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% Tapuscrit François Hache 
% Corrigé  François Hache
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%    crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%    crochet droit
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé de l'entrée à Sciences Po}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 24 février 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
%\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures -- Coefficient 2}
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé de l'entrée à Sciences Po -  24 février 2018
~\decofourright}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%
%\emph{Le problème est noté sur 8, l'exercice Vrai-Faux est noté sur 12.\\
%Vous devez traiter les deux exercices. Les calculatrices sont autorisées.}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large Problème}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ par:
$f(x)=ax^2 + \dfrac{b}{x^2} - \left (\ln(x)\strut\right )^2$,
où $a$ et $b$ désignent deux réels.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout $x$ strictement positif:

$f'(x)= a\times (2x) + b\times \left (-\dfrac{2x}{x^4}\right ) - 2\times \dfrac{1}{x} \times \ln(x)
=2ax - \dfrac{2b}{x^3} -2 \dfrac{\ln(x)}{x}$
\end{enumerate}

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé:

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.4}   \def\xmax {4.4}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {2.7}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(9,6) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{0.25 x dup mul mul 0.25 x dup mul div add x ln dup mul sub}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0.01}{\xmax}{\f}
\psline[linecolor=blue](0,0.5)(\xmax,0.5)
\psdots[linecolor=blue](1,0.5) \uput[ur](1,0.5){\blue A}
\uput[dr](3.65,1.78){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A\,$(1~;~0,5)$ et admet une tangente horizontale en ce point.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item% Déterminer les réels $a$ et $b$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A\,$(1~;~0,5)$  donc $f(1)=0,5$ donc $a\times 1^2 + \dfrac{b}{1^2} - \left (\ln(1)\strut\right )^2=0,5$ ce qui équivaut à
$a+b=0,5$.

La courbe $\mathcal{C}_f$  admet une tangente horizontale au point A\,$(1~;~0,5)$, donc 
$f'(1)=0$ ce qui équivaut à 
$2a\times 1 - \dfrac{2b}{1^3} - 2 \dfrac{\ln(1)}{1} = 0$
ou encore à $2a-2b=0$ soit $a=b$.

$a+b=0,5$ et $a=b$ entraîne que $a=b=0,25$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $2X^2 - 4X +2 = 2\left (X^2-2X+1\right ) = 2 \left ( X-1\right )^2$ 

On en déduit que $2x^4-4x^2+2 = 2\left (x^2-1\right) ^2 = 2\left (x-1\right )^2 \left (x+1\right )^2$.

\item %À l'aide de la question précédente, déterminer le signe de l'expression $2x^4-4x^2+2$ en fonction de $x$, où $x$ désigne un nombre réel.
Un carré est positif ou nul donc l'expression $2x^4-4x^2+2$ égale à $2\left (x-1\right )^2 \left (x+1\right )^2$ est  strictement positive sauf pour $x = -1$ et $x = 1$ où elle s'annule.
\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ par
$g(x)=x^2-\dfrac{1}{x^2} - 4 \ln x$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de $g$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$ (on pourra utiliser la partie \textbf{B}).
Pour tout $x>0$,
$g'(x)= 2x + \dfrac{2x}{x^4} - \dfrac{4}{x} = \dfrac{2x^4 -4x^2+2}{x^3}$

D'après la partie \textbf{B}, $g'(x)>0$ sur $\cg 0~;~+\infty\cd$, sauf pour $x=1$ où $g'(x)=0$.

On peut donc dire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\cg 0~;~+\infty\cd$.



\item $g(1) = 1^2 - \dfrac{1}{1^2} - 4\ln(1)=0$%. En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $\cg0~;~+\infty\cd$.

Comme la fonction $g$ est strictement croissante sur $\cg 0~;~+\infty\cd$, on en déduit que:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g(x)<0$ sur $\cg 0~;~1\cd$;
\item $g(1)=0$;
\item $g(x)>0$ sur $\cg 1~;~+\infty\cd$.

\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Dans la suite du problème, $f$ désigne la fonction définie sur $\cg0~;~+\infty\cd$ par
$f(x)=\dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{1}{4 x^2} - \left (\ln(x)\strut\right )^2$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x>0$, %$f(x)=f\left (\dfrac{1}{x}\right )$.
$f\left (\dfrac{1}{x}\right ) = \dfrac{1}{4} \left (\dfrac{1}{x}\right )^2 - \dfrac{1}{4\left ( \dfrac{1}{x}\right )^2} - \left (\ln\left (\dfrac{1}{x}\right )\right )^2
= \dfrac{1}{4x^2} + \dfrac{1}{4}x^2 - \left (\ln\left (\dfrac{1}{x}\right )\right )^2$.

