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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture et corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale}
\lfoot{\small{Sujet 0\\Épreuve anticipée de mathématiques\\
 voie générale spécialité}}
\rfoot{\small{2025 - sujet 1}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques 1 - Corrigé~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
%Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
%Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

%\medskip
%
%\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

L'inverse du double de 5 est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac 25$ &\textbf{b.~} $\dfrac{1}{10}$&\textbf{c.~} $\dfrac 52$ &\textbf{d.~} 10
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Le double de 5 est 10, l'inverse du double de 5 est donc $\dfrac{1}{10}$.
\hfill\textbf{Réponse b}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}.$\\[5pt]
Lorsque $a = \dfrac12$, $b = 3$, $c = 4$, $d = - \dfrac14$, la valeur de $F$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $- \dfrac52$&\textbf{b.~}$- \dfrac32$&\textbf{c.~} $\dfrac52$&\textbf{d.~} $\dfrac32$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$cd=4\times \left (-\dfrac{1}{4}\right )=-1$ donc $\dfrac{b}{cd}=\dfrac{3}{-1}=-3$

$F= a+\dfrac{b}{cd} = \dfrac{1}{2} + (-3)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{2}=-\dfrac{5}{2}$
\hfill\textbf{Réponse a}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Le prix d'un article est multiplié par 0,975.

Cela signifie que le prix de cet article a connu :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} une baisse de 2,5\,\% &\textbf{b.~} une augmentation de 97,5\,\%\\
\textbf{c.~} une baisse de 25\,\%& \textbf{d.~} une augmentation de 0,975\,\%
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Multiplier par $\left (1-\dfrac{t}{100}\right )$, c'est faire subir une baisse de $t\,\%$.

$0,975 = 1-0,025 = 1 - \dfrac{2,5}{100}$; il s'agit donc d'une baisse de $2,5\,\%$.

\hfill\textbf{Réponse a}
\end{tabular}

\bigskip 

\textbf{Question 4}

\medskip

Le prix d'un article est noté $P$. Ce prix augmente de 10\,\% puis baisse de 10\,\%.

À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que:

\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $P_1 = P$\hfill \textbf{b.~} $P_1 > P$\hfill
\textbf{c.~} $P_1 < P$\hfill \textbf{d.~} Cela dépend de $P$
%\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Augmenter de 10\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{10}{100}=1,1$.

Baisser de 10\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{10}{100}=0,9$.

Augmenter de 10\,\% puis baisser de 10\,\%, c'est multiplier par $1,1\times 0,9 = 0,99 < 1$.

Donc $P_1< P$\ (avec $P \ne 0$) \hfill\textbf{Réponse c}
\end{tabular}

\bigskip 

\textbf{Question 5}

\medskip

On lance un dé à 4 faces. \\
La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Face numéro 1 &Face numéro 2& Face numéro 3& Face numéro 4\\ 
\hline
 0,5 &$\dfrac16$&0,2& $x$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $x = \dfrac{2}{15}$&\textbf{b.~} $x = \dfrac{2}{3}$& 
\textbf{c.~} $x = 0,4$&\textbf{d.~} $x = 0,1$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
La somme des probabilités doit être égale à 1, donc
$0,5+\dfrac{1}{6}+ 0,2+x=1$

donc
$0,7+\dfrac{1}{6}+x=1$
donc
$\dfrac{7}{10}+\dfrac{1}{6}+x=1$
donc
$\dfrac{21}{30}+ \dfrac{5}{30}+x=1$
donc
$\dfrac{26}{30}+x=1$

donc
$x= \dfrac{30}{30}-\dfrac{26}{30}$
donc
$x=\dfrac{4}{30}$
donc
$x=\dfrac{2}{15}$
\hfill\textbf{Réponse a}
\end{tabular}

\bigskip 

\textbf{Question 6}

\medskip

On considère $x$, $y$, $u$ des réels non nuls tels que  $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac 1u$.

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $u = \dfrac{xy}{x + y}$&\textbf{b.~} $u = \dfrac{x + y}{xy}$ &\textbf{c.~} $u = xy$ &\textbf{d.~} $u = x + y$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{u}$
équivaut à
$\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{u}$
équivaut à
$\dfrac{xy}{x+y}=u$
\hfill\textbf{Réponse a}
\end{tabular}

\bigskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\textbf{Question 7}

\medskip

On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^2$.

On note $(\mathcal{J})$ l'inéquation, sur $\R$,\: $x^2 \geqslant 10$.

