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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\hypersetup{%
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pdfsubject = {Entrée à Sciences Po - Corrigé},
pdftitle = {Entrée à Sciences Po 20 février 2016},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Entrée à Sciences Po - Corrigé}
\lfoot{\small{20 février 2016}}

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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Entrée à Sciences Po}

Samedi 18 février 2017 -- \textbf{MATHÉMATIQUES}
 \end{center}
 
%Les calculatrices sont autorisées.

\begin{center}
\Large Problème
\end{center}

%\textit{Les parties A, B et C de ce problème sont, dans une large mesure, indépendantes.}\\[0.4cm]
En économie, l'élasticité de la demande d'un produit mesure la sensibilité de cette demande par rapport aux variations de prix du produit. L'objet de ce problème est d'étudier l'élasticité d'un produit, afin de déterminer le prix le mieux adapté à la demande.\\
\'{E}tant donné un produit dont le prix est noté $x$ et dont la demande $f(x)$ varie en fonction du prix selon une fonction $f$ strictement positive et dérivable de dérivée $f'$, on appelle élasticité de la demande par rapport au prix la quantité :
$ E(x) = x \times \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; . $

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A : recette et élasticité}
\end{flushleft}

Le tarif mensuel d'accès à une salle de sports est de 30 \euro. Pour ce prix, il y a \np{1800} adhérents.

\medskip

\noindent On étudie un modèle selon lequel pour un tarif mensuel $p$ (nombre entier compris entre 30 et 119), le nombre d'adhérents $f(p)$ est égal à $\np{2400}-20p$. Ainsi, on a bien $f(30)=\np{1800}$.

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout entier naturel $p$ compris entre 30 et 119, $E(p)=\dfrac{p}{p-120}$.
Si la fonction $f$ est définie sur $\cd 30~;\, 119\cg$ par $f(x)=\np{2400} -20x$, alors $f'(x)=-20$ donc \\
$E(p)=p\times \dfrac{f'(p)}{f(p)} = p\times \dfrac{-20}{\np{2400}-20p}= \dfrac{-20p}{-20\left ( -120 +p \right )} = \dfrac{p}{p-120}$. 

\item On dit que la demande est élastique si $E(p)<-1$. %Quels sont les prix $p$ pour lesquels la demande est élastique ?

On résout l'inéquation $E(p)<-1$, pour $p$ entier compris entre 30 et 119:

$E(p)<-1
\iff  \dfrac{p}{p-120} <-1
\iff  \dfrac{p}{p-120} + \dfrac{p-120}{p-120} <0
\iff \dfrac{p+p-120}{p-120} <0\\[5pt]
\phantom{E(p)<-1}
\iff \dfrac{2p - 120}{p-120} <0
$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 30 & \esp & 60 & \esp  & 119 \\
\hline
2p-120 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
p-120 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\dfrac{2p-120}{p-120}\rule[-10pt]{0pt}{27pt} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

La demande est donc élastique pour $p$ entier entre 61 et 119.

\item On note $R(p)$ la recette mensuelle obtenue pour le prix $p$, de sorte que $R(p) = p \times f(p)$.

On admet dans cette question que la recette mensuelle $R(p)$ est maximale lorsque l'élasticité $E(p)$ vaut $-1$. %Calculer cette recette mensuelle maximale.

On a vu que $E(p)=-1$ pour $p=60$; on peut alors calculer la recette mensuelle maximale: 

$R(60) = 60\times f(60) = 60 \left ( \np{2400} - 20\times 60  \right ) = 60\times \np{1200} = \np{72000}$. 

\item %Retrouver ce résultat en étudiant les variations de la suite $(R(p))$, définie pour tout entier naturel $p$ compris entre 30 et 119.
$R(p) = p \times f(p)$ donc $R(p)=p\left ( \np{2400} - 20p\right )$

Soit $r$ la fonction définie sur $\cd 30~;\, 119\cg$ par $r(x)=x\left (\np{2400} - 20x\right )$.

Les variations de la fonction $r$ vont donner celles de la suite $(R(p))$.

