%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen,color} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé entrée à Sciences Po}, pdftitle = {Corrigé entrée à Sciences Po 20 février 2016}, allbordercolors = white} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Entrée à Sciences Po} \lfoot{\small{20 février 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{Corrigé entrée à Sciences Po} \medskip \textbf{ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2016} Samedi 20 février 2016 \textbf{MATHÉMATIQUES} durée de l'épreuve : 3~h \end{center} Les calculatrices sont autorisées. \begin{center} \Large Problème \end{center} La partie A est indépendante des parties B et C \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une banque propose un contrat d'assurance vie qui fonctionne de la façon suivante. À l'ouverture du contrat en janvier 2016, le client dépose \np{5000}~euros. Le 31 décembre de chaque année, la banque ajoute des intérêts à hauteur de 2\,\%. Puis chaque année, le 1\up{er} janvier, le client dépose 500 euros. Les intérêts produits une année engendrent eux-mêmes des intérêts les années suivantes. On note $I_n$ le solde de l'assurance vie au 1\up{er} janvier de l'année $(2016 + n)$. Ainsi $I_0 = \np{5000}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $I_1,\:I_2$ et $I_3$. $I_1 = I_0 \times 1,02 + 500 = \np{5000}\times 1,02 + 500 = \np{5600}$ ; $I_2 = I_1 \times 1,02 + 500 = \np{5600}\times 1,02 + 500 = \np{6212}$ ; $I_3 = I_2 \times 1,02 + 500 = \np{6212}\times 1,02 + 500 = \np{6836,24}$. \item %Montrer que pour tout entier $n,\: I_{n+1} = 1,02 I_n + 500$. Ajouter chaque année 2\,\% d'intérêts c'est multiplier le capital par 1,02 et comme on rajoute chaque début d'année 500~\euro, on a bien $I_{n+1} = 1,02 I_n + 500$. \item %On note $\left(K_n\right)$ la suite définie pour tout $n$ par $K_n = I_n + \np{25000}$. Montrer que la suite $\left(K_n\right)$ est géométrique. $K_n = I_n + \np{25000}$, donc $K_{n+1} = I_{n+1} + \np{25000} = 1,02 I_n + 500 + \np{25000} = 1,02 I_n + \np{25500}$. Or $\np{25500} = \np{25000} \times 1,02$, donc $K_{n+1} = 1,02 I_n + 0,02\times \np{25000} = 1,02\left(I_n + \np{25000} \right) = 1,02K_n$. Cette égalité montre que la suite $\left(K_n\right)$ est géométrique de raison 1,02 et de premier terme $K_0 = I_0 + \np{25000} = \np{30000}$. \item %En déduire l'expression de $K_n$ puis celle de $I_n$ en fonction de $n$. On sait que pour tout naturel $n$,\: $K_n = K_0\times 1,02^n = \np{30000}\times 1,02^n$. Or $K_n = I_n + \np{25000} \iff I_n = K_n - \np{25000} = \np{30000}\times 1,02^n - \np{25000}$. \item %Justifier que la suite $\left(I_n\right)$ tend vers $+ \infty$. Comme $1,02 > 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1,02^n = + \infty$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}I_n = + \infty$. %Écrire un algorithme permettant de déterminer l'année au bout de laquelle le solde de l'assurance serait supérieur à \np{20000} euros. Déterminer cette année. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline \textbf{Variables :}&$n$ est un naturel\\ &$i$ est un décimal à deux décimales\\ \textbf{Initialisation :}&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ &Affecter à $i$ la valeur \np{5000}\\ \textbf{Traitement :}&Tant que $i < \np{20000}$\\ &Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ &Affecter à $i$ la valeur $1,02 \times i + 500$\\ &Fin du Tant que\\ \textbf{Affichage :}&Afficher $2016 + n$\\\hline \end{tabularx} \end{center} Le solde (\np{20470}~\euro) sera supérieur à \np{20000}~euros au bout de 21 années, soit en 2037. