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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\,\text{e}} % le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d} % le d de l'intégration
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale Spécialité}
\lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux - corrigé}}
\rfoot{\small{avril 2025}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\decofourleft~ADMISSIBILITÉ  À L'ÉCOLE DE SANTÉ DES ARMÉES~\decofourright}

\smallskip

\textbf{CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES}

%\medskip
%
%Coefficient 3
%
%\bigskip

%\textbf{\large Important}

\end{center}

%\begin{itemize}[label=\textbullet~]
%\item L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
%\item Vérifier que ce fascicule comporte 5 pages numérotées de 1 à 5, page de garde  comprise.
%\item L'épreuve se compose de trois exercices:
%	\begin{itemize}
%		\item Les exercices 1 et 2:
%
%Pour les QCM, une seule des affirmations A, B, C et D est exacte. On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur les grilles prévues à cet effet.
%
%Si le candidat répond aux QCM sur le fascicule ou la copie et non sur la grille, ses réponses ne seront pas prises en compte par le correcteur.
%
%Toute question juste est comptée + 1 point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point.
%
%Pour chacun des exercices 1 et 2, si le total est négatif, la note sera ramenée à 0.
%
%\item L'exercice 3 sera traité sur une copie à part.
%	\end{itemize}
%La qualité de la présentation des copies et l'orthographe seront prises en compte dans l'évaluation. 
%\end{itemize}
%
%\newpage

%\bigskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE 1 (6 points)}\end{center}

\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)  = \dfrac{\e^x - 2}{\e^x + 2}.$

Alors pour tout réel $x$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.} $f'(x) = \dfrac{4\e^x}{(\e^x + 2)^2}$&\textbf{B.} $f'(x) = \dfrac{2\e^x}{(\e^x + 2)^2}$ & \textbf{C.} $f'(x) = \dfrac{\e^{2x}- 4}{(\e^x + 2)^2}$ &\textbf{D.} $f'(x) = \dfrac{2\e^{2x}}{(\e^x + 2)^2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$f(x)  = \dfrac{\e^x - 2}{\e^x + 2}$ donc
$f'(x)=\dfrac{\e^{x}\left ( \e^{x}+2 \right ) - \left ( \e^{x}-2\right ) \e^{x}}{\left (\e^{x}+2 \right )^2}
= \dfrac{\e^{x} \left ( \e^{x}+2-\e^{x} +2\right )}{\left (\e^{x}+2 \right )^2}
= \dfrac{4\e^{x}}{\left (\e^{x}+2 \right )^2}$

\smallskip

\hfill \textbf{Réponse A}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 2} 

La limite $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (4x - 3\ln x)$ est égale à 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.} $+ \infty$&\textbf{B.}$- \infty$& \textbf{C.} 0&\textbf{D.} $\dfrac43$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$4x - 3\ln x = x\left ( 4-3 \dfrac{\ln x}{x}\right )$

Or $\ds\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$
donc
$\ds\lim_{x \to + \infty} \left ( 4-3\dfrac{\ln x}{x} \right )=4$
et donc $\ds\lim_{x \to + \infty} x \left ( 4-3\dfrac{\ln x}{x} \right ) =+\infty$

\smallskip

\hfill \textbf{Réponse A}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 3} 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x^3}{x^4 + 2}$.

Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par : 

\begin{center}
\textbf{A.} $F(x) = \dfrac{1}{x^3 + 2}$ \hfill
\textbf{B.} $F(x) = \dfrac{\ln \left(x^4 + 2\right)}{4} $ \hfill
\textbf{C.} $F(x) = 4\ln \left(x^4 + 2\right)$ \hfill 
\textbf{D.} $F(x) = \ln \left(x^4 + 2\right)$ 
\end{center}
\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$f(x) = \dfrac{x^3}{x^4 + 2}$;
si on pose $u(x)=x^4+2$, on a: $u'(x)=4x^3$.

Donc $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ qui a pour primitive $\dfrac{\ln\left (u(x)\right )}{4}$.

