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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small avril 2016}
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\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Contrôleur des douanes : Branche surveillance 2016~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\medskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.

On lit le nombre sur la face cachée.

Pour $k \in \{1~;~2~;~3~;~4\}$ , on note $p_k$ la probabilité d'obtenir le nombre $k$ sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres $p_1 , p_2 , p_3$ et $p_4$ , dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sachant que $p_4 = 0,4$ , démontrez que $p_1 = 0,1 , p_2 = 0,2$ et $p_3 = 0,3$.
Si $a$ est le premier terme de la suite et $r$ la raison, on a :

$p_1 = a,\:p_2 = a + r,\: p_3 = a + 2r, \: p_4 = a + 3r = 0,4$.

Mais $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 \iff a + a + r + a + 2r + 0,4 = 1 \iff 3a + 3r = 0,6 \iff a + r = 0,2$.

Les nombres $a$ et $r$ vérifient donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a + 3r &=& 0,4\\
a + r&=&0,2
\end{array}\right.$ d'où par différence $2r = 0,2 \iff r = 0,1$, puis $a = 0,1$.

On a donc $p_1 = 0,1,\:p_2 = 0,2,\:p_3 = 0,3,\:p_4 = 0,4$.
\item On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
La probabilité est égale à $0,1 \times 0,2 \times 0,4 = 0,008$.
		\item %Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?
Les bons tirages sont : 123,\:124,\:234.
		
La probabilité est donc égale à :
		
$0,1 \times 0,2 \times 0,3 + 0,1 \times 0,2 \times 0,4 + 0,2 \times 0,3 \times 0,4 = 0,006 + 0,008 +  0,024 = 0,038$.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

On lance $n$ fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants.

On note $U_n$ la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au $n$-ième lancer.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrez que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
		À chaque lancer la probabilité de tomber sur le 4 est égale à 0,4 et donc celle de ne pas avoir le 4 est de 0,6.
		
		Si on a le 4 pour la première fois au $n$-ième lancer c'est que l'on a eu uniquement 1, 2 ou 3 avec une probabilité de $0,6^{n-1}$.
		
		On a donc $U_n = 0,4 \times 0,6^{n-1}$, donc la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme 0,4.
		\item %Calculez $S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^n U_i$ puis étudiez la convergence de la suite $\left(S_n\right)$.
		On a $S_n = 0,4 + 0,4 \times 0,6 + 0,4 \times 0,6^2 + \ldots + 04 \times 0,6^{n-1}$ ou
		
$S_n = 0,4\left(1 + 0,6 + 0,6^2 + \ldots + 0,6^{n-1}\right)$ et en multipliant par 0,6 chaque membre :

$0,6S_n = 0,4\left(0,6 + 0,6^2 + \ldots + 0,6^{n-1} + 0,6^n\right)$ : par différence des deux lignes précédentes on obtient :

$0,4S_n = 0,4\left(1 - 0,6^n \right) \iff S_n = 1 - 0,6^n$.

Comme $0< 0,6 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,6^n = 0$, donc 

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = 1.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

On considère la suite de nombres réels $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :

\begin{center}$u_0 = - 1,\: u_1 = \dfrac12$ \:et, pour tout entier naturel $n$,\quad $u_{n+2}= u_{n+ 1} - \dfrac14 u_n$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculez $u_2$ et déduisez-en que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
$u_2 = u_1 - \dfrac14 u_0 = \dfrac12 - \dfrac14\times (- 1) = \dfrac12 + \dfrac14 = \dfrac34$.

$\bullet~~$$u_1 - u_0 = \dfrac12 + 1 = \dfrac32$ et $u_2 - u_1 = \dfrac34 -\dfrac12 = \dfrac14$ : ceci montre que la suite n'est pas arithmétique ;

$\bullet~~$$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{\frac12}{-1} = - \dfrac12$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \frac{\frac34}{\frac12} = \dfrac32$ : ceci montre que la suite n'est pas géométrique.
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : \[v_n =u_{n + 1} - \dfrac12 u_n.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Calculez $v_0$.
$v_0 = u_{1} - \dfrac12 u_0 = \dfrac12 - \dfrac12 \times (-1) = \dfrac12 + \dfrac12 = 1$.
		\item %Exprimez $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Pour tout entier $n$, \: $v_{n+1} = u_{n+2} - \dfrac12u_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac14u_n -\dfrac12u_{n+1} = \dfrac12u_{n+1} - \dfrac14u_n = \dfrac12\left(u_{n+1} - \dfrac12u_{n}\right) = \dfrac12v_n$.
		\item %Déduisez-en que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.
La relation précédente montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ de premier terme $v_0 = 1$.