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour $x \geqslant 1$ par \[f(x) = \dfrac{30x - 16}{15x - 2}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $f(1)$. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe représentative de $f$ ? $f(1) = \dfrac{30 - 16}{15 - 2} = \dfrac{14}{13}$. On peut écrire puisque $x\ne 0$, \:$f(x) = \dfrac{30 - \frac{16}{x}}{15 - \frac{2}{x}}$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{16}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\frac{2}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \dfrac{30}{15} = 2$. Ceci montre que la courbe $\mathcal{C}$ admet au voisinage de plus l'infini une asymptote horizontale d'équation $y = 2$. \item %Montrer que pour tout $x \geqslant 1$, %\[f'(x) = \dfrac{180}{(15x - 2)^2}.\] Comme $x \geqslant 1$, \: $15x - 2 \geqslant 13 > 0$ : la fonction $f$ est donc dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ et on a : $f'(x) = \dfrac{30(15x - 2) - 15(30x - 16)}{(15x - 2)^2} = \dfrac{- 60 + 240}{(15x - 2)^2} = \dfrac{180}{(15x - 2)^2}$%. \item %Dresser le tableau de variation de $f$ pour $x \geqslant 1$. La dérivée est clairement supérieur à zéro quelque soit le réel $x$ ; la fonction $f$ est donc croissante de $f(1) = \dfrac{14}{13}$ à $2$. \item ~%Représenter la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6,2.5) \psgrid[gridlabels=0](0,0)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,2.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{6}{30 x mul 16 sub 15 x mul 2 sub div} \uput[ul](1,1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](5.8,0){$x$} \uput[r](0,2.4){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Un cadre de la banque envisage la commercialisation d'un produit financier dont la valeur, en centaines d'euros à la fin de l'année $(2016 + n)$, serait modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[u_0 = 1 \quad \text{et pour tout entier }\:n,\: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\] \begin{enumerate} \item %Montrer par récurrence que pour tout entier $n,\: 1 \leqslant u_n \leqslant 2$. \emph{Initialisation :} $u_0 = 1$, donc on a bien $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$. \emph{Hérédité :} supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que $1 \leqslant u_p \leqslant 2$. On a $u_{p+1} = f\left(u_p \right)$ : or on a vu dans la partie B que pour $x \geqslant 1$, alors $1 \leqslant f(x) \leqslant 2$, donc $1 \leqslant u_{p+1} \leqslant 2$. On a donc démontré par récurrence que pour tout entier $n,\: 1 \leqslant u_n \leqslant 2$. \item %On introduit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n$ par \[v_n = \dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12}\] \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi la suite $\left(v_n\right)$ est bien définie. Comme $1 \leqslant u_n \leqslant 2$, \: $15 \leqslant 15u_n \leqslant 30$ et $3 \leqslant 15u_n - 12\leqslant 18$ ; le dénominateur est donc non nul, $v_n$ existe quel que soit le naturel $n$. \item %Calculer $v_0,\: v_1$ et $v_2$. On a $u_0 = 1$,\:$u_1 = f(u_0) = \dfrac{14}{13}$ et $u_2 = f(u_1) = \dfrac{30\times \frac{14}{13} - 16}{15\times \frac{14}{13} - 2} = \dfrac{\frac{212}{13}}{\frac{184}{13}} = \dfrac{212}{184} = \dfrac{53}{46}$. $v_0 = \dfrac{15u_0 - 20}{15u_0 - 12} = \dfrac{- 5}{3}= - \dfrac{5}{3}$ ; $v_1 = \dfrac{15u_1 - 20}{15u_1 - 12} = \dfrac{15\times \dfrac{14}{13} - 20}{15\times \dfrac{14}{13} - 12} = \dfrac{- \frac{50}{13}}{\frac{54}{13}} = - \dfrac{50}{57}$ ; $v_2 = \dfrac{15u_2 - 20}{15u_2 - 12} = \dfrac{15\times \dfrac{53}{46} - 20}{15 \times \dfrac{53}{46} - 12}= \dfrac{- \frac{125}{46}}{\frac{243}{46}} = -\dfrac{125}{243}$. %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $- \dfrac{5}{3}$ et de raison $\dfrac{5}{9}$. On a $v_{n+1} = \dfrac{15u_{n+1} - 20}{15u_{n+1} - 12} = \dfrac{15\frac{30u_n - 16}{15u_n - 2} - 20}{15\frac{30u_n - 16}{15u_n - 2} - 12} = \dfrac{15(30u_n - 16) - 20(15u_n - 2)}{15(30u_n - 16) - 12(15u_n - 2)} = \dfrac{450u_n - 240 - 300u_n + 40}{450u_n - 240 - 180u_n + 24} = \dfrac{150u_n - 200}{270u_n - 216} = \dfrac{75u_n - 100}{135u_n - 108} = \dfrac{5(15u_n - 20)}{9(15u_n - 12)} = \dfrac{5}{9}\dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12} = \dfrac{5}{9}v_n$. L'égalité $v_{n+1} = \dfrac{5}{9}v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $- \dfrac{5}{3}$ et de raison $\dfrac{5}{9}$. \item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $v_n = - \dfrac{5}{3} \times \left(\dfrac{5}{9} \right)^n$. \item %Après avoir donné l'expression de $u_n$ en fonction de $v_n$, démontrer que $v_n = \dfrac{15u_n - 20}{15u_n - 12} \iff v_n\left(15u_n - 12 \right) = 15u_n - 20 \iff 15u_nv_n - 12v_n = 15u_n - 20 \iff u_n \left(15 - 15v_n \right) = 20 - 12v_n$ et enfin pour $v_n \ne 1$, $u_n = \dfrac{20 - 12v_n}{15 - 15v_n}$. On a donc : $u_n = \dfrac{20 - 12v_n}{15 - 15v_n} = \dfrac{20 - 12 \times \left(- \dfrac{5}{3}\right) \times \left(\dfrac{5}{9} \right)^n}{15 - 15\times \left(- \dfrac{5}{3}\right)\left(\dfrac{5}{9} \right)^n} = \dfrac{20 + 20\left(\dfrac{5}{9} \right)^n}{15 + 25\left(\dfrac{5}{9} \right)^n} = \dfrac{4 + 4\left(\dfrac{5}{9} \right)^n}{3 + 5\left(\dfrac{5}{9} \right)^n} = \dfrac{4\times 9^n + 4\times 5^n}{3\times 9^n + 5\times 5^n}.$ \[u_n = \dfrac{4 \times 5^n + 4 \times 9^n}{5 \times 5^n + 3 \times 9^n} .\] \item Établir un algorithme permettant de déterminer la première année pour laquelle le taux de variation de ce produit financier sera inférieur à 2\,\%. Déterminer cette année. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \Large \textbf{Exercice : Vrai ou Faux} \end{center} \textbf{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.} \bigskip \begin{enumerate} \item On dispose d'un dé à quatre faces bien équilibré, dont les faces sont numérotées de 1 à 4. Un joueur qui lance le dé gagne 3 euros s'il tombe sur 4, 1 euro s'il tombe sur 1 et perd 2 euros sinon. On note $G$ la variable aléatoire égale au gain du joueur. On a $E(G) = 1 \times \dfrac{1}{4} + (- 2) \times \dfrac{1}{4} + (- 2) \times \dfrac{1}{4} + 3 \times \dfrac{1}{4} = \times \dfrac{1}{4}\times(1 - 2 - 2 + 3) = 0$. \textbf{Proposition :} l'espérance de $G$ est nulle. La proposition est vraie. \item Une urne contient 15 chaussettes vertes et 5 chaussettes bleues. Une personne tire successivement et sans remise deux chaussettes. \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{V}\taput{$\frac{3}{4}$}} {\TR{$V$}\taput{$\frac{14}{19}$} \TR{$B$}\tbput{$\frac{5}{19}$} } \pstree{\TR{B}\taput{$\frac{1}{4}$}} {\TR{$V$}\taput{$\frac{15}{19}$} \TR{$B$}\tbput{$\frac{4}{19}$} } } \end{center} \medskip La probabilité de tirer deux chaussettes de même couleur est : $p(V) \times p_V(V) + p(B) \times p_B(B) = \frac{3}{4}\times\frac{14}{19} + \frac{1}{4}\times\frac{4}{19} = \frac{42 + 4}{4 \times 19} = \frac{46}{76} = \dfrac{23}{38} \approx \np{0,6052}$ soit 0,605 au millième près. \textbf{Proposition :} la probabilité qu'il obtienne deux chaussettes de la même couleur, arrondie à $10^{-3}$, est égale à $0,605$. La proposition est vraie. \item Une usine fabrique des assiettes en grande quantité. On admet que 4\,\% des assiettes fabriquées sont cassées. On prélève au hasard $100$ assiettes, et on considère que le stock d'assiettes disponibles est très important. On a une loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,04$. La probabilité cherchée est celle qu'il