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%\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~}
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole  Antilles-Guyane }
\lfoot{\small 26 juin 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Métropole Guadeloupe--Guyane 26 juin 2025\decofourright\\[7pt]
Série professionnelle}}\end{center}

\bigskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
%	\hfill~\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}\hfill~\\
%	\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 -- QCM\hfill 20 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), il est à compléter directement sur l'\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie à la fin du sujet}.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 -- Trajets en train \hfill 22 points}}

\medskip

%Dans le cadre de son travail, Elsa doit se déplacer régulièrement à Paris. Elle voyage en train.
%
%Le billet coûte $80$~\euro.
%
%Elsa peut acheter une carte à l'année qui coute $49$~\euro{} et qui lui permet d'obtenir toute l'année
%une réduction de 30\,\% sur les billets.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des tarifs :
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le prix qu'Elsa paiera pour 3 billets sans carte de réduction.
		
Elsa paiera pour 3 billets sans carte de réduction : $3 \times 80 = 240$~\euro.
		\item %Justifier que le prix d'un billet de train après une remise de 30\,\% est $56$~\euro.
$\bullet~$La remise sur un billet est égale à $80 \times \dfrac{30}{100} = 80 \times 0,30 = 24$~F.

Il lui reste à payer $80 - 24 = 56$~F.

$\bullet~$ Directement : il lui reste à payer $\dfrac{100}{100} - \dfrac{30}{100} = \dfrac{70}{100}$ de 80 soit $80 \times \dfrac{70}{100} = 80 \times 0,7 = 56$~\euro.
		\item %Calculer le prix total payé par Elsa pour trois billets avec la carte, achat de la carte compris.
Avec la carte à 49~\euro{} et 3 voyages coûtant $3 \times 56 = 168$~\euro, Elsa paiera $49 + 168 = 217$~(\euro).
	\end{enumerate}
\item Comparaison des tarifs :

%Elsa achète $x$ billets.
%
%On nomme :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item $f$ la fonction qui associe à $x$ le montant total que paie Elsa dans le cas où elle n'achète pas la carte de réduction.
%\item $g$ la fonction qui associe à $x$ le montant total que paie Elsa dans le cas où elle achète la carte de réduction et en tenant compte de l'achat de la carte.
%\end{itemize}
%
%Dans le repère ci-dessous sont représentées les fonctions $f$ et $g$.
%
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-50)(13,1000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(13,1000)
\uput[u](10.5,0){Nombre de billets achetés}\uput[r](0,950){Prix à payer (en \euro)}
\uput[u](12.9,0){$x$}\uput[r](0,990){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{11}{80 x mul}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{56 x mul 49 add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](8,0)(8,800)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Noter pour chacune des deux droites le nom de la fonction représentée par cette droite sur l'ANNEXE 2.
$\bullet~$ Sans carte d'abonnement chaque voyage coûte 80~\euro{}, donc $x$ voyages coûtent $80x$~\euro. 0 voyage coûte 0~\euro, donc la représentation de cette fonction (linéaire) est une droite contenant l'origine : c'est la droite rouge.

$\bullet~$Avec la carte d'abonnement coûtant 56~\euro{} chaque voyage revient à 56~\euro{} : elle paiera pour $x$ voyages :$56x + 49$~\euro. La représentation de cette fonction (affine) est donc la droite bleue contenant le point de coordonnées (0~;~49).
		\item %Choisir et recopier sur la copie l'expression algébrique de la fonction $g$ :
		
%Choix 1 : $g(x) =56x+49$ 

%Choix 2: $g(x) =56x$ 

%%Choix 3: $g(x) = 80x$ 

%Choix 4 : $g(x) = 49x +56$
On a vu que $g(x) = 56x + 49$.
		\item %Calculer $g(8)$.
On a donc $g(8) = 56 \times 8 + 49 = 448 + 49 = 497$.
		\item %Indiquer 
Le prix à payer pour $8$ billets avec la carte de réduction est donc $497$~(\euro).
		\item %Sachant qu'Elsa achètera plus de $8$ billets dans l'année, déterminer le tarif le plus
%avantageux pour elle.