%Exprimez $v_n$ en fonction de $n$.
On sait que quel que soit $n \in \N$, \: $v_n = v_0 \times q^n$ $q$ étant la raison de la suite, donc 

$v_n = 1\times \left(\dfrac12\right)^n = \dfrac{1}{2^n}$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(w_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : \[w_n= \dfrac{u_n}{v_n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculez $w_0$.
$w_0 = \dfrac{u_0}{v_0} = \dfrac{-1}{1} = - 1$.
		\item %En utilisant l'égalité $u_{n + 1} = v_n + \dfrac12 u_n$, exprimez $w_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et de $v_n$.
$w_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}} = \dfrac{v_n + \frac12 u_n}{u_{n+2}- \frac12u_{n+1}} = \dfrac{v_n + \frac12 u_n}{\frac12u_{n+1} - \frac14u_n} = \dfrac{v_n + \frac12 u_n}{\frac12u_{n+1} - \frac14u_n} = \dfrac{v_n + \frac12 u_n}{\frac12v_n +\frac14u_n - \frac14u_n}$
		\item %Déduisez-en que pour tout $n$ de $\N$, \:$w_{n+1} = w_n + 2$.
$w_{n+1} = \dfrac{v_n + \frac12 u_n}{\frac12v_n }  = \dfrac{v_n}{\frac12v_n} + \dfrac{\frac12 u_n}{\frac12v_n} = 2 + w_n.$
		\item %Exprimez $w_n$ en fonction de $n$.
La relation vraie pour tout naturel $w_{n+1} = w_n + 2$ montre que la suite $\left(w_n\right)$ est arithmétique de raison 2, de premier terme $w_0 = -1$.

On sait qu'alors quel que soit $n \in \N$, \: $w_n = -2 + 2n$


		

	\end{enumerate}
\item %Montrez que pour tout entier naturel $n$;, \: \: $u_n = \dfrac{2n - 1}{2^n}$.
Or $w_n= \dfrac{u_n}{v_n}\Longrightarrow u_n = v_n \times w_n = \dfrac{1}{2^n} \times (-1 + 2n) = \dfrac{2n - 1}{2^n}$.
\item  Pour tout entier naturel $n$ , on pose :
\[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_k = u_0 + u_1 + \ldots + u_n.\]

Démontrez par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ 
\[S_n = 2 - \dfrac{2n+ 3}{2^n}.\]

\emph{Initialisation} : $S_0 = u_0 = -1$ et $2 - \dfrac{2\times 0 + 3}{2^0} = 2 - 3 = -1$.

La relation est vraie au rang zéro.

\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N,\: S_n = 2 - \dfrac{2n+ 3}{2^n}$, alors 

$S_{n+1} = S_n + u_{n+1} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n} + \dfrac{2(n + 1) - 1}{2^{n+1}} =
 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n} + \dfrac{2n +1}{2^{n+1}} = $

$2 + \dfrac{-4n - 6 + 2n + 1}{2^{n+1}}  =  2 - \dfrac{-2n -  5}{2^{n+1}} = 2 - \dfrac{2(n + 1) + 3}{2^{n+1}}$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence on a pour tout naturel n, \: \: $S_n = 2 - \dfrac{2n +3}{2^n}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 
\[\varphi(x) = 1 + x^2 - 2x^2 \ln x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudiez le sens de variation de la fonction $\varphi$  sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
Somme de fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$ la fonction $\varphi$ est dérivable et sur cet intervalle :
		
$\varphi'(x) = 2x - 4x\ln x - 2x^2 \times \dfrac 1x = 2x - 4x\ln x - 2x = - 4x\ln x$.

Or $x \geqslant 1 \Longrightarrow \ln x \geqslant \ln 1 = 0$, donc $\varphi'(x) \leqslant 0$ comme opposé d'un produit de facteurs positifs. La fonction $\varphi$ est donc décroissante sur $[1~;~+ \infty[$
		\item %Calculez $\varphi$(e).
$\varphi(\e)  = 1 + \e^2 -2\e^2 \ln \e = 1 + \e^2 -2\e^2 = 1 - \e^2$.

%Démontrez que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
On a $\varphi(1) = 1 + 1 -\ln 1 = 2$ et $\varphi(\e)  =  1 - \e^2 < 0$.

