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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{Corrigé entrée à Sciences Po}

\medskip

\textbf{ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2016} 

Samedi 20 février 2016

\textbf{MATHÉMATIQUES}
 
durée de l'épreuve : 3~h
\end{center}
 
Les calculatrices sont autorisées.

\begin{center}
\Large Problème
\end{center}

La partie A est indépendante des parties B et C

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une banque propose un contrat d'assurance vie qui fonctionne de la façon suivante. À l'ouverture
du contrat en janvier 2016, le client dépose \np{5000}~euros. Le 31 décembre de chaque année, la banque
ajoute des intérêts à hauteur de 2\,\%. Puis chaque année, le 1\up{er} janvier, le client dépose 500 euros. Les intérêts produits une année engendrent eux-mêmes des intérêts les années suivantes.

On note $I_n$ le solde de l'assurance vie au 1\up{er} janvier de l'année $(2016 + n)$. Ainsi 

$I_0 = \np{5000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $I_1,\:I_2$ et $I_3$.
$I_1 = I_0 \times 1,02 + 500 = \np{5000}\times 1,02 + 500 = \np{5600}$ ;

$I_2 = I_1 \times 1,02 + 500 = \np{5600}\times 1,02 + 500 = \np{6212}$ ;

$I_3 = I_2 \times 1,02 + 500 = \np{6212}\times 1,02 + 500 = \np{6836,24}$.
\item %Montrer que pour tout entier $n,\: I_{n+1} = 1,02 I_n + 500$.
Ajouter chaque année 2\,\% d'intérêts c'est multiplier le capital par 1,02 et comme on rajoute chaque début d'année 500~\euro, on a bien $I_{n+1} = 1,02 I_n + 500$.

\item %On note $\left(K_n\right)$ la suite définie pour tout $n$ par $K_n = I_n + \np{25000}$. Montrer que la suite $\left(K_n\right)$ est géométrique.
$K_n = I_n + \np{25000}$, donc $K_{n+1} = I_{n+1} + \np{25000} = 1,02 I_n + 500 + \np{25000} =  1,02 I_n  + \np{25500}$.

Or $\np{25500} = \np{25000} \times 1,02$, donc 

$K_{n+1} = 1,02 I_n + 0,02\times \np{25000} = 1,02\left(I_n + \np{25000} \right) = 1,02K_n$.

Cette égalité montre que la suite $\left(K_n\right)$ est géométrique de raison 1,02 et de premier terme $K_0 = I_0 + \np{25000} = \np{30000}$.
\item %En déduire l'expression de $K_n$ puis celle de $I_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n$,\: $K_n = K_0\times 1,02^n = \np{30000}\times 1,02^n$.

Or  $K_n = I_n + \np{25000} \iff I_n = K_n - \np{25000} = \np{30000}\times 1,02^n - \np{25000}$.
\item %Justifier que la suite $\left(I_n\right)$ tend vers $+ \infty$. 
Comme $1,02 > 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1,02^n = + \infty$ et par conséquent 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}I_n = + \infty$.

%Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année au bout de laquelle le solde de l'assurance serait supérieur à \np{20000} euros. Déterminer cette année.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables :}&$n$ est un naturel\\
&$i$ est un décimal à deux décimales\\
\textbf{Initialisation :}&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
&Affecter à $i$ la valeur \np{5000}\\
\textbf{Traitement :}&Tant que $i < \np{20000}$\\
&Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
&Affecter à $i$ la valeur $1,02 \times i + 500$\\
&Fin du Tant que\\
\textbf{Affichage :}&Afficher $2016 + n$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le solde (\np{20470}~\euro) sera supérieur à \np{20000}~euros au bout de 21 années, soit en 2037.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour $x \geqslant 1$ par

\[f(x) = \dfrac{30x - 16}{15x - 2}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(1)$. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe représentative de $f$ ?
$f(1) = \dfrac{30 - 16}{15 - 2} = \dfrac{14}{13}$.

On peut écrire puisque $x\ne 0$, \:$f(x) = \dfrac{30 - \frac{16}{x}}{15 - \frac{2}{x}}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{16}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{2}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \dfrac{30}{15} = 2$.

