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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  1\up{re}{} série générale -  corrigé du sujet 1}
\lfoot{\small{Sujet 0\\ Épreuve anticipée de mathématiques\\ voie générale \textbf{hors} spécialité}}
\rfoot{\small{2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 - Spécialité mathématiques - Corrigé du sujet 1~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

%\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
Voie générale : candidats \textbf{ne} suivant \textbf{pas} l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

%\medskip
%
%\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item L'opération qui permet de calculer 25\,\% de 480 est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac{480}{25 \times 100}$&\textbf{b.~} $25 \times 480 \times 0,1$&
\textbf{c.~} $\dfrac{480 \times 100}{25}$&\textbf{d.~} $\dfrac 14 \times 480$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
L'opération qui permet de calculer 25\,\% de 480 est
$480\times \dfrac{25}{100}$ soit $480\times \dfrac{1}{4}$.

\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Voici trois nombres :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$A =\dfrac 15$& $B = \dfrac{19}{100}$& $C = 0,21$.
\end{tabularx}

Le classement par ordre croissant de ces trois nombres est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$A < B < C$ &\textbf{b.~} A < C < B&\textbf{c.~} $B < A< C$&\textbf{d.~} $C < B < A$\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$A=\dfrac{1}{5}=0,20$; $B=\dfrac{19}{100}=0,19$ et $C=0,21$

$0,19<0,20<0,21$ donc $B<A<C$
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Voici quatre nombres :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$A = \left(\dfrac 15\right)^2$ & $B = \left (\dfrac{1}{2}\right )^5$ & $C = 0,05$& $D = \left(\dfrac 13\right)^3$
\end{tabularx}

Le plus grand de ces quatre nombres est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $A$&\textbf{b.~} $B$&\textbf{c.~} $C$&\textbf{d.~} $D$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$A=\left (\dfrac{1}{5}\right )^2= \dfrac{1}{5^2} =\dfrac{1}{25}$; $B=\left (\dfrac{1}{2}\right )^5=\dfrac{1}{2^5}=\dfrac{1}{32}$; $C=0,05 = \dfrac{5}{100}=\dfrac{1}{20}$ et

$D=\left (\dfrac{1}{3}\right )^3=\dfrac{1}{27}$
Toutes les fractions ont le même numérateur, donc la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Un article augmente de 10\,\% puis il augmente encore de 10\,\%.

Après ces deux augmentations il a augmenté de :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $(10\,\%)^2$ &\textbf{b.~} 19\,\% &\textbf{c.~} 20\,\% &\textbf{d.~} 21\,\%
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Augmenter de 10\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{10}{100}=1,1$; augmenter deux fois de 10\,\%, c'est multiplier par $1,1\times 1,1=1,21$.

$1,21=1+\dfrac{21}{100}$ donc ça correspond à une augmentation de 21\,\%.

\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Le tiers d'un quart correspond à la fraction :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac 17$&\textbf{b.~} $\dfrac 34$& \textbf{c.~} $\dfrac 13 \times 4$& \textbf{d.~} $\dfrac{1}{12}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Le tiers d'un quart correspond à la fraction $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\bigskip

\item On considère $A = 10 + 0,1 + \dfrac{1}{1000}$. On a : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $A= \dfrac{20^{-1}}{\np{1000}}$&\textbf{b.~} $A = \dfrac{1}{\np{1000}}$&\textbf{c.~} $A = 10,101$ &\textbf{d.~} $A = 10,110$ 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$A = 10 + 0,1 + \dfrac{1}{1000} = 10+0,1+0,001=10,101$
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\item On considère $A = 10^{10} + 10^{-10}$. $A$ est environ égal à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$10^0$&\textbf{b.~} 0&\textbf{c.~} $10^{10}$&$100^0$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$10^{-10}$ es proche de 0 donc $A\approx 10^{10}$.
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Une durée de 100 minutes correspond à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} 1 heure &\textbf{b.~} 1,40 heure &\textbf{c.~} $\dfrac 53$ heure&\textbf{d.~} 2 heures
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$\dfrac{1}{3}$ heure correspond à 20 minutes, $\dfrac{2}{3}$ heure à 40 minutes.