Or $\ln\left (\dfrac{1}{x}\right ) = -\ln(x)$ donc $\left (\ln\left (\dfrac{1}{x}\right ) \right  )^2= 
\left (-\ln(x)\strut\right )^2 = \left (\ln(x)\strut\right )^2$.

On en déduit que, pour tout $x>0$,
$f\left (\dfrac{1}{x}\right ) = \dfrac{1}{4x^2} + \dfrac{1}{4}x^2 - \left (\ln\left (x\right )\strut\right )^2 = f(x)$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de $f$ en $+\infty$.

$f(x) =\dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{1}{4 x^2} - \left (\ln(x)\strut\right )^2
= x^2 \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4x^4} - \dfrac{\left ( \ln(x)\strut \right )^2}{x^2}\right )
=x^2 \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4x^4} - \left ( \dfrac{\ln(x)}{x}\right )^2 \right )$

Or $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0$ et
$\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1}{4x^2} =0$,
donc 
$\ds\lim_{x\to +\infty} \left ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4x^4} - \left ( \dfrac{\ln(x)}{x}\right )^2 \right ) = \dfrac{1}{4}$\\[7pt]
et donc
$\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

\item Déterminons la limite de $f$ en zéro.

$f(x)= \dfrac{1}{4} x^2 + \dfrac{1}{4 x^2} - \left (\ln(x)\strut\right )^2
= \dfrac{x^4 +1 - 4x^2 \left (\ln(x)\strut\right )^2}{4x^2}
= \dfrac{x^4 +1 -4 \left ( x \ln(x) \strut \right )^2}{4x^2}$

Or $\ds\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left (x \ln(x)\strut\right ) = 0$, donc
$\ds\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \left ( x^4 +1 -4 \left (x \ln(x)\strut\right )^2\right ) =1$
et donc\\[7pt]
$\ds\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} \dfrac{x^4 +1 -4 \left (x \ln(x)\strut\right )^2}{4x^2}= +\infty$
ce qui veut dire que
$\ds\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} f(x) = +\infty$.

\end{enumerate}

\item Pour tout réel $x>0$, $f'(x) = \dfrac{x}{2} -\dfrac{1}{2x^3} -2 \dfrac{\ln(x)}{x}
= \dfrac{1}{2x} \left ( x^2 - \dfrac{1}{x^2} -4\ln(x)\right )
= \dfrac{1}{2x} g(x)$.

Sur $\cg0~;~+\infty\cd$, $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.

On en déduit le sens de variation de la fonction $f$ sur $\cg0~;~+\infty\cd$:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item sur $\cg0~;~1\cd$, $g(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cg0~;~1\cg$;
\item sur $\cg1~;~+\infty\cd$, $g(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cd1~;~+\infty\cd$.
\end{list}

\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage

\textbf{Partie E}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\cg 0 ~;~1\cg$. On pourra considérer la fonction $h$ définie sur $\cg 0 ~;~1\cg$ par $h(x)=f(x)-x$.
Soit $h$ la fonction définie sur $\cg 0~;~1\cg$ par $h(x)=f(x)-x$.

Chercher une solution à l'équation $f(x)=x$ revient à chercher une solution de l'équation $h(x)=0$.

$h'(x)= f'(x)-1$; sur $\cg 0~;~1\cg$, $f'(x)<0$ donc $f'(x)-1<0$ donc la fonction $h$ est strictement décroissante sur $\cg 0~;~1\cg$.

$\ds\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} h(x) = \ds\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}} f(x) = +\infty$
et $h(1)=f(1)-1 = 0,5-1 = -0,5$

La fonction $h$ est dérivable donc continue, strictement décroissante sur $\cg 0~;~1\cg$ et elle passe d'une valeur positive à une valeur négative. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique sur $\cg 0~;~1\cd$. On l'appelle $\alpha$.

\item% Montrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{x}$ admet une unique solution $\beta$ sur $\cg 1~;~+\infty\cd$.
Soit $k$ la fonction définie sur $\cd 1~;~+\infty\cd$ par $k(x)=f(x)-\dfrac{1}{x}$.