$r(x)=\np{2400}x - 20 x^2$ donc $r'(x) = \np{2400} - 40x = 40\left ( 60 - x \right )$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur $\cd 30~;\, 60\cd$, $r'(x)>0$ donc la fonction $r$ est croissante sur $\cd 30~;\, 60\cg$.
\item Sur $\cg 60~;\, 119\cg$, $r'(x)<0$ donc la fonction $r$ est décroissante sur $\cd 60~;\, 119\cg$.
\item La fonction $r$ admet donc un maximum pour $x=60$.
\end{list}

On peut donc en déduire que la suite $(R(p))$ admet un maximum pour $p=60$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B : étude d'un cas particulier }
\end{flushleft}

La demande hebdomadaire d'un produit informatique est modélisée par la fonction $f$ définie par : $f(x)=(2x+10) \e^{-0,5x}$ pour $x \in \cd 1;+\infty\cd$.
Le nombre $f(x)$ est la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$, en centaines d'euros.

\begin{enumerate}
\item \textbf{\'{E}tude de la fonction demande}
\begin{enumerate}
\item %\'{E}tudier les variations de $f$ sur $[1;+\infty[$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cd 1~;\, +\infty\cd$ et

$f'(x) = 2\times  \e^{-0,5x} + (2x+10) \times (-0,5)\e^{-0,5x} = (-x -3) \e^{-0,5x}$.

Pour tout $x$, $\e^{-0,5x}>0$ donc le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $-x-3$.

Sur $\cd 1;+\infty\cd$, $x\geqslant 1$ donc $-x\leqslant -1$ donc $-x-3\leqslant -4<0$; donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\cd 1;+\infty\cd$.

\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. En quoi ce résultat est-il cohérent ?
$f(x)= 2x\e^{-0,5x} +10 \e^{-0,5x}$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $2x\e^{-0,5x} = 4\dfrac{0,5x}{\e^{0,5x}}=\dfrac{4}{\frac{\e^{0,5x}}{0,5x}}$

$\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}$ est de la forme $\dfrac{\e^{X}}{X}$;
or $\ds\lim_{X\to +\infty} \dfrac{\e^{X}}{X} = +\infty$
donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x} = +\infty$
et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{4}{\frac{\e^{0,5x}}{0,5x}} = 0$.
\item On sait que $\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{-X} = 0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-0,5x} = 0$.
\end{list}

On en déduit que $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$.

Ce résultat est cohérent car si le prix de vente $x$ augmente indéfiniment, le nombre de produits achetés va diminuer jusqu'à tendre vers 0.

\item La recette $R$ est définie sur $\cd 1~;\, +\infty\cd$ par $R(x) = x \times f(x)$. %Déterminer le prix de ce produit informatique à l'euro près pour que la recette soit maximale.

$R(x)=x\times f(x)= x \times (2x+10) \e^{-0,5x} = (2x^2+10x)\e^{-0,5x}$
donc\\
$R'(x)= (4x+10)\times \e^{-0,5x} + (2x^2+10x)\times (-0,5)\e^{-0,5x} 
= (4x+10 -x^2 -5x)\e^{-0,5x} \\
\phantom{R'(x)}
= (-x^2 -x +10)\e^{-0,5x}$ 

On étudie le signe de $R'(x)$ pour $x\in \cd 1~;\, +\infty\cd$. Pour tout $x$, $\e^{-0,5x}>0$ donc $R'(x)$ est du signe de $-x^2-x+10$.

$\Delta = (-1)^2 - 4\times (-1)\times 10 = 41>0$ donc le polynôme  $-x^2-x+10$ admet deux racines:\\
$x'=\dfrac{1+\sqrt{41}}{-2}\approx -3,70<0$ et $x''=\dfrac{1-\sqrt{41}}{-2}\approx 2,70$.

On en déduit le signe de $R'(x)$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
$\begin{array}{|c | *{9}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & x' & \esp & 1 & \esp & x'' & \esp & +\infty \\
\hline
-x^2-x+10 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
R'(x) &  &  &   &  & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
\end{array}$}
\end{center}

On déduit que la fonction $R$ admet un maximum pour $x=x''$ donc pour un prix de vente de $x''$ centaines d'euros soit environ 270 euros.

\end{enumerate}

\item \textbf{\'{E}tude de l'élasticité de la demande par rapport au prix}

\begin{enumerate}
\item% Vérifier que pour tout $x \geqslant 1$, $E(x) = \dfrac{-x^2-3x}{2x+10}$, puis donner le signe de cette expression.
Pour $x\geqslant 1$, on a $E(x)=x\times \dfrac{f'(x)}{f(x)} = x \times \dfrac{(-x-3)\e^{-0,5x}}{(2x+10)\e^{-0,5x}}= \dfrac{-x^2-3x}{2x+10}$.