y ait 0 ou 1 assiette cassée, soit : $0,04^0 \times 0,96^{100} + 100 \times 0,04 \times 0,96^{99} \approx 0,087 < 0,1$. \textbf{Proposition :} la probabilité qu'au moins $99$ assiettes ne soient pas cassées est supérieure à $0,1$. La proposition est fausse. \item Soient $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère et (D) la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$. $(\mathcal{C})$ a pour équation $y = f(x) = \text{e}^x$. Pour $x = 0, \: y = 1$. La tangente au point de coordonnées (0~;~1) a pour équation : $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ ; or $f'(x) = \text{e}^x$, donc $f'(0) = 1$. L'équation est donc : $y - 1 = 1\times x$ ou encore $y = d(x) = x + 1$. Considérons la fonction $\delta$ définie sur $\R$ par : $\delta(x) f(x) - d(x) = \text{e}^x - (x + 1) = \text{e}^x - x - 1$. On a $\delta'(x) = \text{e}^x - 1$ ; $\bullet~~$$\delta'(x) > 0 \iff \text{e}^x - 1 > 0 \iff \text{e}^x > 1 \iff x > 0$ ; $\bullet~~$$\delta'(x) < 0 \iff \text{e}^x - 1 < 0 \iff \text{e}^x < 1 \iff x < 0$ ; $\bullet~~$$\delta'(x) = 0 \iff \text{e}^x - 1 = 0 \iff \text{e}^x = 1 \iff x = 0$. La fonction $\delta$ est donc décroissante puis croissante avec un minimum pour $x = 0$ qui vaut $0$. Donc $f(x) > d(x)$ ce qui signifie que la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D) pour tout réel, ... sauf pour $x = 0$ \textbf{Proposition :} la courbe $(\mathcal{C})$ est au-dessus de la droite (D). La proposition est fausse. \item Dans un repère orthonormé, on note $(d)$ la droite, passant par A(2~;~1) et parallèle à la droite $(d')$ d'équation $x - 2y + 3 = 0$. Une équation de $d$ est $x - 2y + k = 0$ avec $k \in \R$. A$(2~;~1) \in (d) \iff 2 - 2\times 1 + k = 0 \iff k = 0$. Une équation de $d$ est donc $x - 2y= 0 \iff x = 2y \iff y = \frac{x}{2}$. \textbf{Proposition :} $(d)$ a pour équation $y = \dfrac{x}{2}$. La proposition est vraie. \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 - 1\right) \ln (x)$. La proposition est vraie si $f'(1) = 0$. Or $f'(x) = 2x\ln x + \dfrac{x^2 - 1}{x}$, d'où $f'(1) = 2\times 1 \ln 1 + \dfrac{1^2 - 1}{1} = 0 + 0 = 0$. \textbf{Proposition :} dans un repère orthonormé, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est horizontale. La proposition est vraie. \item Dans un repère orthonormé, on désigne par A, B et C les points de coordonnées A(1~;~3), B(6~;~4) et C$(7~;~-1)$. On a : $\text{AB}^2 = (6 - 1)^2 + (4 - 3)^2 = 5^2 + 1^2 = 26$ ; $\text{AC}^2 = (7 - 1)^2 + (- 1 - 3)^2 = 6^2 + (- 4)^2 = 52$ ; $\text{BC}^2 = (7 - 6)^2 + (- 1 - 4)^2 = 1^2 +(- 5)^2 = 26$. On a donc $\text{AB}^2 = \text{BC}^2$, d'où AB = BC : le triangle ABC est isocèle en B. D'autre part : $26 + 26 = 52 \iff \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. \textbf{Proposition :} le triangle ABC est rectangle isocèle. La proposition est vraie. \item \textbf{Proposition :} Pour tout réel $x,\: \sin(\pi - x) = \sin(x)$. La proposition est vraie. \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite croissante minorée. La suite définie pour , par $u_n = n^2$ est croissante minorée par $0$ et ne converge pas. \textbf{Proposition :} la suite $\left(u_n\right)$ converge. La proposition est fausse. \item $f$ est une fonction définie sur $\R$, positive et croissante. Contre-exemple : la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$ est positive croissante et a pour limite 1 au voisinage de plus l'infini. \textbf{Proposition :} La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$. La proposition est fausse. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\floweroneright\hspace{1cm} \textbf{FIN} \hspace{1cm}\floweroneleft \end{center} \end{document}