\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}%%% interlignage %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \begin{document}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Terminale S} \lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}} \rfoot{\small{12 avril 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large {\textbf{\decofourleft~Entrée École de santé des armées 12 avril 2019 - Corrigé~\decofourright}}} \medskip %Durée: 1 heure 30 minutes \qquad Coefficient: 2 %\textbf{Corrigé} \end{center} \vspace{0,25cm} %\begin{center} %\textbf{Avertissements} %\end{center} % % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item[\textbullet~~] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, n'est pas autorisée. %\item[\textbullet~~] Les candidats traiteront les trois exercices. %\item[\textbullet~~] Les réponses des exercices 1 et 2 (QCM) seront données sur la grille prévue à cet effet. %\item[\textbullet~~] L'exercice 3 sera traité sur une copie à part. %\item[\textbullet~~] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge. %\item[\textbullet~~] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte %dans l'évaluation. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\bigskip \textbf{\large EXERCICE 1 \hfill 6 points} %\medskip % %\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\ %On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\ %Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip \textbf{QCM 1} \medskip $\dfrac{\left(\e^2 \right)^4 \times \sqrt{\e^6}} {\e^5 \times \sqrt{\e^{12}}} =$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} 0&\textbf{B.~~} \fbox{1} & \textbf{C.~~} e& \textbf{D.~~} $\e^{-2}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $\dfrac{\left(\e^2 \right)^4 \times \sqrt{\e^6}} {\e^5 \times \sqrt{\e^{12}}} = \dfrac{\e^8 \times \e^3} {\e^5 \times \e^{6}} = \dfrac{\e^{11}}{\e^{11}} = 1$ \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 2} \medskip L'inéquation $\left |\ln x\mathstrut\right | > 0$ a pour solution \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}\fbox{$]0~;~1[ \cup ]1~;~+ \infty[$} &\textbf{B.~~} $]1~;~+ \infty[$& \textbf{C.~~} $]0~;~1[$& \textbf{D.~~} $]0~;~+ \infty[$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Par définition de la valeur absolue, $\left |\ln x\mathstrut\right | \geqslant 0$. Les solutions de l'inéquation $\left |\ln x\mathstrut\right | > 0$ sont donc les valeurs de $x$ pour lesquelles $\ln x$ existe et $\ln x \neq 0$. \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 3} \medskip Dans une université de médecine où la moitié des étudiants travaille sérieusement, 60\,\% des élèves sont reçus au concours de fin d'année. De plus, parmi ceux qui travaillent sérieusement, 90\,\% réussissent le concours. Quelle est la probabilité qu'un étudiant réussisse le concours sachant qu'il n'a pas travaillé sérieusement ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} \fbox{0,3} &\textbf{B.~~} 0,15& \textbf{C.~~} 0,01& \textbf{D.~~} $0,505$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} On appelle $T$ l'évènement \og l'étudiant a travaillé \fg{} et $R$ l'évènement \og l'étudiant a réussi son concours \fg{}. On cherche donc $P_{\overline{T}}(R)$. D'après le texte, on sait que $P(T) = P\left (\overline{T}\right ) = 0,5$, $P(R)=0,6$ et $P_{T}(R)=0,9$. On sait, d'après la formule des probabilités totales, que $P(R)=P(T\cap R) + P\left (\overline{T}\cap R\right )$ donc $P(R) = P(T)\times P_{T}(R) + P\left (\overline T\right )\times P_{\overline T}(R)$ On en déduit que $0,6 = 0,5\times 0,9 + 0,5 \times P_{\overline T}(R)$ donc $P_{\overline T}(R)=0,3$. \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 4} \medskip On pose $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $z^2$ est égal à : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $z^3$&\textbf{B.~~} \fbox{$\dfrac{1}{z}$} & \textbf{C.