\item On admet que l'élasticité est une approximation du taux de variation de la demande pour une variation de 1\,\% d'un prix $x$ donné. %Calculer une valeur approchée du taux de variation de la demande lorsque le prix passe de 1000 \euro{} à 1010 \euro.

Lorsque le prix passe de \np{1000}~\euro{} à \np{1010}~\euro{}, il augmente de 1\,\%.

Une valeur approchée du taux de variation de la demande lorsque le prix passe de \np{1000}~\euro{} à \np{1010}~\euro{} est donc $E(10) = \dfrac{-100-30}{20+10} = \dfrac{-130}{30} \approx -4,33$.

\item On résout dans $\cd 1~;\, +\infty\cd$ l'équation $E(x)=-3,15$. %Interpréter ce résultat.

$E(x)=-3,15
\iff \dfrac{-x^2-3x}{2x+10} = -3,15
\iff -x^2 - 3x = -6,3x - 31,5\\[3pt]
\phantom{E(x)=-3,15}
\iff -x^2 +3,3x +31,5 = 0$

$\Delta = 3,3^2 - 4\times (-1)\times 31,5 = 136,89 = 11,7^2$;
donc l'équation admet deux solutions:

$x'=\dfrac{-3,3 + 11,7}{2(-1)}=-4,2$ et  $x''=\dfrac{-3,3 - 11,7}{2(-1)}= 7,5$.

Pour un prix de vente du produit de 750~\euro{}, l'élasticité est de $-3,15$.

\item On dit que la demande est peu élastique si l'élasticité de la demande par rapport au prix est comprise entre $-1$ et $0$.% (dans ce cas, la demande est peu sensible aux variations de prix).
%Pour quels prix la demande de ce produit est-elle peu élastique ?

On résout les inéquations $-1 < E(x) < 0$ sur l'intervalle $\cd 1~;\, +\infty\cd$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 
$-1 < E(x)
\iff -1 < \dfrac{-x^2-3x}{2x+10}
\iff 0 < \dfrac{2x+10}{2x+10} + \dfrac{-x^2-3x}{2x+10}
\iff 0< \dfrac{-x^2 -x +10}{2x+10}$

Sur $\cd 1~;\, +\infty\cd$, $2x+10>0$ donc $-1< E(x) \iff -x^2-x+10 >0$ donc pour $x\in \left [ 1~;\, \dfrac{\sqrt{41}-1}{3} \right [$ d'après la question \textbf{B 1.c.}

\item 
$2x+10>0$ donc $E(x)<0 \iff -x^2-3x<0\iff -x(x+3)<0$ ce qui est toujours vrai si $x \geqslant 1$.
\end{list}

$\dfrac{\sqrt{41}-1}{3} \approx 2,70$ donc la demande est peu élastique pour $x$ compris entre 1 et $2,7$ donc pour un prix de vente compris entre 100~\euro{} et 270~\euro.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C : étude théorique }
\end{flushleft}

Dans cette partie, si $f$ désigne une fonction ne s'annulant pas sur $\cg 0~;\, +\infty\cd$, de dérivée $f'$ sur cet intervalle, on note $E_f(x)$ l'élasticité de la fonction $f$ par rapport à la variable $x$, de sorte que :\\
$E_f(x) = x \times \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ pour $x \in \cg 0~;\, +\infty\cd$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Quelques fonctions particulières}

\begin{enumerate}

\item% Montrer que l'élasticité d'une fonction puissance $x \longmapsto x^n$ avec $n$ entier supérieur ou égal à 1 est constante sur $]0;+\infty[$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0~;\, +\infty\cd$ par $f(x)=x^n$ où $n\in\N^*$.

$f'(x)=nx^{n-1}$ donc $E_f(x)=x\times \dfrac{nx^{n-1}}{x^n}=n$ donc l'élasticité est constante.

\item %Calculer l'élasticité de la fonction exponentielle sur $\cg 0~; \, +\infty\cd$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0~; \, +\infty\cd$ par $f(x)=\e^{x}$.

