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% Tapuscrit François Hache 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences Po}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small 23 février 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Sciences Po - Corrigé - Samedi 23 février 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

%\emph{L'exercice Vrai-Faux est noté sur $11$, le problème est noté sur $9$.
%Vous devez traiter les deux exercices.
%Les calculatrices sont autorisées.}
%
%\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE VRAI ou FAUX}
\end{center}

%\bigskip
%
%Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant soigneusement la réponse.

\medskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 1.}}

\medskip

Les prix réglementés du gaz évoluent mensuellement. En mai 2018, ils ont augmenté de $0,4\,\%$, en juin 2018 de $2,1\,\%$ et en juillet 2018 de $7,45\,\%$.

\emph{Affirmation} : l'augmentation cumulée sur ces trois mois est de 9,95\,\%.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$.
 
 Augmenter successivement de $0,4\,\%$, de $2,1\,\%$ et de $7,45\,\%$, c'est multiplier par
 
 $\left ( 1+\dfrac{0,4}{100}\right )\times \left ( 1+\dfrac{2,1}{100}\right ) \times \left ( 1+\dfrac{7,45}{100}\right ) = 1,004 \times 1,021 \times 1,0745 = \np{1,101452758}$ ce qui correspond à une augmentation de plus de $10,14\,\%$.
 
 \smallskip
 
 \fbox{FAUX}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 2.}}

\medskip

\emph{Affirmation} : toute suite qui tend vers $+\infty$ est croissante.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par $u_n=n+2(-1)^n$.
 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $(-1)^n = -1$ si $n$ est impair et $(-1)^n=1$ si $n$ est pair; donc $(-1)^n\geqslant -1$ et donc $u_n\geqslant n-1$ pour tout $n$.
 
 Or $\ds\lim_{n \to +\infty} n-1 = +\infty$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
\item $u_{10}=10+2(-1)^{10} =10+2= 12$ et $u_{11} = 11+2(-1)^{11} = 11-2=9$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas croissants. 
\end{list} 

\fbox{FAUX}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 3.}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 3u_n - 2n + 3$.

\emph{Affirmation} : pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n - 1$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 En calculant quelques termes de la suite, on peut conjecturer que l'affirmation est vraie; on va démontrer par récurrence que, pour tout $n$, $u_n=3^n+n-1$. 
 
 \begin{list}{\textbullet}{}
 \item Pour $n=0$, on a: $u_n=u_0=0$ et $3^n+n-1=3^0+0-1=1-1=0$; la propriété est vraie au rang 0.
 \item On suppose la propriété vraie pour $n\geqslant 0$ quelconque: $u_n=3^n+n-1$.
 
 $u_{n+1}= 3u_n -2n+3 = 3\left ( 3^n +n-1\right ) -2n+3 = 3^{n+1}+3n -3 -2n +3 
 = 3^{n+1}+n $
 
$\phantom{u_{n+1}}
 = 3^{n+1} + (n+1) - 1$
 
 Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
 \item La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; elle est donc vraie pour tout $n\geqslant 0$.
 \end{list}
 
 On a donc démontré que, pour tout $n$, $u_n=3^n + n-1$.
 
 \smallskip
 
 \fbox{VRAI}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 4.}}

\medskip

\emph{Affirmation} : l'équation $\ln (4x + 5) + \ln (x + 1) = 1$ possède exactement deux solutions dans $\R$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 Pour que cette équation soit valide, il faut que $4x+5>0$ et $x+1>0$, c'est-à-dire $x>-\dfrac{5}{4}$ et $x>-1$; on cherche donc des solutions dans $I=\left ]-1~;\, +\infty\mathstrut \right [$.
 
