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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  1\up{re}{} série générale - corrigé du sujet 2}
\lfoot{\small{Sujet 0\\ Épreuve anticipée de mathématiques\\ voie générale \textbf{hors} spécialité}}
\rfoot{\small{2026}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 - Spécialité mathématiques - Corrigé du sujet 2~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
Voie générale : candidats \textbf{ne} suivant \textbf{pas} l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $A = \dfrac 12 - \dfrac 12 \times \dfrac 43 = \dfrac 12 - \dfrac23 = \dfrac{1 \times 3 - 2 \times 2}{2 \times 3} = \dfrac{-1}{6}$.
\item 2 croissants coûtent 3~euros donc $2 \times 5 = 10$ croissants coûtent $3  \times 5 = 15$~euros.
\item Multiplier un prix par deux, c'est le multiplier par $1 + 1 = 1 + \dfrac{100}{100}$, c'est donc l'augmenter de $100~\,\%$.
\item Augmenter un prix de 10\,\%, c'est le multiplier par $1 + \dfrac{10}{100} = 1 + 0,10 = 1,1$.

Le prix initial était donc de $\dfrac{110}{1,10} = 100$. l'augmentation est donc de 10~\euro.
\item La masse de \np{1000} millilitres d'huile est égale à 900~grammes, donc la masse de 250  millilitres d'huile est égale à 225~grammes (table de 4), et enfin la masse de $3 \times 250$ millilitres d'huile est égale à $3 \times 225 = 675$~grammes, ou 0,675~kg.
\item Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à $\dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{106 - 100 }{4 - 1} = \dfrac 63 = 2$.
\item Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à $\dfrac{y_{\text{B}} - 4}{1 -  0} = \dfrac{y_{\text{B}} - 4}{1} = y_{\text{B}} - 4 = - 0,1$, d'où :
$y_{\text{B}} = 4 - 0,1 = 3,9$.
\item $(x - 3)(x + 2) = x^2  + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$.
\item $V = \dfrac 13 \pi r^2 h$, donc $3V = \pi r^2 h$ et $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$.
\item On a $f(-1) = - 2 \times (- 1)^2 - 3 + 1 = - 2 - 3 + 1 = - 4$, donc l'image de $-1$ par la fonction $f$ égale à $- 4$.
\item On a $f(1) = 2 - 5 + 3 = 0$ : un antécédent de $0$ par $f$ est donc 1.
\item Avec des notations évidentes, on a :

$m_{\text{A}} = \dfrac{9 + 10 + 10 + 11}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$.

$m_{\text{B}} = \dfrac{7 + 10 + 10 + 13}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$.

$\sigma_{\text{A}}^2 = \dfrac{(- 1)^2 + 0 + 0 + 1^2}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac12$.

$\sigma_{\text{B}}^2 = \dfrac{(- 3)^2  + 0 + 0 + 3^2}{4} = \dfrac{18}{4} = 4,5$. Réponse D.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $u_1 - u_0 = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = 25$ : ce nombre 25 est la raison de la suite arithmétique $(u_n)$.
\item Dans 2 heures il y a $12 \times 10$ minutes : $u_0$ est donc augmenté de $12 \times 25 = 300$ champignons. Il y aura donc au bout de 2 h : $100 + 300 = 400 = 4\times 100 = 4 \times u_0$ : la population aura donc quadruplé en 2~heures.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $v_0 = 100$, $v_1 = 2 \times u_0, \, v_2 = 2v_1, \, v_3 = 2v_2$ : ces égalités montrent que les termes $v_0,\: v_1,\: v_2,\: v_3$ sont en progression géométrique de raison 2.
\item Seul le graphique 1 est susceptible de représenter la suite $(v_n)$.
\item 4~h représentent 240~min soit $6 \times 40$~min ; il y aura donc au bout de 4~h,

$u_6 = 100 \times 2^6 = 100 \times 64 = \np{6400}$~champignons.
\item Après 4~h 40~min la population sera le double de celle de 4~h, soit : $2 \times  \np{6400} = \np{12800}$.

40 min plus tard, soit après 5~h 20~min la population aura encore doublé et sera égale à $2 \times \np{12800} = \np{25600}$.

Comme $\np{12800} < \np{18000} < \np{25600}$, cette population de \np{18000} champignons est cohérente avec l'hypothèse du doublement de la population toutes les quarante minutes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau des effectifs :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~} & Fille & Garçon&Total \\ \hline
Anglais & 712 & 728&\np{1440} \\ \hline
Autre LV1 & 288 & 272&\np{560} \\ \hline
Total&\np{1000}&\np{1000}&\np{2000} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Il y a donc autant de filles que de garçons.
\item 712 filles ont choisi l'Anglais, donc $p(A \cap F) = \dfrac{712}{\np{2000}}$.
\item On a $p_F(A) = \dfrac{p(F \cap A)}{p(F)} = \dfrac{p(A \cap F)}{p(F)} = \dfrac{\dfrac{712}{\np{2000}}}{\dfrac{1000}{\np{2000}}} = \dfrac{712}{\np{1000}}$.
\item On a $p(A) \times p(F) = \dfrac{712}{\np{2000}} \times \dfrac12 = \dfrac{712}{\np{4000}} = \dfrac{356}{\np{2000}}$.

Donc $p(A) \times p(F) \ne p(A \cap F)$ : les évènements $A$ et $F$ ne sont pas indépendants.
\item 728 élèves garçons ont choisi l'anglais et 272 ne l'ont pas choisi : or $728 \ne 3 \times 272$ car ce produit se termine par un 6.

L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $p(P) = \dfrac{1}{4}$, donc $p(F) = 1 - p(P) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac34$.
\item~

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=1ex,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}}
		{\pstree{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}}
			{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}
			\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}
			}
		\pstree{\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}}
			{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}
			\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}
			}
		}
\pstree{\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}}
		{\pstree{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}}
			{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}
			\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}
			}
		\pstree{\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}}
			{\TR{$P~~$}\taput{\small $\frac14$}
			\TR{$F~~$}\tbput{\small $\frac34$}
			}
	}
}
\end{center}

\item La probabilité d'obtenir une fois Pile est :

$p(PFF) + p(FPF) + p(FFP) = \frac14 \times \frac34 \times \frac34 + \frac34 \times \frac14 \times \frac34 + \frac34 \times \frac34 \times \frac14 = \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} = \dfrac{27}{64}$.
\item La probabilité de ne jamais obtenir pile est égale à :

$p(FFF) = \dfrac34 \times \dfrac34 \times \dfrac34 = \dfrac{27}{64}$ (branche du bas).
\end{enumerate}
\end{document}