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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture et corrigé : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Série technologique}
\lfoot{\small{Sujet 0\\Épreuve anticipée de mathématiques 2\\
 voie générale spécialité}}
\rfoot{\small{2025 - sujet 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Série technologique - Corrigé~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\smallskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
%Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
%Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Augmenter un prix de 20\,\% c'est multiplier ce prix par $\left(1 + \dfrac{20}{100}\right) = 1 + 0,20 = 1,2$.

Le nouveau prix est égale à : $400 \times 1,2 = 480$~(\euro).
\item Baisser un prix de 10\,\% c'est multiplier ce prix par $\left(1 - \dfrac{10}{100}\right) = 1 - 0,10 = 0,9$.

Le nouveau prix est égale à : $130 \times 0,9 = 117$~(\euro).
\item Le nouveau prix est $P \times 1,2 \times 1,2 = P \times 1,2^2$.
\item Ont voté pour A : $\dfrac 14 = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100}$.

Ont voté pour B : $\dfrac{20}{100}$ ;

Ont voté pour C : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 33,3}{3 \times 33,3} = \dfrac{33,3}{99,9} \approx \dfrac{33,3}{100}$ ;

Ont voté pour D à peu près $1 - \dfrac{25}{100} - \dfrac{20}{100} - \dfrac{33,3}{100} = 1 - \dfrac{78,3}{100} = \dfrac{21,7}{100}$.

Le plus faible pourcentage a été obtenu par le candidat B.
\item $A = \dfrac{2}{1 - \dfrac 23} = \dfrac{2}{\dfrac 13} = 2 \times \dfrac 31 = 2 \times 3 = 6$.
\item $A = \dfrac{1}{100} +  \dfrac{1}{\np{1000}} = 0,01 + 0,001 = 0,011$.
\item 75 minutes correspondent à 60 + 15 minutes soit 1 h et 15 minutes.

Or 15 (min) $= \dfrac{15}{60} = \dfrac{15 \times 1}{15 \times 4} = \dfrac 14 = 0,25$~(h).

Donc 75 minutes correspondent à 1,25~(h).
\item $10^{30}$ s'écrit 1 suivi de 30 zéros alors que  $10^{-30}$ s'écrit 0, suivis de 29 zéros et le chiffre 1 : ce nombre est négligeable par rapport au premier donc la somme est environ égale à  $10^{30}$.
\item Le coefficient directeur est négatif ce qui exclut $D_1$ et $D_2$ ;

L'ordonnée à l'origine (la valeur de $y$ quand $x = 0$) est positive ce qui exclut $D_4$. Il reste $D_3$.
\item $3x = 0$ si l'un des facteurs est nul : or $3 = 0$ ne donne pas de solution ; il reste donc $x = 0$.
\item $\dfrac{144}{x} = 9$ donne en multipliant par $x$ (supposé non nul sinon l'énoncé n'a pas de sens) $144 = 9x$ et en multipliant chaque membre par $\dfrac 19$ : $144 \times \dfrac 19 = x$, soit $x = \dfrac{144}{9}$.
\item La moyenne est égale à :

$\dfrac{1 \times 10 + 1 \times 13 + 1  \times 12 + 2 \times x}{1 + 1 + 1 + 2} = \dfrac{10 + 13 + 12 + 2x}{5} = \dfrac{35 + 2x}{5}$.

Si $\dfrac{35 + 2x}{5} = 15$ alors en multipliant par 5 : $35 + 2x = 75$, soit en ajoutant $- 35$,

 $2x = 40$ et enfin $x = 20$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE: AUTOMATISMES (14 pts)}

\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On passe de $u_{50}$ à $u_{60}$ en ajoutant 10 fois $r = \dfrac12$, soit $10 \times \dfrac 12 = 5$. Donc $u_{60} = \np{1000} + 5 = \np{1005}$.
\item O a $u_{101} = u_{100} \times q$ et $u_{102} = u_{101} \times q$, donc :

$u_{102} = u_{100} \times q \times q = u_{100} \times q^2$ ou avec les données de l'énoncé :

$20 = 5 \times q^2$, soit $4 = q^2$ et $q = 2$ puisque la raison est positive.

