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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance session 2014
}}

\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%L'évolution des prix des abonnements à la téléphonie fixe est donnée par le tableau suivant.
%
%Le prix est exprimé en dizaines d'euros.
%
%On note $x_i$ le rang de l'année, $x_i = 1$ étant donné pour l'année 2005.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2005	&2006	&2007	&2009	&2010	&2011\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	& 1 	&2		&3		&5		&6		&7\\ \hline
Prix de l'abonnement 
en euros $y_i$			&5		&4		&4,50	&4		&2		&1,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(8,6)
\psdots(1,5)(2,4)(3,4.5)(5,4)(6,2)(7,1.5)
\psdots[linecolor=red](4,3.5)\uput[ur](4,3.5){\red $G$}
\uput[u](6.5,0){Rang de l'année $x_i$}\uput[r](0,5.75){Prix en euros $y_i$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{8}{5.644 0.536 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Représentez le nuage de points $P_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan.
Voir ci-dessus.
\item %Déterminez les coordonnées de $G$, point moyen de ce nuage ; placez-le dans le repère précédent.
On a $G(4~;~3,50)$
\item %On réalise un ajustement affiné de ce nuage par la droite $D$ d'équation 

%$y = - 0,536x + b$ qui passe par le point $G$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminez la valeur de $b$.
On a donc $G(4~;~3,50)\in D \iff 3,5 = -0,536 \times 4 + b \iff 3,5 + 2,144 = b \iff$

$ b = 5,644$
		\item %Tracez la droite $D$ dans le repère précédent.
		$D$ a pour l'une de ses équations $y = 5,644 - 0,536x$. Tracé ci-dessus.
	\end{enumerate}
\item %Déterminez, à l'aide de l'ajustement précédent, le prix estimé de l'abonnement téléphonie fixe en 2012.
2012 correspond au rang 8, donc le prix en 2012 devrait être à peu près $5,644 - 0,536 \times 8 = 5,644 - 4,288 = 1,356 \approx 1,36~\euro$.
\item %En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2012, le prix réel de l'abonnement téléphonie fixe était de $14,75$ euros.

%Déterminez, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on arrondira à l'unité).
L'erreur est donc de $14,75 - 1,36 = 13,39$ pour un prix estimé en 2012 de 1,36, soit une erreur en pourcentage de $\dfrac{13,39}{1,36} \approx 9,85$, soit environ 985\,\% !
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un appareil acheté neuf coûte \np{2500}~euros. Au bout d'un an, son prix de revente a diminué de 20\,\% et on suppose qu'il en est ainsi chaque année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculez le prix de revente $u_1$ au bout de la première année.
Enlever 20\,\%, c'est multiplier par $1 - \dfrac{20}{100} = 1 - 0,2 = 0,8$.

Donc $u_1 = u_0 \times 0,8 = \np{2500} \times 0,8 = \np{2000}$~(\euro).
\item %Soit $u_n$ le prix de revente au bout de la $n$-ième année. Justifiez que 
%$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$.
On a vu que d'une année sur l'autre on a $u_n = u_{n - 1} \times 0,8$ : donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $u_0 = \np{2500}$.

On sait qu'alors pour $n \in \N$, \: $u_n = \np{2500} \times 0,8^n$.

%Exprimez $u_n$ en fonction de $n$.
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n= \ln \left(u_n\right)$ ?
Si $v_n= \ln \left(u_n\right)$, alors $v_{n+1}= \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(\np{2500} \times 0,8^{n+1}\right) = \ln (\np{2500}) + \ln 0,8^{n+1} = \ln (\np{2500}) + \ln 0,8^n \times 0,8 = \ln (\np{2500}) + \ln 0,8^n  + \ln 0,8 = \ln \np{2500} \times 0,8^n + \ln 0,8 = v_n + \ln 0,8$.

L'égalité $v_{n+1} = v_n + \ln 0,8$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $\ln 0,8$.
\item ~%Déterminez le nombre d'années à partir duquel le prix de revente sera inférieur à $500$~euros.

$\bullet~~$Avec $u_n$ : il faut résoudre $\np{2500} \times 0,8^n < 500 \iff 0,8^n < \dfrac15 \iff n \ln 0,8 > \ln \frac{1}{5}$ par croissance de la fonction logarithme népérien $\iff n \ln 0,8 > - \ln 5  \iff n < - \dfrac{\ln 5}{\ln 0,8}$

Or $\dfrac{\ln 5}{\ln 0,8} \approx 7,2$ : il faut attendre la 8\up{e} année.

$\bullet~~$Avec $v_n$ : on a $u_n < 500 \iff \ln u_n < \ln 500 \iff v_n < \ln 500$.

Or $v_n = v_0 + n \ln 0,8 = \ln \np{2500} + n \ln 0,8$.
Il faut donc résoudre :

$\ln \np{2500} + n \ln 0,8 < \ln 500 \iff n \ln 0,8 < \ln 500 - \ln \np{2500} \iff n \ln 0,8 < \ln \dfrac{500}{\np{2500}} \iff n \ln 0,8 < \ln \frac15 \iff n > \dfrac{\ln \frac15}{\ln 0,8}$ (car $\ln \frac15 < 0$). On retrouve les mêmes inéquations, donc la même solution.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^{x - 3} - \dfrac{1}{x + 4}\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.

