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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Corrigé du concours entrée école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{avril 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Corrigé de l’entrée à l’ école de santé Bron avril 2017~\decofourright}}}

%\medskip
%
%Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 3
\end{center}
\vspace{0,25cm}

%Avertissement :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré
%n'est pas autorisée.
%\item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices.
%\item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2 (QCM) seront données sur une grille prévue à
%cet effet.
%\item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part.
%\item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
%\item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans
%l'évaluation,
%
%
%
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 8 points}

\medskip 

%Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
%
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case
%sur la grille prévue à cet effet.
%
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.
%
%\medskip

\textbf{QCM 1}

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-x} - x + 1$.

L'image de $\ln 2$ par la fonction $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{1}{2} - \ln 3$&\textbf{B.~~} $-1- \ln 2$
&\fbox{\textbf{C.~~} $\dfrac{3}{2} - \ln 2$} &\textbf{D.~~} $3 - \ln 2$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$f(\ln 2) = \e^{-\ln 2} - \ln 2 +1 = \left (\e^{\ln 2}\right )^{-1} - \ln 2 + 1 = 2^{-1}  - \ln 2 + 1 = \dfrac{1}{2}  - \ln 2 + 1 = \dfrac{3}{2} - \ln 2$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 2}

Sur $\R$, l'inéquation $\text{e}^x - x \leqslant 1$ admet pour ensemble de solutions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\emptyset$ &\fbox{\textbf{B.~~} $\{0\}$} &\textbf{C.~~} $[0~;~+ \infty[$ &\textbf{D.~~} $\R$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

%\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.45\linewidth} p{0.48\linewidth}}
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
\parbox{0.5\linewidth}{ On peut représenter les deux fonctions $x \longmapsto \e^{x}$ et $x \longmapsto x+1$ pour trouver la bonne réponse: 

pour tout réel $x$, on a $\e^{x} >x+1$ sauf pour $x=0$ où on a l'égalité $\e^{0}=1$.}
\hfill{}
\parbox{0.35\linewidth}{
\psset{unit=0.5cm}
\def\xmin {-4}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]%
                               (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec\imath$,d][$\vec\jmath$,l]
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{2.7183 x exp}%   fonction exponentielle
\def\g{x 1 add}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\g}
\end{pspicture*}
}%%% fin du parbox
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 3}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{-x}$.

Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur  $\R$ est définie sur $\R$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2\text{e}^{-x}$ &\fbox{\textbf{B.~~} $F(x) = -(1 + x)\text{e}^{-x}$} &\textbf{C.~~} $F(x) = -x\text{e}^{-x}$&\textbf{D.~~}$F(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si $F(x)=-(1+x)\e^{-x}$, alors $F'(x)=-1 \times \e^{-x} + \left ( - (1+x)\right ) \times (-1)\e^{-x}
= \left ( -1 +1+x\right )\e^{-x} = x \e^{-x}=f(x)$ 
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 4}

Pour tout réel $x$, l'expression $A(x) = \dfrac{\text{e}^{x} + \text{e}^{-3x}}{\text{e}^{2x}}- \dfrac{1 - \text{e}^{-2x}}{\text{e}^{x}}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{\text{e}^{2x} + 1}{\text{e}^{3x}}$&\textbf{B.~~} $\text{e}^{3x}\left(\text{e}^{-2x} + 1 \right)$&\fbox{\textbf{C.~~} $\dfrac{\text{e}^{2x} + 1}{\text{e}^{5x}}$} &\textbf{D.~~}$\text{e}^{-5x} - \text{e}^{-3x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$A(x) = \dfrac{\e^{x} + \e^{-3x}}{\e^{2x}}- \dfrac{1 - \e^{-2x}}{\e^{x}}
= \dfrac{\e^{x} + \e^{-3x}}{\e^{2x}}- \dfrac{\left (1 - \e^{-2x}\right )\e^{x}}{\e^{x}\times \e^{x}}
= \dfrac{\e^{x} + \e^{-3x} - \e^{x} + \e^{-x}}{\e^{2x}}
= \dfrac{ \e^{-3x}  + \e^{-x}}{\e^{2x}}\newline
\phantom{A(x)} \rule{0pt}{25pt}
= \dfrac{\e^{3x} \left (\e^{-3x}  + \e^{-x} \right )}{\e^{3x}\times \e^{2x}}
= \dfrac{1+\e^{2x}}{\e^{5x}}$
\end{tabular}

