\documentclass[10pt]{article}
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\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}%%% interlignage
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{12 avril  2019}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé des armées 12 avril 2019 - Corrigé~\decofourright}}}

\medskip

%Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
%\textbf{Corrigé}
\end{center}
\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%\textbf{Avertissements}
%\end{center}
%
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize} 
%\item[\textbullet~~] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, n'est pas  autorisée.
%\item[\textbullet~~] Les candidats traiteront les trois exercices.
%\item[\textbullet~~] Les réponses des exercices 1 et 2 (QCM) seront données sur la grille prévue à cet effet.
%\item[\textbullet~~] L'exercice 3 sera traité sur une copie à part.
%\item[\textbullet~~] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
%\item[\textbullet~~] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte
%dans l'évaluation.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill 6 points}

%\medskip 
%
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée  $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

$\dfrac{\left(\e^2 \right)^4 \times \sqrt{\e^6}} {\e^5 \times \sqrt{\e^{12}}} =$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} 0&\textbf{B.~~} \fbox{1} & \textbf{C.~~} e& \textbf{D.~~} $\e^{-2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{\left(\e^2 \right)^4 \times \sqrt{\e^6}} {\e^5 \times \sqrt{\e^{12}}} 
= \dfrac{\e^8 \times \e^3} {\e^5 \times \e^{6}}
= \dfrac{\e^{11}}{\e^{11}} = 1$
\end{tabular}

\bigskip


\textbf{QCM 2}

\medskip

L'inéquation $\left |\ln x\mathstrut\right | > 0$ a pour solution

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\fbox{$]0~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$} &\textbf{B.~~} $]1~;~+ \infty[$& \textbf{C.~~} $]0~;~1[$& \textbf{D.~~} $]0~;~+ \infty[$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Par définition de la valeur absolue, $\left |\ln x\mathstrut\right | \geqslant 0$.

Les solutions de l'inéquation $\left |\ln x\mathstrut\right | > 0$ sont donc les valeurs de $x$ pour lesquelles $\ln x$ existe et $\ln x \neq 0$.
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 3}

\medskip

Dans une université de médecine où la moitié des étudiants travaille sérieusement, 60\,\% des élèves sont reçus au concours de fin d'année. De plus, parmi ceux qui travaillent sérieusement, 90\,\% réussissent le concours.

Quelle est la probabilité qu'un étudiant réussisse le concours sachant qu'il n'a pas travaillé sérieusement ?
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} \fbox{0,3} &\textbf{B.~~} 0,15& \textbf{C.~~} 0,01& \textbf{D.~~} $0,505$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On appelle $T$ l'évènement \og l'étudiant a travaillé \fg{} et $R$ l'évènement \og l'étudiant a réussi son concours \fg{}.
On cherche donc $P_{\overline{T}}(R)$.

D'après le texte, on sait que 
$P(T) = P\left (\overline{T}\right ) = 0,5$,
$P(R)=0,6$ et $P_{T}(R)=0,9$.

On sait, d'après la formule des probabilités totales, que
$P(R)=P(T\cap R) + P\left (\overline{T}\cap R\right )$

donc $P(R) = P(T)\times  P_{T}(R) + P\left (\overline T\right )\times  P_{\overline T}(R)$

On en déduit que
$0,6 = 0,5\times 0,9 + 0,5 \times P_{\overline T}(R)$ donc $P_{\overline T}(R)=0,3$.
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 4}

\medskip

On pose $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $z^2$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $z^3$&\textbf{B.~~} \fbox{$\dfrac{1}{z}$} & \textbf{C.~~}$1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
donc
$z^2 = \left (- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )^2
= \left (-\dfrac{1}{2}\right )^2 -2 \times \dfrac{1}{2}\times \i \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left ( \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )^2
= \dfrac{1}{4} -\i \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{3}{4}
= -\dfrac{1}{2} -\i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On peut donc éliminer les réponses C et D. Mais $z^2=z^3$ seulement si $z=0$ ou $z=1$, ce qui n'est pas le cas; on peut donc éliminer la réponse A.
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 5}

\medskip

$\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} (\ln x)^2\:\text{d}x = $

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $(\ln 2)^3$&\textbf{B.~~} $\ln 2^3$& \textbf{C.~~} \fbox{$\dfrac{(\ln 2)^3}{3}$} &\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2^3}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x} (\ln x)^2$ est de la forme $u' u^2$ donc a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{\left (\ln x \right )^3}{3}$.

