\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Denis Vergès %Corrigé : F rançois Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \setlength{\headheight}{22.94002pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Sujet 0 Spécialité Sujet 2 - corrigé}, pdftitle = {}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma %\frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Première série générale -- sujet 2 - corrigé} \lfoot{\small{Sujet 0\\ Épreuve anticipée de mathématiques -\\ voie générale spécialité}} \rfoot{\small{2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Spécialité mathématiques - Corrigé du sujet 2~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}} \end{center} % %\renewcommand\arraystretch{1} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline %Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt] %Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt] %Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline %\end{tabularx} % %\medskip \begin{center} \textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)} \end{center} %\medskip % %\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} \medskip \textbf{Question 1} \begin{minipage}{0.58\linewidth} On considère l'arbre de probabilité ci-contre. \\ \\ On cherche la probabilité de l'évènement $B$.\\ \\ On a \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.37\linewidth} \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=2cm,nodesepB=2pt]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$A$}\taput{$0,4$}} {\TR{$B$} \taput{$0,3$} \TR{$\overline{B}$} \tbput{\blue $0,7$} } \pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\blue $0,6$}} {\TR{$B$} \taput{\blue $0,1$} \TR{$\overline{B}$} \tbput{$0,9$} } } \medskip \end{center} \end{minipage} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $p(B) = 0,18$&$p(B) = 0,12$&$p(B) = 0,66$&$p(B) = 0,3$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} On a complété l'arbre de probabilités en bleu. D'après la formule des probabilités totales: $\aligned[b] p\left (B\right ) & = p\left (A\cap B\right ) + p\left (\overline{A}\cap B\right ) = p\left (A\right ) \times p_{A}\left (B\right ) + p\left (\overline{A}\right ) \times p_{\overline{A}}\left (B\right ) \\ & = 0,4\times 0,3 + 0,6\times 0,1 = 0,12 + 0,06 = 0,18 \endaligned$ \hfill\textbf{Réponse A.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 2} Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\,\%$. \\ Le prix après cette diminution est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 140 euros&170 euros&194~euros&197~euros\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Diminuer de 30\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{30}{100}$ soit $0,7$. $200\times 0,7=140$ \hfill\textbf{Réponse A.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 3} \medskip Une réduction de 50\,\% suivi d'une augmentation de 50\,\% équivaut à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ une réduction de 50\,\%&une réduction de 25\,\%& une augmentation de 25\,\%&une augmentation de 75\,\%\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Pratiquer une réduction de 50\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{50}{100}=0,5$. Augmenter de 50\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{50}{100}=1,5$. Réduire de 50\,\% puis augmenter de 50\,\%, c'est multiplier par $0,5\times 1,5= 0,75$. $0,75=1-\dfrac{25}{100}$ donc multiplier par $0,75$ c'est effectuer une réduction de 25\,\%. \hfill\textbf{Réponse B.} \end{tabular} \newpage \textbf{Question 4} \medskip Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 4\,\%&12,5\,\%&25\,\%& 50\,\%\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} La moitié du quart est $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$ et $\dfrac{1}{8} = \dfrac{12,5}{100}$ \hfill\textbf{Réponse B.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 5} \medskip On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $N = 2^5$&$N = \np{20000}$&$N = \dfrac{1}{10^5}$&$N = 4 \times 10^5$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $N = \dfrac{10^7}{5^2} = \dfrac{10^2\times 10^5}{5^2} = \dfrac{10^2}{5^2}\times 10^5 = \left (\dfrac{10}{5}\right )^2 \times 10^5 = 2^2 \times 10^5 = 4\times 10^5$ \hfill\textbf{Réponse D.