%Justifier la réponse en expliquant la méthode utilisée.
$\bullet~$ Sans carte $x > 8$, donc $80x > 640$~(\euro).

$\bullet~$ Avec la carte : $x > 8$, donc $56x > 56 \times 8$ ou $56x > 448$ et $56x + 49 > 448 + 48$ ou $56x + 49 > 496$.

$\bullet~$Graphiquement on voit que si on trace la droite verticale $x = 8$ cette droite rencontre la droite bleue (représentation de $g$) avant celle de $f$. C'est donc le choix de l'achat de la carte qui sera le plus intéressant.

En fait ceci est vrai à partir de 3 voyages comme on l'a vu dans la question \textbf{1.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 Destinations\hfill 18 points}}

\medskip

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%Lors d'une promotion, une agence de voyage propose un tirage au sort permettant de gagner une journée de vacances. 
%
%Chaque client fait tourner la roue ci-contre, partagée en 8 secteurs de même mesure.
%
%Dans cet exemple le client gagne une journée de vacances à la campagne.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.35\linewidth}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-2.7,-2.7)(2.7,2.7)
%\pscircle*(0,0){2.5}
%\pscircle[linewidth=2.5pt,linecolor=white](0,0){0.4}
%\pspolygon[linecolor=white](0.2;0)(0.2;120)(0.2;240)
%\multido{\n=20+45}{8}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](0.4;\n)(2.5;\n)}
%\rput{-2.5}(1.7;-2.5){\white Mer}\rput{-177.5}(1.7;-177.5){\white Mer}\rput{-92.5}(1.7;-92.5){\white Mer}
%\rput{42.5}(1.6;42.5){\white Montagne}\rput{222.5}(1.6;222.5){\white Montagne}
%\rput{87.5}(1.7;87.5){\white Ville}\rput{-47.5}(1.7;-47.5){\white Ville}
%\rput{132.5}(1.6;132.5){\white Campagne}\psline[linewidth=2.5pt]{->}(3.3;132.5)(2.5;132.5)
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\medskip
%
%L'agence présente les résultats des tirages au sort, effectués sur une semaine, dans le diagramme ci-dessous.
%
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,-10)(12,82)
%\multido{\n=0+2}{42}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(12,\n)}
%\multido{\n=0+10,\na=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.9pt](0,\n)(12,\n)\uput[l](0,\n){\na}}
%\psframe*(1.5,0)(2.5,41)\psframe*(4.5,0)(5.5,55)\psframe*(7.5,0)(8.5,68)\psframe*(10.5,0)(11.5,35)
%\uput[d](2,0){Ville}\uput[d](5,0){Montagne}\uput[d](8,0){Mer}\uput[d](11,0){Campagne}
%\uput[u](5,55){55}\uput[u](11,35){35}\rput{90}(-0.8,40){Effectif}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Indiquer le nombre de fois où la roue s'est arrêtée sur un secteur « Ville ».
On lit que qu'il y a eu 42 sorties \og Ville \fg.
\item %Montrer que le nombre total de tirages au sort effectués cette semaine-là est 200.
Le nombre total de tirages cette semaine est égale à :
\[42 + 55 + 68 + 35 = (42 + 68) + (55 + 35) = 110 + 90 = 200.\]
\item %Calculer la fréquence d'apparition du secteur \og Montagne \fg.
Dans la semaine il y a eu 55 sorties de la montagne sur un total de 200 tirages, soit une fréquence de $\dfrac{55}{200} = \dfrac{27,5}{100} = 0,275$.
\end{enumerate}

On fait tourner la roue.
\begin{enumerate}[resume]
\item %À l'aide des informations sur la roue, calculer la probabilité de s'arrêter sur \og Montagne \fg.