~~}$1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donc $z^2 = \left (- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )^2 = \left (-\dfrac{1}{2}\right )^2 -2 \times \dfrac{1}{2}\times \i \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left ( \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )^2 = \dfrac{1}{4} -\i \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2} -\i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ On peut donc éliminer les réponses C et D. Mais $z^2=z^3$ seulement si $z=0$ ou $z=1$, ce qui n'est pas le cas; on peut donc éliminer la réponse A. \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 5} \medskip $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} (\ln x)^2\:\text{d}x = $ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $(\ln 2)^3$&\textbf{B.~~} $\ln 2^3$& \textbf{C.~~} \fbox{$\dfrac{(\ln 2)^3}{3}$} &\textbf{D.~~} $- \dfrac{1}{2^3}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} La fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x} (\ln x)^2$ est de la forme $u' u^2$ donc a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{\left (\ln x \right )^3}{3}$. $\ds\int_1^2 \dfrac{1}{x} (\ln x)^2\d x = \left [\dfrac{\left (\ln x \right )^3}{3} \right ]_1^2 = \dfrac{\left (\ln 2 \right )^3}{3} - \dfrac{\left (\ln 1 \right )^3}{3} = \dfrac{\left (\ln 2 \right )^3}{3}$ \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 6} \medskip La durée d'efficacité d'un médicament, en heures, peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle. Quel est le paramètre $\lambda$ de cette loi sachant que $P(X \geqslant 20) = 0,3$? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $- \dfrac{\ln 0,7}{20}$& \textbf{B.~~} $\dfrac{\ln 0,3}{20}$& \textbf{C.~~}\fbox{$-\dfrac{\ln 0,3}{20}$}&\textbf{D.~~} $20\ln (0,3)$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} Si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X \geqslant t) = \e^{-\lambda t}$. On a donc $P(X \geqslant 20) = \e^{-20\lambda}$. $P(X \geqslant 20) = 0,3 \iff \e^{-20\lambda} = 0,3 \iff -20\lambda = \ln(0,3) \iff \lambda = - \dfrac{\ln(0,3)}{20}$ \end{tabular} \bigskip \bigskip \textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 6 points} \medskip %\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations {\rm A}, {\rm B}, {\rm C} ou {\rm D} est exacte.\\ %On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\ %Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.\\ %Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} % %\bigskip \textbf{QCM 7} \medskip L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(\e^x -1\right)\left(1- x^2\right) \geqslant 0$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}\fbox{$]- \infty~;~-1] \cup [0~;~1]$} &\textbf{B.~~}$[-1~;~ 0] \cup [1~;~+\infty[$& \textbf{C.~~} $[0~;~1]$&\textbf{D.~~}$[- 1~;~1]$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $\left(\e^x -1\right)\left(1- x^2\right) \geqslant 0 \iff \left(\e^x -1\right)\left(1- x\right)\left (1+x \right ) \geqslant 0$ On établit un tableau de signes pour résoudre l'inéquation: \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{1cm}} $\begin{array}{|c | *{9}{c} |} \hline x & -\infty & \esp & -1 & \esp & 0 & \esp & 1 & \esp & +\infty \\ \hline \e^{x}-1 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\ \hline 1-x & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} &\pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline 1+x & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} &\pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\ \hline \left (\e^{x}-1\right )\left (1-x^2\right ) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \rule[-10pt]{0pt}{25pt}\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 8} \medskip La fonction dérivable sur $\R$ et définie par $f(x) = \dfrac{\e^{2x} - 1}{\e^{2x} + 1}$ a pour dérivée : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $f'(x) = \dfrac{4\e^{4x} - 1}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{B.~~} $f'(x) = \dfrac{- 4\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$& \textbf{C.~~} $f'(x) = \dfrac{2\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$&\textbf{D.~~}\fbox{$f'(x) = \dfrac{4\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$} \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $f(x) = \dfrac{\e^{2x} - 1}{\e^{2x} + 1}$ donc \smallskip $f'(x)=\dfrac{2\e^{2x}\left (\e^{2x}+1\right ) - \left ( \e^{2x}-1 \right )\times 2\e^{2x}}{\left (\e^{2x}+1 \right )^2} = \dfrac{2\e^{2x}\left (\e^{2x}+1 - \e^{2x}+1 \right )}{\left (\e^{2x}+1 \right )^2} = \dfrac{4\e^{2x}}{\left (\e^{2x}+1 \right )^2}$ \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 9} \medskip La fonction $f$ est définie sur $\R\backslash\{1\}$ par $f(x) = \e^{\frac{x}{1 - x}}$. Laquelle de ces propositions est exacte ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$&\textbf{B.