$\ln (4x + 5) + \ln (x + 1) = 1
\iff \ln\left ((4x+5)(x+1) \right ) = \ln\e
\iff (4x+5)(x+1) = \e$\\
$\phantom{\ln (4x + 5) + \ln (x + 1) = 1}
\iff 4x^2 +5x +4x +5-\e=0
\iff 4x^2 +9x +5-\e = 0
$

$\Delta = 9^2-4\times 4\times(5-\e) = 81 - 80+16\e = 1+16\e >0$

L'équation admet donc deux solutions:

$x'= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-9 -\sqrt{1+16\e}}{8} \approx -1,96$
et 
$x''= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-9 +\sqrt{1+16\e}}{8} \approx -0,29$

Mais $x'<-1$ donc $x' \not\in I$; l'équation donnée n'admet donc qu'une seule solution $x''$.

\smallskip

\fbox{FAUX}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 5.}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x\e^{x^2}$.

Sur la figure ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ ainsi que ses tangentes $d_1$ et $d_2$ aux points A et B d'abscisses respectives $-1$ et $1$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-5.15)(2.1,5.15)
\psgrid[linewidth=0.1pt,gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(-2,-5)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.2pt](0,0)(-2,-5)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.3}{1.3}{2.71828 x dup mul exp x mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-1.3}{1.3}{2.71828 x 3 mul 2 add mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-1.3}{1.3}{2.71828 x 3 mul 2 sub mul}
\psdots(-1,-2.71828)(1,2.71828)
\uput[l](-1,-2.71828){A}\uput[r](1,2.71828){B}
\uput[l](-0.2,4){$d_1$}\uput[r](0.2,-4){$d_2$}
\uput[d](-3,-1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Affirmation} : $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 Les deux droites $d_1$ et $d_2$ ont pour coefficients directeurs respectifs $f'(-1)$ et $f'(1)$;
 
 $f(x)= x\e^{x^2}$ donc $f'(x)=1\times \e^{x^2} + x \times 2x\e^{x^2} = \left (1+2x^2\right )\e^{x^2}$
 
 On a donc $f'(1)= (1+2\times 1^2) \e^{1^2} = 3\e$ et $f'(-1)= (1+2\times (-1)^2) \e^{(-1)^2} = 3\e$. 
 
 $f'(1)=f'(-1)$ donc les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
 
 \smallskip
 
 \fbox{VRAI}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 6.}}

\medskip

Un cycliste part de chez lui à 8 h 00 et doit parcourir une distance de $61$~km pour arriver à son point d'arrivée à 9 h 30 au plus tard.

Son parcours est constitué d'une descente de $16$~km qu'il parcourt à la vitesse de 80~km/h, puis de $40$~km de plat qu'il parcourt à la vitesse de $50$~km/h, et enfin d'une montée de $5$~km qu'il parcourt à une vitesse de $x$ km/h.


\emph{Affirmation} : le cycliste sera à l'heure si et seulement si $x \geqslant 10$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  Le trajet en descente est de 16~km effectué à la vitesse de 80~km/h; il va durer, en minutes, 
$\dfrac{16\times 60}{80}=12$.
\item Le trajet sur le plat est de 40~km effectué à la vitesse de 50~km/h; il va durer, en minutes,
$\dfrac{40\times 60}{50}=48$.
\end{list}
Les $16+40=56$ premiers kilomètres ont donc été effectués en $12+48=60$ minutes.

Il reste donc au maximum 30 minutes pour effectuer le trajet de 5~km en montée.

Si les 5~km sont parcourus en 30 minutes, cela fait du 10~km/h. Pour faire la montée en moins de 30 minutes, il faut pédaler à une vitesse supérieure ou égale  à 10~km/h.

\smallskip

\fbox{VRAI}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 7.}}

\medskip

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles, dérivable sur $\R$.

Pour tout $x \in \R$, $f'(x) = 1 + f^2(x)$ et $f(1) = 0$.

\emph{Affirmation} : $f$ est strictement positive sur $[-1~;~0]$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 $f'(x) = 1 + f^2(x)$ donc $f'(x)>0$ sur $\R$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
 
 Pour $x$ quelconque de $[-1~;~0]$, $x \leqslant 0$ donc $x <1$.
 