La roue est partagée en 8 secteurs, dont 2 sont marqués Montagne : la fréquence de tirage de ce lieu est donc égal à $\dfrac 28 = \dfrac 14 = 0,25$.
\item %Elsa participe au tirage au sort. En examinant la roue elle pense qu'elle a plus de chance de gagner une journée à la montagne qu'à la ville. Indiquer si elle a raison ou tort. Justifier la réponse.
De la même façon, il y a 2 secteurs marqués Ville sur 8 secteurs : la probabilité de tirer Ville est la même que celle de tirer Montagne : Elsa a tort.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

%Paul prévoit de faire de la randonnée pendant les vacances. Il utilise habituellement un bâton
%de marche de longueur réglable.
%
%La longueur minimale du bâton est 48 cm.
%
%Il doit le placer dans la valise représentée ci-dessous.
%
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,3.6)
%%\psgrid
%\psframe(1.6,0.2)(3.4,3)
%\psline[linewidth=1.25pt](2.2,3)(2.2,3.8)\psline[linewidth=1.25pt](2.8,3.)(2.8,3.8)
%\psline[linewidth=3pt](2,3.8)(3,3.8)
%\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(1.4,0.2)(1.4,3)\rput{90}(1.2,1.6){45 cm}
%\rput(4.8,1.6){Valise de Paul}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Indiquer s'il est possible de mettre le bâton à la verticale dans la valise.

%Justifier la réponse.
Comme $48 \leqslant 45$ (longueur de la valise) est fausse, le bâton ne peut être mis à la verticale.

\medskip

%On schématise le fond de la valise par le rectangle ABCD ci-dessous (le dessin n'est pas à l'échelle).
%
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(1,0)(12,3.8)
%
%\psframe(5.7,0.8)(12.8,3.6)
%\psline(5.7,0.8)(12.8,3.6)
%\psframe(5.7,3.6)(5.9,3.4)\psframe(5.7,0.8)(5.9,1)
%\psframe(12.8,3.6)(12.6,3.4)\psframe(12.8,0.8)(12.6,1)
%\uput[r](1,2.5){Longueur $L$ : 45 cm}\uput[r](1,1.4){Largeur $l$ : 32 cm}
%\psline{<->}(5.7,0.6)(12.8,0.6)\uput[d](9.25,0.6){$L$}
%\psline{<->}(5.5,0.8)(5.5,3.6)\uput[l](5.5,2.2){$l$}
%\uput[dl](5.7,0.8){A} \uput[dr](12.8,0.8){B} \uput[ur](12.8,3.6){C} \uput[ul](5.7,3.6){D} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\item  %Parmi les propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui est exacte.
%Le triangle ABC est:

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$ isocèle &$\bullet~$ rectangle &$\bullet~$ isocèle rectangle& $\bullet~$ équilatéral\\
%\end{tabularx}
Le triangle ABC est rectangle en B, d'hypoténuse [AC].
\item %Calculer, à l'aide du théorème de Pythagore, la longueur AC en centimètre.

%Arrondir le résultat à l'unité.
Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

AC$^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 45^2 + 32^2 = \np{2025} + \np{1024} = \np{3049}$.

La longueur AC est supérieure à zéro, donc AC $= \sqrt{3039} \approx55,2 \approx 55$~(cm) à l'unité près
\item %Justifier que Paul peut placer son bâton dans le fond de la valise.
Maintenant l'inégalité $48 < 55$ est vraie donc le bâton peut rentrer dans la valise.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5  (algorithme)\hfill 22 points}}

\medskip

Dans un avion, les valises sont placées en cabine ou en soute. Les compagnies aériennes appliquent un surcoût aux valises en cabine qui pèsent plus de 15 kilogrammes.
Le programme scratch ci-dessous permet de calculer la masse en trop et le montant du surcoût en euros demandé aux clients pour conserver leur valise de plus de 15 kilogrammes en cabine.

\medskip

\begin{scratch}[numblocks,scale=0.8]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockvariable{mettre \selectmenu{masse} à \ovalnum{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{$x$} à \ovaloperator{\ovalvariable{masse} -\ovalnum{15}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} *\ovalnum{12,30}}}
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{La masse de votre valise dépasse de} et \ovaloperator{regrouper{x} et \ovalnum{kg}pendant \ovalnum{30 secondes}}}}
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le montant à payer pour la masse supplémentaire est} et \ovaloperator{résultat} pendant \ovalnum{30 secondes}}}
\end{scratch}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la ligne 5, donner le prix en euros (\euro) du kilogramme supplémentaire.
On lit à la ligne 5 que tout kilo au dessus des 15 premiers kilos est facturé 12,30~\euro. 
\item %Indiquer ce que permet de calculer la ligne 4.
La ligne 4 calcule le montant à payer pour les kilos au delà de 15.
\item %Calculer la valeur du montant affiché par le programme pour une valise de $17,50$~kg.
On a $(17,50 - 15) \times 12,30 = 30,75$~(\euro)
\end{enumerate}

