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%Tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé : F rançois Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Première série générale -- sujet 2 - corrigé}
\lfoot{\small{Sujet 0\\ Épreuve anticipée de mathématiques -\\
 voie générale spécialité}}
\rfoot{\small{2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques - Corrigé du sujet 2~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

%
%\renewcommand\arraystretch{1}


%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
%Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
%Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{center}
\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

%\medskip
%
%\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère l'arbre de probabilité ci-contre. \\
\\
On cherche la probabilité de l'évènement $B$.\\
\\
On a
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2cm,nodesepB=2pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$A$}\taput{$0,4$}}
	{\TR{$B$} \taput{$0,3$}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{\blue $0,7$}
	}
\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\blue $0,6$}}
	{\TR{$B$} \taput{\blue $0,1$}
	\TR{$\overline{B}$} \tbput{$0,9$}
	}
}
\medskip
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
$p(B) = 0,18$&$p(B) = 0,12$&$p(B) = 0,66$&$p(B) = 0,3$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On a complété l'arbre de probabilités en bleu.

D'après la formule des probabilités totales:

$\aligned[b]
p\left (B\right )
& = p\left (A\cap B\right ) + p\left (\overline{A}\cap B\right )
= p\left (A\right ) \times p_{A}\left (B\right ) + p\left (\overline{A}\right ) \times p_{\overline{A}}\left (B\right ) \\
& =  0,4\times 0,3 + 0,6\times 0,1 = 0,12 + 0,06 = 0,18
\endaligned$
\hfill\textbf{Réponse A.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 2}

Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\,\%$. \\
Le prix après cette diminution est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\
140 euros&170 euros&194~euros&197~euros\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Diminuer de 30\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{30}{100}$ soit $0,7$.

$200\times 0,7=140$ \hfill\textbf{Réponse A.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

Une réduction de 50\,\% suivi d'une augmentation de 50\,\% équivaut à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
une réduction de 50\,\%&une réduction de 25\,\%& une augmentation de 25\,\%&une augmentation de 75\,\%\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Pratiquer une réduction de 50\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{50}{100}=0,5$.

Augmenter de 50\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{50}{100}=1,5$.

Réduire de 50\,\% puis augmenter de 50\,\%, c'est multiplier par $0,5\times 1,5= 0,75$.

$0,75=1-\dfrac{25}{100}$ donc multiplier par $0,75$ c'est effectuer une réduction de 25\,\%.

\hfill\textbf{Réponse B.}
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Question 4}

\medskip

Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. 

La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\
 4\,\%&12,5\,\%&25\,\%& 50\,\%\\ 
 \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
La moitié du quart est $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$ 
et
$\dfrac{1}{8} = \dfrac{12,5}{100}$ 
\hfill\textbf{Réponse B.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 5}

\medskip

On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
 $N = 2^5$&$N = \np{20000}$&$N = \dfrac{1}{10^5}$&$N = 4 \times 10^5$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ 
 \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$N = \dfrac{10^7}{5^2} = \dfrac{10^2\times 10^5}{5^2}
= \dfrac{10^2}{5^2}\times 10^5
= \left (\dfrac{10}{5}\right )^2 \times 10^5
= 2^2 \times 10^5
= 4\times 10^5$

\hfill\textbf{Réponse D.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 6}

\medskip

Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^6$ joules pour se mettre en route.

À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?

\hfill \emph{Données} : 1 kWh $= 3,6 \times 10^6$~J
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
0,5 kWh&2,08 kWh&5,3 kWh&20,35 kWh\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
1 kWh $= 3,6 \times 10^6$~J donc 2 kWh $= 7,2 \times 10^6$~J

Donc $7,5 \times 10^6$~J correspond à un peu plus de 2 kWh.
\hfill\textbf{Réponse B.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 7}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points 
A$(0~;~-1)$ et B(2~;~5).

Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
$- \dfrac 12$&$2$&3&$\dfrac 13$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à 
$\dfrac{y_{\text{B}}- y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}- x_{\text{A}}}
= \dfrac{5-(-1)}{2-0}= \dfrac{6}{2} = 3$.