L'inéquation $(\mathcal{J})$ est équivalente à :

{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{24}{X}}
\textbf{a.~}$- \sqrt{10} \leqslant x \leqslant \sqrt{10}$&\textbf{b.~}$x \leqslant- \sqrt{10}$ ou $x \geqslant \sqrt{10}$\\
\textbf{c.~}$x \geqslant \sqrt{10}$&\textbf{d.~}$x = \sqrt{10}$ ou $x = - \sqrt{10}$
\end{tabularx}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,16)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-1)(5,16)
\uput[u](4.8,0){$x$}\uput[r](0,15){$y$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=red]{-4}{4}{x dup mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4}{-3.162}{x dup mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=2pt,linecolor=blue]{3.162}{4}{x dup mul}
%%%%%%%%%
\psset{linecolor=blue}
\psline[linewidth=2pt]{-]}(-5,0)(-3.162,0)
\psline[linewidth=2pt]{[-}(3.162,0)(5,0)
\psset{linestyle=dashed}
\psline(-5,10)(5,10)
\psline(-3.162,10)(-3.162,0)\uput{8pt}[d](-3.162,0){\blue\tiny$-\sqrt{10}$}
\psline(3.162,10)(3.162,0) \uput{8pt}[d](3.162,0){\blue\tiny$\sqrt{10}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$f(x)\geqslant 10$ signifie que la courbe représentant la fonction $f$ est au dessus de la droite d'équation $y=10$.

Voir graphique \hfill\textbf{Réponse b}
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Question 8}

\medskip

On a représenté ci-contre une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé.

Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est: 

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $y = - \dfrac32 x + 2$&\textbf{b.~} $y = \dfrac23 x + 2$\\
\textbf{c.~} $2x - 3y - 6 = 0$&\textbf{d.~} $\dfrac x3 + \dfrac y2 - 1 = 0$
\end{tabularx}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(6.5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.99,-2.5)(6.5,4)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{2 x 2 mul 3 div sub}
\uput[u](6,0){$x$}\uput[r](0,3.5){$y$}
\uput[dl](-1.5,3){\blue $\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Il suffit de chercher quelle droite passe par les points de coordonnées $(0\,,\,2)$ et $(3\,,\,0)$.

\hfill\textbf{Réponse d}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On considère trois fonctions définies sur $\R$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$f_1 : \:x \longmapsto x^2 - (1 - x)^2$&$f_2 : x \longmapsto \dfrac x2 - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$&$f_3 : x \longmapsto \dfrac{5 - \frac23 x}{0,7}$
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} aucune &\textbf{b.~} toutes\\
\textbf{c.~} uniquement la fonction $f_1$ &\textbf{d.~} uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{On cherche si les fonctions sont de la forme $x \longmapsto ax+b$.}
\item $f_1(x)=x^2-\left (1-x\right )^2=x^2 -\left (1-2x+x^2\right )=x^2-1+2x-x^2 = 2x-1$.

Donc $f_1$ est une fonction affine.
\item $f_2(x)= \dfrac{x}{2} - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ est de la forme $ax+b$ avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$. 

Donc $f_2$ est une fonction affine.
\item $f_3(x)= \dfrac{5 - \frac23 x}{0,7} = -\dfrac{2}{3\times 0,7} x + \dfrac{5}{0,7}$ est de la forme $ax+b$ avec $a=-\dfrac{2}{2,1}$ et $b=\dfrac{5}{0,7}$. 

Donc $f_3$ est une fonction affine.
\end{list}

\hfill\textbf{Réponse b}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$.

Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$.

Laquelle ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $x \longmapsto x^2 - 10$ &\textbf{b.~} $x\longmapsto -x^2 - 10$ \\
\textbf{c.~} $x\longmapsto -x^2 + 10$ &\textbf{d.~} $x\longmapsto -x^2 + 10x$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,12)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{10 x dup mul sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](2.5,6.25){\red $\mathcal{P}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Le point de la courbe d'abscisse 0 a une ordonnée strictement positive.
\hfill\textbf{Réponse c}
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Question 11}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$.

Les points A, B, R et S appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$.

Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{\text{A}},\: x_{\text{B}},\: x_{\text{R}}$
 et $x_{\text{S}}$.