$\dfrac{3}{3}$ heure correspondent à 60 minutes.
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item On considère une droite $D$ représentée ci-contre.

La seule équation pouvant correspondre à l'équation réduite
de la droite $D$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $y = x+3$ &\textbf{b.~} $y = x - 3$\\
\textbf{c.~} $y = -x + 3$ &\textbf{d.~} $y = - x - 3$
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-4)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-3,-4.5)(6,3)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{6}{x 3 sub}
\uput[u](5.8,0){$x$} \uput[r](0,2.6){$y$}\uput[dr](5.8,2.8){\red $D$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[label=]
\item \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
La droite a un coefficient directeur positif et une ordonnée à l'origine négative.

\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}[start=10]
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 7 - \dfrac 12 (x - 3)^2$.

L'image de 3 par la fonction $f$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $7 - \dfrac 12$ &\textbf{b.~} $7 - \dfrac 12(9 + 9)$ &\textbf{c.~} $7$&\textbf{d.~} 0
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$f(3)=7-\dfrac{1}{2}\left (3-3\right )^2=7-0=7$
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Quand on développe $(x - 3)^2$ on obtient:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $x^2 + 9$ &\textbf{b.~} $x^2 - 9$ &\textbf{c.~} $x^2 + 6x + 9$&\textbf{d.~} $x^2 - 6x + 9$
\end{tabularx}


\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Voici deux séries de valeurs :

Série A : 1 ; 2 ; 3 \qquad Série B : 0,5 ; 2 ; 100

Une seule de ces affirmations est exacte :

\begin{tabular}{l}
\textbf{a.~} Les deux séries ont la même moyenne et la même médiane.\\
\textbf{b.~} Les deux séries ont la même moyenne mais pas la même médiane.\\
\textbf{c.~} Les deux séries ont la même médiane mais pas la même moyenne.\\
\textbf{d.~} Les deux séries n'ont ni la même moyenne ni la même médiane.
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{On regarde moyenne et médiane de chaque série.}
\item $1+2+3=6$ et $0,5+2+100=102,5$ donc les deux séries n'ont pas la même moyenne.
\item Les deux séries comportent 3 nombres donc leur médiane est le 2\ieme{} nombre, c'est-à-dire 2; les deux séries ont la même médiane.
\end{list}
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}

\textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}
\end{center}

\medskip

%\begin{minipage}{0.66\linewidth}
\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

Albert a acquis un étang d'une surface de \np{2000}~m$^2$.
Le jour de son anniversaire, un dimanche, il installe des nénuphars sur une surface de $200$~m$^2$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le dimanche d'après, la surface des nénuphars a augmenté de $40$~m$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Quel pourcentage d'augmentation cela représente-t-il ?
$\dfrac{40}{200}=\dfrac{20}{100}$ donc le pourcentage d'augmentation est de 20\,\%.		
				\item La surface occupée par les nénuphars est alors de 240~m$^2$.
	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{minipage}
%\hfill
%\begin{minipage}{0.32\linewidth}
%\psset{unit=0.95cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-2.3,-1.5)(2.3,1.9)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0)(2.3,1.45)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=green](1.45,0)(0.85,0.5)
%\rput(-1,1.8){\blue Étang}\rput(1,1.8){\green Nénuphars}
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,1.7)(-1,0)\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.45,1.7)(1.45,0)
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

%\begin{enumerate}[start=2]
\item Dans cette question, on suppose que la surface occupée par les nénuphars augmente de $40$ m$^2$ chaque semaine, depuis la date de l'anniversaire, tant que cela est possible.
	\begin{enumerate}
		\item $10\times 40=400$ et $200+400=600$
		
Donc la surface occupée par les nénuphars 10 semaines après l'anniversaire est de 600~m$^2$.
		\item %Est-il possible qu'un dimanche, la surface occupée par les nénuphars soit égale à $580$ m$^2$ ? Justifier.
Si  la surface occupée par les nénuphars est égale à $580$~m$^2$, cela veut dire qu'il y a eu une augmentation de 380~m$^2$ de la surface des nénuphars. Or 380 n'est pas un multiple de 40, donc ce n'est pas possible d'arriver à une surface occupée par les nénuphars de 580~m$^2$.
		