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 6} \medskip Un appareil a besoin d'une énergie de $7,5 \times 10^6$ joules pour se mettre en route. À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ? \hfill \emph{Données} : 1 kWh $= 3,6 \times 10^6$~J \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ 0,5 kWh&2,08 kWh&5,3 kWh&20,35 kWh\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} 1 kWh $= 3,6 \times 10^6$~J donc 2 kWh $= 7,2 \times 10^6$~J Donc $7,5 \times 10^6$~J correspond à un peu plus de 2 kWh. \hfill\textbf{Réponse B.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 7} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points A$(0~;~-1)$ et B(2~;~5). Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $- \dfrac 12$&$2$&3&$\dfrac 13$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à $\dfrac{y_{\text{B}}- y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}- x_{\text{A}}} = \dfrac{5-(-1)}{2-0}= \dfrac{6}{2} = 3$. \hfill\textbf{Réponse C.} \end{tabular} \newpage \textbf{Question 8} \begin{minipage}{0.7\linewidth} On a représenté ci-contre une droite $D$.\\ Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est : \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.23\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.4,-1.4)(1.6,1.4) \psaxes[Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.6,1.4) \psplot[plotpoints= 600,linecolor=blue]{-1.4}{1.4}{2 x mul neg} \uput[u](1.3,0){\small $x$}\uput[r](0,1.3){\small $y$} \uput[l](-0.5,1){\blue $D$} \uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \end{pspicture*} \end{minipage} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} &\textbf{B.} & \textbf{C.} & \textbf{D.}\\ $2x - y = 0$& $2x + y + 1 = 0$ & $y = x^2 -(x + 1)^2 + 1$ & $y = 2x - 1$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} \begin{list}{\textbullet}{La droite a un coefficient directeur négatif et passe par l'origine.} \item \textbf{A.} $2x-y=0$ équivaut à $y=2x$; on peut éliminer car le coefficient directeur est positif. \item \textbf{B.} $2x + y + 1 = 0$ équivaut à $y=-2x-1$; on peut éliminer car la droite ne passe pas par l'origine. \item \textbf{D.} $y = 2x - 1$; on peut éliminer car la droite ne passe pas par l'origine. \item \textbf{C.} $y = x^2 -(x + 1)^2 + 1$ équivaut à $y = x^2 -\left (x^2+2x+1\right ) +1$ \qquad équivaut à $y=x^2 - x^2 - 2x -1+1$ soit $y=-2x$. \end{list} \hfill\textbf{Réponse C.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 9} \medskip On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$ sur $\R$. On a : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} &\textbf{B.} &\textbf{C.} &\textbf{D.}\\ $\mathcal{S} = \{-5~;~5\} $ &$\mathcal{S} = \left\{-\sqrt 5~;~\sqrt 5\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \left\{-\sqrt{10}~;~\sqrt{10}\strut\right\}$ & $\mathcal{S} = \emptyset$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} L'équation admet deux solutions $-\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$. \hfill\textbf{Réponse C.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 10} \medskip La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (3x - 15)(x + 2)$ admet pour tableau de signes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} & \textbf{B.} \\ $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -2 && 5 && +\infty\\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tablvar}$ & $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -2 && 5 && +\infty\\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tablvar}$\\ &\\ \hline \textbf{C.} & \textbf{D.} \\ $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -5 && 2 && +\infty\\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tablvar}$ & $\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -5 && 2 && +\infty\\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tablvar}$\\ &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $3x-15$ s'annule et change de signe pour $x=5$, et $x+2$ s'annule et change de signe pour $x=-2$. On établit le tableau de signes complet. \[\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty && -2 && 5 && +\infty\\ \hline 3x-15 & & - & \barre & - & \barre[0] & + & \\ \hline x+2 & & - & \barre[0] & + & \barre & + & \\ \hline f(x) & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\ \hline \end{tablvar}\] \hfill\textbf{Réponse A.