Chercher une solution à l'équation $f(x)=\dfrac{1}{x}$ revient à chercher une solution de l'équation $k(x)=0$.

$k'(x)=f'(x) + \dfrac{1}{x^2}$; sur $\cg 1~;~+\infty\cd$, $f'(x)>0$ donc $f'(x)+\dfrac{1}{x^2}>0$ donc la fonction $k$ est strictement croissante sur $\cg 1~;~+\infty\cd$.

$k(1)=f(1)-\dfrac{1}{1} = -0,5$ et
$\ds\lim_{x\to +\infty} k(x)= \ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. 

La fonction $k$ est dérivable donc continue, strictement croissante sur $\cd 1~;~+\infty\cd$ et elle passe d'une valeur négative à une valeur positive. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $k(x)=0$ admet une solution unique sur $\cg 1~;~+\infty\cd$. On l'appelle $\beta$.

\item %Montrer que $\alpha \times \beta = 1$.
Pour tout $x>0$, $f(x)=f\left (\dfrac{1}{x}\right )$ donc $f(\beta) = f\left (\dfrac{1}{\beta}\right )$.

 Comme $f(\beta) =\dfrac{1}{\beta}$, on en déduit que $f\left (\dfrac{1}{\beta}\right ) = \dfrac{1}{\beta}$.

De plus $\beta \in \cg 1~;~+\infty\cd$, donc $\dfrac{1}{\beta} \in \cg 0~;~1\cd$.

Donc le nombre $\dfrac{1}{\beta}$ appartient à $\cg 0~;~1\cd$ et vérifie $f\left (\dfrac{1}{\beta}\right ) = \dfrac{1}{\beta}$, donc $\dfrac{1}{\beta}$ est solution de l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle $\cg 0~;~1\cd$.

On a vu qu'il n'y avait qu'une solution $\alpha$ sur cet intervalle, donc $\dfrac{1}{\beta}=\alpha$ ce qui veut dire que $\alpha \times \beta = 1$.

\item
\begin{enumerate}
\item On écrit un algorithme permettant d'afficher un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près:

\begin{center}
\begin{tabular}{| l  p{5cm} |}
\hline
\textbf{Variables} & $b$: nombre réel\\[10pt]
\textbf{Initialisation} & $b$ prend la valeur $0,01$\\[10pt]
\textbf{Traitement} & Tant que $f(b)-b>0,01$\\
 & \hspace*{1cm} $b$ prend la valeur $b+0,01$\\
 & Fin de Tant que\\[10pt]
 \textbf{Sortie} & Afficher $b-0,01$ et $b$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On détermine un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

$\left .
\begin{array}{l}
f(0,5)-0,5 \approx 0,08>0\\
f(0,6)-0,6 \approx -0,08<0
\end{array}
\right \rbrace$
donc
$\alpha \in \cd 0,5~;~0,6\cg$

$\left .
\begin{array}{l}
f(0,54)-0,54 \approx 0,01>0\\
f(0,55)-0,55 \approx -0,005<0
\end{array}
\right \rbrace$
donc
$\alpha \in \cd 0,54~;~0,55\cg$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace*{1cm}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Exercice: Vrai ou Faux}
\end{center}

%\bigskip
%
%\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.}

\bigskip

\begin{enumerate}

\item Un capital est placé au taux annuel de 3\,\% pendant 20 ans, à intérêts composés.

\textbf{Affirmation:} la somme disponible au bout de 20 ans est supérieure ou égale au double du capital placé.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Placer un capital au taux de $3\,\%$, c'est multiplier par $1,03$.

Placer un capital au taux de $3\,\%$ sur 20 ans, c'est multiplier par $1,03^{20}\approx 1,8$.

Or $1,8<2$ donc on ne double pas le capital en 20 ans.

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Une urne contient trois boules indiscernables au toucher portant les numéros 1, 2 et 3.

On tire successivement trois fois une boule avec remise.

On note $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de numéros différents obtenus.