\smallskip

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 4} 

Le nombre de solutions réelles de l'équation $\e^{\frac 1x} = \dfrac{1}{\e^x}$ est :

\begin{center}
\textbf{A.} 2 \hfill
\textbf{B.} 1 \hfill
\textbf{C.} 0 \hfill
\textbf{D.} aucune des 3 propositions précédentes 
\end{center}

\medskip
	
\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$\e^{\frac{1}{x}} = \dfrac{1}{\e^{x}}
\iff
\e^{\frac{1}{x}} = \e^{-x}
\iff
\dfrac{1}{x}=-x
\iff x^2=-1$.
Pas de solution dans $\R$.

\smallskip

\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 5} 

Le nombre de solutions réelles de l'équation $\ln \left(x^2\right) = (\ln x)^2$ est : 

\begin{center}
\textbf{A.} 2 \hfill
\textbf{B.} 1 \hfill
\textbf{C.} 0 \hfill
\textbf{D.} aucune des 3 propositions précédentes 

\end{center}


\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$\aligned[t]
\ln \left(x^2\right) = (\ln x)^2
 & \iff
2\left ( \ln x\right ) - \left (\ln x\right )^2=0
\iff 
\left (\ln x\right ) \left (2-\ln x\right )=0\\
&
\iff
\ln x = 0 \text{ ou } \ln x = 2
\iff
x=1 \text{ ou } x = \e^{2}
\endaligned$

\smallskip

\hfill \textbf{Réponse A}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 6} 

Une promotion de 50 étudiants doit élire deux délégués. Le nombre de possibilités est:

\begin{center}
\textbf{A.} \np{2500} \hfill
\textbf{B.} \np{2450} \hfill
\textbf{C.} \np{1225} \hfill
\textbf{D.} aucune des 3 propositions précédentes 

\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$\ds\binom{50}{2}=\np{1225}$
\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\bigskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE 2 (6 points)}\end{center}

\textbf{QCM 7} 

Le quart d'une population a été vacciné  contre une maladie contagieuse. Dans cette population, au cours d'une épidémie de cette maladie, on constate qu'il y a, parmi les malades, une personne vaccinée pour quatre non vaccinées et aussi un malade sur douze parmi les personnes vaccinées.

Dans cette population, la probabilité de tomber malade est : 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.} $\dfrac{1}{12}$& \textbf{B.} $\dfrac{5}{48}$&\textbf{C.} $\dfrac{17}{60}$&\textbf{D.} aucune des 3 propositions précédentes
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{center}
\textbf{A.} $\dfrac{1}{12}$ \hfill
\textbf{B.} $\dfrac{5}{48}$ \hfill
\textbf{C.} $\dfrac{17}{60}$ \hfill
\textbf{D.} aucune des 3 propositions précédentes 
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
On choisit au hasard une personne dans la population. On appelle $V$ l'évènement \og la personne est vaccinée \fg{}, et $M$ l'  évènement \og la personne est malade \fg{}.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le texte:}
\item \og Le quart d'une population a été vacciné \fg{} donc la probabilité de choisir au hasard une personne vaccinée dans la population est: $P(V)=\dfrac{1}{4}$.

\item \og il y a, parmi les malades, une personne vaccinée pour quatre non vaccinées \fg{} donc sur 5 personnes malades, il y en a une vaccinée, donc la probabilité de choisir au hasard une personne vaccinée parmi les  malades est: $P_{M}(V)=\dfrac{1}{5}$.

\item Il y a \og un malade sur douze parmi les personnes vaccinées \fg{} donc la probabilité de choisir une personne malade parmi les  vaccinées est: $P_V(M)=\dfrac{1}{12}$.
\end{list}
\end{tabular}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
\begin{list}{\textbullet}{On a donc:}
\item $P(V\cap M)= P(V)\times P_V(M)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{48}$
\item $P_M(V)=\dfrac{1}{5} \iff \dfrac{P(V\cap M)}{P(M)}= \dfrac{1}{5} \iff P(M)=5\times P(V\cap M)$
\end{list}

On en déduit que $P(M)=5\times \dfrac{1}{48} = \dfrac{5}{48}$

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\bigskip



\textbf{QCM 8} 

À l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée à l'École de Santé des Armées, les candidats sont sélectionnés en répondant à 10 questions.