\hfill\textbf{Réponse C.}
\end{tabular}

\newpage

\textbf{Question 8}

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
On a représenté ci-contre une droite $D$.\\

Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$
est :
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.23\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.4,-1.4)(1.6,1.4)
\psaxes[Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.6,1.4)
\psplot[plotpoints= 600,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{2 x mul neg}
\uput[u](1.3,0){\small $x$}\uput[r](0,1.3){\small $y$}
\uput[l](-0.5,1){\blue $D$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}			&\textbf{B.}		& \textbf{C.}			& \textbf{D.}\\
$2x - y = 0$& $2x  + y + 1 = 0$ & $y = x^2 -(x + 1)^2 + 1$ & $y = 2x - 1$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{La droite a un coefficient directeur négatif et passe par l'origine.}
\item \textbf{A.} $2x-y=0$ équivaut à $y=2x$; on peut éliminer car le coefficient directeur est positif.
\item \textbf{B.} $2x  + y + 1 = 0$ équivaut à $y=-2x-1$; on peut éliminer car la droite ne passe pas par l'origine.
\item \textbf{D.} $y = 2x - 1$; on peut éliminer car la droite ne passe pas par l'origine.
\item \textbf{C.} $y = x^2 -(x + 1)^2 + 1$ équivaut à $y = x^2 -\left (x^2+2x+1\right ) +1$

\qquad  équivaut à $y=x^2 - x^2 - 2x -1+1$ soit $y=-2x$.
\end{list}

\hfill\textbf{Réponse C.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 9}

\medskip

On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$
sur $\R$. On a :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}	&\textbf{B.}		&\textbf{C.}			&\textbf{D.}\\ 
$\mathcal{S} = \{-5~;~5\} $ &$\mathcal{S} = \left\{-\sqrt 5~;~\sqrt 5\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \left\{-\sqrt{10}~;~\sqrt{10}\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \emptyset$\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
L'équation admet deux solutions $-\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$.
\hfill\textbf{Réponse C.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 10}

\medskip

La fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = (3x - 15)(x + 2)$
admet pour tableau de signes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.} & \textbf{B.}
\\
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -2 && 5 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & +  & 0 & - & 0 &  + & \\
\hline
\end{tablvar}$
&
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -2 && 5 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & -  & 0 & + & 0 &  - & \\
\hline
\end{tablvar}$\\
&\\
\hline
\textbf{C.} & \textbf{D.}
\\
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -5 && 2 &&  +\infty\\
\hline
f(x) &  & +  & 0 & - & 0 &  + & \\
\hline
\end{tablvar}$
&
$\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -5 && 2 && +\infty\\
\hline
f(x) &  & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{tablvar}$\\
&\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$3x-15$ s'annule et change de signe pour $x=5$, et $x+2$ s'annule et change de signe pour $x=-2$.

On établit le tableau de signes complet.

\[\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -\infty && -2 && 5 &&  +\infty\\
\hline
3x-15 &  & -  & \barre & - & \barre[0] &  + & \\
\hline
x+2 &  & -  & \barre[0] & + & \barre &  + & \\
\hline
f(x) &  & +  & \barre[0] & - & \barre[0] &  + & \\
\hline
\end{tablvar}\]

\hfill\textbf{Réponse A.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 11}

\medskip

L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
 \hline
 \textbf{A.}			&\textbf{B.}		& \textbf{C.}			& \textbf{D.}\\
$4x^2 + x + 0,25$	&	$4x^2+ 4x + 2$	&	$4x^2 + 2x + 0,25$	&$4x^2 + 2x + 1$\\ 
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$(2x + 0,5)^2 = (2x)^2 + 2\times 2x \times 0,5 + (0,5)^2= 4x^2 + 2x +0,25$
\hfill\textbf{Réponse C.}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Question 12}

\medskip

Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse  (en m/s) de la manière suivante:
$a = \dfrac{v^2}{R}$.