Ceci montre que la courbe $\mathcal{C}$ admet au voisinage de plus l'infini une asymptote horizontale d'équation $y = 2$.
\item %Montrer que pour tout  $x \geqslant 1$,

%\[f'(x) = \dfrac{180}{(15x - 2)^2}.\]
Comme $x \geqslant 1$, \: $15x  - 2 \geqslant 13 > 0$ : la fonction $f$ est donc dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ et on a :

$f'(x) = \dfrac{30(15x - 2) - 15(30x - 16)}{(15x - 2)^2} = \dfrac{- 60 + 240}{(15x - 2)^2} = \dfrac{180}{(15x - 2)^2}$%.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$ pour  $x \geqslant 1$.
La dérivée est clairement supérieur à zéro quelque soit le réel $x$ ; la fonction $f$ est donc croissante de $f(1) = \dfrac{14}{13}$  à $2$.
\item ~%Représenter la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6,2.5)
\psgrid[gridlabels=0](0,0)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,2.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{6}{30 x mul 16 sub 15 x mul 2 sub div}
\uput[ul](1,1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](5.8,0){$x$} \uput[r](0,2.4){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un cadre de la banque envisage la commercialisation d'un produit financier dont la valeur, en centaines
d'euros à la fin de l'année $(2016 + n)$, serait modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

\[u_0 = 1 \quad  \text{et pour tout entier }\:n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer par récurrence que pour tout entier $n,\: 1 \leqslant u_n \leqslant 2$.
\emph{Initialisation :} $u_0 = 1$, donc on a bien  $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$.

\emph{Hérédité :} supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que $1 \leqslant u_p \leqslant 2$.

On a $u_{p+1} = f\left(u_p \right)$ : or on a vu dans la partie B que pour $x \geqslant 1$, alors $1 \leqslant f(x) \leqslant 2$, donc  $1 \leqslant u_{p+1} \leqslant 2$.

On a donc démontré par récurrence que  pour tout entier $n,\: 1 \leqslant u_n \leqslant 2$.
\item %On introduit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n$ par

\[v_n = \dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12}\]

	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer pourquoi la suite $\left(v_n\right)$ est bien définie.
Comme $1 \leqslant u_n \leqslant 2$, \: $15 \leqslant 15u_n \leqslant 30$ et $3 \leqslant 15u_n - 12\leqslant 18$ ; le dénominateur est donc non nul, $v_n$ existe quel que soit le naturel $n$.
		\item %Calculer $v_0,\: v_1$ et $v_2$.
On a $u_0 = 1$,\:$u_1 = f(u_0) =  \dfrac{14}{13}$ et $u_2 = f(u_1) = \dfrac{30\times \frac{14}{13} - 16}{15\times \frac{14}{13} - 2} = \dfrac{\frac{212}{13}}{\frac{184}{13}} = \dfrac{212}{184} = \dfrac{53}{46}$.
		
$v_0 = 	\dfrac{15u_0 - 20}{15u_0 - 12} = \dfrac{- 5}{3}= - \dfrac{5}{3}$ ;

$v_1 = 	\dfrac{15u_1 - 20}{15u_1 - 12} = \dfrac{15\times \dfrac{14}{13} - 20}{15\times \dfrac{14}{13} - 12} = \dfrac{- \frac{50}{13}}{\frac{54}{13}} = - \dfrac{50}{57}$ ;	

$v_2 = 	\dfrac{15u_2 - 20}{15u_2 - 12} = \dfrac{15\times \dfrac{53}{46} - 20}{15 \times \dfrac{53}{46} - 12}= \dfrac{- \frac{125}{46}}{\frac{243}{46}} = -\dfrac{125}{243}$.
		
%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $- \dfrac{5}{3}$ et de raison $\dfrac{5}{9}$.
On a $v_{n+1} = \dfrac{15u_{n+1} - 20}{15u_{n+1} - 12} = \dfrac{15\frac{30u_n - 16}{15u_n - 2} - 20}{15\frac{30u_n - 16}{15u_n - 2} - 12} = \dfrac{15(30u_n - 16) - 20(15u_n - 2)}{15(30u_n - 16) - 12(15u_n - 2)} = \dfrac{450u_n - 240 - 300u_n + 40}{450u_n - 240 - 180u_n + 24} = \dfrac{150u_n - 200}{270u_n - 216} = \dfrac{75u_n - 100}{135u_n - 108} = \dfrac{5(15u_n - 20)}{9(15u_n - 12)} = 
\dfrac{5}{9}\dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12} = \dfrac{5}{9}v_n$.