$\ds\int_1^2 \dfrac{1}{x} (\ln x)^2\d x = 
\left [\dfrac{\left (\ln x \right )^3}{3} \right ]_1^2
= \dfrac{\left (\ln 2 \right )^3}{3} - \dfrac{\left (\ln 1 \right )^3}{3}
= \dfrac{\left (\ln 2 \right )^3}{3}$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 6}

\medskip

La durée  d'efficacité  d'un médicament, en heures, peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.

Quel est le paramètre $\lambda$ de cette loi sachant que $P(X \geqslant 20) = 0,3$?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $- \dfrac{\ln 0,7}{20}$& \textbf{B.~~} $\dfrac{\ln 0,3}{20}$& \textbf{C.~~}\fbox{$-\dfrac{\ln 0,3}{20}$}&\textbf{D.~~} $20\ln (0,3)$
\end{tabularx}
\end{center} 
\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X \geqslant t) = \e^{-\lambda t}$. On a donc $P(X \geqslant 20) = \e^{-20\lambda}$.

$P(X \geqslant 20) = 0,3 \iff \e^{-20\lambda} = 0,3
\iff -20\lambda = \ln(0,3) \iff \lambda = - \dfrac{\ln(0,3)}{20}$
\end{tabular}

\bigskip


\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 6 points}

\medskip 

%\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\
%On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.\\
%Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
%
%\bigskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(\e^x -1\right)\left(1- x^2\right) \geqslant 0$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\fbox{$]- \infty~;~-1] \cup [0~;~1]$} &\textbf{B.~~}$[-1~;~ 0] \cup [1~;~+\infty[$&
\textbf{C.~~} $[0~;~1]$&\textbf{D.~~}$[- 1~;~1]$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\left(\e^x -1\right)\left(1- x^2\right) \geqslant 0
\iff \left(\e^x -1\right)\left(1- x\right)\left (1+x \right ) \geqslant 0$

On établit un tableau de signes pour résoudre l'inéquation:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
$\begin{array}{|c | *{9}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & -1 & \esp & 0 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\
\hline
\e^{x}-1 &  & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
1-x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} &\pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
1+x &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} &\pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
\left (\e^{x}-1\right )\left (1-x^2\right ) &  & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &  \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

La fonction  dérivable sur $\R$ et définie par $f(x) = \dfrac{\e^{2x} - 1}{\e^{2x} + 1}$ a pour dérivée :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = \dfrac{4\e^{4x} - 1}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{B.~~} $f'(x) = \dfrac{- 4\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$&
\textbf{C.~~} $f'(x) = \dfrac{2\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{D.~~}\fbox{$f'(x) = \dfrac{4\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$}
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$f(x) = \dfrac{\e^{2x} - 1}{\e^{2x} + 1}$ donc

\smallskip

$f'(x)=\dfrac{2\e^{2x}\left (\e^{2x}+1\right ) - \left ( \e^{2x}-1 \right )\times 2\e^{2x}}{\left (\e^{2x}+1 \right )^2}
= \dfrac{2\e^{2x}\left (\e^{2x}+1 - \e^{2x}+1 \right )}{\left (\e^{2x}+1 \right )^2}
= \dfrac{4\e^{2x}}{\left (\e^{2x}+1 \right )^2}$


\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R\backslash\{1\}$ par $f(x) = \e^{\frac{x}{1 - x}}$. Laquelle de ces propositions est exacte ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$&\textbf{B.~~}\fbox{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \e^{-1}$} & \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x < 1}} f(x) = 0$&\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x > 1}} f(x) = + \infty$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\ds\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{1-x}=-1$ (limite en l'infini de fonction rationnelle).

Donc $\ds\lim_{x \to +\infty}\e^{\frac{x}{1-x}}=\e^{-1}$ (limite de fonction composée).
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 10}

\medskip


La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c r}
u_{n+1}&=&\ln \left(1 + u_n\right)\\
u_0&=&1
\end{array}\right.$ est 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} croissante&
\textbf{B.~~} \fbox{décroissante}&
\textbf{C.~~} convergente vers e &
\textbf{D.~~}\parbox[t]{2.5cm}{divergente vers $- \infty$}
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_1=\ln\left (1+ u_0 \right ) = \ln 2 <1$ car $2<\e$. On élimine la réponse A.
\item Si $(u_n)$ est convergente vers $\ell$, alors on a l'égalité $\ell = \ln\left ( 1+\ell\right )$.
Mais $\e \neq \ln\left (1+\e \right )$, donc on peut éliminer la réponse C.
\item On pet démontrer par récurrence que tous les termes $u_n$ sont positifs donc on peut éliminer la réponse D.
\end{list}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 11}

\medskip

On lance trois fois un dé équilibré, la probabilité d'obtenir exactement  2 fois le chiffre 6 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $\dfrac{1}{6^2}$&
\textbf{B.~~} \fbox{$\dfrac{15}{6^3}$}&
\textbf{C.~~} $\dfrac{5}{6^3}$&
\textbf{D.~~} $\dfrac{2}{6^3}$
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de sorties du 6 lors de 3 lancers suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$.