L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{B}}$ &\textbf{b.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{R}}$ \\
\textbf{c.~} $x_{\text{A}}$ et $x_{\text{S}}$ &\textbf{d.~} $x_{\text{A}}, \: x_{\text{B}}$ et $x_{\text{S}}$
\end{tabularx}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3.5,-4.5)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=15]{-}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,3)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub 5 x mul sub 6 add 6 div}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](-3,-4){A}\uput[ul](-1.44,0.97){B}\uput[ur](0.4,0.624){R}\uput[dr](2.4,-0.616){S}
\uput[r](2.4,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots(-3,-4)(-1.44,0.97)(0.4,0.624)(2.4,-0.616)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{On calcule $x\times f(x)$ pour les 4 points.}
\item $x_{\text{A}} <0$ et $f\left (x_{\text{A}}\right )<0$ donc $x_{\text{A}} \times f\left (x_{\text{A}}\right )>0$, donc $x_{\text{A}}$ est solution.
\item $x_{\text{B}} <0$ et $f\left (x_{\text{B}}\right )>0$ donc $x_{\text{B}} \times f\left (x_{\text{B}}\right )<0$, donc $x_{\text{B}}$ n'est pas solution.
\item $x_{\text{R}} >0$ et $f\left (x_{\text{R}}\right )>0$ donc $x_{\text{R}} \times f\left (x_{\text{R}}\right )>0$, donc $x_{\text{R}}$ est solution.
\item $x_{\text{S}} >0$ et $f\left (x_{\text{S}}\right )<0$ donc $x_{\text{S}} \times f\left (x_{\text{S}}\right )<0$, donc $x_{\text{S}}$ n'est pas solution.
\end{list}

\hfill\textbf{Réponse b}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Voici une série de notes avec les coefficients associés.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l |*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note&10 &8 &16\\ \hline
Coefficient &1 &2&$x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On note $m$ la moyenne de cette série.
Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} impossible &\textbf{b.~} $x = 10^{-3}$&
\textbf{c.~} $x = 3$ &\textbf{d.~} $x = 19$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Il y a en tout $(x+3)$ notes, et si leur moyenne est de 15, la somme des notes doit être égale à $15\times (x+3)$ soit $15x+45$.

Or la somme des notes est égale à $10\times 1+8\times 2+16\times x = 16x+26$.

$16x+26 = 15x+45$ équivaut à $16x-15x=45-26$ soit $x=19$.
\hfill\textbf{Réponse d}
\end{tabular}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 points)}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé \Oij.

\begin{figure}[t]
\centering
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=6,Dy=6](0,0)(0,0)(5,5)
\psframe[linewidth=1.5pt](4,4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,4)(1.92,1.44)(4,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](4,0){A} \uput[ur](4,4){B} \uput[ur](0,4){C} 
\uput[d](1.92,1.44){H} \uput[r](4,3){I} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\rput{40}(1.92,1.44){\psframe(0.25,0.25)}
\uput[d](4,0){\small 4}\uput[l](0,4){\small 4}
\pscircle[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,2){0.5}\psdots[linecolor=red](2,2)
\end{pspicture}
\end{figure}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On dispose des données suivantes:}
\item Le quadrilatère OABC est un carré de côté 4 ;
\item On a A(4~;~0),\: B(4~;~4), C(0~;~4), I(4~;~3) ;
\item Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI) ;
\item On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre D(2~;~2) et de rayon 0,5.
\end{list}

\newpage

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OI}}$ et $\vect{\text{OC}}$
On a I\,$\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ donc
$\vectt{OI} \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$,
et
C\,$\begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}$ donc
$\vectt{OC} \begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}$

		\item %En déduire le produit scalaire $\vect{\text{OI}}\cdot \vect{\text{OC}}$.
On en déduit que
$\vectt{OI}\cdot \vectt{OC}=4\times 0 + 3\times 4 = 12$.		
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer le produit scalaire $\vect{\text{OI}} \cdot \vect{\text{OC}}$ en fonction des longueurs OH et OI.
D'après le texte, le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI), donc
$\vectt{OC}\cdot \vectt{OI} = \vectt{OH}\cdot \vectt{OI}$.
Les vecteurs $ \vectt{OH}$ et $\vectt{OI}$ sont colinéaires et de même sens donc $\vectt{OH}\cdot \vectt{OI}= \text{OH}\times \text{OI}$.

De plus, $\vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = \vectt{OC}\cdot \vectt{OI}$.

On peut donc conclure que $\vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = \text{OH}\times \text{OI}$.

