%!TeX program = xelatex
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
%Tapuscrit : René Roux
%Relecture : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%\lhead{\small Terminale}
\lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{ avril 2024}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Corrigé du concours à l'entrée de l'école de santé des armées ~\decofourright\\[7pt]6 avril 2024}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{IMPORTANT}}\\
%\begin{itemize}
%\item L'utilisation de téléphone portable, de calculatrice, de règle à calculs, de formulaires, de papier millimétré est interdite.
%\item Il est interdit de signer sa copie ou d'y mettre un signe distinctif quelconque.
%\item Écrivez au stylo-bille, encre bleue ou noire, non effaçable. Attention, utilisation restreinte de blanc correcteur (de préférence, rayer l'erreur).
%\item Vérifiez que ce fascicule comporte 7 pages dont une page de garde comprise.
%\item Toutes les réponses aux QCM doivent être faites sur la grille de réponses jointe. Si le candidat répond aux QCM sur le fascicule ou la copie et non sur la grille, ses réponses ne seront pas prises en compte par le correcteur.
%\item Pour chacun des QCM, les candidats doivent cocher les lettres des propositions qu'ils considèrent comme correctes. Il est demandé aux candidats de faire très attention au numéro de QCM quand ils « cochent» la grille de réponses jointe.
%\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation de la copie et de l'orthographe. Aucun brouillon ne sera pris en compte.
%\end{itemize}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%\bigskip

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 - 6 points}
\end{center}

\medskip

%Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
%
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.
%
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $-0,2$ point.
%
%Une absence de réponse est comptée 0 point.
%
%Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
%
%\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

 Le prix a été multiplié par 4, donc $CM=4$. Le coefficient multiplicateur réciproque (qui permet de revenir au prix de départ) est égal à : $CMR=\dfrac{1}{CM}=\dfrac14=0,25$. Ce qui correspond à une remise de 75\%. \hfill \textbf{réponse C}
 
%On a une épreuve de Bernoulli avec une variable aléatoire $X$ donnant le nombre de réponses exactes qui suit la loi binomiale avec $n = 4$ et $p = \dfrac12$.
%
%On a $p(X = 0) = \binom{4}{0}\left(\dfrac12\right)^0 \times \left(\dfrac12\right)^4 = \dfrac{1}{16}$ ; 
%
%$p(X = 1) = \binom{4}{1}\left(\dfrac12\right)^1 \times \left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac{4}{16}$.
%
%On a la moyenne si $X = 2$ ou $X = 3$ ou $X = 4$), donc la probabilité d'avoir au moins la moyenne est :
%
%$1 - \left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} \right) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}$ : réponse \textbf{C}.

\medskip

\textbf{QCM 2}
\medskip

On peut dresser un arbre pondéré représentant la situation :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm,treesep=1.cm]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$V~~$} \taput{$\frac15$}}
	{\TR{$M~~$} \taput{$\frac{1}{10}$}
	\TR{$\overline{M}~~$}\tbput{$\frac{9}{10}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}~~$} \tbput{$\frac45$}}
	{\TR{$M~~$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}~~$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
Nous savons d'après l'énoncé que $p_M(\overline{V})=5\times p_M(V) \iff p_M(\overline{V})\times p(M)=5\times p_M(V)\times p(M)$\\ donc $p(\overline{V}\cap M)=5 \times p(V\cap M)$.

D'après la formule des probabilités totales, $P(M) = p(V\cap M)+p(\overline{V}\cap M)=6\times p(V\cap M)$\\
$=6\times p_V(M)\times p(M)=6\times \dfrac{1}{10} \times \dfrac15=\dfrac{3}{25}$ \hfill \textbf{réponse D}

\textbf{QCM 3}

L'équation est définie sur $]0~;~+\infty[$. On pose $X=\ln(x)$.

$\left(\ln(x)\right)^2+4~\ln(x)-5=0 \iff X^2+4X-5=0 \iff (X+5)(X-1)=0 \iff X=-5~\text{ou}~X=1$

Donc $\ln(x)=5~\text{ou}~\ln(x)=1 \iff x=\e^{-5}~\text{ou}~x=\e^1$ \hfill \textbf{réponse D}

\medskip

\textbf{QCM 4}

\medskip

L'équation est définie sur $\R$.
$\e^{x^2+4x}=\dfrac{1}{\e^4} \iff \e^{x^2+4x}=\e^{-4} \iff x^2+4x=-4$ (croissance de la fonction logarithme népérien) 
$\iff x^2+4x+4=0 \iff (x+2)^2=0 \iff x=-2$ \hfill \textbf{réponse~B}
\medskip

\textbf{QCM 5}

\medskip

La fonction $f$ est continue et dérivable sur $\R$.