		\item% Au bout de combien de semaines, l'étang sera-t-il entièrement recouvert de nénuphars?
L'étang sera  entièrement recouvert de nénuphars quand la surface des nénuphars aura atteint \np{2000}~m$^2$, c'est-à-dire quand la surface des nénuphars aura augmenté de \np{1800}~m$^2$.

$\dfrac{\np{1800}}{40}=45$; il faudra donc 45 semaines pour que l'étang soit entièrement recouvert de nénuphars.
		
		
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que la surface occupée par les nénuphars augmente de $20\,\%$ chaque semaine, depuis la date de l'anniversaire, tant que cela est possible.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle sera la surface occupée par les nénuphars 2 semaines après l'anniversaire?
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Une semaine après l'anniversaire la surface occupée par les nénuphars est, en m$^2$, de: $200+\dfrac{20}{100}\times 200 = 200+40=240$.
\item Deux semaines après l'anniversaire la surface occupée par les nénuphars est, en m$^2$, de: $240+\dfrac{20}{100}\times 240 = 240+48=288$.
\end{list}		
		
		\item On considère un entier naturel $n$. %Déterminer, en fonction de $n$, la surface occupée par les nénuphars $n$ semaines après l'anniversaire ?
		
Ajouter 20\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{20}{100}=1,2$.

Pour avoir la surface occupée par les nénuphars au bout d'une semaine, il faut multiplier la surface du départ par $1,2$.
		
Pour avoir la surface occupée par les nénuphars au bout de deux semaines, il faut multiplier la surface du départ par $1,2\times 1,2=1,2^2$. Etc.

Pour avoir la surface occupée par les nénuphars au bout de $n$ semaines, il faut multiplier la surface du départ par $1,2^n$.
		
La surface occupée par les nénuphars $n$ semaines après l'anniversaire est donc
$200\times 1,2^n$.
		
		\item % Au bout de combien de semaines, l'étang sera-t-il entièrement recouvert par les nénuphars ? On pourra s'aider du tableau ci-dessous.
L'étang sera entièrement recouvert par les nénuphars quand $n$ sera tel que $200\times 1,2^n \geqslant \np{2000}$, c'est-à-dire $1,2^n \geqslant 10$.

D'après le tableau fourni, ce sera pour $n=13$, donc au bout de 13 semaines.				
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n=$& 0 &1 &2 &5 &10 &12 &13 &14 &15\\ \hline
$1,2^n \approx$& 1 &1,2& 1,44& 2,49& 6,19& 8,92& 10,70& 12,84& 15,40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Schéma sur lequel apparaissent l'allure des nuages de points traduisant la progression de la surface occupée par les nénuphars, aussi bien dans le cas de la question 2 (en noir) que dans le cas de la question 3 (en bleu).

\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.008cm,arrowsize=2pt 3}
\def\xmin{-5}   \def\xmax{47} \def\ymin{-100}   \def\ymax{2200}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1.5cm,yunit=0.8cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(15,22)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dx=5,Dy=100](0,0)(-4.9,-99)(\xmax,2199)
\psplot[plotpoints=46,plotstyle=dots]{0}{45}{200 40 x mul add}
\psline[linestyle=dashed](45,0)(45,2000)
\psplot[plotpoints=14,plotstyle=dots,linecolor=blue]{0}{13}{200 1.2 x exp mul}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](13,0)(13,2140)
\uput{8pt}[d](13,0){\blue 13}
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{\xmax}{2000}
\uput[r](0,2150){Surface nénuphars} \uput[u](37,0){Nombre de semaines}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

Un vendeur de voitures possède un stock de \np{1000} voitures dont les caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Blanche &Noire &Rouge&TOTAL\\ \hline
Française &150 &$x$&400&750\\ \hline
Étrangère &100& 50 &100& 250\\ \hline
TOTAL &250&250 &500&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item %Indiquer ce que représente $x$ et déterminer sa valeur.
Le nombre $x$ représente le nombre de voitures françaises noires.