L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 
$v = aR^2$&$v = \sqrt{aR}$&$v = \sqrt{\dfrac aR}$&$v = \dfrac{a^2}{R}$\rule[-10pt]{0pt}{25pt} \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$a = \dfrac{v^2}{R}$ équivaut à $aR=v^2$ et donc $v=\ds\sqrt{aR}$.
\hfill\textbf{Réponse B.}
\end{tabular}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage
\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0&=&\np{10000}\\
u_{n+1}&=&1,08u_n - 300,\quad n \in \N 
\end{array}\right.\]

où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.
$u_1$  représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + 1$ soit le nombre d'habitants en 2021.

$u_{1}=1,08 u_0 - 300 = 1,08\times \np{10000}-300 = \np{10800}-300=\np{10500}$

\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n  - \np{3750}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $v_0$.
$v_0=u_0 - 	\np{3750} = \np{10000} - \np{3750} = \np{6250}$
		
		\item % Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1,08v_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_n-\np{3750}$ donc $u_n=v_n+\np{3750}$.

$\aligned
v_{n+1}
& =u_{n+1}-\np{3750}
 = 1,08u_n -300 -\np{3750}
= 1,08\left ( v_n +\np{3750} \right ) -300 - \np{3750}\\
& =1,08 v_n + \np{4050} - \np{4050}
= 1,08 v_n
\endaligned$

		\item% En déduire la nature de la suite $(v_n)$.
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,08$ et de premier terme $v_0 = \np{6250}$.

		\item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, on a 
$v_n=v_0\times q^n = \np{6250}\times 1,08^n$.		
		
		\item %En déduire que pour tout entier naturel, on a $u_n = \np{6250} \times 1,08^n + \np{3750}$
Pour tout $n$ on a $v_n= \np{6250}\times 1,08^n$ et $u_n=v_n+\np{3750}$ donc on peut en déduire que $u_n = \np{6250}\times 1,08^n +\np{3750}$.
	\end{enumerate}
	
\item ~

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 :

\begin{center}
\fbox{\texttt{= 6250*1,08\^{}A2 + 3750}}
\end{center}

La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école
 maternelle dès que la population atteindra \np{19000} habitants.\\

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
$\begin{array}{|>{\cellcolor{lightgray}}c|c|c|}\hline
\rowcolor{lightgray}&\text{A}&\text{B}\\ \hline
1&\text{n}& \text{Un}\\ \hline
2&0&\np{10000}\\ \hline
3&1&\np{10500}\\ \hline
\cdots & \cdots & \cdots \\ \hline
13&11&\np{18322,74373}\\ \hline
14&12&\np{19488,56323}\\ \hline
15&13&\np{20747,64829}\\ \hline
\cdots & \cdots & \cdots \\ \hline
\end{array}$
\end{minipage}

\medskip

La population dépasse $\np{19000}$ habitants pour $n=12$ soit en 2032.

La construction d'un tel établissement nécessite deux ans; il faut donc commencer les travaux en 2030.

\end{enumerate}

%\newpage
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\;; 3]$ par :
$P(x) = 2 x^{2}+ x - 10$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer les racines de $P$.
$P(x) = 2 x^{2}+ x - 10$ est un polynôme du second degré.

$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 2 \times (-10)=1+80=81=9^2$

Les racines de $P$ sont:

$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-9}{4}=-\dfrac{10}{4}=-\dfrac{5}{2}$ et		
$x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+9}{4}=\dfrac{8}{4}=2$
		
		\item% En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$.
$\dfrac{x'+x''}{2}= \dfrac{-\frac{5}{2}+2}{2} = \dfrac{\frac{-5}{2} + \frac{4}{2}}{2} = \dfrac{\frac{-1}{2}}{2} = -\dfrac{1}{4}$

L'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$ est donc la droite verticale d'équation $x=-\dfrac{1}{4}$.
			\end{enumerate}
			
\item %Établir le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$.
Le polynôme $P$ a pour racines $x'=-\dfrac{5}{2}$ et $x''=2$, donc 