Donc $u_{100} = u_{99} \times q$, soit $5 = u_{99} \times 2$, d'où l'on obtient $u_{99} = 2,5$.
\item $x + x = x^2$ ou $2x = x^2$ ou $2x - x^2 = 0$ ou en factorisant $x$ : 

$x(2 - x) = 0$, donc $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
2 - x&=&0
\end{array}\right.$ : il y a donc deux solutions : $x = 0$ et $x = 2$.
\item Avec $P$ : \og la pièce tombe sur pile \fg et $F$ : \og la pièce tombe sur face on peut dresser l'arbre suivant :
\begin{center}
\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$P~$}\taput{$\frac 12$}}
	{\TR{$P$}\taput{$\frac 12$}
	\TR{$F$}\tbput{$\frac 12$}
	}
\pstree{\TR{$F~$}\taput{$\frac 12$}}
	{\TR{$P$}\taput{$\frac 12$}
	\TR{$F$}\tbput{$\frac 12$}
	}
}
\end{center}

On a donc $p(PP) = \frac 12 \times \frac 12 = \frac 14$ et de même :

$p(FF) = \frac 12 \times \frac 12 = \frac 14$.

La probabilité de gagner est donc égale à : $\frac 14 + \frac 14 = \frac 12$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

$f (x) = -x^2 + 6x - 5$.

\begin{enumerate}
\item $f(0) =  0 + 0 - 5 = - 5$ ;

$f(3) = - 3^2 + 6 \times 3 - 5 = - 9 + 18 - 5 = 4$.
\item Pour tout réel $x$, \: $(x - 1)(5 - x) = 5x - x^2 - 5 + x = - x^2 6x - 5 = f(x)$.
\item D'après la factorisation précédente : $f(1) = 0 \times 4 = 0$ et $f(5) = 4 \times 0 = 0$ : soit $0$ a deux antécédents 1 et 5.
\item Quel que soit le réel $x$ , \: $4 - (x - 3)^2 = 4 - \left(x^2  + 9 - 6x \right) = 4 - x^2 - 9 + 6x = - x^2 + 6x - 5 = f(x)$.
\item Quel que soit le réel $x$, \: $(x - 3)^2 \geqslant 0$, donc $- (x - 3)^2 \leqslant 0$ et en ajoutant 4 à chaque membre de cette inéquation :

$4 - (x - 3)^2 \leqslant 4$ ou encore $f(x) \leqslant 4$ : la plus grande valeur de la fonction $f$ est donc 4 : il n'existe pas de réel $x$ tel que $f(x) > 4$.
\item
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-6)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-6)(7,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{7}{x 6 mul 5 sub x dup mul sub}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0)(0,-5)(0,-5)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](3,0)(3,4)(0,4)
\psdots[linecolor=blue,dotscale=2](1,0)(5,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (X points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ représente les membres présents le lundi et absents le jeudi ; 

Avec la ligne 1 : comme $45 + x = 75$, on a donc $x = 75 - 45 = 30$.

Avec la colonne 2 : comme $x + 5 = 35$, on a donc $x = 35 - 5 = 30$.`
\item
	\begin{enumerate}
		\item 5 adhérents ne sont venus ni le lundi ni le jeudi ; la probabilité est égale à $\dfrac{5}{100} = 0,05$.
		\item Il y a 30 personnes présentes le lundi et absentes le jeudi et 20 personnes présentes le jeudi (donc différentes ds 30 personnes précédentes) et absente le lundi, soit en tout 50 personnes venues un seul jour ; la probabilité est égale à $\dfrac{50}{100} = 0,5$.
		\item Sur les 75 adhérents venus le lundi, 45 sont venus le jeudi ; la probabilité est égale à $\dfrac{45}{75} = \dfrac{3 \times 15}{3 \times 25} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{60}{100} = 0,6$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 100 adhérents versent 100~\euro{} soit en tout $100 \times 100 = \np{10000}$~(\euro).
		\item De 2026 à 2021 il y aura 15 augmentations. Chaque année il y aura 5 adhérents de plus donc $5 \times 100 = 500$~\euro versés en plus au club.
		
La somme totale versée au club sera :

$\np{10000} + \np{10000} + 500 + \np{10000} + 500 + \ldots + \np{10000} + 15 \times 500 = \dfrac{2 \times \np{10000} + 15 \times 500}{2} \times (15 + 1) = 8 \times (\np{20000} + \np{7500}) = 8 \times \np{27500} = \np{220000}$~(\euro).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}