\textbf{Affirmation:} L'espérance de $N$ est strictement supérieure à $\dfrac{3}{2}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Il y a $3^3=27$ résultats possibles à cette expérience, et tous ces résultats sont équiprobables donc chaque résultat a pour probabilité $\dfrac{1}{27\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$:

 $\blue (1,1,1)$, $(1,1,2)$, $(1,1,3)$, $(1,2,1)$, $(1,2,2)$, $\red (1,2,3)$, $(1,3,1)$, $\red (1,3,2)$, $(1,3,3)$,

 $(2,1,1)$, $(2,1,2)$, $\red (2,1,3)$, $(2,2,1)$, $\blue (2,2,2)$, $(2,2,3)$, $\red (2,3,1)$, $(2,3,2)$, $(2,3,3)$,

 $(3,1,1)$, $\red (3,1,2)$, $(3,1,3)$, $\red (3,2,1)$, $(3,2,2)$, $(3,2,3)$, $(3,3,1)$, $(3,3,2)$, $\blue (3,3,3)$,

Sur les 27 résultats, il y en a 3 qui contiennent le même numéro, 6 qui contiennent les trois numéros et 18 qui en contiennent deux.

On peut donc établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $N$:

\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{c|}}
\hline
n_i & {\blue 1} & 2 & {\red 3} \\
\hline
p_i = P(N=n_i) & \dfrac{3}{27} & \dfrac{18}{27} & \dfrac{6}{27} \rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

L'espérance de $N$ est 
$E(N)= \ds\sum \left ( n_i \times p_i \right ) = 1\times \dfrac{3}{27} + 2 \times \dfrac{18}{27} + 3 \times \dfrac{6}{27} = \dfrac{57}{27}$.

Or $\dfrac{57}{27}\approx 2,11 > \dfrac{3}{2}$.

\medskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item Une entreprise produit en grande série des véhicules électriques.

On admet que la probabilité qu'un véhicule ne soit pas conforme vaut $0,03$.

On prélève au hasard un lot de 100 véhicules en vue de les proposer à la location dans une grande agglomération (on admet que la population est suffisamment importante pour assimiler la constitution de ce lot à 100 tirages successifs avec remise).

\textbf{Affirmation:} la probabilité qu'aucun véhicule de ce lot ne soit défectueux est égal à $1-0,03^{100}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de véhicules défectueux suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,03$.

La probabilité qu'aucun véhicule soit défectueux est

$P(X=0) = \ds\binom{100}{0} \times 0,03^0 \times (1-0,03)^{100} = 0,97^{100} \neq 1-0,03^{100}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $(u_n)_{n\in\N^{*}}$ et $(v_n)_{n\in\N^{*}}$ deux suites réelles définies par $u_n=2+\left ( 2+2^2 + \ldots + 2^n \strut\right ) = 2+ \ds\sum_{k=1}^{n} 2^k$ et $v_n=u_n-1$.

\textbf{Affirmation:} une seule des deux suites est géométrique.
\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{\vspace*{-10pt}}
\item $u_1=2+2=4$, $u_2= 2+\left ( 2+2^{2}\right )=8$ et $u_3= 2+\left ( 2+2^2+2^3\right )=16$

On peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 2.
\item $v_1 = u_1-1 = 3$, $v_2 = u_2 - 1= 7$ et $v_3 = u_3 -1 = 15$

$\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{7}{3}$ et $\dfrac{v_3}{v_2}= \dfrac{15}{7}$ et $\dfrac{15}{7} \ne \dfrac{15}{7}$ donc la suite $\left(v_n\right)$ n'est pas géométrique.
\item La suite $\left(2^n\right)_{n\in\N^*}$ est géométrique de raison 2 et de premier terme $2$. La somme de ses $n$ premiers termes est
$2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2\times \dfrac{1-2^n}{1-2} = 2 \left (2^n - 1 \right ) = 2^{n+1} - 2$.

On en déduit que $2+ \left ( 2+2^2 + \cdots + 2^n \right ) = 2+2^{n+1} - 2 = 2^{n+1}$.

Pour tout $n$ de $\N^*$, $u_n=2^{n+1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison 2.
\end{list}

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $\left(u_n\right)_{n\in\N}$ une suite réelle telle qu'il existe un réel $\ell$ tel que $\ds\lim _{n \to +\infty} n u_n=\ell$.

\textbf{Affirmation:} $\ds\lim _{n \to +\infty} u_n = 0$

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\ds\lim _{n \to +\infty} n u_n=\ell$ veut dire que pour tout réel $\varepsilon >0$, on peut trouver un entier $n_{\varepsilon}$ tel que pour $n>n_{\varepsilon}$, on ait 
$\left | n u_n - \ell \strut \right | < \varepsilon$.