$f'(x)=\e^{x}$ donc $E_f(x)= x\times \dfrac{\e^{x}}{\e^{x}}=x$

\end{enumerate}

\item \textbf{Règles opératoires}\\
Soient un réel $\lambda$ et deux fonctions $f$ et $g$ ne s'annulant pas sur $\cg 0~;\, +\infty\cd$, dérivables sur cet intervalle. Pour tout $x>0$, on a:
\begin{enumerate}
\item $E_{\lambda \times f}(x) = x\times \dfrac{(\lambda f)'(x)}{(\lambda f)(x)} 
= x \times \dfrac{\lambda f'(x)}{\lambda f(x)} = x \times \dfrac{f'(x)}{f(x)} = E_f(x)$.

\item $E_{f \times g}(x) = x\times \dfrac{(fg)'(x)}{(fg)(x)}
=x\times \dfrac{f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}
=x\times \dfrac{f'(x)g(x)}{f(x)g(x)} + x\times \dfrac{f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}\\[5pt]
\phantom{E_{f \times g}(x)}
=x\times \dfrac{f'(x)}{f(x)} + x\times \dfrac{g'(x)}{g(x)}
= E_f(x)+E_g(x)$

\item $E_{\frac{f}{g}}(x)
= x\times \dfrac{\left (\frac{f}{g}\right )'(x)}{\left (\frac{f}{g}\right )(x)}
= x \times \dfrac{\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}}{\frac{f(x)}{g(x)}}
= x \times \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\times \dfrac{g(x)}{f(x)}\\[5pt]
\phantom{E_{\frac{f}{g}}(x)}
= x \times \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}
= x \times \dfrac{f'(x)g(x)}{f(x)g(x)} - x \times \dfrac{f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}
= x \times \dfrac{f'(x)}{f(x)} - x \times \dfrac{g'(x)}{g(x)}\\[5pt]
\phantom{E_{\frac{f}{g}}(x)}
=E_f(x)-E_g(x)$

\end{enumerate}

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\cg 0~;\, +\infty\cd$ par $h(x)=\dfrac{2017 \e^x}{x^2}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0~;\, +\infty\cd$ par $f(x)=\e^{x}$, et $g$ la fonction définie sur $\cg 0~;\, +\infty\cd$ par $g(x)=x^2$; donc $h(x)=\dfrac{2017 f(x)}{g(x)}$.
On a alors \\
$E_h(x)= E_{\frac{2017f}{g}}(x) = E_{2017f}(x) - E_{g}(x)$ d'après \textbf{2.c.}\\
$\phantom{E_h(x)} = E_{f}(x) - E_{g}(x)$ d'après \textbf{2.a.}\\
$\phantom{E_h(x)} = x - 2$ d'après \textbf{1.a.} et \textbf{1.b.}

\end{enumerate}

%\hspace*{1cm}
\newpage

\begin{center}
\Large Vrai ou Faux
\end{center}

%\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.}

\begin{enumerate}
\item On considère deux fonctions $f$ et $g$ ayant les propriétés suivantes :
\[ f(x) \leqslant g(x) \text{ pour tout réel } x \text{ et } \ds\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2\]

\textbf{Affirmation :} Pour tout réel $x$, on a : $2 \leqslant g(x)$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Prenons par exemple $f(x)=2-\dfrac{2}{x^2+1}$ et $g(x)=2-\dfrac{1}{x^2+1}$.

$g(x)=f(x) + \dfrac{1}{x^2+1\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$ donc $g(x)>f(x)$ pour tout réel $x$.

$\ds\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$ et pourtant $g(x)<2$ pour tout $x$. 

\smallskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip


\item Pour se rendre à son examen, une personne a le choix entre 4 itinéraires : A, B, C et D.

La probabilité de choisir A est $\dfrac{1}{3}$, de choisir B est $\dfrac{1}{4}$ et de choisir C est $\dfrac{1}{12}$.

La probabilité d'arriver en retard avec A est $\dfrac{1}{20}$, avec B $\dfrac{1}{10}$ et avec C $\dfrac{1}{5}$.

En empruntant D, elle est certaine d'arriver à l'heure.

\textbf{Affirmation :} La probabilité qu'elle arrive à l'heure est inférieure à $\dfrac{11}{12}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On considère $A$, $B$, $C$ et $D$ les événements respectifs correspondant aux itinéraires A, B, C et D, et $H$ l'événement \og la personne arrive à l'heure \fg{}.