Pour chaque question, ils doivent choisir la bonne réponse parmi quatre affirmations dont une seule est exacte.

Un candidat se présente et répond à toutes les questions au hasard. La probabilité qu'il ait au moins 9 réponses exactes est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.} $\dfrac94$&\textbf{B.} $1 - \dfrac{1}{2^{20}}$&\textbf{C.} $\dfrac{31}{4^{10}}$&\textbf{D.} $\dfrac{1}{4^5}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de bonnes réponses aux dix questions suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{1}{4}$.

Donc pour tout entier $k$ entre 0 et 10, on a:
$P(X=k)= \ds\binom{10}{k}\times \left (\dfrac{1}{4}\right )^k \times \left (1-\dfrac{1}{4}\right )^{10-k}$.

On cherche $P(X\geqslant 9)$, c'est-à-dire $P(X=9)+P(X=10)$.

$\aligned
P(X=9)+P(X=10)
& = \ds\binom{10}{9}\times \left (\dfrac{1}{4}\right )^9 \times \left (\dfrac{3}{4}\right )^{1}
+ \ds\binom{10}{10}\times \left (\dfrac{1}{4}\right )^{10} \times \left (\dfrac{3}{4}\right )^{0}\\
& = 10\times \dfrac{1}{4^9}\times \dfrac{3}{4} + 1 \times \dfrac{1}{4^{10}} \times 1
= \dfrac{30}{4^{10}} + \dfrac{1}{4^{10}} = \dfrac{31}{4^{10}}
\endaligned$

\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 9} 

Si une fonction $f$ définie sur $\R$ vérifie : $x + 2 \leqslant f(x)$ pour tout réel $x$, alors on peut déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.} $-\infty$& \textbf{B.} $-2$&
\textbf{C.} 0&\textbf{D.} $+\infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} x+2= +\infty$.

Si $x + 2 \leqslant f(x)$ pour tout réel $x$, on peut déduire d'après les théorèmes de comparaison que:
$\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

\hfill \textbf{Réponse D}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 10} 

On considère une suite réelle $(u_n)$ strictement croissante de premier terme $u_0 = 1$. 

La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{-1}{1 + 3 u_n}$.

Alors la suite $(v_n)$ est :

\begin{center}
\textbf{A.} croissante \hfill
\textbf{B.} décroissante \hfill
\textbf{C.}  non monotone \hfill
\textbf{D.} arithmétique
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$\aligned
v_{n+1} -v_{n}
& = \dfrac{-1}{1 + 3 u_{n+1}} - \dfrac{-1}{1 + 3 u_n} 
= \dfrac{-\left (1 + 3 u_{n} \right ) + \left ( 1 + 3 u_{n+1}\right )}{\left ( 1 + 3 u_{n+1}\right ) \left ( 1 + 3 u_{n}\right )}
= \dfrac{-1 - 3 u_{n}+ 1 + 3 u_{n+1}}{\left ( 1 + 3 u_{n+1}\right ) \left ( 1 + 3 u_{n}\right )}\\
& = \dfrac{3\left ( u_{n+1} - u_n \right )}{\left ( 1 + 3 u_{n+1}\right ) \left ( 1 + 3 u_{n}\right )}
\endaligned$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que la suite $(u_n)$ est strictement croissante donc, pour tout $n$, on a: $u_{n+1}-u_n>0$.
\item $u_0=1>0$ et la suite $(u_n)$ est croissante, donc tous les termes de la suite sont supérieurs à $u_0$ donc ils sont strictement positifs. On peut donc dire que pour tout $n$, on a:  $1+3u_n>0$ et $1+3u_{n+1}>0$.
\end{list}

On peut donc déduire que pour tout $n$, $v_{n+1}-v_n>0$ et donc que la suite $(v_n)$ est  croissante.
\hfill \textbf{Réponse A}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 11} 

On considère deux évènements $A$ et $B$, d'  évènements contraires $\overline{A}$ et $\overline{B}$ tels que $P_{\overline{B}} \left(\overline{A}\right) = 0,2$ et $P(A) = P\left(\overline{B}\right) = 0,6$.