$\forall x \in \R$, $f'(x)=\dfrac{-2\e^x\times (1+\e^x)-\e^x\times (-2\e^x)}{\left(1+\e^x\right)^2}=\dfrac{-2\e^x-2\e^{2x}+2\e^{2x}}{\left(1+\e^x\right)^2}=\dfrac{-2\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$ \hfill \textbf{réponse C}

\pagebreak

\textbf{QCM 6}

\medskip

Pour tout réel $x>1$, $\sqrt{x^2+4x-5}-x=\dfrac{\left(\sqrt{x^2+4x-5}-x\right)\left(\sqrt{x^2+4x-5}+x\right)}{\sqrt{x^2+4x-5}+x} = \dfrac{x^2+4x-5-x^2}{\sqrt{x^2+4x-5}+x}$

$=\dfrac{4x-5}{\sqrt{x^2+4x-5}+x}=\dfrac{x(4-\dfrac{5}{x})}{\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}\right)}+x}=\dfrac{x(4-\dfrac{5}{x})}{x\left(\sqrt{1-\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}}\right)+1}=\dfrac{4-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}}+1}$

$\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} 4-\dfrac{5}{x}=4$ et $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{1-\dfrac{4}{x}-\dfrac{5}{x^2}}+1=2$ donc $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2$ \hfill \textbf{réponse D}
\medskip

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 - 6 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

Sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$, la fonction $f:x \mapsto 2x^3-15x^2+24x-16$ est continue et dérivable.

$\forall x \in [1~;~+\infty[$, $f'(x)=6x^2-30x+24=6(x^2-5x+4)=6(x-4)(x-1)$. Sur $[1~;~+\infty[$, $f'(x)$ a le même signe que $x-4$ ce qui permet d'établir le tableau de variation suivant : 

\begin{center}
	\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
	\begin{pspicture}(9,3)
		\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
		\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$1$} \uput[u](5,2.4){$4$} \uput[u](8.5,2.4){$+\infty$} 
		\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](7.8,1.9){$+$} 
		\uput[u](1.25,1.5){$-5$}\uput[d](5,0.5){$-32$}\uput[u](8.55,1.5){$+\infty$}\rput(0.5,1){$f$}
		\psline{->}(1.5,1.6)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(8.25,1.6)
	\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du corollaire du TVI et du tableau de variation, on peut démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[1~;~+\infty[$ \hfill \textbf{réponse B}
\medskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

La fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac23 x^3+4x^2+x+10$ est continue et deux fois dérivable.

$\forall x \in \R$, $f'(x)=2x^2+8x+1$ et $f''(x)=4x+8$.

$f''(x) \geqslant 0 \iff \geqslant -2$.  Donc la fonction $f$ est convexe sur $]-2~;~+\infty[$. \hfill \textbf{réponse A}


\medskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

Déterminons les premiers termes de la suite $(u_n)$ :

$u_1=1$, $u_2=u_1+2\times 1+1=4 = 2^2$, $u_3=u_2+2\times 2+1=9=3^2$ et ainsi de suite.

On peut donc conjecturer que $\forall n \in \N^*$, $u_n=n^2$. Démontrons cette propriété par récurrence.

\textbf{Initialisation :} pour $n=1$, $u_1=1=1^2$

\textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe un entier $n\geqslant 1$ tel que $u_n=n^2$. Montrons alors que 

$u_{n+1}=(n+1)^2$.