 $f$ est croissante donc $x <1$ entraîne $f(x)<f(1)$; or $f(1)=0$ donc $f(x)<0$ sur  $[-1~;~0]$.
 
 \smallskip
 
 \fbox{FAUX}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 8.}}

\medskip

Une urne contient $n$ boules numérotées, indiscernables au toucher. Une boule porte le numéro 10, trois boules portent le numéro 5 et les boules restantes portent le numéro $0$.

Après avoir misé 1~\euro, un joueur tire au hasard l'une des boules et remporte la somme affichée sur la boule.

\emph{Affirmation} : le jeu est équitable si et seulement si $n = 25$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 \begin{list}{\textbullet}{}
 \item Il y a une seule boule portant le numéro 10 qui rapporte $10$~\euro{}; cela fait un gain de $10-1=9$~\euro{} avec une probabilité de $\dfrac{1}{n}$.
 \item Il y a trois boules portant le numéro 5 qui rapportent $5$~\euro{}; cela fait un gain de $5-1=4$~\euro{} avec une probabilité de $\dfrac{3}{n}$.
  \item Il y a $n-4$ boules portant le numéro 0 qui rapportent $0$~\euro{}; cela fait un gain de $-1$~\euro{} avec une probabilité de $\dfrac{n-4}{n}$.
 \end{list}
 
On établit la loi de probabilité:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline
Gain & 9 & 4 & $-1$\\
\hline
Probabilité & $\dfrac{1}{n}$ & $\dfrac{3}{n}$ & $\dfrac{n-4}{n}$\rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'espérance mathématique est $E=9\times \dfrac{1}{n} + 4\times \dfrac{3}{n} + (-1)\times \dfrac{n-4}{n} = \dfrac{9+12-n+4}{n} = \dfrac{25-n}{n}$.

\smallskip

Le jeu est équitable si et seulement si $E=0$, c'est-à-dire pour $n=25$.

\smallskip

\fbox{VRAI}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 9.}}

\medskip

Une pièce de monnaie est mal équilibrée.

La probabilité de tomber sur FACE est deux fois plus grande que celle de tomber sur PILE.

On lance 15 fois successivement la pièce.

\emph{Affirmation} : la probabilité de tomber exactement 10 fois sur FACE est supérieure à $0,2$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 La pièce est mal équilibrée donc la probabilité d'obtenir FACE est $p=\dfrac{2}{3}$.
 
 La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de fois que la pièce tombe sur FACE dans une succession de 15 lancers suit une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
 
 $P(X=k) = \ds\binom{n}{k}\,p^k \left (1-p\right )^{n-k}$ donc
  $P(X=10) = \ds\binom{15}{10}\left (\dfrac{2}{3}\right )^{10} \left (1-\dfrac{2}{3}\right )^{15-10}
  \approx 0,214$
  
\smallskip

\fbox{VRAI}
\end{tabular}

\bigskip

\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\textbf{Question 10.}}

\medskip

Dans un repère on considère quatre points : A(1~;~1), B(4~;~1), C(4~;~2) et D(1~;~2).

On définit les points M, N et P par :

$\vect{\text{DM}} = -2\vect{\text{BD}},\: \vect{\text{CN}} = 5\vect{\text{CA}}$ et $\vect{\text{BP}} = 3\vect{\text{AB}}$.