$P(x)=a(x-x')(x-x'') = 2\left (x-\left( -\dfrac{5}{2}\right ) \right ) \left (x-2\right )= 2\left (x+\dfrac{5}{2}\right )\left (x-2\right )$

On établit  le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$.

\[\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3}
\hline
x & -5 && -\frac{5}{2} && 2 &&  3\\
\hline
x+\frac{5}{2} &  & -  & \barre[0] & + & \barre &  + & \\
\hline
x-2 &  & -  & \barre & - & \barre[0] &  + & \\
\hline
2 &  & +  & \barre & + & \barre &  + & \\
\hline
P(x) &  & +  & \barre[0] & - & \barre[0] &  + & \\
\hline
\end{tablvar}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle  $[-5~:~3]$  dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$.

\begin{center}
\fbox{
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5.5,-14)(3.5,22)
\psgrid[xunit=0.6cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!50](-11,-3)(7,6)
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=0.5,Dy=50,labels=none](0,0)(-5.49,-14)(3.5,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.49,-14)(3.5,22)
\multido{\n=-4.5+1.0}{8}{\uput[u](\n,0){\scriptsize\np{\n}}}
\uput{12pt}[dl](0,0){\scriptsize 0}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{x dup mul 4 mul 14 x mul sub 8 add 2.71828 0.5 x mul exp mul}
\uput[u](-4.2,17){\red $\mathcal{C}_{f}$}
\psdots(2,-10.873)\uput[d](2,-10.873){A}
\psline[linecolor=blue](-5.5,-10.873)(3.5,-10.873)
\uput [u](-4.3,-10.873){\blue $T$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psset{linecolor=blue}
\psline[linestyle=dashed](-2.5,0)(-2.5,19.48)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,-10.87)
\psline[linewidth=1.5pt]{]-[}(-2.5,0)(2,0)
\end{pspicture*}
}
\end{center}

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 2 est horizontale.

\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point de la courbe d'abscisse 2; c'est donc le coefficient directeur de la droite $T$. Or la droite $T$ est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0.

On en déduit que $f'(2)=0$.

\item% Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$.
Les solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f$ est strictement décroissante, soit l'intervalle $]-2,5\;; 2[$ d'après le graphique.

\item On sait que sur l'intervalle $[-5~;~3]$ : $f(x)=\left(4 x^{2}-14 x + 8\right) \e^{0,5x}$.

%Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$, on a : $f'(x)= P(x) \e^{0,5 x}$

D'après la formule de dérivation d'un produit:

$\aligned
f'(x)
&= \left (4\times 2x - 14\right )\times \e^{0,5x} + \left(4 x^{2}-14 x + 8\right)\times 0,5 \e^{0,5x} \\
&= \left ( 8x-14 + \left (4x^2-14x+8\right )\times 0,5\right )\e^{0,5x}\\
&= \left ( 8x-14 +2x^2-7x+4\right )\e^{0,5x}\\
&= \left ( 2x^2 +x-10\right )\e^{0,5x}\\
&= P(x)\e^{0,5x}
\endaligned$

\item %En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$. (Il n'est pas demandé de calculer les images).
D'après la partie A, on connaît le signe de $P(x)$. De plus, on sait que $\e^{0,5x}>0$ pour tout réel $x$.
On peut donc établir le tableau de signes de $f'(x)$, puis le tableau de variations de la fonction $f$.

\[\renewcommand{\fleche}{\ncline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 3,nodesep=2.5pt]{->}}
\begin{tablvar}[intervalwidth=4em,stretch=1.4]{3}
\hline
x & -5 && -\frac{5}{2} && 2 &&  3\\
\hline
P(x) &  & +  & \barre[0] & - & \barre[0] &  + & \\
\hline
\e^{0,5x} &  & +  & \barre & + & \barre &  + & \\
\hline
f'(x) = P(x)\e^{0,5x}&  & +  & \barre[0] & - & \barre[0] &  + & \\
\hline
\variations{\mil{\text{variations de } f} & \bas{~} && \haut{~} && \bas{~} && \haut{~} }
\hline
\end{tablvar}\]

\end{enumerate}

\end{document}