Donc pour $n>n_{\varepsilon}$, on a $\ell - \varepsilon < n u_n < \ell + \varepsilon$ ce qui équivaut à
$\dfrac{\ell - \varepsilon}{n} < u_n < \dfrac{\ell + \varepsilon}{n}$.

Or $\ds\lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ell - \varepsilon}{n} 
= \ds\lim _{n \to +\infty} \dfrac{\ell + \varepsilon}{n}  = 0$

\smallskip

On en déduit, d'après le théorème des gendarmes, que $\ds\lim _{n \to +\infty} u_n = 0$.

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item La suite $u_n$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 10 u_n - 9n - 8$.

\textbf{Affirmation:} pour tout entier naturel $n$, $u_n=n+1$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Pour $n=0$, $u_n = u_0=1$ et $0+1=1$.

Pour $n=0$,  $u_{n+1} = 10 u_n - 9n - 8$ devient $u_{1} = 10 u_0 - 9\times 0 - 8 = 10-8=2$; \\
donc
$u_1=2=1+1$.

Pour $n=1$,  $u_{n+1} = 10 u_n - 9n - 8$ devient $u_{2} = 10 u_1 - 9\times 1 - 8 = 10\times 2-9-8=3$;\\
donc $u_2=3 = 2+1$.

On peut conjecturer que, pour tout $n$, on a $u_n=n+1$.

On démontre cette propriété par récurrence.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a vu que $u_0=1=0+1$ donc la propriété est vraie au rang $0$.

\item On suppose la propriété vraie au  rang $n\geqslant 0$, donc $u_{n}= n+1$.

$u_{n+1} = 10 u_n - 9 n - 8 = 10\left (n+1\right ) - 9n - 8 = 10 n + 10 - 9n - 8 = n+2 = (n + 1) +1$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ ; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n \geqslant 0$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout $n$, on a $u_n = n + 1$.

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip
\newpage

\item
\begin{list}{\textbullet}{Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ telles que}
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
\item $\ds\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
\item Pour tout réel $x$, $f(x)>g(x)$
\end{list}

\textbf{Affirmation:} $\ds\lim_{x\to +\infty} \left (f(x) - g(x) \strut\right ) =+\infty$

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Prenons par exemple $f(x)=x+1$ et $g(x)=x$.

On a $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$,
$\ds\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et
pour tout réel $x$, $f(x)>g(x)$, mais 
$\ds\lim_{x\to +\infty} \left (f(x) - g(x) \strut\right ) =1$.

\smallskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}$.

\textbf{Affirmation:} pour tout réel $x$,
$f(2x) = \dfrac{2f(x)}{1+ \left ( f(x)\strut\right )^2}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{2f(x)}{1+ \left ( f(x)\strut\right )^2} 
= \dfrac{2 \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}}{1+\left (\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1} \right )^2}
= \dfrac{2 \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}}{1+ \dfrac{\e^{4x}-2\e^{2x} + 1}{\e^{4x}+2\e^{2x} + 1}}
= \dfrac{2 \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}}{\dfrac{\e^{4x}+2\e^{2x} + 1+\e^{4x}-2\e^{2x} + 1}{\e^{4x}+2\e^{2x} + 1\rule[-10pt]{0pt}{0pt}}}$\\
$\phantom{\dfrac{2f(x)}{1+ \left ( f(x)\strut\right )^2} }
= \dfrac{2 \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}}{\dfrac{2\e^{4x}+2}{\left (\e^{2x} + 1\right )^2\rule[-10pt]{0pt}{0pt}}}
= 2 \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1} \times \dfrac{\left (\e^{2x} + 1\right )^2}{2\left (\e^{4x}+1\right )}
= \dfrac{\left ( \e^{2x}-1\right ) \left (\e^{2x}+1 \right )}{\e^{4x}+1}
= \dfrac{\e^{4x} - 1}{\e^{4x} +1}$\\
$\phantom{\dfrac{2f(x)}{1+ \left ( f(x)\strut\right )^2} }
= \dfrac{\e^{2(2x)} - 1}{\e^{2(2x)} +1}
= f(2x)$

%$1+\left (\dfrac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1} \right )^2$

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item On donne $\sin\left ( \dfrac{7\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

\textbf{Affirmation:} $\cos\left ( \dfrac{7\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On sait que pour tout réel $x$, on a $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