\emph{Affirmation} : les points M, N et P sont alignés.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
 On calcule les coordonnées des points M, N et P.
 
 \begin{list}{\textbullet}{}
 \item $\vectt{DM} = -2\vectt{BD}
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x_{\text M} - 1 & -2\left (1-4\right )\\
 y_{\text M} -2 & -2\left (2-1\right )
 \end{array}
 \right .
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x_{\text M} & 7\\
 y_{\text M} & 0
 \end{array}
 \right .$
\item $\vectt{CN} = 5\vectt{CA}
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x_{\text N} - 4 & 5\left (1-4\right )\\
 y_{\text N} -2 & 5\left (1-2\right )
 \end{array}
 \right .
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x_{\text N} & -11\\
 y_{\text N} & -3
 \end{array}
 \right .$
\item $\vectt{BP} = 3\vectt{AB}
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x_{\text P} - 4 & 3\left (4-1\right )\\
 y_{\text P} -1 & 3\left (1-1\right )
 \end{array}
 \right .
 \iff
 \left \lbrace
 \begin{array}{l !{=} l}
 x_{\text P} & 13\\
 y_{\text P} & 1
 \end{array}
 \right .
 $ 
 \end{list}
 
On détermine les coordonnées des vecteurs $\vectt{MN}$ et $\vectt{MP}$ pour voir s'ils sont colinéaires.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vectt{MN}\left ( -11-7~;\, -3-0\right )$ donc $\vectt{MN}\left ( -18~;\, -3\right )$
\item $\vectt{MP}\left ( 13-7~;\,1-0\right )$ donc $\vectt{MP}\left ( 6~;\, 1\right )$ 
\end{list} 

On voit que $\vectt{MN} = -3 \vectt{MP}$ donc les vecteurs $\vectt{MN}$ et $\vectt{MP}$ sont colinéaires, donc les points M, N et P sont alignés.

\smallskip

\fbox{VRAI}
\end{tabular}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{\large PROBLÈME}
\end{center}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $I = ]0~;~ +\infty[$ par : $f(x) = x \ln (x) + 1$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère du plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine les limites de $f(x)$ en $0$ et $+\infty$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\ds\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ donc $\ds\lim_{x \to +\infty} x \ln(x) = +\infty$ et donc $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
\item On sait que $\ds\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} x \ln(x) = 0$ donc $\ds\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}} f(x)=1$
\end{list}

\item On admet que $f$ est dérivable sur $I$.% Montrer que, pour tout $x \in I$,\: $f'(x) = 1 + \ln(x)$.

$f'(x) = 1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} + 0 = \ln(x) + 1$

\item %Étudier les variations de $f$ sur $I$. Montrer que $f$ admet un minimum dont on donnera la valeur exacte.
Pour étudier les variations de $f$ sur $I$, on détermine le signe de $f'(x)$ sur $I$:

$f'(x)>0 \iff 1+ \ln(x) >0 \iff  \ln(x) >-1 \iff x > \e^{-1}$

Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left ] 0~;\, \e^{-1}\right ]$ et $f$ est strictement croissante sur  $\left [\e^{-1}~;\, +\infty \right [$.
Elle admet un minimum en $x=\e^{-1}$ égal à
$f(\e^{-1}) = \e^{-1} \ln(\e^{-1}) + 1 = 1-\e^{-1}$.

\item Une équation de la tangente $\Delta$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ est
$y=f'(1)\left (x-1\right ) + f(1)$.

$f(1)= 1\times \ln(1)+1=1$ et $f'(1) = 1+\ln(1)=1$ donc l'équation est;
$y=1\left (x-1\right ) +1$ soit $y=x$.

\item On pose, pour tout $x \in I$,\: $g(x) = f(x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item % Étudier les variations de $g$ sur $I$. On ne demande pas de calculer les limites.
$g'(x)=f'(x)-1 = 1+\ln(x) -1 = \ln(x) >0$ sur $]1~;\, +\infty[$; donc la fonction $g$ est strictement croissante sur $[1~;\, +\infty[$, et strictement décroissante sur $]0~;\, 1]$.
		
		\item %En déduire le signe de $g$ sur $I$.
La fonction $g$ admet donc un minimum en $x=1$ égal à $g(1)=f(1)-1 = 0$; donc, pour tout $x$ de $I$, $g(x)\geqslant 0$.		
			