On résume les informations du texte dans un arbre pondéré: 

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,nodesepB=4pt}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{$\frac{1}{3}$}}
	                        {
	                        \TR{$H$}\naput{$\frac{19}{20}$}
			                \TR{$\overline H$}\nbput{$\frac{1}{20}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\ncput*{$\frac{1}{4}$}}
	                        {
	                        \TR{$H$}\naput{$\frac{9}{10}$}
			                \TR{$\overline H$}\nbput{$\frac{1}{10}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\ncput*{$\frac{1}{12}$}}
	                        {
	                        \TR{$H$}\naput{$\frac{4}{5}$}
			                \TR{$\overline H$}\nbput{$\frac{1}{5}$}
	                        }	       
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$D$}\ncput*{$\frac{1}{3}$}}
	                        {
	                        \TR{$H$}\naput{$1$}
			                \TR{$\overline H$}\nbput{$0$}
	                        }	       	                                         
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

D'après la formule des probabilités totales:

$P(H)= P(A) \times P_{A}(H) + P(B)\times P_{B}(H)  + P(C) \times P_{C}(H)  + P(D) \times P_{D}(H)$ \\
$\phantom{P(H)}
= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{19}{20} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{12} \times \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{3} \times 1
= \dfrac{113}{120}
$;
or $\dfrac{113}{120} >\dfrac{11}{12}$

\medskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip
\newpage

\item On considère l'algorithme suivant.\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline 
Entrée : & Saisir un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 \\ 
Traitement : & Affecter à $A$ la valeur 0. \\ 
 & Pour $k$ allant de 1 à $n$ \\ 
& \hspace*{0.5cm} Affecter à $A$ la valeur $A+ \dfrac{1}{k}$  \\ 
& Fin pour \\ 
 & Affecter à $A$ la valeur $nA$ \\ 
Sortie : & Afficher $A$ \\
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
\textbf{Affirmation :} pour $n=6$, le résultat affiché est 14,7.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Pour $n=6$, le résultat affiché est
$6 \times \left ( 0+ \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\right ) = 14,7$

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip


\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points :

A\,$(-1~;~2)$, B\,$(6~;~-5)$, C\,$(-2~;~-1)$ et D\,$(0~;~1)$.

\textbf{Affirmation :} D est le point d'intersection de la droite (AB) et de la perpendiculaire à cette droite passant par C.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
L'affirmation est vraie si le point D appartient à la droite (AB) et si les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées $(6-(-1)~;\,-5-2)=(7~;\, -7)$.

Le vecteur $\vectt{AD}$ a pour coordonnées $(0-(-1)~;\,1-2)=(1~;\, -1)$.

On voit que $\vectt{AB}=7 \vectt{AD}$ donc les deux vecteurs sont colinéaires et donc les points A, B et D sont alignés.
\item Le vecteur $\vectt{CD}$ a pour coordonnées $(0-(-2)~;\,1-(-1))=(2~;\, 2)$.

$\vectt{AB}.\vectt{CD} = 7\times 2 + (-7)\times 2 = 0$ donc $\vectt{AB}\perp\vectt{CD}$ donc les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
\end{list}

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip


\item On donne : $\cos \left( \dfrac{\pi}{8} \right)=\dfrac{\ds\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.\\[0.4cm]
\textbf{Affirmation :} $\sin \left( \dfrac{\pi}{8} \right) = \dfrac{\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On sait que, pour tout réel $x$, on a: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Donc $\sin^2 \left( \dfrac{\pi}{8} \right) = 1 - \cos^2  \left( \dfrac{\pi}{8} \right)
= 1 - \left ( \dfrac{\ds\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right )^2
= 1- \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}
= \dfrac{4-2-\sqrt{2}}{4}
= \dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

On en déduit que $\sin \left( \dfrac{\pi}{8} \right) =\dfrac{\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
ou $\sin \left( \dfrac{\pi}{8} \right) =-\dfrac{\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

Mais $0 < \dfrac{\pi}{8} <  \pi$ donc $\sin \left( \dfrac{\pi}{8} \right) >0$.
On a donc: $\sin \left( \dfrac{\pi}{8} \right) =\dfrac{\ds\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

%\medskip
\newpage

\item La suite $(u_n)$ est définie par $u_1=2$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n+2n-1$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1.