L'égalité $v_{n+1} = \dfrac{5}{9}v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $- \dfrac{5}{3}$ et de raison $\dfrac{5}{9}$.
		\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $v_n = - \dfrac{5}{3} \times \left(\dfrac{5}{9} \right)^n$.
		\item %Après avoir donné l'expression de $u_n$ en fonction de $v_n$, démontrer que
$v_n = \dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12} \iff v_n\left(15u_n - 12 \right) = 15u_n - 20 \iff 15u_nv_n - 12v_n = 15u_n - 20 \iff u_n \left(15 - 15v_n \right) = 20 - 12v_n$ et enfin pour $v_n \ne 1$,

$u_n = \dfrac{20 - 12v_n}{15 - 15v_n}$.

On a donc :

$u_n = \dfrac{20 - 12v_n}{15 - 15v_n} = \dfrac{20 - 12 \times \left(- \dfrac{5}{3}\right) \times \left(\dfrac{5}{9} \right)^n}{15 - 15\times \left(- \dfrac{5}{3}\right)\left(\dfrac{5}{9} \right)^n} = \dfrac{20 + 20\left(\dfrac{5}{9} \right)^n}{15 + 25\left(\dfrac{5}{9} \right)^n} = \dfrac{4 + 4\left(\dfrac{5}{9} \right)^n}{3 + 5\left(\dfrac{5}{9} \right)^n} = \dfrac{4\times 9^n + 4\times 5^n}{3\times 9^n + 5\times 5^n}.$
\[u_n = \dfrac{4 \times  5^n + 4 \times 9^n}{5 \times 5^n + 3 \times 9^n} .\]

		\item Établir un algorithme permettant de déterminer la première année pour laquelle le taux de
variation de ce produit financier sera inférieur à 2\,\%.
Déterminer cette année.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\Large \textbf{Exercice : Vrai ou Faux}
\end{center}

\textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On dispose d'un dé à quatre faces bien équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Un
joueur qui lance le dé gagne 3 euros s'il tombe sur 4, 1 euro s'il tombe sur 1 et perd 2 euros sinon.

On note $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

On a $E(G) = 1 \times \dfrac{1}{4} + (- 2) \times \dfrac{1}{4} + (- 2) \times \dfrac{1}{4} + 3 \times \dfrac{1}{4} =  \times \dfrac{1}{4}\times(1 - 2 - 2 + 3) = 0$.

\textbf{Proposition :} l'espérance de $G$ est nulle.

La proposition est vraie.
\item Une urne contient 15 chaussettes vertes et 5 chaussettes bleues. Une personne tire successivement
et sans remise deux chaussettes.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{V}\taput{$\frac{3}{4}$}}
	{\TR{$V$}\taput{$\frac{14}{19}$}
	\TR{$B$}\tbput{$\frac{5}{19}$}
	}
\pstree{\TR{B}\taput{$\frac{1}{4}$}}
	{\TR{$V$}\taput{$\frac{15}{19}$}
	\TR{$B$}\tbput{$\frac{4}{19}$}
	}
}
\end{center}
\medskip

La probabilité de tirer deux chaussettes de même couleur est :

$p(V) \times p_V(V) + p(B) \times p_B(B) = \frac{3}{4}\times\frac{14}{19}  + \frac{1}{4}\times\frac{4}{19} = \frac{42 + 4}{4 \times 19} = \frac{46}{76} = \dfrac{23}{38} \approx \np{0,6052}$ soit 0,605 au millième près. 

\textbf{Proposition :} la probabilité qu'il obtienne deux chaussettes de la même couleur, arrondie à
$10^{-3}$, est égale à $0,605$.

La proposition est vraie.
\item Une usine fabrique des assiettes en grande quantité. On admet que 4\,\% des assiettes fabriquées
sont cassées. On prélève au hasard $100$ assiettes, et on considère que le stock d'assiettes disponibles
est très important.

On a une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,04$.

La probabilité cherchée est celle qu'il y ait 0 ou 1 assiette cassée, soit  :

$0,04^0 \times 0,96^{100} + 100 \times 0,04 \times 0,96^{99} \approx 0,087 < 0,1$.