		\item% En déduire les positions relatives de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ sur $I$.
Pour tout $x$ de $I$, $f(x)-x\geqslant 0$ donc $f(x) \geqslant x$; on en déduit que sur $I$, la courbe $\mathcal{C}_f$ d'équation $y=f(x)$ est au dessus de la droite $\Delta$ d'équation $y=x$.		
		
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item% Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.
On établit le tableau de variations de $f$ sur $I$:	

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *4{c}|}
\hline
 x & 0 & \esp & \e^{-1} & \esp & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline\; \Rnode{max1}{1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) &\vline\;\vline  &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline   & &   \Rnode{min}{1-\e^{-1}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\rput*(-1.3,0.72){\Rnode{zero2}{\blue 2}}
\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\blue\alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
	
On en déduit que l'équation $f(x)=2$ admet une solution unique $\alpha$ sur $I$	
	
	\item %Démontrer sans utiliser la calculatrice que $\alpha \leqslant 2$.
On a vu que, pour tout $x$ de $I$, $f(x)\geqslant x$ donc $f(2)\geqslant 2$; or $2=f(\alpha)$ donc $f(2) \geqslant f(\alpha)$. Comme la fonction $f$ est croissante sur $[\e^{-1}~:\, +\infty[$, ça n'est possible que si $2\geqslant\alpha$, autrement dit $\alpha\leqslant 2$.	
	
	\item On admet que $\alpha^2 - \alpha \geqslant 1$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\alpha \geqslant  \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
On résout dans $I$ l'inéquation $x^2-x \geqslant 1$ dont $\alpha$ est une solution.

Soit le trinôme $x^2-x-1$; $\Delta = 1+4=5$ donc le trinôme admet deux racines\\[5pt]
$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ et 	
$x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Le trinôme est du signe de $a$ donc positif à l'extérieur des racines donc sur 
$\left ] \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}~;\, +\infty \right [$.

Comme $\alpha$ est solution de l'inéquation, on en déduit que $\alpha \in \left ] \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}~;\, +\infty \right [$ donc que\\
$\alpha \geqslant \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
		
		\item% En déduire un encadrement de $\alpha$ à $0,2$ près.
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ donc d'après les questions précédentes
$1,6 \leqslant \alpha \leqslant 2$.		
		
 	\end{enumerate}
	\item  On souhaite obtenir un encadrement de $\alpha$ à $0,001$ près. L'algorithme suivant répond à cette question:
	
\begin{center}
	\begin{tabular}{|@{\hspace*{1cm}}ll|}
	\hline
	&\\
	Variable & $a$ réel\\
	Initialisation & $a$ prend la valeur $1,6$\\
	Traitement & Tant que $f(a)<2$ faire\\
	& \hspace*{1cm} $a$ prend la valeur $a+0,001$\hspace*{1cm}\\
	& Fin Tant que\\
	Sortie & Afficher $a-0,001$ et $a$\\
	&\\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{center}	
	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n \in \N^*$.
On modifie le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *4{c}|}
\hline
 x & 0 & \esp & \e^{-1} & \esp & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline\; \Rnode{max1}{1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) &\vline\;\vline  &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline   & &   \Rnode{min}{1-\e^{-1}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\rput*(-1.3,0.72){\Rnode{zero2}{\blue n}}
\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\blue\alpha_n}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{beta}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On en déduit que l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution dans $I$; on l'appelle $\alpha_n$ et on peut dire que $\alpha_n \in \left [\e^{-1}~;\, +\infty\strut \right [$.

\item% Préciser la valeur de $\alpha_1$.
$f(1)=1$ donc $\alpha_1=1$.

\item% Démontrer que la suite $\left(\alpha_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$ de $\N^*$, on a: $f(\alpha_{n})=n$ et $f(\alpha_{n+1})=n+1$; et d'après le tableau de variation de $f$, $\alpha_n > \e^{-1}$.