%\bigskip

\newpage

\textbf{QCM 5} 

La limite $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $0$&\textbf{B.~~} $+ \infty$ & \textbf{C.~~} $1$ &\fbox{\textbf{D.~~} $\dfrac{1}{6}$}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} 
= \dfrac{\left (\sqrt{x + 6} - 3\right )\left (\sqrt{x + 6} + 3\right )}{\left (x - 3\right )\left (\sqrt{x + 6} + 3\right )}
= \dfrac{x+6-3^2}{\left (x - 3\right )\left (\sqrt{x + 6} + 3\right )}
= \dfrac{x-3}{\left (x - 3\right )\left (\sqrt{x + 6} + 3\right )}
= \dfrac{1}{\sqrt{x + 6} + 3}$

donc
$\ds\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} 
=\ds\lim_{x \to 3}  \dfrac{1}{\sqrt{x + 6} + 3}
= \dfrac{1}{6}$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 6}

La fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = (x - 3) \ln (2x)$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~}  positive sur $]0~;~ +\infty]$&\textbf{C.~~} négative sur ]0~;~1J\\
\textbf{B.~~} négative sur $]0~;~ +\infty]$&\fbox{\textbf{D.~~} positive sur $[3~;~ +\infty[$}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On étudie le signe de $f(x)$ sur $]0~;\, +\infty[$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | l*{6}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 1 & \esp & 3 & \esp & +\infty \\
\hline
x-3 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\ln(2x) & \vline\;\vline  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
(x-3)\ln(2x) &\vline\;\vline  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0}  & \pmb{+} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 7}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = (x - 3) \ln (2x)$.

Sa fonction dérivée est définie sur $]0~;~ +\infty[$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\ln (2x) - \dfrac{x - 3}{2x}$&\fbox{\textbf{B.~~} $\ln (2x) + \dfrac{x - 3}{x}$} &\textbf{C.~~}$\dfrac{1}{x}$&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{2x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$f'(x)=1\times \ln(2x) + (x-3)\times \dfrac{2}{2x} = \ln(2x) + \dfrac{x-3}{x}$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 8}

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]\dfrac{5}{2}~;~+\infty \right[$ par $f(x) = (-2x + 5)^{-4}$.

Une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]\dfrac{5}{2}~;~+\infty \right[$ est la fonction $F$ définie sur cet intervalle par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} $F(x) = \dfrac{1}{5}(- 2x + 5)^{-5}$ &\textbf{C.~~} \fbox{$F(x) = \dfrac{1}{6}(- 2x + 5)^{-3}$}\\[7pt]
\textbf{B.~~} $F(x) = \dfrac{1}{10}(- 2x + 5)^{-5}$ &\textbf{D.~~} $F(x) = - \dfrac{1}{3}(-2x + 5)^{-3}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si $F(x)=\dfrac{1}{6}(- 2x + 5)^{-3}$, alors 
$F'(x)=\dfrac{1}{6}\times (-2) \times (- 3)\times \left (-2x+ 5\right)^{-3-1} = \left (-2x+5\right )^{-4}=f(x)$.
\end{tabular}

\bigskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune. des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.\\
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.  Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 9}

La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP.

Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves et relève que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]10\,\% des élèves ont lu le 7\up{e} épisode,
\item[$\bullet~~$]38\,\% des élèves ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma,
\item[$\bullet~~$]40\,\% de ceux qui ne l'ont pas lu, ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La documentaliste prend au hasard une réponse parmi celles des élèves interrogés.
La probabilité que l'élève soit allé voir le 7\up{e} épisode au cinéma sachant qu'il l'a lu est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} 0,3 &\fbox{\textbf{B.~~} 0,2} &\textbf{C.~~} 0,038 &\textbf{D.~~} 0,04
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si on appelle $L$ l'événement \og l'élève a lu le livre \fg{}, et $V$ l'événement \og l'élève a vu l'épisode \fg{}, on peut dire que d'après le texte, $P(L)=0,10$, $P(V)=0,38$ et $P_{\overline{L}}(V)=0,40$.

$P_{\overline{L}}(V)=0,40$ donc $\dfrac{P\left ( \overline{L} \cap V\right )}{P\left (\overline{L}\right )}=0,40$;
$P\left (\overline{L}\right )= 1-P(L) = 1-0,10=0,90$

On déduit que $P\left ( \overline{L} \cap V\right )=0,40\times 0,90=0,36$.

D'après la formule des probabilités totales, 
$P(V)= P\left ( L \cap V\right ) + P\left ( \overline{L} \cap V\right )$\\
donc
$P\left ( L \cap V\right ) = P(V)- P\left ( \overline{L} \cap V\right )= 0,38-0,36 = 0,02$

$  P_{L}(V) =\dfrac{P\left ( L \cap V\right )}{P(L)} = \dfrac{0,02}{0,1} = 0,2$ 
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 10}

Un élève se présente à deux concours C et C$'$ qui sont indépendants.

Il a une chance sur trois de réussir le concours C et une chance sur trois de réussir le concours C$'$.