\textbf{Proposition :} la probabilité qu'au moins $99$ assiettes ne soient pas cassées est supérieure à $0,1$.

La proposition est fausse.
\item Soient $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère et (D) la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$.

$(\mathcal{C})$ a pour équation $y = f(x) = \text{e}^x$.

Pour $x = 0, \: y = 1$.

La tangente au point de coordonnées (0~;~1) a pour équation :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0)$  ; or $f'(x) = \text{e}^x$, donc $f'(0) = 1$.

L'équation est donc : $y - 1 = 1\times x$ ou encore $y = d(x) =  x + 1$.

Considérons la fonction $\delta$ définie sur $\R$ par  :

$\delta(x) f(x) - d(x) = \text{e}^x - (x + 1) = \text{e}^x - x  - 1$.

On a $\delta'(x) = \text{e}^x - 1$ ;

$\bullet~~$$\delta'(x) > 0 \iff \text{e}^x - 1 > 0 \iff  \text{e}^x > 1 \iff x > 0$ ;

$\bullet~~$$\delta'(x) < 0 \iff \text{e}^x - 1 < 0 \iff  \text{e}^x < 1 \iff x < 0$ ;

$\bullet~~$$\delta'(x) = 0 \iff \text{e}^x - 1 = 0 \iff  \text{e}^x = 1 \iff x = 0$.

La fonction $\delta$ est donc décroissante puis croissante avec un minimum pour $x = 0$ qui vaut $0$.

Donc $f(x) > d(x)$ ce qui signifie que la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D) pour tout réel, ... sauf pour $x = 0$ 

\textbf{Proposition :} la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D).

La proposition est fausse.
\item Dans un repère orthonormé, on note $(d)$ la droite, passant par A(2~;~1) et parallèle à la droite $(d')$ d'équation $x - 2y + 3 = 0$.

Une équation de $d$ est $x - 2y + k = 0$ avec $k \in \R$.

A$(2~;~1) \in (d) \iff 2 - 2\times 1 + k = 0 \iff k = 0$.

Une équation de $d$ est donc $x - 2y= 0 \iff x = 2y \iff y = \frac{x}{2}$.

\textbf{Proposition :} $(d)$ a pour équation $y = \dfrac{x}{2}$.

La proposition est vraie.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 - 1\right) \ln (x)$.

La proposition est vraie si $f'(1) = 0$.

Or $f'(x) = 2x\ln x + \dfrac{x^2 - 1}{x}$, d'où $f'(1) = 2\times 1 \ln 1 + \dfrac{1^2 - 1}{1} = 0 + 0 = 0$.

\textbf{Proposition :} dans un repère orthonormé, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point
d'abscisse $1$ est horizontale.

La proposition est vraie.
\item Dans un repère orthonormé, on désigne par A, B et C les points de coordonnées A(1~;~3), B(6~;~4) et C$(7~;~-1)$.

On a : $\text{AB}^2 = (6 - 1)^2 + (4 - 3)^2 = 5^2 + 1^2 = 26$ ;

$\text{AC}^2 = (7 - 1)^2 + (- 1 - 3)^2 = 6^2 + (- 4)^2 = 52$ ;

$\text{BC}^2 = (7 - 6)^2 + (- 1 - 4)^2 = 1^2 +(- 5)^2 = 26$.

On a donc $\text{AB}^2 = \text{BC}^2$, d'où AB = BC : le triangle ABC est isocèle en B.

D'autre part : $26  + 26 = 52 \iff \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

\textbf{Proposition :} le triangle ABC est rectangle isocèle.

La proposition est vraie.
\item \textbf{Proposition :} Pour tout réel $x,\: \sin(\pi - x) = \sin(x)$.

La proposition est vraie.
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite croissante minorée.

La suite définie pour , par $u_n = n^2$ est croissante minorée par $0$ et ne converge pas.

\textbf{Proposition :} la suite $\left(u_n\right)$ converge.

La proposition est fausse.
\item $f$ est une fonction définie sur $\R$, positive et croissante.

Contre-exemple : la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$ est positive croissante et a pour limite 1 au voisinage de plus l'infini.

\textbf{Proposition :} La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$.

La proposition est fausse.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\floweroneright\hspace{1cm} \textbf{FIN} \hspace{1cm}\floweroneleft \end{center}
\end{document}
