%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-fr3d,pst-func,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{fp} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Entrée à l'ENSM}, pdftitle = {juin 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2017}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES INGÉNIEURS~\decofourright\\ DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[5pt] ANNÉE 2017}} \vspace{0,5cm} \textbf{Durée : 2 heures}\end{center} \vspace{0,05cm} Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question représentant le même nombre de points. Les 4 questions proposées sont indépendantes. \begin{center}\textbf{1\up{re} question}\end{center} \begin{enumerate} \item %On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par \[g(x) = x^3 - 4x^2 - x + 2.\] \begin{enumerate} \item %Calculer $g'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $g$ (on ne cherchera pas à calculer les valeurs des extremums de $g$). La fonction polynôme est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $g'(x) = 3x^2 - 8x - 1$. On a $\Delta = (- 8)^2 - 4 \times 3 \times (- 1) = 64 + 12 = 76 = 4\times 19$. L'équation $g'(x) = 0 $ a donc deux solutions : $x_1 = \dfrac{8 + 2\sqrt{19}}{6} = \dfrac{4 + \sqrt{19}}{3}$ et $x_2 = \dfrac{4 - \sqrt{19}}{3}$. On sait que $g'(x) > 0$, sauf sur l'intervalle $\left[\dfrac{4 - \sqrt{19}}{3}~;~\dfrac{4 + \sqrt{19}}{3} \right]$ où $g'(x) \leqslant 0$. Conclusion : $g$ est croissante sur $\left]- \infty~;~\dfrac{4 - \sqrt{19}}{3}\right[$ et sur $\left]\dfrac{4 + \sqrt{19}}{3}~;~+ \infty\right[$ ; $g$ est décroissante sur $\left[\dfrac{4 - \sqrt{19}}{3}~;~\dfrac{4 + \sqrt{19}}{3} \right]$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$-\infty$}\uput[u](3,2.4){$\frac{4 - \sqrt{19}}{3}$}\uput[u](5,2.4){$\frac{4 + \sqrt{19}}{3}$}\uput[u](6.5,2.4){$+\infty$} \uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$}\uput[u](2,1.9){$+$}\uput[u](3,1.9){$0$}\uput[u](4,1.9){$-$}\uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](6,1.9){$+$} \uput[d](3,2){$\approx 2,06$}\uput[u](5,0){$\approx - 10,2$} \psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5)\psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(6.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~2]. On a $g(0) = 2$ et $g(2) = 8 - 16 - 2 + 2 = - 8$. L'intervalle [0~;~2] est inclus dans l'intervalle $\left[\dfrac{4 - \sqrt{19}}{3}~;~\dfrac{4 + \sqrt{19}}{3} \right]$ où la fonction est strictement décroissante. D'après la propriété des valeurs intermédiaires la fonction $g$ décroit d'une valeur supérieure à zéro à une valeur inférieure à zéro : comme elle est continue car dérivable sur [0~;~2] il existe donc un réel unique $\alpha \in ]0~;~2[$ tel que $g(\alpha) = \alpha^3 - 4\alpha^2 - \alpha + 2 = 0$. \item %En déduire le tableau de signes de $g(x)$ sur l'intervalle [0~;~2]. On a donc : $g(\alpha) = 0$ ; $g(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ et $g(x) < 0$ sur $]\alpha~;~2]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{Pour la suite de l'exercice, on pourra utiliser la valeur approchée } $\alpha \approx 0,64$ \begin{enumerate}[resume] \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (ax+ b)\text{e}^{-x^2}$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \end{enumerate} \parbox{0.55\linewidth}{ \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item[] \begin{enumerate} \item %On sait que $\mathcal{C}_f$ coupe d'axe des ordonnées au point A(0~;~4) et que sa tangente en A a pour coefficient directeur $- 1$. %Démontrer que $f(x) = (- x + 4)\text{e}^{- x^2}$. $\bullet~~$$f(0) = 4 \iff b\text{e}^0 = 4 \iff b = 4$ ; $\bullet~~$On sait que la tangente en A a pour coefficient directeur $f'(0)$ ; or $f'(x) = a\text{e}^{- x^2} - 2x \times (ax + 4)\text{e}^{- x^2} = \text{e}^{- x^2}(- ax^2 - 8x + a)$. Donc $f'(0) = a\text{e}^0 = a = - 1 \iff a = - 1$. Conclusion : sur $\R$, \: $f(x) = (4 - x)\text{e}^{- x^2}$. \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~2] on définit les points suivants : $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ de coordonnées $(x~;~f(x))$ $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$ $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$. On note $A(x)$ l'aire du rectangle O$PMQ$. La figure ci-contre sur laquelle une partie de la courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée rappelle ces notations. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.41\linewidth}{ \psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.15)(4.1,4.2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.637,2.2413) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(4,4) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(4,4) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 x sub 2.71828 x dup mul exp div} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.637,0){$P$} \uput[ur](0.637,2.2413){$M$} \uput[l](0,2.2413){$Q$} \psplotTangent[linecolor=red,arrows=<->]{0.637}{2}{4 x sub 2.71828 x dup mul exp div} \psline[linecolor=red](0,2.2413)(0.637,0) \uput[ur](0.637,0){$\alpha$} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item[] \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{2} \item \begin{enumerate} \item %Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$. Sur l'intervalle [0~;~2], $f(x) > 0$, car on sait que $\text{e}^{- x^2} > 0$ quel que soit le réel$x$ et $4 - x > 0$, donc $f(x) > 0$. Le rectangle O$PMQ$ a donc pour dimensions $x$ et $f(x)$, donc son aire est : $A(x) = x \times f(x) = x(4 - x)\text{e}^{-x^2}$ ou $A(x) = \left(4x - x^2 \right)\text{e}^{-x^2}$ \item %Démontrer que $A'(x)$ est du signe de $g(x)$ et en déduire la valeur de $x$ pour laquelle $A(x)$ est maximale. Produit de fonctions dérivables sur [0~;~2], $A(x)$ est dérivable sur cet intervalle et $A'(x) = (4 - 2x)\text{e}^{-x^2} - 2x\left(4x - x^2 \right)\text{e}^{-x^2} = \text{e}^{-x^2}\left(4 - 2x - 8x^2 + 2x^3) \right) = $ $\left(2x^3 - 8x^2 - 2x + 4 \right)\text{e}^{-x^2} = 2\left(x^3 - 4x^2 - x + 2 \right)\text{e}^{-x^2} = 2 g(x)\text{e}^{-x^2}$. Comme $2\text{e}^{-x^2} > 0$ quel que soit le réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ étudié à la question \textbf{1. c.}, donc : $A'(\alpha) = 0$ ; $A'(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ; $A'(x) < 0$ sur $]\alpha~;~2]$. Conclusion $A(x)$ croit sur $[0~;~\alpha[$ et décroit sur $[\alpha~;~2]$ ; $A(\alpha)$ est donc le maximum de l'aire pour $x = \alpha \approx 0,64$. \item %Démontrer que lorsque $A(x)$ est maximale, la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $M$ est parallèle à la droite $(QP)$ $\bullet~~$La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $M$ d'abscisse $\alpha$ a pour coefficient directeur le nombre dérivé $f'(\alpha)$. Or $f'(x) = - \text{e}^{-x^2} - 2x(4 - x)\text{e}^{-x^2} = \text{e}^{-x^2}\left(2x^2 - 8x - 1 \right)$ ; donc $f'(\alpha) = \text{e}^{-\alpha^2}\left(2\alpha^2 - 8\alpha - 1 \right)$. $\bullet~~$Pour $x = \alpha$, la droite $(QP)$ a pour coefficient directeur : $\dfrac{0 - f(\alpha)}{\alpha - 0} = - \dfrac{f(\alpha)}{\alpha} = \dfrac{(\alpha - 4)\text{e}^{- \alpha^2}}{\alpha}$. $\bullet~~$Ces deux derniers nombres sont égaux si : $\text{e}^{-\alpha^2}\left(2\alpha^2 - 8\alpha - 1 \right) = \dfrac{(\alpha - 4)\text{e}^{- \alpha^2}}{\alpha} \iff 2\alpha^2 - 8\alpha - 1 = \dfrac{\alpha - 4}{\alpha} \iff \alpha\left(2\alpha^2 - 8\alpha - 1 \right) = \alpha - 4 \iff 2\alpha^3 - 8\alpha^2 - \alpha = \alpha - 4 \iff 2\alpha^3 - 8\alpha^2 - 2\alpha + 4 = 0 \iff \alpha^3 - 4\alpha^2 - \alpha + 2 = 0$, égalité vraie (c'est $g(\alpha) = 0$ démontré à la question \textbf{1. b.