%En soute, un surcoût est appliqué aux valises qui pèsent plus de $23$~kg.
%
%Chaque kilogramme supplémentaire coûte $10,70$~\euro.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Indiquer, sur la copie, le numéro des deux lignes à modifier pour adapter le programme à une valise en soute.
Il faut modifier les lignes 3 et 4.
\item %Écrire, sur la copie, les deux lignes avec les valeurs modifiées pour obtenir le prix à payer pour une valise en soute pesant $23$ kg.

\begin{scratch}[numblocks,scale=0.8,start=3]
\blockvariable{mettre \selectmenu{$x$} à \ovaloperator{\ovalvariable{masse} -\ovalnum{23}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} *\ovalnum{10,70}}}
\end{scratch}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 1 - À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 : QCM}

\medskip

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}. Cocher la bonne réponse \textbf{sans justification}.

Une réponse correcte apporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $25\,\%$ de $340$ s'obtient en effectuant le calcul suivant :

$340 \times \dfrac{25}{100} = \dfrac{340}{4} = 85$.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
%$340 \times \dfrac{25}{100}$&$340 + \dfrac{25}{100}$&$340 \times \dfrac{100}{25}$&$340 + \dfrac{100}{25}$\\
%\end{tabularx}

\item $3^5$ est égal à :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$}~~}X}}
%$3+3+3+3+3$	&$3\times 5$ & $3 - 5$ & $3 \times 3\times 3\times 3\times 3$\\
%\end{tabularx}
$3^5$ est le produit de 5 facteurs égaux à 3
\item Le tableau suivant correspond à une situation de proportionnalité : \begin{tabular}{c |c}
19&2\\ \hline
$N$&6\\
\end{tabular}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
%$N = 12,5$& $N = 23$& $N = 3,5$&$N = 57$
%\end{tabularx}
On passe de 2 à 19 en multipliant par $\dfrac{19}{2}$, donc de même $6 \times \dfrac{19}{2} = 3 \times 19 = 57$.

\emph{Rem.} Encore plus simple : on passe de 2 à 6 multipliant par 3 : donc $19 \times 3 = N = 57$.
\item Le volume du cube de côté 3 cm est égal à :

$V = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27~\left(\text{cm}^3\right)$.

%\hspace{8cm} \psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(2.3,2.5)
%\psframe(0,0.4)(1.6,2)
%\psline(1.6,0.4)(2.1,0.9)(2.1,2.5)(1.6,2)
%\psline(2.1,2.5)(0.5,2.5)(0,2)
%\psline[linestyle=dashed](0,0.4)(0.5,0.9)(2.1,0.9)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.9)(0.5,2.5)
%\uput[d](0.8,0.4){3 cm}
%\end{pspicture}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
%9~cm$^3$& 18~cm$^3$ & 27~cm$^3$&81~cm$^3$
%\end{tabularx}

\item La solution de l'équation $25x + 4 = 108 - x$ est :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
%$x = 3$ &$x = 4$&$x = 5$&$x = 6$
%\end{tabularx}
En ajoutant $x$ à chaque membre on obtient : $26x + 4 = 108$, puis

en ajoutant $-4$ à chaque membre on obtient : $26x  = 104$, soit 

$13x = 52$ ou encore $13 \times x = 13 \times 4$ et enfin en simplifiant par 13 : $x = 4$.

4 est la solution de l'équation.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 2 - À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 2 : question 2. a.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-50)(13,1000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(13,1000)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(13,\n)}
\uput[u](10.8,0){Nombre de billets achetés}\uput[r](0,950){Prix à payer (en \euro)}
\uput[r](13,0){$x$}\uput[u](0,1000){$y$}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{12}{80 x mul}\rput{38}(10,833){\red Fonction : \ldots}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{56 x mul 49 add}\rput{30}(10,635){\blue Fonction : \ldots}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}