Il y a 250 voitures noires, dont 50 étrangères; donc $x=250-50=200$.

\item %Quel est le pourcentage de voitures noires parmi les voitures du stock?
Il y a \np{1000} voitures dans le stock dont 250 voitures noires.

Le pourcentage de voitures noires parmi les voitures du stock est donc égal à\\
 $\dfrac{250}{\np{1000}}$ c'est-à-dire $\dfrac{25}{100}$ soit 25\,\%.

\item %Quel est le pourcentage de  voitures noires étrangères parmi les voitures du stock ?
Il y a \np{1000} voitures dans le stock dont 50 voitures noires étrangères.

Le pourcentage de voitures noires étrangères parmi les voitures du stock est donc égal à
 $\dfrac{50}{\np{1000}}$ c'est-à-dire $\dfrac{5}{100}$ soit 5\,\%.

\item %Quel est le pourcentage de voitures blanches parmi les voitures françaises ?
Il y a 750 voitures françaises dont 150 voitures blanches.

Le pourcentage de voitures blanches parmi les voitures françaises est donc égal à\\
 $\dfrac{150}{\np{750}}$ c'est-à-dire $\dfrac{1}{5}$ ou $\dfrac{20}{100}$ soit 20\,\%.

\item %Quel est le pourcentage de voitures françaises parmi les voitures blanches ?
Il y a 250 voitures blanches dont 150 voitures françaises.

Le pourcentage de voitures françaises parmi les voitures blanches  est donc égal à\\
 $\dfrac{150}{\np{250}}$ c'est-à-dire $\dfrac{15}{25}$ ou $\dfrac{60}{100}$ soit 60\,\%.

\item 
\begin{list}{\textbullet}{ Alice et Benoît jouent au jeu suivant:}
\item Alice choisit au hasard une voiture parmi les voitures Françaises. \\
Elle remporte 1 euro si ce n'est pas une voiture rouge.

Parmi les 750 voitures françaises, il y en a $750-400=350$ qui ne sont pas rouges. La probabilité pour Alice de gagner est donc $\dfrac{350}{750}$.

\item Benoit choisit au hasard une voiture parmi les voitures Blanches. \\
Il remporte 1 euro si c'est une voiture étrangère.

Parmi les 250 voitures blanches, il y en a 100 qui sont étrangères. La probabilité pour Benoit de gagner est donc $\dfrac{100}{250}$.
\end{list}

Or $\dfrac{100}{250} = \dfrac{300}{750} < \dfrac{350}{750}$,
donc c'est Alice qui a le plus de chance de remporter 1 euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (X points)}

\medskip

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Sur un axe gradué en mètres, on organise une course entre une tortue et un escargot.
\item La tortue part du point d'abscisse $x = 0$. \\
Elle se déplace vers la droite à une vitesse de $2$~mètres par minute.
\item L'escargot part du point d'abscisse $x = 12$. \\
Il se déplace vers la droite à une vitesse de $50$~centimètres par minute.
\item Les deux concurrents partent en même temps.
\end{itemize}

%\medskip
%
%À quel endroit la tortue T rattrapera-t-elle l'escargot E?

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.4)(15,0.5)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-1,0)(15,0)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline(\n,-0.1)(\n,0) \uput[d](\n,0){\n}}
\uput[u](0,0){T}\uput[u](12,0){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabular}{@{} ll}
D'après les données: & \textbullet~~l'abscisse de T au bout de $x$ minutes est $2x$;\\
& \textbullet~~l'abscisse de E au bout de $x$ minutes est $12+0,5x$.
\end{tabular}

La tortue rejoint l'escargot quand $2x=12+0,5x$, soit $2x-0,5x=12$ soit $1,5x=12$ ou encore $x=\dfrac{12}{1,5}$, c'est-à-dire pour $x=8$. La distance parcourue alors est de $2\times 8=16$.

La tortue rattrape l'escargot au bout de 8 minutes, donc au point d'abscisse  16. 

\end{document}