}). Voir la figure avec $M(\alpha)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \item %On note $S$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$. \begin{enumerate} \item %Calculer $I = \displaystyle\int_0^2 - x\text{e}^{-x^2}\: \text{d}x$ (on donnera la valeur exacte). Une primitive de la fonction $x \longmapsto - x\text{e}^{-x^2}$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x^2}$, donc : $I = \displaystyle\int_0^2 - x\text{e}^{-x^2}\: \text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}\text{e}^{-x^2}\right]_0^2 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2^2} - \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{-0^2} \right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-4} - 1 \right)$. \item %On donne $J = \displaystyle\int_0^2 \text{e}^{-x^2}\: \text{d}x \approx 0,882$. On a puisque la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0~;~2] : $S = \displaystyle\int_0^2 f(x) \:\text{d}x = \displaystyle\int_0^2 (4 - x)\text{e}^{-x^2} \:\text{d}x = \displaystyle\int_0^2 4\text{e}^{-x^2} \:\text{d}x + \displaystyle\int_0^2 - x\text{e}^{-x^2} \:\text{d}x = \displaystyle\int_0^2 4\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x + I =$ $ 4\displaystyle\int_0^2 4\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x + I \approx 4 \times 0,882 + \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-4} - 1 \right) \approx 3,037$, donc au centième près $S \approx 3,04$. %En déduire une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $S$. \item Est-il possible de placer le point $M$ pour que l'aire du rectangle O$PMQ$ soit égale à la moitié de l'aire $S$ ? On a $\dfrac{1}{2}S \approx 1,52$. On a vu que l'aire maximale est $A(\alpha) = \left(4\alpha - \alpha^2 \right)\text{e}^{- \alpha^2} \approx 1,43$. Il n'existe pas de position du point $M$ telle que $A(x) = \dfrac{1}{2}S$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{2\up{e} question}\end{center} Soit $f$ la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par \[f(x) = \dfrac{2x}{1 + 2x}.\] On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique donné en annexe (dernière page du sujet), on a tracé la courbe $C$ représentative de $f$. \begin{enumerate} \item %En utilisant une méthode graphique, construire les points de $C$ d'abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (aucun calcul n'est attendu). En partant du point d'abscisse $u_0 = 2$ sur l'axe des abscisses, on se déplace verticalement cers la courbe $C$ puis horizontalement vers la droite d'équation $y = x$ ; l'abscisse de ce dernier point est $u_1$ et ainsi de suite. Voir l'annexe. \item %Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? On conjecture que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et est minorée par 0,5. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition. Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ la fonction est définie et dérivable et sur cet intervalle : $f'(x) = \dfrac{2(1 + 2x) - 2 \times 2x}{(1 + 2x)^2} = \dfrac{2}{(1 + 2x)^2}$. Quotient de deux nombres positifs cette dérivée est positive, donc $f$ est croissante sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. O a $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} f(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. La fonction est strictement croissante de moins l'infini à 1. \item %Démontrer par récurrence que pour tout entier nature $n$, %$\dfrac12 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \emph{Initialisation :} On a $u_0 = 2$, donc $u_1 = \dfrac{2\times 2}{1 + 2\times 2} = \dfrac{4}{5} = 0,8$. On a donc $\dfrac12 \leqslant u_{1} \leqslant u_0$. L'encadrement est vrai au rang $0$. \emph{Hérédité} Supposons que pour $n \geqslant 0$, on ait $\dfrac12 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. Comme $f$ est croissante les images des trois termes de l'encadrement sont rangés dans le même ordre, soit : $f(\frac{1}{2}) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_n\right)$. Or $f\left(\frac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$. On a donc : $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$. Conclusion : l'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $n$ il est vrai au rang $n + 1$. On a donc démontré par le principe de récurrence que quel que soit le naturel $n$, \: $\dfrac12 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Le précédent résultat montre que la suite est minorée par $\dfrac{1}{2}$ et qu'elle est décroissante. La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers une limite $\ell \geqslant \dfrac{1}{2}$. \end{enumerate} \item %On considère à présent la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : pour tout entier naturel $n$,\: $v_n = \dfrac{1 - 2u_n}{u_n}$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. Quel que soit $n$, \: $v_{n+1} = \dfrac{1 - 2u_{n+1}}{u_{n+1}} = \dfrac{1 - 2\times \frac{2u_n}{1 + 2u_n}}{\frac{2u_n}{1 + 2u_n}} = \dfrac{1 + 2u_n - 4u_n}{2u_n} = \dfrac{1 - 2u_n}{2u_n} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1 - 2u_n}{u_n}$. Finalement $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$ ; cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \item %Déterminer l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$. On a $v_0 = \dfrac{1 - 2\times 2}{2} = - \dfrac{3}{2}$. On sait que $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = - \dfrac{3}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Or $v_n = \dfrac{1 - 2u_n}{u_n} \iff u_nv_n = 1 - 2u_n \iff u_nv_n + 2u_n = 1 \iff u_n\left(v_n + 2 \right) = 1 \iff$ $ u_n = \dfrac{1}{v_n + 2}$. Donc $u_n = \dfrac{1}{2 - \dfrac{3}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n} = \dfrac{2}{4 - 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$. \item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comme $- 1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = 0$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 4 - 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 4$ et finalement $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ est bien 0,5. \item %Déterminer le premier entier $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$,\: $u_n \leqslant 0,501$. Il faut résoudre l'inéquation : $\dfrac{2}{4 - 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n} \leqslant 0,501 \iff \dfrac{2}{0,501} \leqslant 4 - 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \iff 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant 4 - \dfrac{2}{0,501}$ $\iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{1}{3}\times \left(4 - \dfrac{2}{0,501} \right) \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{1}{3}\times \dfrac{0,004}{0,501} \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{0,004}{1,503} \iff$ $ n \ln 0,5 \leqslant \ln \dfrac{4}{\np{1503}} \iff n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{4}{\np{1503}}}{\ln 0,5}$ La calculatrice donne $\dfrac{\ln \dfrac{4}{\np{1503}}}{\ln 0,5} \approx 8,5$. Conclusion $u_{n_0} = u_9$ est le premier terme de la suite approchant $\dfrac{1}{2}$ la limite à un millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{3\up{e} question}\end{center} %Une entreprise produit et commercialise des puces GPS. % %Elle dispose de 3 centres de productions A, B et C qui produisent respectivement 60\,\%, 25\,\% et 15\,\% des puces électroniques. % %Après leur sortie des centres de production, ces puces sont regroupées dans les laboratoires du contrôle qualité, où elles sont testées pour savoir si elles sont commercialisables. % %L'expérience a montré que 80\,\% des puces sortant du centre de production A, 95\,\% des puces sortant du centre de production B, et 86,45\,\% de l'ensemble des puces produites sont sélectionnées à l'issu de ce test comme étant commercialisables. \medskip \begin{enumerate} \item %Un technicien du contrôle qualité prélève une puce au hasard pour lui faire passer le test. %On notera les évènements suivants: % %$A$ : \og La puce est issue du centre de production A \fg, de même pour $B$ et pour $C$. % %$T$ : \og La puce est sélectionnée à l'issue du test comme étant commercialisable \fg \begin{enumerate} \item ~%Décrire la situation par un arbre pondéré. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~~}\naput{0,60}} {\TR{$T$}\naput{0,80} \TR{$\overline{T}$} \nbput{0,20} } \pstree{\TR{$B$~~}\naput{0,25}} {\TR{$T$}\naput{0,95} \TR{$\overline{T}$} \nbput{0,05} } \pstree{\TR{$C$~~}\nbput{0,15}} {\TR{$T$}\naput{$x$} \TR{$\overline{T}$} \nbput{$1 - x$} } } \end{center} \item %Calculer la probabilité que la puce provienne du centre A et soit commercialisable. On a $p(A \cap T) = p(A) \times p_A(T) = 0,6 \times 0,8 = 0,48$. \item %Calculer la probabilité qu'une puce provenant du centre de production C soit commercialisable. On sait que 86,45\% de l'ensemble des puces sont sélectionnées, donc $p(T)= \np{0,8645}$. On en déduit $p(C \cap T)=p(T) -\left(p(A \cap T)+ p(B \cap T)\right)=\np{0,8645}- 0,8\times 0,6- 0,25\times 0,95= \np{0,147}$. Il faut maintenant trouver $p_C(T) = \dfrac{p(C \cap T)}{p(C)} = \dfrac{0,147}{0,15}= \np{0,98}$. \item %Le responsable du centre de production C affirme que parmi les puces commercialisables, plus de 17\,\% proviennent de son centre de production. Justifier cette affirmation par un calcul de probabilité. On a $p_T(C)=\dfrac{p(C\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,147}{\np{0,8645}}\approx\np{0,17004}$. Le responsable a raison. \end{enumerate} \item %Pour faire les tests, les techniciens reçoivent les puces par lots de 12. On note X la variable aléatoire qui à un lot choisi au hasard associe le nombre de puces commercialisables qu'il contient. \begin{enumerate} \item %Donner la loi de probabilité que suit la variable aléatoire X en justifiant votre réponse. La variable $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 12$ et $p = \np{0,8645}$ \item %Calculer la probabilité qu'au moins une puce du lot ne soit pas commercialisable. La probabilité que toutes les puces soient commercialisables est égale à $\np{0,8645}^{12}$. Donc la probabilité qu'au moins une puce du lot ne soit pas commercialisable est égale à : $1 - \np{0,8645}^{12} \approx 0,826$. \item %On envisage de modifier le nombre de puces par lot. Déterminer la taille minimale des lots pour que la probabilité qu'un lot contienne au moins une puce non commercialisable soit supérieur à 0,95. Il suffit de remplacer 12 par $n$ et de résoudre l'inéquation : $1 - \np{0,8645}^{n} \geqslant 0,95 \iff \np{0,8645}^{n} \leqslant 0,05 \iff n \ln \np{0,8645} \leqslant \ln 0,05 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,05}{\ln \np{0,8645}}$. Or $\dfrac{\ln 0,05}{\ln \np{0,847175}} \approx 20,5$. Il faut donc des lots d'au moins 21 puces. \end{enumerate} \item %On estime que la durée de vie de ces puces GPS suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et on note $T$ la variable aléatoire qui à une puce choisie au hasard associe sa durée de vie en années. On a pu mesurer qu'au bout de $5$ ans, la moitié des puces sont défectueuses. \begin{enumerate} \item %Déterminer la valeur de $\lambda$. On a donc $p(T \leqslant 5) \text{e}^{- \lambda \times 5} = \dfrac{1}{2} \iff - 5\lambda = \ln 0,5 \lambda = \dfrac{\ln 0,5}{- 5} \approx 0,139$. \item %En déduire la durée de vie moyenne de ces puces. On a $E = \dfrac{1}{\lambda} \approx 7,21$ (années). \item %Un bateau de plaisance doit partir pour une croisière de $2$~ans. Il est équipé d'un dispositif qui utilise l'une de ces puces et qui a été acheté neuf il y a $4$~ans. La loi exponentielle étant à durée de vie sans mémoire : On a $p_{T\geqslant 4}(T \leqslant 6) = p(T \leqslant 2) = 1-\text{e}^{-2\times 0,139}$ soit à peu près 24,3,\%. %Quelle est la probabilité que la puce connaisse une panne durant cette croisière ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{4\up{e} question}\end{center} \begin{enumerate} \item On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par : \[P(z) = z^3 + (2 - 2\text{i})z^2 + (4 - 4\text{i})z - 8\text{i}.\] \begin{enumerate} \item %Démontrer que 2i est une solution de l'équation $P(z) = 0$. On calcule : $P(2\text{i}) = (2\text{i})^3 + (2 - 2\text{i})(2\text{i})^2 + (4 - 4\text{i})\times 2\text{i} - 8\text{i} = -8\text{i} + (2 - 2\text{i}) \times (- 4) + 8\text{i} + 8 = -8\text{i} -8 + 8\text{i}) + 8\text{i} + 8 = 0$, ce qui montre que $2\text{i}$ est une solution de l'équation $P(z) = 0$. \item %Démontrer que $P(z) = (z - 2\text{i})\left(z^2 + 2z + 4\right)$. On a $(z - 2\text{i})\left(z^2 + 2z + 4\right) = z^3 + 2z^2 + 4z - 2\text{i}z^2 - 4\text{i}z - 8\text{i} = z^3 + z^2(2 - 2\text{i}) + (4 - 4\text{i})z - 8\text{i} = P(z)$, ce qui montre la factorisation de $P(z)$. \item %En déduire toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$. On a déjà la solution $2\text{i}$ de plus : $P(z) = 0 \Rightarrow z^2 + 2z + 4 = 0 \iff (z + 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z + 1)^2 = - 3 \iff (z + 1)^2 = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2$. On a donc $z + 1 = \text{i}\sqrt{3}$ ou $z + 1 = - \text{i}\sqrt{3}$, soit $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ ou $z = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$. Finalement $S = \{2\text{i}~;~- 1 + \text{i}\sqrt{3}~;~- 1 - \text{i}\sqrt{3}\}$. \end{enumerate} \item \emph{Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé }\Ouv. \emph{On réalisera une figure sur l'annexe donnée en dernière page du sujet.