$u_{n+1}=u_n+2\times n+1= n^2+2n+1=(n+1)^2$. L'hérédité est démontrée. Donc d'après l'axiome de récurrence, $\forall n \in \N^*$, $u_n=n^2$. \hfill \textbf{réponse C}


\pagebreak

\textbf{QCM 10}

\medskip

On peut dresser un arbre pondéré représentant la situation :

\begin{center}
	\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm,treesep=1.cm]{\TR{}}
	{
		\pstree{\TR{$M1~~$} \taput{0,6}}
		{\TR{$D~~$} \taput{0,05}
			\TR{$\overline{D}~~$}\tbput{0,95}
		}
		\pstree{\TR{$M2~~$} \tbput{0,4}}
		{\TR{$D~~$} \taput{0,04}
			\TR{$\overline{D}~~$}\tbput{0,96}
		}
	}
\end{center}

D'après la formule des probabilités totales,

$p(D)=p(D\cap M1)+p(D\cap M2)=p_{M1}(D)\times p(M1)+p_{M2}(D)\times p(M2)=0,05\times 0,30+0,04\times 0,4=0,046$. Donc $p(\overline{D})=1-p(D) = 0,954$. \hfill \textbf{réponse C}

\medskip

\textbf{QCM 11}

\medskip
Pour $x\in [1~;~3]$, $f(x)$ est de la forme $u'(x)\times u(x)$ avec $u(x)=\ln(x)$. Une primitive est donc de la forme $\dfrac12(u(x))^2$.

$\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \, \mathrm{d}x=\left[\dfrac12 \left(\ln(x)\right)^2\right]_1^3=\frac12\left(\ln(3)\right)^2-\dfrac12\left(\ln(1)\right)^2=\dfrac12\left(\ln(3)\right)^2$ \hfill \textbf{réponse C}


\medskip

\textbf{QCM 12}

%Dans un pays, 80\,\% des habitants ont une couverture vaccinale contre une maladie donnée.
%
%On interroge au hasard $40$ habitants et l'on considère que la population du pays est suffisamment importante pour assimiler cette expérience aléatoire à un tirage avec remise.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
%\textbf{A.~} La probabilité qu'aucun des habitants interrogés ne soit vacciné est égale à $0,2$.\\
%\textbf{B.~} La probabilité que tous les habitants interrogés soient vaccinés est égale à $0,7$.\\
%\textbf{C.~} En moyenne 32 habitants parmi les $40$ sont vaccinés.\\
%\textbf{D.~} La probabilité que le premier candidat non vacciné soit le troisième vaut $0,045$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On peut considérer qu'on a une épreuve de Bernoulli : la variable $X$ égale au nombre de personnes interrogées vaccinées suit une loi binomiale $\mathcal{B}(20,\:0,8)$.

Ainsi, $p(X\geqslant 1)=1-p(X=0)=1-0,2^{20}=1-\left(\dfrac15\right)^{20}=1-\dfrac{2^{20}}{5^{20}}=\dfrac{5^{20}-2^{20}}{5^{20}}>0,99$ \hfill \textbf{réponse A}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 3 - 8 points}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $f$ est solution de $(E)$ alors $f'=af\left(1-\dfrac{f}{100}\right)=af-\dfrac{a}{100}f^2$
		
		Or $f$ est strictement positive donc en divisant l'égalité précédente par $f^2$, on obtient : $\dfrac{f'}{f^2}=a \dfrac{1}{f}-\dfrac{a}{100}$.
		
		En posant $g=\dfrac{1}{f}$ on a alors $g'=-\dfrac{f'}{f^2}$ d'où $-g'=ag-\dfrac{a}{100}$ donc $g'=-ag+\dfrac{a}{100}$ soit $g'+ag=\dfrac{a}{100}$
		
		Donc $g$ est solution de $(E')~:~y'+ay=\dfrac{a}{100}$
		\item Une solution constante de $(E')$ est : pour tout réel $t\geqslant0$, $t \mapsto \dfrac{1}{100}$.
		\item D'après le théorème de superposition, la solution générale $g$ de $(E')$ est : 
		
pour tout réel $t\geqslant0$,  $g(t)=K~\e^{-at}+\dfrac{1}{100}$ avec $K \in \R$.
		\item Sachant que pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t)=\dfrac{1}{g(t)}=\dfrac{1}{K~\e^{-at}+\dfrac{1}{100}}=\dfrac{100}{1+100K\e^{-at}}$.
		
Sachant que $f(0)=1$ on en déduit que : $\dfrac{100}{1+100K}=1 \iff 100K=99 \iff K=0,99$.
		