~~}\fbox{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \e^{-1}$} & \textbf{C.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x < 1}} f(x) = 0$&\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1\\ x > 1}} f(x) = + \infty$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $\ds\lim_{x \to +\infty}\dfrac{x}{1-x}=-1$ (limite en l'infini de fonction rationnelle). Donc $\ds\lim_{x \to +\infty}\e^{\frac{x}{1-x}}=\e^{-1}$ (limite de fonction composée). \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 10} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}&=&\ln \left(1 + u_n\right)\\ u_0&=&1 \end{array}\right.$ est \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} croissante& \textbf{B.~~} \fbox{décroissante}& \textbf{C.~~} convergente vers e & \textbf{D.~~}\parbox[t]{2.5cm}{divergente vers $- \infty$} \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} \begin{list}{\textbullet}{} \item $u_1=\ln\left (1+ u_0 \right ) = \ln 2 <1$ car $2<\e$. On élimine la réponse A. \item Si $(u_n)$ est convergente vers $\ell$, alors on a l'égalité $\ell = \ln\left ( 1+\ell\right )$. Mais $\e \neq \ln\left (1+\e \right )$, donc on peut éliminer la réponse C. \item On pet démontrer par récurrence que tous les termes $u_n$ sont positifs donc on peut éliminer la réponse D. \end{list} \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 11} \medskip On lance trois fois un dé équilibré, la probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $\dfrac{1}{6^2}$& \textbf{B.~~} \fbox{$\dfrac{15}{6^3}$}& \textbf{C.~~} $\dfrac{5}{6^3}$& \textbf{D.~~} $\dfrac{2}{6^3}$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de sorties du 6 lors de 3 lancers suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$. $P(X=2) = \ds\binom{3}{2} \left ( \dfrac{1}{6}\right )^2 \left ( 1-\dfrac{1}{6}\right )^1 = 3\times \dfrac{1}{6^2} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{6^3}$ \end{tabular} \bigskip \textbf{QCM 12} \medskip L'équation $x^2\ln 2 = x^3 \ln 3$ a pour solution : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $\left\{0~;~\ln \dfrac{2}{3}\right\}$& \textbf{B.~~} \fbox{$\left\{0~;~\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$}& \textbf{C.~~} $\left\{\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\right\}$& \textbf{D.~~} $\left\lbrace 0\mathstrut\right \rbrace$ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}} $x^2\ln 2 = x^3 \ln 3 \iff x^2\ln 2 - x^3 \ln 3 =0 \iff x^2 \ln 3\left (\dfrac{\ln 2}{\ln 3} - x\right )=0 \iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{\ln 2}{\ln 3}$ \end{tabular} \bigskip \bigskip \textbf{\large EXERCICE 3 \hfill 8 points} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip Dans un pays une maladie virale est transmise d'un être humain à un autre par un insecte infecté. Un test a été mis en place pour le dépistage de ce virus. On sait que : $\bullet~~$ La probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ $\bullet~~$ La probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$. \smallskip On procède à un test de dépistage systématique dans la population de ce pays. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle: $\bullet~~$ $M$ l'évènement : \og l'individu est atteint par le virus \fg ; $\bullet~~$ $T$ l'évènement : \og Le test de l'individu choisi est positif \fg. On notera, $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$. On notera $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus dans la population. \medskip \begin{enumerate} \item% Calculer $P(T)$. D'après le texte, on sait que $P_{M}(T)=0,98$; $P_{\overline{M}}(T)=0,01$; $P(M)=p$ donc $P(\overline{M})=1-p$. D'après la formule des probabilités totales, $P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M}\cap T) = P(M) \times P_M(T) + P(\overline M) \times P_{\overline{M}}(T) = p\times 0,98 + \left (1-p\right )\times 0,01 \\ \phantom{P(T)} = 0,97 