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 11} \medskip L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.} &\textbf{B.} & \textbf{C.} & \textbf{D.}\\ $4x^2 + x + 0,25$ & $4x^2+ 4x + 2$ & $4x^2 + 2x + 0,25$ &$4x^2 + 2x + 1$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $(2x + 0,5)^2 = (2x)^2 + 2\times 2x \times 0,5 + (0,5)^2= 4x^2 + 2x +0,25$ \hfill\textbf{Réponse C.} \end{tabular} \bigskip \textbf{Question 12} \medskip Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse (en m/s) de la manière suivante: $a = \dfrac{v^2}{R}$. L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \textbf{A.}&\textbf{B.}& \textbf{C.}& \textbf{D.}\\ $v = aR^2$&$v = \sqrt{aR}$&$v = \sqrt{\dfrac aR}$&$v = \dfrac{a^2}{R}$\rule[-10pt]{0pt}{25pt} \\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}} $a = \dfrac{v^2}{R}$ équivaut à $aR=v^2$ et donc $v=\ds\sqrt{aR}$. \hfill\textbf{Réponse B.} \end{tabular} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newpage \vspace{1cm} \begin{center} \textbf{DEUXIÈME PARTIE (14 pts)} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 (X points)} \medskip En 2020, une ville comptait 10 000 habitants On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&\np{10000}\\ u_{n+1}&=&1,08u_n - 300,\quad n \in \N \end{array}\right.\] où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$. %\medskip \begin{enumerate} \item% Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur. $u_1$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + 1$ soit le nombre d'habitants en 2021. $u_{1}=1,08 u_0 - 300 = 1,08\times \np{10000}-300 = \np{10800}-300=\np{10500}$ \item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{3750}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer $v_0$. $v_0=u_0 - \np{3750} = \np{10000} - \np{3750} = \np{6250}$ \item % Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1,08v_n$. Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_n-\np{3750}$ donc $u_n=v_n+\np{3750}$. $\aligned v_{n+1} & =u_{n+1}-\np{3750} = 1,08u_n -300 -\np{3750} = 1,08\left ( v_n +\np{3750} \right ) -300 - \np{3750}\\ & =1,08 v_n + \np{4050} - \np{4050} = 1,08 v_n \endaligned$ \item% En déduire la nature de la suite $(v_n)$. Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,08$ et de premier terme $v_0 = \np{6250}$. \item On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=v_0\times q^n = \np{6250}\times 1,08^n$. \item %En déduire que pour tout entier naturel, on a $u_n = \np{6250} \times 1,08^n + \np{3750}$ Pour tout $n$ on a $v_n= \np{6250}\times 1,08^n$ et $u_n=v_n+\np{3750}$ donc on peut en déduire que $u_n = \np{6250}\times 1,08^n +\np{3750}$. \end{enumerate} \item ~ \begin{minipage}{0.66\linewidth} Le tableau ci-contre, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 : \begin{center} \fbox{\texttt{= 6250*1,08\^{}A2 + 3750}} \end{center} La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \np{19000} habitants.\\ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} $\begin{array}{|>{\cellcolor{lightgray}}c|c|c|}\hline \rowcolor{lightgray}&\text{A}&\text{B}\\ \hline 1&\text{n}& \text{Un}\\ \hline 2&0&\np{10000}\\ \hline 3&1&\np{10500}\\ \hline \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 13&11&\np{18322,74373}\\ \hline 14&12&\np{19488,56323}\\ \hline 15&13&\np{20747,64829}\\ \hline \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline \end{array}$ \end{minipage} \medskip La population dépasse $\np{19000}$ habitants pour $n=12$ soit en 2032. La construction d'un tel établissement nécessite deux ans; il faut donc commencer les travaux en 2030. \end{enumerate} %\newpage \bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 (X points)} \medskip Le plan est muni d'un repère orthogonal. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\;; 3]$ par : $P(x) = 2 x^{2}+ x - 10$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item% Déterminer les racines de $P$. $P(x) = 2 x^{2}+ x - 10$ est un polynôme du second degré. $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 2 \times (-10)=1+80=81=9^2$ Les racines de $P$ sont: $x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-9}{4}=-\dfrac{10}{4}=-\dfrac{5}{2}$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+9}{4}=\dfrac{8}{4}=2$ \item% En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$. $\dfrac{x'+x''}{2}= \dfrac{-\frac{5}{2}+2}{2} = \dfrac{\frac{-5}{2} + \frac{4}{2}}{2} = \dfrac{\frac{-1}{2}}{2} = -\dfrac{1}{4}$ L'axe de symétrie de la parabole d'équation $y= P(x)$ est donc la droite verticale d'équation $x=-\dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} \item %Établir le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$. Le polynôme $P$ a pour racines $x'=-\dfrac{5}{2}$ et $x''=2$, donc $P(x)=a(x-x')(x-x'') = 2\left (x-\left( -\dfrac{5}{2}\right ) \right ) \left (x-2\right )= 2\left (x+\dfrac{5}{2}\right )\left (x-2\right )$ On établit le tableau de signes de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~:~3]$. \[\begin{tablvar}[intervalwidth=1.8em,stretch=1.2]{3} \hline x & -5 && -\frac{5}{2} && 2 && 3\\ \hline x+\frac{5}{2} & & - & \barre[0] & + & \barre & + & \\ \hline x-2 & & - & \barre & - & \barre[0] & + & \\ \hline 2 & & + & \barre & + & \barre & + & \\ \hline P(x) & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\ \hline \end{tablvar}\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~:~3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$. \begin{center} \fbox{ \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-5.5,-14)(3.5,22) \psgrid[xunit=0.6cm,yunit=1cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!50](-11,-3)(7,6) \psaxes[linewidth=0pt,Dx=0.5,Dy=50,labels=none](0,0)(-5.49,-14)(3.5,22) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.49,-14)(3.5,22) \multido{\n=-4.5+1.0}{8}{\uput[u](\n,0){\scriptsize\np{\n}}} \uput{12pt}[dl](0,0){\scriptsize 0} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{x dup mul 4 mul 14 x mul sub 8 add 2.71828 0.5 x mul exp mul} \uput[u](-4.2,17){\red $\mathcal{C}_{f}$} \psdots(2,-10.873)\uput[d](2,-10.873){A} \psline[linecolor=blue](-5.5,-10.873)(3.5,-10.873) \uput [u](-4.3,-10.873){\blue $T$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \psset{linecolor=blue} \psline[linestyle=dashed](-2.5,0)(-2.5,19.48) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,-10.87) \psline[linewidth=1.5pt]{]-[}(-2.5,0)(2,0) \end{pspicture*} } \end{center} La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 2 est horizontale. \begin{enumerate} \item %Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$. $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point de la courbe d'abscisse 2; c'est donc le coefficient directeur de la droite $T$. Or la droite $T$ est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à 0. On en déduit que $f'(2)=0$. \item% Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$. Les solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f$ est strictement décroissante, soit l'intervalle $]-2,5\;; 2[$ d'après le graphique. \item On sait que sur l'intervalle $[-5~;~3]$ : $f(x)=\left(4 x^{2}-14 x + 8\right) \e^{0,5x}$. %Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$, on a : $f'(x)= P(x) \e^{0,5 x}$ D'après la formule de dérivation d'un produit: $\aligned f'(x) &= \left (4\times 2x - 14\right )\times \e^{0,5x} + \left(4 x^{2}-14 x + 8\right)\times 0,5 \e^{0,5x} \\ &= \left ( 8x-14 + \left (4x^2-14x+8\right )\times 0,5\right )\e^{0,5x}\\ &= \left ( 8x-14 +2x^2-7x+4\right )\e^{0,5x}\\ &= \left ( 2x^2 +x-10\right )\e^{0,5x}\\ &= P(x)\e^{0,5x} \endaligned$ \item %En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$. (Il n'est pas demandé de calculer les images). D'après la partie A, on connaît le signe de $P(x)$. De plus, on sait que $\e^{0,5x}>0$ pour tout réel $x$. On peut donc établir le tableau de signes de $f'(x)$, puis le tableau de variations de la fonction $f$. \[\renewcommand{\fleche}{\ncline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 3,nodesep=2.5pt]{->}} \begin{tablvar}[intervalwidth=4em,stretch=1.4]{3} \hline x & -5 && -\frac{5}{2} && 2 && 3\\ \hline P(x) & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\ \hline \e^{0,5x} & & + & \barre & + & \barre & + & \\ \hline f'(x) = P(x)\e^{0,5x}& & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\ \hline \variations{\mil{\text{variations de } f} & \bas{~} && \haut{~} && \bas{~} && \haut{~} } \hline \end{tablvar}\] \end{enumerate} \end{document}