En pensant augmenter ses chances de réussite, l'élève décide de passer les deux concours.

La probabilité qu'il réussisse au moins un concours est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} $\dfrac{2}{3}$ &\textbf{B.~~} $\dfrac{1}{9}$ &\textbf{C.~~} $\dfrac{4}{9}$ & \fbox{\textbf{D.~~} $\dfrac{5}{9}$}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On appelle respectivement $C$ et $C'$ les événements \og l'élève est reçu au concours C \fg{} et \og l'élève est reçu au concours C$'$ \fg{}; on sait que $P(C)=\dfrac{1}{3}$ et $P(C')=\dfrac{1}{3}$.

Les événements sont indépendants donc $P(C\cap C') = P(C)\times P(C')= \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$.

La probabilité que l'élève réussisse au moins un concours est :

$P( C\cup C') = P(C)+P(C') - P(C\cap C') = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 11}

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(0~;~\sigma^2\right)$. Alors on a 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} $P(-2\sigma \leqslant X \leqslant 2\sigma )\approx 0,99$ &\textbf{C.~~} $P(X\leqslant - \sigma) \approx 0,6$\\
\fbox{\textbf{B.~~} $P(X \geqslant 3\sigma) \approx 0,005$} &\textbf{D.~~} $P(X \geqslant  2\sigma) \approx  \np{0,0025}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On sait que $P(-3\sigma \leqslant X \leqslant 3\sigma) \approx 0,99$ et, pour des raisons de symétrie,

 $P(X \geqslant 3\sigma) = P(X\leqslant -3\sigma) = \dfrac{1-0,99}{2} = \dfrac{0,01}{2} = 0,005$
\end{tabular}

\bigskip


\textbf{QCM 12}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

Les points A et B ont pour affixe respective i et $- 1$.

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~} La droite (AB) 		&\fbox{\textbf{C.~~} La droite perpendiculaire à (AB) passant par O}\\
\textbf{B.~~} Le cercle de diamètre [AB] &\textbf{D.~~} Le cercle de diamètre [AB] privé de A et B
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points M d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$.

$|z - \text{i}| = |z + 1| \iff \text{MA} = \text{MB}$

Donc $\mathcal{E}$ est la médiatrice de [AB] donc c'est une droite perpendiculaire à (AB).

Si $z=0$, alors $| z-\i|=|-\i| = 1$ et $|z+1|=|1|=1$; donc l'ensemble $\mathcal{E}$ contient le point O. 
\end{tabular}

\bigskip


\textbf{QCM 13}

Sur l'intervalle $[0~;~2\pi[$, l'équation $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~~}n'admet pas de solution &\fbox{\textbf{C.~~} admet trois solutions}\\
\textbf{B.~~} admet deux solutions &\textbf{D.~~} admet une infinité de solutions
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
L'équation $2X^2-X-1=0$ admet deux solutions $X=1$ et $X=-\dfrac{1}{2}$.

On cherche $x$ de $[0~;~2\pi[$ tel que $\sin x=1$ et $\sin x = -\dfrac{1}{2}$.

L'équation $\sin x=1$ admet une seule solution sur $[0~;~2\pi[$ qui est $x=\dfrac{\pi}{2}$.

L'équation $\sin x=-\dfrac{1\rule{0pt}{13pt}}{2}$ admet deux solutions sur $[0~;~2\pi[$ qui sont $x=\dfrac{2\pi}{3}$ et $x=\dfrac{4\pi}{3}$.
\end{tabular}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 7 points}

\medskip

La durée d'attente, exprimée en heures, au service des urgences d'un hôpital peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ strictement positif.

On sait alors que pour tout réel $t$ positif : $P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_0^t  \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

La fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \lambda \e^{- \lambda x}$ est la fonction densité de la variable aléatoire $T$ et l'on note
$\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item La probabilité $P(T \leqslant 1)$ est  l'aire de la région du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=1$; c'est la région hachurée sur la figure ci-contre. 
\item% Indiquer où peut être lu graphiquement le paramètre $\lambda$.
Pour $x=0$ on a  $\lambda \e^{- \lambda x} = \lambda$, donc $\lambda$ est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentant la fonction $x \longmapsto \lambda \e^{- \lambda x}$ et de l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
 \end{minipage}
 \hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.5cm,runit=1cm,arrowsize=3pt 3,dotsize=2pt 2}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(4.5,1.5)
\psaxes[labels=none,arrowsize=2pt 3,ticksize=0pt,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-0.5)(4.5,1.5)
%\psaxes[arrowsize=2pt 2,linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[-90](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[180](0,0.5){$\vec{\jmath}$} 
\uput[225](0,0){O}
\def\f{2.7183  -1 x mul exp}
%\def\g{x 1 x 4 div sub mul}
%\psgrid[griddots=30, subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=gray]
\def\inf{0} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\uput[-90](\sup,0){1}
\psset{linewidth=2pt, linecolor=red}
\psplot[plotpoints=300]{0}{5}{\f}
\uput[180](0,1){$\lambda$} 
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\emph{Dans la suite de l'exercice on suppose que $P(T \leqslant 1) = 0,92$ et l'on admet que $\emph{e}^{-2,5} = 0,08$ à $10^{-2}$ près}.