Alors la probabilité $P\left(\overline{A} \cap B\right)$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.} 0,12 &\textbf{B.} 0,28 &\textbf{C.} 0,48 &\textbf{D.} 0,36
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
D'après la formule des probabilités totales:
$P\left (\overline{A}\cap B \right ) + P\left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right ) = P\left ( \overline{A} \right )$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $P(A)=0,6$ donc $P\left (\overline{A}\right ) = 1-P(A)=1-0,6=0,4$
\item $P\left ( \overline{A}\cap \overline{B} \right )= P\left (\overline{B}\right )\times P_{\overline{B}}\left (\overline{A}\right )=0,6\times 0,2=0,12$
\end{list}

Donc $P\left (\overline{A}\cap B \right ) + 0,12 = 0,4$ et donc $P\left (\overline{A}\cap B \right ) =0,4-0,12=0,28$

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 12} 

L'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2\e^x}{\left(\e^x + 4\right)^2}\:\text{d}x$ est égale à

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.} $2(\e + 4)^2$ & \textbf{B.} $2(\e + 4)$ & \textbf{C.} $\dfrac25 - \dfrac{2}{\e + 4}$&\textbf{D.}  $\dfrac{1}{\e + 4} - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
La fonction $x\longmapsto \dfrac{\e^{x}}{\left ( \e^{x}+4\right )^2}$ est de la forme $x \longmapsto \dfrac{u'(x)}{\left (u(x)\right )^2}$ avec $u(x)=\e^{x}+4$, donc elle a pour primitive la fonction $x \longmapsto -\dfrac{1}{u(x)}$ soit $x \longmapsto -\dfrac{1}{\e^{x}+4}$.

$\ds\int_0^1 \dfrac{2\e^x}{\left(\e^x + 4\right)^2} \d x
= \left [ -\dfrac{2}{\e^{x}+4} \right ]_{0}^{1}
= -\dfrac{2}{\e^{1} +4} + \dfrac{2}{\e^{0}+4}
= -\dfrac{2}{\e +4} + \dfrac{2}{1+4} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{\e +4}$

\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\hspace{1cm}

\begin{center}\textbf{EXERCICE 3 (8 points)}\end{center}

\textbf{Partie A : Équation différentielle}

\medskip

On donne : $\e = 2,71...$; $\e^2 = 7,38...$; $\e^3 = 20,08...$

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + y = \e^{-x}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction $u$, définie pour tout $x$ réel par $u(x) = x\e^{-x}$, est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
Soit $u$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $u(x) = x\e^{-x}$.

Donc $u'(x)=1\times \e^{-x} + x\times (-1)\e^{-x} = \left (1-x\right )\e^{-x}$.

$u'(x)+u(x)=  \left (1-x\right )\e^{-x} + x\e^{-x} = \e^{-x}$ donc la fonction $u$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item On résout l'équation différentielle $(E_0)$: $y' + y = 0$.

On sait que l'équation différentielle $ay'+by=0$ a pour solutions les fonctions définies par $y(x)=k\e^{-\frac{b}{a}x}$ où $k$ est un réel quelconque, donc l'équation différentielle $(E_0)$ a pour solutions les fonctions définies par $y(x)=k\e^{-x}$ où $k$ est un réel quelconque.

\item Toute solution de l'équation $(E)$ est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ et d'une solution particulière de $(E)$.

Donc les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont  les fonctions $h$ définies par $h(x)=k\e^{-x}+x\e^{-x}$ où $k$ est un réel quelconque.

\item On cherche la fonction $g$ solution de $(E)$ qui vérifie $g(0) = 2$.

$g(0)=2 \iff k\e^{0}+0\e^{0}=2 \iff k=2$

La fonction $g$ solution de $(E)$ qui vérifie $g(0) = 2$ est définie par $g(x)=2\e^{-x}+x\e^{-x}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude mathématique d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par : $f(x) = (x + 2)\e^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On va dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ en précisant les extremums éventuels.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(x)=\left (x+2\right )\e^{-x}$ donc

$f'(x)=1\times \e^{-x} + \left (x+2\right )\times (-1)\e^{-x}
= \left (1-x-2\right )\e^{-x} = \left (-x-1\right )\e^{-x}$

$f'(x)$ s'annule et change de signe quand $(-x-1)$ s'annule, soit pour $x=-1$.