		\item %Calculer la longueur OI.
$\vectt{OI} \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ donc $\text{OI} = \ds\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$

		\item %En déduire que OH $= 2,4$.
On a: $\aligned[t]
 & \vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = \text{OH}\times \text{OI}\\
& \vectt{OI}\cdot \vectt{OC} = 12\\
& \text{OI}=5
\endaligned$

On en déduit que $\text{OH}\times 5=12$ donc que $\text{OH} = \dfrac{12}{5}=2,4$.

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation cartésienne de la droite (CH).
Le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (OI), donc les vecteurs $\vectt{OI}$ et $\vectt{CH}$ sont orthogonaux, donc le vecteur $\vectt{OI}$ est un vecteur normal à la droite (CH).

Or $\vectt{OI}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$ donc la droite (CH) a une équation cartésienne de la forme $4x+3y+c=0$, où $c$ est un réel à déterminer.

La droite (CH) contient le point C de coordonnées $\begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}$, et le point C appartient à la droite (CH); donc:
$4\times 0 + 3 \times 4 + c=0$ donc $c=-12$.

La droite (CH) a pour équation $4x+3y-12=0$.

		\item %Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est: $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0.$
Le cercle $\mathcal{E}$ de centre D\,$(2\,,\,2)$ et de rayon $0,5$ a pour équation:

$(x-2)^2+(y-2)^2=0,5^2$ soit $x^2-4x+4+y^2-4y+4-0,25=0$

c'est-à-dire $x^2+y^2-4x-4y +7,75=0$

		\item Soit M le point de coordonnées (1,5~;~2).

\begin{list}{\textbullet}{}
\item
$\aligned[t]
x_{\text{M}}^2+y_{\text{M}}^2-4x_{\text{M}}-4y_{\text{M}} +7,75
& = 1,5^2 + 2^2 -4\times 1,5 - 4\times 2 + 7,75\\
& = 2,25 + 4 - 6 - 8 + 7,75\\
& = 0
\endaligned$

Donc $\text{M} \in \mathcal{E}$.
\item 
$\aligned[t]
4x_{\text{M}}+3y_{\text{M}}-12
& = 4\times 1,5 + 3\times 2 - 12\\
& = 6+6-12\\
& = 0
\endaligned$

Donc $\text{M} \in \text{(CH)}$.
\end{list}
	
On peut donc dire que le point M(1,5~;~2) appartient à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite (CH)	

	\end{enumerate}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

On se place dans un repère \Oij{} orthogonal.

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par 
$g(x) = x^2 - 5x + 4$.\\
On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
$x^2-5x+4$ est un polynôme du second degré.

$\Delta=(-5)^2-4\times 4 = 25-16=9 = 3^2$

Le polynôme admet donc deux racines: 

$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $x'' =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+3}{2}=4$
		
On en déduit que $g(x)=(x-1)(x-4)$. On détermine alors le signe de $g$.		
		
		\[\begin{tablvar}[4em]{3}
\hline
x & -\infty && 1 && 4 &&  +\infty\\
\hline
x-1 &  & -  & \barre[0]& + & \barre&  + & \\
\hline
x-4 &  & -  & \barre& - & \barre[0] &  + & \\
\hline
\text{signe de } g &  & + & \barre[0]& - & \barre[0] &  + & \\
\hline
\end{tablvar}\]

		\item On considère un entier naturel $n$ quelconque.

On note $\text{A}_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.

On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(\text{A}_n\text{A}_{n+1})$ donc
$a_n=\dfrac{y_{\text{A}_{n+1}} - y_{\text{A}_n}}{x_{\text{A}_{n+1}} - x_{\text{A}_n}}$.

Par définition, $x_{\text{A}_n}=n$, et comme le point $\text{A}_n$ est un point de la courbe $\mathcal{P}$, on a:
$y_{\text{A}_n} = g\left (x_{\text{A}_n}\right )=g(n)=n^2-5n+4$.

De même:
$\aligned[t]
y_{\text{A}_{n+1}}
& = g\left (x_{\text{A}_{n+1}}\right )=g(n+1) =(n+1)^2-5(n+1)+4\\
& = n^2+2n+1-5n-5+4 = n^2-3n
\endaligned$

Donc:  $y_{\text{A}_{n+1}} - y_{\text{A}_{n}} = \left (n^2-3n\right ) - \left (n^2-5n+4\right ) = n^2 -3n -n^2 +5n -4=2n-4$.