$\text{Donc } \cos^2 \left (\dfrac{7\pi}{12}\right ) = 1 - \sin^2\left ( \dfrac{7\pi}{12}\right )
= 1-\left (\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right )^2
= 1 - \dfrac{2 + 2\sqrt{12} + 6 }{16}
= 1 - \dfrac{8 + 2\sqrt{12} }{16}$\\
$\phantom{\text{Donc } \cos^2 \left (\dfrac{7\pi}{12}\right )}
= \dfrac{16 - 8 -2\sqrt{12} }{16}
= \dfrac{8-2\sqrt{12}}{16}$

Or $\left (\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right )^2 = \dfrac{8 + 2\sqrt{12} }{16}$ donc
$\dfrac{8 - 2\sqrt{12} }{16} = \left (\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right )^2$.

Donc $ \cos^2 \left (\dfrac{7\pi}{12}\right ) = \left (\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right )^2$
et donc  $\cos\left (\dfrac{7\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ ou
$\cos\left (\dfrac{7\pi}{12}\right ) = - \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

Or $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{7\pi}{12} < \dfrac{3\pi}{2}$ donc $\cos \left (\dfrac{7\pi}{12} \right )<0$; on en déduit que $\cos\left (\dfrac{7\pi}{12}\right ) = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item Dans un repère orthonormé \Oij{}, on note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2$.

Soit $a$ un réel strictement positif et A le point de la parabole d'abscisse $a$.

On note B le second point d'intersection entre la parabole et la perpendiculaire à la droite (OA) passant par O.

\textbf{Affirmation:} quelle que soit la valeur de $a>0$, K\,$(0~;~1)$ appartient à la droite (AB).

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Le point A de la parabole $\mathcal{P}$ a pour abscisse $a$ donc pour ordonnée $a^2$.

La droite (OA) passe par O donc a une équation de la forme $y=mx$; elle passe par A donc $a^2 = m\times a$ ce qui entraîne $m=a$.
La droite (OA) a donc pour équation $y=ax$.

\smallskip

Le coefficient directeur de la droite (OA) est $a$ donc le coefficient directeur $a'$ de toute droite perpendiculaire à (OA) vérifie $aa'=-1$; donc $a'=-\dfrac{1}{a}$.

La droite $d$ perpendiculaire à (OA) passant par O a donc pour équation $y=-\dfrac{1}{a} x$.

\smallskip

Le point B appartient à la droite $d$ et à la parabole $\mathcal{P}$ donc ses coordonnées vérifient le système
$\left \lbrace
\begin{array}{l}
y= x^2\\[5pt]
y=-\dfrac{1}{a} x
\end{array}
\right .$

L'abscisse de B vérifie donc $x^2= -\dfrac{1}{a} x$ et comme elle est différente de $0$, le point B a pour abscisse $-\dfrac{1}{a}$; son ordonnée est $\left (-\dfrac{1}{a}\right )^2 = \dfrac{1}{a^2}$.
Donc B a pour coordonnées $\left ( -\dfrac{1}{a}~;~\dfrac{1}{a^2} \right )$.

\smallskip

On cherche une équation de la droite (AB). Cette droite n'est pas verticale, donc elle a une équation réduite de la forme $y=mx+p$.

Elle passe par A\,$\left (a~;~a^2\right )$ donc $a^2 = ma +p$.

Elle passe par B\,$\left (-\dfrac{1}{a}~;~\dfrac{1}{a^2}\right )$ donc $\dfrac{1}{a^2} = -\dfrac{1}{a}m +p$.

Par soustraction membre à membre, on obtient: \\
$a^2-\dfrac{1}{a^2} = \left (a+\dfrac{1}{a}\right ) m
\iff \left (a-\dfrac{1}{a}\right )\left (a+\dfrac{1}{a}\right ) = \left (a+\dfrac{1}{a}\right )m
\iff a-\dfrac{1}{a} = m$\\
en divisant les deux membres par $a+\dfrac{1}{a}$ qui est non nul car $a>0$.

De $a^2 = am+p$ et $m=a+\dfrac{1}{a}$ on déduit:
$a^2 = a\left ( a-\dfrac{1}{a} \right )+p
\iff a^2 = a^2 -1+p \iff p=1$.

L'ordonnée à l'origine de la droite (AB) est égale à 1 donc cette droite passe par le point K de coordonnées $(0~;\,1)$.


\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\end{enumerate}
\end{document}