La fonction $\varphi$ est continue car dérivable sur l'intervalle $[1~;~\e]$ et décroissante ; d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique $\alpha \in ]1~;~\e[$ tel que $\varphi(\alpha) = 0$.
%(On rappelle que e $\approx 2,718$).
		\item %Déterminez le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
La fonction étant décroissante, on a donc $\varphi(x) \geqslant 0$ sur $[1~;~\alpha]$ et $\varphi(x) \leqslant 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 
\[f(x)= \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculez $f'(x)$ et montrez que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x)= \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2\right)^2}$.
		$f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$, le dénominateur étant non nul car supérieur ou égal à 1 :
		
		$f'(x) : \dfrac{\frac 1x \times \left(1 + x^2\right) - 2x \ln x}{\left(1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{\frac 1x + x - 2x\ln x}{\left(1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{1 + x^2 - 2x^2 \ln x}{x\left(1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}.$
		\item %Déduisez de la question 1 le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
Comme $x\left(1 + x^2 \right)^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $\varphi(x)$ vu à la question 1.
		
On a donc :
		
$\bullet~~$$f'(x) \geqslant 0$ sur $[1~;~\alpha]$ et 

$\bullet~~$$f'(x) \leqslant 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$.

$f$ est donc croissante sur $[1~;~\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$.
		\item %Démontrez que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a :
%\[0 \leqslant f (x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}.\]
On a $ 0 < x^2 < 1 + x^2 \Longrightarrow 0 < \dfrac{1}{1 + x^2} < \dfrac{1}{x^2} \Longrightarrow 0 \leqslant \dfrac{\ln x}{1 + x^2} \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}$ (car sur $[1~;~+ \infty[$, \: $\ln x \geqslant 0$), soit $0 \leqslant f (x) \leqslant \dfrac{\ln x}{x^2}.$

		\item %Déduisez-en $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		On sait par puissance comparée que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0$ donc d'après le théorème des gendarmes $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points A(3~;~0~;~6) et I(0~;~0~;~6) et on appelle $(D)$ la droite passant par A et I. 

On appelle $(P)$ le plan d'équation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'équation $y - 2 z + 12 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrez que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
$(P)$ a pour vecteur normal le vecteur $\vect{p}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ et $(Q)$ a pour vecteur normal le vecteur $\vect{q}\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$.

Or $\vect{p} \cdot \vect{q} = 0 + 2 - 2 = 0$ : les vecteurs normaux sont orthogonaux donc les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item %Démontrez que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est la droite $(D)$.

Équation de la droite (IA) :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IA}) \iff \vect{\text{I}M} = \alpha \vect{\text{IA}}$, avec $\alpha \in \R$.

Avec $\vect{\text{I}M}\begin{pmatrix}x - 0\\y- 0\\z - 6\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{IA}}\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$, on a 

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IA}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3\alpha\\
y&=&0\alpha\\
z - 6 &=& 0\alpha
\end{array}\right.\:\alpha \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&3\alpha\\
y&=&0\\
z&=&6\alpha
\end{array}\right.\:\alpha \in \R$.

Or ces coordonnées de $(D)$ vérifient l'équation de $(P)$ :\: $2 \times 0  + 6 - 6 = 0$ et aussi l'équation de $(Q)$ :\: $0 - 2 \times 6 + 12 = 0$ : tous les points de $(D)$ appartiennent à $(P)$ et à $(Q)$ donc à leur intersection.
\item %Démontrez que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et déterminez les coordonnées des points B et C, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
Les points de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ sont définis par le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
z &=&0
\end{array}\right.$ donc le point commun à $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ et à $(P)$ vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
z &=&0\\
2y + z - 6&=&0
\end{array}\right. \Longrightarrow 2y - 6 = 0 \iff y = 3$. Donc B(0~;~3~;~0).

De même pour le point C dont les coordonnées vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\
z &=&0\\
y - 2z + 12&=&0
\end{array}\right. \Longrightarrow y = - 12$. C$(0~;~-12~;~0)$.
\item %Démontrez qu’une équation du plan $(T)$ passant par B et de vecteur normal $\vect{\text{AC}}$ est $x +4y + 2z - 12 = 0$.

On a $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-3\\- 12\\-6\end{pmatrix}$.

On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (T) \iff -3x - 12y - 6z = d$, avec $d \in \R$

Ainsi B(0~;~3~;~0) $\in (T) \iff -3 \times 0 - 12 \times 3 - 6 \times 0 = d \iff - 36 = d$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (T) \iff -3x - 12y - 6z = -36 \iff x + 4y + 2z = 12.$
\end{enumerate}
\end{document}