%Calculez $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Sur $[0~;~+\infty[, \: f'(x) = \text{e}^{x - 3} - \left(- \dfrac{1}{(x + 4)^2} \right) = \text{e}^{x - 3} + \dfrac{1}{(x + 4)^2}$.
\item %Déduisez que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Quel que soit $x \in [0~;~+\infty[$, on a $\text{e}^{x - 3} > 0$ et $\dfrac{1}{(x + 4)^2} > 0$.

Donc sur $[0~;~+\infty[, \: f'(x) > 0$ : la fonction est croissante (strictement).
\item %Déterminez $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
$\bullet~~$ On a $f(0) = \text{e}^{- 3}  -  \dfrac{1}{4}$ ;

$\bullet~~$ On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x + 4} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x - 3} = + \infty$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Dressez le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
$f$ est donc croissante de $f(0) < 0$ à  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\alpha$} \uput[u](6.6,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f’(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](5.5,1.9){$+$} %\uput[u](,1.9){$$} 
\uput[u](1.5,0){$\e^{-3} - \frac14$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(2,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Montrez que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.
		
%Donnez le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
La fonction $f$ continue car dérivable sur $[0~;~+\infty[$ est croissante de $f(0) < 0$ à plus l’infini s’annule pour un réel unique $\alpha > 0$.

On en déduit que $f(x) < 0$ sur [$0~;~\alpha[$, \: $f(x) > 0$ sur $]\alpha ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduisez et complétez le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1,32	&1,325	&1,33\\ \hline
$f(x)$	&$\np{-0,0016}$&$\np{-0005}$&\np{0,0006}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Les valeurs seront arrondies au dix-millième.
		\item %Déduisez la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$.
D'après le tableau précédent : $1,32 < \alpha < 1,33$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^{x - 3} - \ln (x + 4).\]

La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$. On note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculez $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Sur l’intervalle $]-4~;~+ \infty[$ la fonction $\ln (x + 4)$ est dérivable, donc a fortiori sur $[0~;~+\infty[$ :

$g’(x) = 1 \times \e^{x - 3} - \dfrac{1}{x + 4} = \e^{x - 3} - \dfrac{1}{x + 4} = f(x)$.
\item %Étudiez le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ en utilisant les résultats de la partie A.
D’après les résultats de la partie A on a donc :

$\bullet~~$$g'(x) < 0$ sur $[0~;~\alpha[$ et sur cet intervalle la fonction $f$ est décroissante,

$\bullet~~$$g'(x) > 0$ sur $[\alpha~;~+\infty[$ et sur cet intervalle la fonction $f$ est croissante.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un jeune garçon possède deux manettes de jeu d'aspects parfaitement identiques, mais l'une d'entre elles est truquée.

Le jeune garçon ne peut pas savoir laquelle des deux est truquée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le jeune garçon choisit au hasard l'une des deux manettes et il joue une partie avec celle-ci.

On note :

\setlength\parindent{1cm}
$A$ l'évènement \og le garçon choisit la manette truquée\fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire ; 

$E$ l'évènement \og le garçon gagne la partie\fg{} et $\overline{E}$ l'évènement contraire.
\setlength\parindent{0cm}

%Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités.

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,5$}}
	{
	\TR{$E$}\naput{$0,6$}
	\TR{$\overline{E}$}\nbput{\red 0,4}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\red 0,5}}
	{
	\TR{$E$}\naput{$0,3$}
	\TR{$\overline{E}$}\nbput{\red 0,7}
	}
}
\bigskip
\end{center}

%Ainsi $0,6$ est la probabilité que le garçon gagne sachant qu'il a choisi la manette truquée.
\begin{enumerate}
		\item %Reproduisez cet arbre sur la copie et le compléter.
		Voir ci-dessus.
		\item %Calculez la probabilité de l'évènement \og le garçon choisit la manette truquée et il gagne \fg.
La probabilité cherchée est $p(A \cap E) = p(A) \times p_A(E) = 0,5 \times 0,6 = 0,3$.
		\item %Calculez la probabilité de l'évènement \og le garçon choisit la manette non truquée et il gagne \fg.
La probabilité cherchée est $p\left(\overline{A} \cap E\right) = p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}(E) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$.
		\item %Montrez que la probabilité que le garçon gagne est égale à $0,45$.
		D’après la loi des probabilités totales :
		
		$p(E) = p(A \cap E) + p\left(\overline{A} \cap E\right) = 0,3 + 0,15 = 0,45$.
		\item %Calculez la probabilité que le garçon ait choisi la manette non truquée sachant qu'il a gagne.
On a : $p_E\left(\overline{A}\right) = \dfrac{p\left(E \cap  \overline{A}\right)}{p(E)} = \dfrac{p\left( \overline{A} \cap E\right)}{p(E)} = \dfrac{0,15}{0,45} = \dfrac{15}{45} = \dfrac13$.
	\end{enumerate}
%Trois fois successivement et de façon indépendante, le jeune garçon choisit au hasard l'une des deux manettes et joue une partie.

%Calculez la probabilité de l'évènement \og le garçon gagne exactement deux fois \fg. Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.
\item On a une épreuve de Bernoulli : la variable $X$ égale au nombre de gains suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~0,3)$.

On a : $p(X = 2) = \binom{3}{2}\times 0,3^2 \times (1 - 0,3) = 3 \times 0,09 \times 0,7 = 0,189$.
\end{enumerate}
\end{document}