		Donc pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t)=\dfrac{100}{1+99\e^{-at}}$
	\end{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
	\item La fonction $f$ est continue et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
	
	$\forall t \in [0~;~+\infty[$, $f'(t)=100 \times -\dfrac{-99a\e^{-at}}{\left(1+99\e^{-at}\right)^2}=\dfrac{9900a\e^{-at}}{\left(1+99\e^{-at}\right)^2}$
	
	Sachant que $a>0$, on en déduit que $f'(t)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
	\item $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty}\e^{-at}=0$ ($a>0$) donc $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=100$
	\item D'après les variations et le calcul de la limite on en déduit que 
	
$\forall t \in [0~;~+\infty[$, $1\leqslant f(t) <100$
	\item La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ à valeurs dans $[1~;~100[$. Or $50 \in [1~;~100[$ donc d'après le corollaire du TVI, l'équation $f(t)=50$ admet une unique solution, notée $t_0$ sur $[1~;~100[$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous savons que $\forall t \in [0~;~+\infty[$, $f'(t)=af(t)-\dfrac{a}{100}f(t)^2$. La fonction $f'$ étant continue et dérivable sur ce même intervalle, et en dérivant l'égalité précédente, on obtient : 

$f''(t)=af'(t)-\dfrac{a}{100}\times 2\times f'(t)\times f(t)=af'(t)\times \left(1-\dfrac{1}{50}f(t)\right) = a\left(1 - \dfrac{f}{50} \right)f'$.
		\item D'après les questions précédentes, nous savons que $a>0$ et $f'(t)>0$ sur $[0~;~+\infty[$ donc $f''(t)$ a le même signe que $1-\dfrac{1}{50}f(t)$ soit le même signe que $50-f(t)$.

Donc d'après la question \textbf{2. d.}, si $t\leqslant t_0$, $50- f(t)\leqslant 0$.

Donc $t\leqslant t_0$, $f''(t) \geqslant 0$ ; si $t\geqslant t_0$, $f''(t)\leqslant 0$.

		La fonction $f$ est donc convexe sur $[0~;~t_0]$, et concave sur $[t_0~;~+\infty[$.

		Le nombre de bactéries augmente de plus en plus vite de 0 à $t_0$, puis après, augmente de moins en moins vite pour atteindre une limite à 100 millions.
	\end{enumerate}
	\item $f(t)=50 \iff \dfrac{100}{1+99\e^{-at}}=0 \iff 1+99\e^{-at}=2 \iff 99\e^{-at}=1 \iff \e^{-at}=\dfrac{1}{99} $
	
	$\iff -at=\ln\left(\dfrac{1}{99}\right)=-\ln(99) \iff t_0=\dfrac{\ln(99)}{a}$
	\item La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~t_0]$ est : $I=\displaystyle \dfrac{1}{t_0-0}\int_{0}^{t_0} f(t) \mathrm{d}t$
	
	$I=\displaystyle \dfrac{1}{t_0}\int_{0}^{t_0} f(t) \mathrm{d}t= \displaystyle \dfrac{1}{t_0}\int_{0}^{t_0} \dfrac{100}{1+99\e^{-at}} \mathrm{d}t=\displaystyle \dfrac{1}{t_0}\int_{0}^{t_0}\dfrac{100\e^{at}}{\e^{at}+99}\mathrm{d}t=\displaystyle \dfrac{100}{t_0}\int_{0}^{t_0} \dfrac{\e^{at}}{e^{at}+99} \mathrm{d}t$
	
	$=\dfrac{100}{t_0} \left[\dfrac{1}{a}\ln\left(\e^{at}+99]\right)\right]_0^{t_0}=\dfrac{100}{at_0}\left(\ln(\e^{at_0}+99)-\ln(100)\right)=\dfrac{100}{at_0} \ln\left(\dfrac{\e^{at_0}+99}{100}\right)$
	
	Or $at_0=\ln(99)$ donc $I=\dfrac{100}{\ln(99)}\ln\left(\dfrac{2\times 99}{100}\right)=\dfrac{100}{\ln(99)} \ln\left(\dfrac{99}{50}\right)$
\end{enumerate}
\pagebreak

Le graphique ci-dessous a été réalisé avec $a=1,5$.	

\medskip
	
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,105)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(12,105)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{12}{2.71828 x 1.5 mul neg exp 99 mul 1 add -1 exp 100 mul}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed](3.0634,0)(3.0634,50)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed](0,50)(3.0634,50)
\uput[r](2.9,-3){\red $t_0$}
\uput[u](11.8,0){$t$ (h)} \uput[r](0,105){nombre de bactéries en millions}
\psplotTangent[arrows=<->]{3.063}{4}{2.71828 x 1.5 mul neg exp 99 mul 1 add -1 exp 100 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}