} \medskip On considère les points A, B et C d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$, $z_{\text{B}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, et $z_{\text{C}} = - 2$. \begin{enumerate} \item %Déterminer le module et un argument de chacun des trois nombres complexes $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis les écrire en notation exponentielle. $\bullet~~$$\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2$ ; D'où $z_{\text{A}} = 2\left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$. Finalement : $z_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. $\bullet~~$Le même calcul donne $\left|z_{\text{B}} \right| = 2$, puis $z_{\text{B}} = 2\left(\frac{1}{2} + \text{i}\frac{-\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \frac{-\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{3} \right)$. Finalement : $z_{\text{B}} = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. $\bullet~~$On a $\left|z_{\text{C}}\right| = 2$ et enfin $z = 2\text{e}^{\text{i}\pi}$. \item ~Voir l'annexe%Placer les points A, B et C sur une figure donnée en annexe que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice.~ On note $Z = \dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}} $. \item %Déterminer la forme algébrique de $Z$. $Z = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3} - (- 2)}{1 - \text{i}\sqrt{3} -( z_{\text{C}})- 2)}= \dfrac{3 + \text{i}\sqrt{3}}{3 - \text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{\left(3 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(3 + \text{i}\sqrt{3} \right)}{\left(3 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(3 - \text{i}\sqrt{3} \right)} = \dfrac{9 - 3 + 6\text{i}\sqrt{3}}{9 + 3} = \dfrac{6 + 6\text{i}\sqrt{3}}{12} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item %Calculer le module et un argument de $Z$. On a $|Z|^2 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$. D'où $|Z| = 1$. Puis $Z = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item %En déduire la nature du triangle ABC. À partir de la définition de $Z$ on déduit que : $\bullet~~$$|Z| = \dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}$ Or on vient de démontrer que $|Z| = 1 = \dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}$, donc CA = CB : le triangle ABC est isocèle en C. $\bullet~~$arg$(Z) = \left(\vect{\text{CB}},~\vect{\text{CA}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ d'après la question précédente. On a donc $\widehat{\text{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} = \widehat{\text{BAC}}$, pisque le triangle est isocèle en C. Conclusion : le triangle ABC ayant trois angles de mesure $\dfrac{\pi}{3}$ est un triangle équilatéral. \end{enumerate} \item À tout point $M$ d'affixe $z$ (avec $z \neq z_{\text{B}}$), on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par : \[z'= \dfrac{1 +\text{i}\sqrt{3} - z}{1 - \text{i}\sqrt{3} - z}.\] $\left.(\text{On pourra remarquer que } z' = \dfrac{z_{\text{A}} - z}{z_{\text{B}} - z}.