\item $f(-1) = \left (-1+2\right )\e^{1}=\e\approx 2,71$

\item $\ds\lim_{x\to -\infty}\e^{-x} = +\infty$ et $\ds\lim_{x\to -\infty} \left (x+2\right )=-\infty$ donc  $\ds\lim_{x\to -\infty} \left (x+2\right )\e^{-x}=-\infty$ (produit).

\item $f(x)=\left (x+2\right )\e^{-x} = \dfrac{x+2}{x}\times \dfrac{x}{\e^{x}}$

On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x+2}{x}=1$ comme limite d'une fonction rationnelle.

On sait aussi que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$ (croissance comparée), donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}}=0 $.

Par produit, on déduit: $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.
\end{list}		

On établit le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
x & -\infty && -1 && +\infty\\
\hline
-x-1 & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\e^{-x} & & + & \barre & + & \\
\hline
f'(x) & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\variations{\mil{f} & \bas{-\infty} && \haut{\e} &&  \bas{0}} 
\hline
\end{tablvar}\]
 
$f(-1)=\e$ est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.

		\item % Justifier que pour tout $x > 1$, on a $f (x) < 1,2$.
$f(1)=\left (1+2\right )\e^{-1}=\dfrac{3}{\e}\approx \dfrac{3}{2,71}<1,2$

Sur l'intervalle $\left ]1\;; +\infty\strut \right [$, la fonction $f$ est strictement décroissante, donc si $x>1$, on a $f(x)<f(1)$ et donc $f(x)<1,2$.
	\end{enumerate}
	
\item %La courbe représentative de la fonction $f$ possède-t-elle un point d'inflexion ? Le cas échéant, réciser ses coordonnées.
La courbe représentative de la fonction $f$ possède un point d'inflexion si la dérivée seconde $f''$ s'annule et change de signe.

$f'(x)= \left (-x-1\right )\e^{-x}$ donc

$f''(x)=(-1)\times \e^{-x}+ \left (-x-1\right )\times (-1)\e^{-x}
= \left (-1 +x+1\right )\e^{-x}=x\e^{-x}$

$f''$ s'annule et change de signe en $x=0$; $f(0)=\left (0+2\right )\e^{0}=2$

La courbe représentative de  $f$ possède donc un point d'inflexion de coordonnées $(0\;; 2)$.

\item On donne une allure de la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm, arrowsize=3pt 3}
\def\xmin{-4}   \def\xmax{6} \def\ymin{-3}   \def\ymax{4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray!50] 
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.99,-2.99)(\xmax,\ymax) 
%\uput[dl](0,0){O}
\def\f{x 2 add 2.7183 x neg exp mul}      % définition de la fonction
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue]
{
\psplot{0}{2}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{2}{0}{0}
\closepath 
}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
%%% tangente en 0 - non demandée
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{x neg 2 add}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $h : x - (ax + b)\e^{-x}$ soit une primitive de  la fonction $f$ sur $\R$.
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=\left (ax+b\right )\e^{-x}$.

La fonction $h$ est une primitive de $f$ si et seulement $h'(x)=f(x)$ pour tout réel $x$.

$h'(x)= a\times \e^{-x} + \left (ax+b\right )\times (-1)\e^{-x}
= \left (a -ax -b\right )\e^{-x}$

Pour que $h'(x)=f(x)$, il suffit de prendre $a=-1$ et $a-b=2$ soit $b=-3$.

Donc la fonction $h$ définie par $h(x)=\left (-x-3\right )\e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

		\item %Calculer $\displaystyle\int_0^2 f(x)\: \text{d}x$. En donner une interprétation graphique.
$\ds\int_0^2 f(x) \d x = \left [h(x)\strut\right ]_{0}^{2}= h(2)-h(0)
= \left ( \left (-2-3\right ) \e^{-2} \right ) - \left ( \left (0-3\right ) \e^{0}  \right )
= 3-5\e^{-2}$		
		
Cette intégrale est, en unités d'aire, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe représentant $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations $x=0$ et $x=2$. (partie hachurée sur le graphique)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C: Étude biostatistique}

\medskip

Une patiente, atteinte d'une récidive du cancer du sein, se voit proposer un Pet Scan afin de mettre en évidence les cellules cancéreuses. On lui injecte un traceur (Fluor 18) rendant les cellules cancéreuses colorées et donc visibles à l'imagerie.