p + 0,01$. \item La probabilité de $M$ sachant $T$ est: $P_{T}(M) = \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1} = f(p)$. \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~1]$ revient à étudier le signe de $f'$ sur cet intervalle. $f'(p) = \dfrac{98\times (97p+1) -98p \times 97}{\left ( 97p+1 \right )^2} = \dfrac{98\times 97p+98 -98p \times 97}{\left ( 97p+1 \right )^2} =\dfrac{98}{\left ( 97p+1 \right )^2}>0$ sur $[0~;~1]$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~1]$. \item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte par le virus est supérieure ou égale à $0,95$. %À partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ? %Donner la valeur de $p$ sous forme de fraction irréductible. Le test est donc fiable si $P_T(M)\geqslant 0,95$ autrement dit si $f(p) \geqslant 0,95$; on résout l'inéquation: \smallskip $\dfrac{98p}{97p+1} \geqslant 0,95 \iff \dfrac{98p}{97p+1} - \dfrac{95}{100} \geqslant 0 \iff \dfrac{98p\times 100 - 95\times(97p+1)}{97p+1} \geqslant 0\\[7pt] \phantom{\dfrac{98p}{97p+1} \geqslant 0,95} \iff \dfrac{\np{9800}p - \np{9215}p - 95}{97p+1} \geqslant 0 \iff \dfrac{585p - 95}{97p+1} \geqslant 0 \iff 585p - 95 \geqslant 0\\[7pt] \phantom{\dfrac{98p}{97p+1} \geqslant 0,95} \iff p\geqslant \dfrac{95}{585} \iff p \geqslant \dfrac{5\times 19}{5\times 117} \iff p \geqslant \dfrac{19}{117}$ Le test est donc fiable si la proportion $p$ de malades est supérieure ou égale à $\dfrac{19}{117}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip Dans toute la partie B, un institut sanitaire estime que la probabilité qu'une personne soit atteinte par le virus est $0,15$. On choisit $100$ individus au hasard dans cette population. Les tirages sont indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire qui, aux $100$ individus choisis, associe le nombre de personnes atteintes par le virus. %Déterminer la loi de probabilité $X$. On est dans le cas de répétition d'épreuves indépendantes qui ont deux issues; donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,15$. \item Dans l'échantillon précédent, on dénombre $20$ personnes atteintes par le virus donc $f=\dfrac{20}{100} = 0,2$. On établit un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de malades: \smallskip $I= \left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~ p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]\\[5pt] \phantom{I} = \left [ 0,15-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\sqrt{100}}~;~ 0,15+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,15\times 0,85}}{\sqrt{100}} \right ] \approx \left [ 0,15 - \dfrac{0,7}{10}~;~0,15 - \dfrac{0,7}{10}\strut\right ]\\[5pt] \phantom{I} \approx \left [ 0,08~;~0,22\strut\right ]$ %Quelle conclusion peut-on tirer à propos de la valeur $p = 0,15$ au seuil de 95\,\% ? La fréquence $f$ dans l'échantillon appartient à l'intervalle $I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en question la proportion $p=0,15$ de personnes atteintes du virus. %\emph{Aide au calcul}: $1,96 \times \displaystyle\sqrt{0,15 \times 0,85} \approx 0,70$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip Dans cette partie, on suppose $p$ inconnue. On choisit 100 individus au hasard dans la population. Les tirages sont indépendants. On dénombre 20 personnes atteintes par le virus donc $f=\dfrac{20}{100}=0,2$. Un intervalle de confiance de $p$ au seuil de 95\,\% est $\left [ f- \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ] = \left [ 0,2 - \dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~0,2+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right ] = \left [0,1~;~0,3 \strut\right ]$ \bigskip \textbf{PARTIE D} \medskip Le temps d'incubation en heures du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale de moyenne $20$ et d'écart-type $5$. \medskip \begin{enumerate} \item $P(15 < Y < 25)= P(20-5 < Y < 20+5) = P(\mu-\sigma < Y < \mu +\sigma \approx 0,68$ d'après le cours. \begin{center} \psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-3} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax) \psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0) \def\m{4}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} %\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax} \def\inf{2.5} \def\sup{5.5} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \psplot{\sup}{\inf}{0} %\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax) \uput[d](\inf,0){\small $\mu - \sigma$} \uput[d](\inf,-0.05){\small $=15$} \uput[d](\sup,0){\small $\mu + \sigma$} \uput[d](\sup,-0.05){\small $=25$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1) \uput[70](6,0.25){\blue $68\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) \uput[ur](8,0.2){$16\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) \uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$} \end{pspicture*} \end{center} \item %Que vaut $P(Y>15)$ à $10^{-2}$ près ? $P(Y\leqslant 15) = P(Y \geqslant 25) = \dfrac{1- P( 15 < Y < 25)}{2}\approx 0,16$ donc $P(Y>15) = 1-P(Y\leqslant 15) = 0,84$ \begin{center} \psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-3} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax) \psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0) \def\m{4}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} %\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax} \def\inf{2.5} \def\sup{\xmax} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \psplot{\sup}{\inf}{0} %\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax) \uput[d](\inf,0){\small $\mu - \sigma$} \uput[d](\inf,-0.05){\small $=15$} %\uput[d](\sup,0){\small $\mu + \sigma$} %\uput[d](\sup,-0.05){\small $=25$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1) \uput[70](6,0.25){\blue $84\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03) %\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03) \uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$} \end{pspicture*} \end{center} \item %Trouver $a$ tel que $P(Y < a) = 0,975$ et interpréter le résultat obtenu. D'après le cours, $P(\mu-2\sigma }(0,0)(\xmin,0)(\xmax,0) \psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0) \def\m{4}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} %\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax} \def\inf{1} \def\sup{7} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \psplot{\sup}{\inf}{0} %\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax) \uput[d](\inf,0){\small $\mu - 2\sigma$} \uput[d](\inf,-0.05){\small $=10$} \uput[d](\sup,0){\small $\mu + 2\sigma$} \uput[d](\sup,-0.05){\small $=30$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1) \uput[70](6,0.25){\blue $95\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(10,0.2)(7.5,0.02) \uput[ur](10,0.2){$2,5\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(0.5,0.02) \uput[ul](-1,0.2){$2,5\,\%$} \end{pspicture*} \end{center} $P(Y\leqslant 10) = P(Y \geqslant 30) = \dfrac{1- P( 10 < Y < 30)}{2}\approx 0,025$ donc $P(Y<30) = 1-P(Y\geqslant 30) = 0,975$ \begin{center} \psset{xunit=0.8cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-3} \def\xmax {12} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax) %\psaxes[ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,0) \psline{->}(\xmin,0)(\xmax,0) \def\m{4}% moyenne \def\s{2}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f} %\psGauss[plotpoints=1000,mue=\m,sigma=\s]{\xmin}{\xmax} \def\inf{\xmin} \def\sup{7} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \psplot{\sup}{\inf}{0} %\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \uput{10pt}[d](\m,0){\small \blue $\mu=20$} \psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt,linecolor=blue](\m,0)(\m,\ymax) %\uput[d](\inf,0){\small $\mu - 2\sigma$} %\uput[d](\inf,-0.05){\small $=10$} \uput[d](\sup,0){\small $\mu + 2\sigma$} \uput[d](\sup,-0.05){\small $=30$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=blue]{->}(6,0.25)(5,0.1) \uput[70](6,0.25){\blue $97,5\,\%$} \psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(10,0.2)(7.5,0.02) \uput[ur](10,0.2){$2,5\,\%$} %\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(0.5,0.02) %\uput[ul](-1,0.2){$2,5\,\%$} \end{pspicture*} \end{center} $P(Y<30) = 0,975$ donc la probabilité que le temps d'incubation du virus soit inférieur à 30 heures est de $0,975$; on peut également dire qu'il y a $97,5\,\%$ de chance que le virus ait un temps d'incubation inférieur à 30 heures. \end{enumerate} \end{document}