\right)$ \begin{enumerate} \item %Démontrer que si le point $M$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $M'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. A et B étant symétriques autour de l'axe des abscisses, cet axe est la médiatrice du segment [AB], donc un point de cet axe a une partie imaginaire nulle. On a donc $|z'| = \dfrac{M\text{A}}{M\text{B}} = 1$ : $M'$ appartient donc au cercle de centre O de rayon 1 (le cercle trigonométrique). \item %Démontrer que si $M$ appartient au cercle de diamètre [AB] privé de B alors $M'$ appartient à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$. On sait que si $M$ appartient au cercle de diamètre [AB] privé de B alors $\left(\vect{M\text{B}},~\vect{M\text{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi}{2}$. Or d'après la remarque $z' = \dfrac{z_{\text{A}} - z}{z_{\text{B}} - z}$ on en déduit en prenant les arguments que : arg$(z') = \text{arg}\left(\dfrac{z_{\text{A}} - z}{z_{\text{B}} - z}\right) = \left(\vect{M\text{B}},~\vect{M\text{A}}\right) = \pm \dfrac{\pi}{2}$ ce qui montre que $z'$ est un imaginaire pur ou encore que $M'$ appartient à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$. \item %On note D le point d'intersection entre le cercle de diamètre [AB] et l'axe réel, tel que DBA soit un triangle rectangle direct. %Construire le point D$'$ associé au point D en justifiant la construction. On a vu que puisque D appartient à la médiatrice de [AB] son image appartient au cercle trigonométrique de centre O et de rayon. Comme il appartient aussi au cercle de diamètre [AB] son image est un point de l'axe des ordonnées. Comme $\left(\vect{\text{DB}},~\vect{\text{DA}}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$, D$'$ est donc le point d'affixe i. \end{enumerate} \end{enumerate} Nota : \begin{enumerate} \item Aucun document n'est autorisé. \item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics \fg. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Annexe - 2\up{e} question} \medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\Tracesuite}[4]{% \code{/x #2 def} \multido{\i=0+1}{#3}{% \code{/y #1 def} \moveto(!x 0) \psline[linestyle=dashed]{->}(!x 0)(!x y)(!0 y) \moveto(!x y) \psline[linestyle=dashed]{->}(!x x)(!x y)(!y y) \uput{1ex}[270](!x 0){$#4_{\i}$} % (on place les nom des points) \code{/x y def}% }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % rendu : 7 paramètres : % % #1 : la fonction en polonais inverse % #2 : la valeur du point fixe % #3 : le minimum de l'axe des abscisses % #4 : le maximum de l'axe des abscisses % #5 : abscisse de u_0 % #6 : nombre de termes à construire % #7 : nom des points construits (en général M_0, M_1 ...) % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\rendu}[7]{% \psset{unit=5cm,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,dotsep=4pt} \begin{pspicture}(#3,#3)(#4,#4) %\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(#3,#3)(#4,#4) % \SpecialCoor \psplot{#3}{#4}{#1} %on trace la courbe de la fonction f \psplot{#3}{#4}{x} %on trace la première bissectrice % \qdisk(#2,#2){2pt} %le pt fixe \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](#2,0)(#2,#2) %le pt fixe \uput{1ex}[270](#2,0){$\ell$} %le pt fixe \pscustom[linewidth=1pt,linestyle=dashed,linecolor=orange]{% %le tracé des pts \Tracesuite{#1}{#5}{#6}{#7}} \end{pspicture}} \psset{unit=5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(2.05,0.85) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(2.05,0.85) \uput[d](2,0){$u_0$}\uput[d](0.8,0){$u_1$}\uput[d](0.65,0){$u_2$}\uput[d](0.55,0){$u_3$} \rput{45}(0.6,0.65){\small $y = x$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.05}{2 x mul x 2 mul 1 add div} \rendu{2 x mul x 2 mul 1 add div}{0.5}{0}{2}{2}{4}{} \end{pspicture*} \vspace{2cm} \textbf{Annexe - 4\up{e} question} \medskip \psset{unit=2.5cm,comma=true,arrowsize=2pt 4} %\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt](-2.2,-2.2)(2.2,2.2) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,2.2) %\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) %\psset{unit=1.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-2.5,-2)(3,2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.5,-2)(3,2) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1) \psdots(-2,0)(1,1.732)(1,-1.732)%CAB \pspolygon(-2,0)(1,1.732)(1,-1.732) \uput[ul](-2,0){C}\uput[ur](1,1.732){A} \uput[dr](1,-1.732){B}\uput[ur](-0.732,0){D} \pscircle(1,0){1.732}\uput[dr](0,1){D$'$} \end{pspicture} \end{center} %\end{pspicture*} \PstFrameBoxThreeD[FrameBoxThreeDColorHSB =0 0.3 1]{~FIN~} \end{center} %%%%%% fin 2017 \end{document}