À la date $t = 0$, on injecte le traceur dans le corps de la patiente. Le niveau de radioactivité $N(t)$, en MBq (mégabecquerel), dans le corps de la patiente est donné, en fonction du temps $t$, en heure, par : $N(t) = 100f(t)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie B}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer un encadrement à l'unité de la demi-vie du traceur, c'est-à-dire l'instant auquel le niveau de radioactivité dans le corps de la patiente est la moitié de sa valeur initiale.
La valeur initiale de radioactivité dans le corps de la patiente est $N(0)=100f(0) = 200$.

La demi-vie du traceur est donc l'instant $t$ où $N(t)=\dfrac{N(0)}{2}=100$.

$N(t)=100 \iff f(t)=1$; $f(1)=3\e^{-1}\approx \dfrac{3}{2,71}>1$;
$f(2)=4\e^{-2}\approx \dfrac{4}{7,38}<1$

La demi-vie du traceur est donc comprise entre 1 heure et 2 heures.

\item %Quel est le niveau moyen de radioactivité dans le corps entre l'instant initial et 2 heures ?
Le niveau moyen de radioactivité dans le corps entre l'instant initial et 2 heures est:

$\ds\dfrac{1}{2-0}\int_{0}^{2}N(t) \d t = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{2}100 f(t) \d t 
= 50 \int_{0}^{2}f(t) \d t  = 50\times \left (3-5\e^{-2}\right ) = 150 - 250\e^{-2}$

\item On considère que le niveau de radioactivité dans le corps de la patiente est insignifiant lorsqu'il est inférieur à 120 MBq. %Est-ce le cas une heure après l'injection ?

Une heure après l'injection, le niveau de radioactivité dans le corps de la patiente est:
$N(1)=100 f(1) = 100\times 3\e^{-2} \approx \dfrac{300}{2,71}$.
Or $120 = \dfrac{120\times 2,71}{2,71} = \dfrac{325,2}{2,71}$.

Comme $\dfrac{300}{2,71}< \dfrac{325,2}{2,71}$, on peut déduire que  $N(1)<120$.

On peut donc  considérer que le niveau de radioactivité dans le corps de la patiente est insignifiant  une heure après l'injection.

\item %En utilisant la partie B, que pouvez-vous dire de la convexité de la courbe $\mathcal{C}_{N}$ ? En donner une interprétation concernant le niveau de radioactivité dans le corps de la patiente.
On a vu dans la partie B que $f''(x)=x\e^{-x}$ donc $N''(t)=100 t\e^{-t}$ d'où on déduit que $N''(t)>0$ sur $\left ] 0\;; +\infty\strut \right [$. La fonction $N$ eet donc convexe sur $\left ] 0\;; +\infty\strut \right [$.

$N''(t)>0$  donc la dérivée $N'$ est croissante sur $\left ] 0\;; +\infty\strut \right [$ et sur cet intervalle, la fonction $N$ est décroissante; on peut donc dire que le niveau de radioactivité diminue de moins en moins vite.

\end{enumerate}

\end{document}


\newpage

\begin{center}\textbf{\large FEUILLE RÉPONSES}\end{center}

Cocher dans les grilles suivantes la bonne réponse des QCM 1 à 12.
\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&\textbf{A}& \textbf{B} &\textbf{C} &\textbf{D} \\ \hline
\textbf{QCM 1} 	&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 2} 	&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 3} 	&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 4} 	&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 5} 	&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 6} 	&&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\textbf{A}& \textbf{B} &\textbf{C} &\textbf{D} \\ \hline
\textbf{QCM 7}&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 8}&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 9}&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 10}&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 11}&&&& \\ \hline
\textbf{QCM 12}&&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\end{document}