\textbf{Affirmation :} Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, 
$u_n = 16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On calcule quelques termes de la suite $(u_n)$:

\smallskip

$u_{1+1} = \dfrac{1}{2}u_1+2\times 1-1 = \dfrac{1}{2}\times 2 +2-1$ donc $u_2=2$

\smallskip

$u_{2+1} = \dfrac{1}{2}u_2+2\times 2-1 = \dfrac{1}{2}\times 2 +4-1$ donc $u_3=4$

\smallskip

$u_{3+1} = \dfrac{1}{2}u_3+2\times 3-1 = \dfrac{1}{2}\times 4 +6-1$ donc $u_4=7$
\end{tabular}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On calcule $16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10$ pour quelques valeurs de $n$:

\smallskip

Pour $n=1$, $16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10 = 16\times \dfrac{1}{2} +4 - 10= 2=u_1$

\smallskip

Pour $n=2$, $16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10 = 16\times \dfrac{1}{4} +8 - 10= 2=u_2$

\smallskip

Pour $n=3$, $16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10 = 16\times \dfrac{1}{8} +12 - 10= 4=u_3$

\smallskip

Pour $n=4$, $16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10 = 16\times \dfrac{1}{16} +16 - 10= 7=u_4$

\smallskip

On peut conjecturer que pour $n\geqslant 1$, $u_n = 16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10$. \\
On va démontrer cette propriété par récurrence.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=1$, on a déjà vu que $16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n+4n-10 = 16\times \dfrac{1}{2} +4 - 10= 2=u_1$; donc la propriété est vraie pour $n=1$.
\item On suppose la propriété vraie pour un entier quelconque $k\geqslant 1$, c'est-à-dire que
$u_k = 16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^k+4k-10$.

On va démontrer que cette propriété est vraie au rang $k+1$.

$u_{k+1} = \dfrac{1}{2} u_k +2k - 1
= \dfrac{1}{2} \left (16 \left( \dfrac{1}{2} \right)^k+4k-10 \right ) +2k-1
= 16 \left ( \dfrac{1}{2}\right ) ^{k+1} +2k - 5 +2k -1$

$\phantom{u_{k+1}}
= 16 \left ( \dfrac{1}{2}\right ) ^{k+1} +4k-6
= 16 \left ( \dfrac{1}{2}\right ) ^{k+1} +4\left (k+1\right ) - 10$

La propriété est donc vraie au rang $k+1$.
\item  La propriété est vraie au rang 1, et elle est héréditaire pour tout $k\geqslant 1$. D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{list}

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip


\item On considère un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1.\\
Un archer effectue $n$ tirs consécutifs sur une cible.\\
 La réussite ou l'échec à un tir n'influence pas les tirs suivants. Ainsi, à chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est de $\dfrac{2}{5}$.\\[0.4cm]
\textbf{Affirmation :} Pour $n \geqslant 10$, la probabilité qu'il atteigne au moins une fois la cible lors des $n$ lancers est supérieure ou égale à 0,999.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si $X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de succès, on cherche $P(X \geqslant 1)$, c'est-à-dire $1- P(X=0)$. On résout donc l'inéquation $1-P(X=0) \geqslant 0,999$, c'est-à-dire $P(X=0)\leqslant
 0,001$.
 
 La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{2}{5}$.
 
 $P(X=0) = \ds\binom{n}{0} \left ( \dfrac{2}{5}\right )^0 \left (1-\dfrac{2}{5}\right) ^{n-0}
= \left (\dfrac{3}{5}\right )^n = \left (0,6\right )^{n}$; on résout l'inéquation:

$\left (0,6\right )^n \leqslant 0,001
\iff \ln\left ( \left ( 0,6 \right )^{n}\right ) \leqslant \ln\left (0,001\right )
\iff n \ln \left (0,6 \right ) \leqslant \ln\left (0,001 \right )$\\[4pt]
$\hphantom{\left (\dfrac{3}{5}\right )^n \leqslant 0,001}
\iff n \geqslant \dfrac{\ln\left (0,001 \right )}{\ln\left (0,6\right )}$

$\dfrac{\ln\left (0,001 \right )}{\ln\left (0,6\right )\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 13,5$ donc c'est pour $n\geqslant 14$ que la probabilité qu'il atteigne au moins une fois la cible lors des $n$ lancers est supérieure ou égale à 0,999. 

\smallskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Pour tout réel $m>0$, on considère l'équation $\left( E_m \right)$ : $2mx^2+(4m+1)x+2=0$.

\textbf{Affirmation :} L'équation $\left( E_m \right)$ admet toujours deux solutions.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On calcule le discriminant: \\
$\Delta = (4m+1)^2 - 4\times 2m \times 2 
= 16m^2 +8m +1 - 16m = 16m^2 - 8m +1 = (4m-1)^2$.

Pour $m=\dfrac{1}{4}$, on a $\Delta=0$ et donc l'équation $\left (E_{\frac{1}{4}}\right )$ n'admet qu'une solution.

\smallskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\cg 0;+\infty\cd$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$.\\[0.4cm]
\textbf{Affirmation :} La courbe représentative de $f$ admet au moins une tangente qui passe par l'origine.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Pour $a>0$, la tangente à la courbe représentant $f$ au point de la courbe d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a) \left ( x-a\strut\right ) + f(a)$ soit $y=f'(a) x -a f'(a) + f(a)$.

Cette tangente passe par l'origine si et seulement si $-a f'(a)+f(a)=0$.

$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ donc 
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}\times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$.

\smallskip

$-a f'(a)+f(a)=0
\iff
-a \times \dfrac{1-\ln a}{a^2} + \dfrac{\ln a}{a}=0
\iff
\dfrac{-1+ \ln a}{a} + \dfrac{\ln a}{a\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} = 0$\\
$\phantom{-a f'(a)+f(a)=0}
\iff
\dfrac{-1+2\ln a}{a}=0
\iff
-1+2\ln a = 0
\iff 
\ln a = \dfrac{1}{2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\
$\phantom{-a f'(a)+f(a)=0}
\iff
a=\e^{\frac{1}{2}}$ 

Il existe donc une tangente à la courbe (et une seule) qui passe par l'origine. 

\smallskip

\textbf{Affirmation vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item Une urne $U$ contient 3 boules numérotées de 1 à 3.\\
On effectue une succession de tirages d'une boule en appliquant la règle suivante : si la boule tirée porte le numéro $k$, on enlève de l'urne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal à $k$ avant de procéder au tirage suivant.\\
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l'urne $U$ de toutes ses boules.\\[0.4cm]
\textbf{Affirmation :} l'espérance $E(X)$ est strictement supérieure à 2.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
D'après le texte, l'urne est vide quand on a tiré la boule numérotée 1.

On regroupe les informations du texte dans un arbre:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=2pt,nodesep=0pt,treesep=0.9cm]{\TR{}}
%\pstree[treemode=R]{\Tdot}
   {
     \pstree{\Tcircle{$1$}~{\blue ~fin}\ncput*{\blue $\frac{1}{3}$}}
        {%
		$\phantom{\Tcircle{1}\naput{1}}$%
       }
     \pstree{\Tcircle{$2$}\ncput*{\blue $\frac{1}{3}$}}
        {
               \Tcircle{$1$}~{\blue ~fin}\ncput*{\blue $1$}
       }
    \pstree{\Tcircle{$3$}\ncput*{\blue $\frac{1}{3}$}}
         {
         \Tcircle{$1$}~{\blue ~fin}\ncput*{\blue $\frac{1}{2}$}
        \pstree{\Tcircle{$2$}\ncput*{\blue $\frac{1}{2}$}}
                {
                \Tcircle{$1$}~{\blue ~fin}\ncput*{\blue $1$}
                }
        }
    }
\bigskip
\end{center}

On en déduit la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de lancers pour que l'urne soit vide:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$n_i$ & 1 & 2 & 3\\
\hline
$p_i = P(X=n_i)$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{3}\times 1 + \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}\rule[-10pt]{0pt}{25pt}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

$E(X)= \ds\sum n_i \times p_i = \left (1\times \dfrac{1}{3}\right ) + \left (2 \times \dfrac{1}{2}\right ) + \left (3 \times \dfrac{1}{6}\right ) = \dfrac{11}{6\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} < 2$

\smallskip

\textbf{Affirmation fausse}
\end{tabular}

\medskip


\end{enumerate}

%\begin{center}\floweroneright\hspace{1cm} \textbf{FIN} \hspace{1cm}\floweroneleft \end{center}

\end{document}