Or $x_{\text{A}_{n+1}} - x_{\text{A}_{n}} = n+1-n=1$;
donc $a_n=\dfrac{y_{\text{A}_{n+1}} - y_{\text{A}_n}}{x_{\text{A}_{n+1}} - x_{\text{A}_n}} = \dfrac{2n-4}{1}=2n-4$.

%Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$.

		\item %Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ?
$a_{n+1}-a_n= \left (2(n+1)-4\right ) - \left (2n-4\right ) = 2n+2-4-2n+4=2$

Donc la suite $(a_n)$ est arithmétique de raison 2.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de [0,5~;~8] par
$f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x.$

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle [0,5~;~8] on a $f(x) =\dfrac{ g(x)}{x}$. 
$f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x = \dfrac{x^2}{x} - \dfrac{5x}{x} + \dfrac{4}{x}= \dfrac{x^2-5x+4}{x}=\dfrac{g(x)}{x}$		

		\item %À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses dépend du signe de $f(x)$: si $f(x)>0$, alors la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses, et  si $f(x) < 0$, alors la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de l'axe des abscisses.

$f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$, et sur $[0,5\;; 8]$, $x>0$; donc $f(x)$ est du même signe que $g(x)$ sur  $[0,5\;; 8]$.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{D'après le résultat de la question \textbf{1.a.}:}
\item sur l'intervalle $[0,5\;; 1[$, $g(x)>0$ donc $f(x)>0$, donc  la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses;
\item sur l'intervalle $]1\;; 4[$, $g(x)<0$ donc $f(x)<0$, donc la courbe  $\mathcal{C}$ est en dessous de l'axe des abscisses;
\item sur l'intervalle $]4\;; 8]$, $g(x)>0$ donc $f(x)>0$, donc la courbe  $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses.
\end{list}

		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,5~;~8].

%Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~8] on a : $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$
Sur  l'intervalle [0,5~;~8], $f'(x)=1-0 +4\left (-\dfrac{1}{x^2}\right ) = 1-\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-4}{x^2}= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$.

		\item On détermine le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~8].

\[\begin{tablvar}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{2}
\hline
x & 0,5 && 2  &&  8\\
\hline
x-2 &&   - & \barre[0] &  + & \\
\hline
x+2 &&  + &\barre &  + & \\
\hline
(x-2)(x+2) &&  - & \barre[0] &  + & \\
\hline
x^2 &&  + &\barre &  + & \\
\hline
f'(x)= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} &&  - & \barre[0] &  + & \rule[-12pt]{0pt}{35pt}\\
\hline
%\variations{\mil{\text{variations de }f} & \haut{} & & \bas{} &  & \haut{}} 
%\hline
\end{tablvar}\]

On peut calculer les valeurs intéressantes de $f(x)$ pour compléter le tableau de variations.

$f(0,5)=0,5-5+\dfrac{4}{0,5}=0,5-5+8=3,5$;
$f(2)=2-5+\dfrac{4}{2}=2-5+2=-1$, et
$f(8)=8-5+\dfrac{4}{8}=8-5+0,5=3,5$

\[\renewcommand{\fleche}{\ncline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 3,nodesep=2.5pt]{->}}
\begin{tablvar}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{2}
\hline
x & 0,5 && 2  &&  8\\
%\hline
%x-2 &&   - & \barre[0] &  + & \\
%\hline
%x+2 &&  + &\barre &  + & \\
%\hline
%(x-2)(x+2) &&  - & \barre[0] &  + & \\
%\hline
%x^2 &&  + &\barre &  + & \\
\hline
f'(x)= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} &&  - & \barre[0] &  + & \rule[-12pt]{0pt}{35pt}\\
\hline
\variations{\mil{\text{variations de }f} & \haut{3,5} & & \bas{-1} &  & \haut{3,5}} 
\hline
\end{tablvar}\]
		
		\item On réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel on fait apparaitre les résultats des questions \textbf{2.b} et \textbf{2.d}.
		
		\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2)(9,4)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](-1,-2)(9,4)
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-1.99)(9,3.99)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0.5}{1}{x 5 sub 4 x div add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt]{1}{4}{x 5 sub 4 x div add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{4}{8}{x 5 sub 4 x div add}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](2,0)(2,-1)(0,-1)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](8,0)(8,3.5)(0,3.5)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0.5,0)(0.5,3.5)
\uput[l](0,3.5){\blue\scriptsize$3,5$} \uput[d](0.5,0){\blue\scriptsize$0,5$} 
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}