S'il existe $n$ tel que $\alpha_{n} \geqslant \alpha_{n+1}$, comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left [\e^{-1}~;\, +\infty\strut \right [$, on aurait $f(\alpha_n) \geqslant f(\alpha_{n+1})$, soit $n\geqslant n+1$ ce qui est absurde.

Donc, pour tout $n$ de $\N^{*}$, $\alpha_n < \alpha_{n+1}$ donc la suite $(\alpha_n)$ est croissante. 

\item% Démontrer que la suite $\left(\alpha_n\right)$ n'est pas majorée.
Supposons que la suite $(\alpha_n)$ est majorée par un réel $M$.

Cela veut dire que pour tout $n$ de $\N^*$, on a $\alpha_n \leqslant M$.

Tout élément de la suite $(\alpha_n)$ appartient à $\left [\e^{-1}~;\, +\infty\strut \right [$ et la fonction $f$ est croissante sur $\left [\e^{-1}~;\, +\infty\strut \right [$; on en déduit que, pour tout $n$ de $\N^*$, $f(\alpha_n)\leqslant f(M)$, c'est-à-dire $n \leqslant f(M)$, ce qui est absurde car 
$\ds\lim_{n\to +\infty} n = +\infty$.

La suite $(\alpha_n)$ n'est donc pas majorée.

\item La suite $\left(\alpha_n\right)$ est croissante non majorée donc elle a pour limite $+\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de $I$ et pour tout $n \in \N$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que $u_0 = 1$. On va démontrer par récurrence que, pour tout $n$ de $\N$, $u_n=1$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_0=1$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.
\item Soit $n\geqslant 0$ quelconque tel que $u_n=1$.

$u_{n+1} = f(u_n) = f(1)=1$; donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

On a donc démontré que si $u_0=1$, alors la suite $(u_n)$ est constante et tous ses termes sont égaux à 1.

\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
On sait que, pour tout $x$ de $I$, $f(x) \geqslant x$ (partie A question 5.c.); donc $f(\alpha_n) \geqslant \alpha_n$, ce qui veut dire que $\alpha_{n+1} \geqslant \alpha_n$.

La suite $(\alpha_n)$ est donc croissante.

\item On suppose que $u_0 \in ]0~;~1[$. 
	\begin{enumerate}
		\item 	On établit le tableau de variation de $f$ sur $]0~;\,1[$.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *4{c}|}
\hline
 x & 0 & \esp & \e^{-1} & \esp & 1 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & 1\\  
\hline
  & \vline\;\vline\; \Rnode{max1}{1}  &  &  &  & \Rnode{max2}{1}   \\
f(x) &\vline\;\vline  &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline   & &   \Rnode{min}{1-\e^{-1}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On en déduit que, pour tout $x$ de 	$]0~;\,1[$, alors $1-\e^{-1} < f(x) < 1$ donc $0< f(x) < 1$.	

On va démonter par récurrence que, pour tout $n$, $0<u_n<1$. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_0 \in ]0~;\,1[$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$.
\item Soit $n\geqslant 0$ quelconque tel que $0<u_n<1$.

On vient de voir que si $0<x<1$, alors $0<f(x)<1$ donc $0<u_n<1$ entraîne \\
$0<f(u_n)<1$, c'est-à-dire $0<u_{n+1}<1$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

		
On a donc démontré que si $u_0  \in ]0~;~1[$, alors $0<u_n<1$ pour tout $n$.
		
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1; donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite$(u_n)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
		
		\item On admet que la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.% Déterminer $\ell$.
		
D'après l'étude de la fonction $g$ (partie A question 3.), on sait que $f(x)>x$ sur l'intervalle $I$ sauf en $x=1$ où $f(x)=x$; le nombre 1 est donc la seule solution de $f(x)=x$.

On en déduit que $\ell=1$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Tracés non demandés dans le sujet}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect\imath$,d][$\vect\jmath$,l]
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\g{x x ln mul 1 add}%           fonction
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0.01}{\xmax}{\g}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=black]{0}{\xmax}{x}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{\xmax}{2}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}
