medskip \begin{enumerate} \item La valeur approchée de $h$ arrondie au centième est 0,08. (On sait que $\overline{Z}$ suit une loi normale, d'espérance $\mu=15$ et d'écart-type $\sigma\left(\overline{Z}\right)=\dfrac{0,4}{\sqrt{100}}=0,04$, donc $P\left(15-h\leqslant\overline{Z}\leqslant15+h\right)=0,95 \iff h=1,96 \times 0,04 \approx 0,08$) \item On prélève un échantillon de $100$ lentilles dans la production et on calcule la moyenne $\overline{z}$ des diamètres des lentilles de cet échantillon. Si $\overline{z} \in \left[ 14,92 ; 15,08 \right]$, alors on accepte l'hypothèse nulle $H_0$, sinon on rejette l'hypothèse nulle, avec un risque d'erreur $\alpha=0,05$. \item $\overline{z} = 14,94$~mm $\in \left[ 14,92 ; 15,08 \right]$ donc on accepte $H_0$. \end{enumerate} \end{document}