$P(X=2) = \ds\binom{3}{2} \left ( \dfrac{1}{6}\right )^2 \left ( 1-\dfrac{1}{6}\right )^1
= 3\times \dfrac{1}{6^2} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{6^3}$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 12}

\medskip

L'équation $x^2\ln 2 = x^3 \ln 3$ a pour solution :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}  $\left\{0~;~\ln \dfrac{2}{3}\right\}$&
\textbf{B.~~}  \fbox{$\left\{0~;~\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$}&
\textbf{C.~~}  $\left\{\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$&
\textbf{D.~~}  $\left\lbrace 0\mathstrut\right \rbrace$ 
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$x^2\ln 2 = x^3 \ln 3 \iff x^2\ln 2 - x^3 \ln 3 =0
\iff x^2 \ln 3\left (\dfrac{\ln 2}{\ln 3} - x\right )=0
\iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{\ln 2}{\ln 3}$
\end{tabular}

\bigskip

\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 3  \hfill 8 points}

\medskip 

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Dans un pays une maladie virale est transmise d'un être humain à un autre par un insecte infecté.

Un test a été mis en place pour le dépistage de ce virus. On sait que :

$\bullet~~$  La probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de  $0,98$

$\bullet~~$ La probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de  $0,01$.

\smallskip

On procède à un test de dépistage systématique dans la population de ce pays. Un individu est
choisi au hasard dans cette population. On appelle:

$\bullet~~$ $M$ l'évènement : \og  l'individu est atteint par le virus \fg ;

$\bullet~~$ $T$ l'évènement : \og Le test de l'individu choisi est positif \fg.

On notera, $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.

On notera $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus dans la population.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer $P(T)$.
D'après le texte, on sait que
$P_{M}(T)=0,98$; $P_{\overline{M}}(T)=0,01$; $P(M)=p$ donc $P(\overline{M})=1-p$. 

D'après la formule des probabilités totales,

$P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M}\cap T)
= P(M) \times P_M(T) + P(\overline M) \times P_{\overline{M}}(T) 
= p\times 0,98 + \left (1-p\right )\times 0,01 \\
\phantom{P(T)}
= 0,97 p + 0,01$.

\item La probabilité de $M$ sachant $T$ est: 
$P_{T}(M) = \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01}
= \dfrac{98p}{97p+1} = f(p)$.

\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~1]$ revient à étudier le signe de $f'$ sur cet intervalle.

$f'(p) = \dfrac{98\times (97p+1) -98p \times 97}{\left ( 97p+1 \right )^2}
= \dfrac{98\times 97p+98 -98p \times 97}{\left ( 97p+1 \right )^2}
=\dfrac{98}{\left ( 97p+1 \right )^2}>0$ sur $[0~;~1]$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~1]$.

\item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test
positif soit réellement atteinte par le virus est supérieure ou égale à $0,95$.

%À partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?

%Donner la valeur de $p$ sous forme de fraction irréductible.

Le test est donc fiable si $P_T(M)\geqslant 0,95$ autrement dit si $f(p) \geqslant 0,95$; on résout l'inéquation:

\smallskip

$\dfrac{98p}{97p+1} \geqslant 0,95
\iff \dfrac{98p}{97p+1} - \dfrac{95}{100} \geqslant 0
\iff \dfrac{98p\times 100 - 95\times(97p+1)}{97p+1} \geqslant 0\\[7pt]
\phantom{\dfrac{98p}{97p+1} \geqslant 0,95}
\iff \dfrac{\np{9800}p  - \np{9215}p - 95}{97p+1} \geqslant 0
\iff \dfrac{585p - 95}{97p+1} \geqslant 0
\iff 585p - 95 \geqslant 0\\[7pt]
\phantom{\dfrac{98p}{97p+1} \geqslant 0,95}
\iff p\geqslant \dfrac{95}{585}
\iff p \geqslant \dfrac{5\times 19}{5\times 117}
\iff p \geqslant \dfrac{19}{117}$

Le test est donc fiable si la proportion $p$ de malades est supérieure ou égale à $\dfrac{19}{117}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Dans toute la partie B, un institut sanitaire estime que la probabilité qu'une personne soit atteinte par le virus est $0,15$.
 
On choisit $100$ individus au hasard dans cette population. Les tirages  sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, aux $100$ individus choisis, associe le nombre de personnes atteintes par le virus.
 
%Déterminer la loi de probabilité $X$.
On est dans le cas de répétition d'épreuves indépendantes qui ont deux issues; donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,15$.

\item  Dans l'échantillon précédent, on dénombre $20$ personnes atteintes par le virus donc $f=\dfrac{20}{100} = 0,2$.

On établit un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de malades:

\smallskip

$I= \left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~ p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]\\[5pt]
\phantom{I}
= \left [ 0,15-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\sqrt{100}}~;~ 0,15+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\sqrt{100}} \right ]
\approx \left [ 0,15 - \dfrac{0,7}{10}~;~0,15 - \dfrac{0,7}{10}\strut\right ]\\[5pt]
\phantom{I}
\approx \left [ 0,08~;~0,22\strut\right ]$

%Quelle conclusion peut-on tirer à propos de la valeur $p = 0,15$ au seuil de 95\,\% ?

La fréquence $f$ dans l'échantillon appartient à l'intervalle $I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en question la proportion $p=0,15$ de personnes atteintes du virus.

%\emph{Aide au calcul}: $1,96 \times \displaystyle\sqrt{0,15 \times 0,85} \approx 0,70$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dans cette partie, on suppose $p$ inconnue.
On choisit 100 individus au hasard dans la population. 
Les tirages sont  indépendants.  On dénombre 20 personnes atteintes par le virus donc $f=\dfrac{20}{100}=0,2$.

Un intervalle de confiance de $p$ au seuil de 95\,\% est

$\left [ f- \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ] 
=  \left [ 0,2 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~0,2+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right ]
= \left [0,1~;~0,3 \strut\right ]$

\bigskip

\textbf{PARTIE D}

\medskip

Le temps d'incubation en heures du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $20$ et d'écart-type $5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(15 < Y < 25)= P(20-5 < Y < 20+5) = P(\mu-\sigma < Y < \mu +\sigma \approx 0,68$ d'après le cours.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)
\psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

%\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{2.5} \def\sup{5.5}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){\small $\mu - \sigma$}
\uput[d](\inf,-0.05){\small $=15$}
\uput[d](\sup,0){\small $\mu + \sigma$}
\uput[d](\sup,-0.05){\small $=25$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\blue $68\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Que vaut $P(Y>15)$ à $10^{-2}$ près ?
$P(Y\leqslant 15) = P(Y \geqslant 25) = \dfrac{1- P( 15 < Y < 25)}{2}\approx 0,16$
donc $P(Y>15) = 1-P(Y\leqslant 15) = 0,84$

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)
\psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

%\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{2.5} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){\small $\mu - \sigma$}
\uput[d](\inf,-0.05){\small $=15$}
%\uput[d](\sup,0){\small $\mu + \sigma$}
%\uput[d](\sup,-0.05){\small $=25$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\blue $84\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
%\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Trouver $a$ tel que $P(Y < a) = 0,975$ et interpréter le résultat obtenu.
D'après le cours, $P(\mu-2\sigma <Y< \mu+2\sigma)\approx 0,95$ donc $P(10<Y<30) \approx 0,95$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

%\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{1} \def\sup{7}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){\small $\mu - 2\sigma$}
\uput[d](\inf,-0.05){\small $=10$}
\uput[d](\sup,0){\small $\mu + 2\sigma$}
\uput[d](\sup,-0.05){\small $=30$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\blue $95\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(10,0.2)(7.5,0.02)
\uput[ur](10,0.2){$2,5\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(0.5,0.02)
\uput[ul](-1,0.2){$2,5\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

$P(Y\leqslant 10) = P(Y \geqslant 30) = \dfrac{1- P( 10 < Y < 30)}{2}\approx 0,025$
donc $P(Y<30) = 1-P(Y\geqslant 30) = 0,975$

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

%\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax}

\def\inf{\xmin} \def\sup{7}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
%\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax)
%\uput[d](\inf,0){\small $\mu - 2\sigma$}
%\uput[d](\inf,-0.05){\small $=10$}
\uput[d](\sup,0){\small $\mu + 2\sigma$}
\uput[d](\sup,-0.05){\small $=30$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\blue $97,5\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(10,0.2)(7.5,0.02)
\uput[ur](10,0.2){$2,5\,\%$}

%\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(0.5,0.02)
%\uput[ul](-1,0.2){$2,5\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

$P(Y<30) =  0,975$ donc la probabilité que le temps d'incubation du virus soit inférieur à 30 heures est de $0,975$; on peut également dire qu'il y a $97,5\,\%$ de chance que le virus ait un temps d'incubation inférieur à 30 heures.
\end{enumerate}

\end{document}