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur exacte de $\lambda$. 
On sait que $P(T \leqslant t) = \ds\int_0^t  \lambda \e^{- \lambda x} \d x$ donc\\
 $P(T \leqslant 1) = \ds\int_0^1  \lambda \e^{- \lambda x} \d x = \left [ -\e^{-\lambda x}\strut\right ]_{0}^{1} = -\e^{-\lambda} - \left ( -\e^{0}\right ) = 1 - \e^{-\lambda}$

On sait aussi que $P(T \leqslant 1) = 0,92$ donc on peut dire que $1 - \e^{-\lambda}= 0,92$ ou encore que $\e^{-\lambda}=0,08$. Comme $\e^{-2,5} \approx 0,08$, on peut dire que $\lambda \approx 2,5$.

%\setlength{\parindent}{-20pt}
\emph{Dans la suite de l'exercice on prendra } $\lambda = 2,5$.
%\setlength{\parindent}{0pt}

\item $P(1 \leqslant T \leqslant 2) = \ds\int_{1}^{2} \lambda\e^{-\lambda x} \d x
= \left [ -\e^{-\lambda x}\strut\right ]_{1}^{2}
= \left ( -\e^{-2\lambda}\right ) - \left ( -\e^{-\lambda}\right )
= \e^{-\lambda} - \e^{-2\lambda}
= \e^{-\lambda} \left (1-\e^{-\lambda} \right )\\
\phantom{P(1 \leqslant T \leqslant 2)}
= 0,92\left ( 1-0,92\strut\right )
= 0,92 \times 0,08
\approx 0,07$

\item $P(T > 2) = 1- \left ( P( T \leqslant 1) + P(1 \leqslant T \leqslant 2) \strut\right )
\approx 1 - \left (0,92+0,07\strut \right ) \approx 0,01$ 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dans cet hôpital, un questionnaire est distribué aux patients ; 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si la durée d'attente est inférieure ou égale à 1 heure, les patients cochent la case \og attente satisfaisante \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]si la durée d'attente est comprise strictement entre 1 heure et 2 heures, alors 80\:\% des patients cochent la case \og attente satisfaisante \fg{} et 20\:\% des patients cochent la case \og attente non satisfaisante \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]si la durée d'attente est supérieure ou égale à 2 heures, les patients cochent la case
\og attente non satisfaisante \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève de façon aléatoire un questionnaire.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, de lire \og attente satisfaisante \fg.
On résume les informations dans un arbre pondéré, en appelant $S$ l'événement \og l'attente est satisfaisante \fg{}, et $\overline{S}$ son événement contraire, \og l'attente n'est pas satisfaisante \fg{}. 

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$(T \leqslant 1)$}\naput{$0,92$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$1$}
			                \TR{$\overline S$}\nbput{$0$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$(1 \leqslant T \leqslant 2)$}\ncput*{$0,07$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$0,8$}
			                \TR{$\overline S$}\nbput{$0,2$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$(T>2)$}\nbput{$0,01$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$0$}
			                \TR{$\overline S$}\nbput{$1$}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}		
		
D'après la formule des probabilités totales,

$P(S) = P\left ( (T\leqslant 1) \cap S\strut\right ) + P\left ( (1\leqslant T\leqslant 2) \cap S\strut\right ) + P\left ( (T\geqslant 2) \cap S\strut\right )
= 0,92\times 1 + 0,07\times 0,8 + 0,01\times 0 \approx 0,98$ 
	
		\item Sachant que la case cochée est \og attente satisfaisante\fg, la probabilité qu'elle provienne d'un patient ayant attendu entre 1 heure et 2 heures est
		
$P_{S}\left (1 \leqslant T \leqslant 2 \mathstrut \right )
= \dfrac{P\left ( (1\leqslant T\leqslant 2) \cap S\strut\right )}{P(S)}
\approx \dfrac{0,07\times 0,8}{0,98}
\approx 0,06$
		
 	\end{enumerate}
 	
\item On prélève de façon aléatoire deux questionnaires.
	
L'événement contraire de l'événement \og au moins un patient a coché la case "attente non satisfaisante" \fg{} est \og les deux patients ont coché la case "attente satisfaite" \fg{} dont la probabilité est\\
$P(S)\times P(S)= 0,92\times 0,92 = \np{0,8464}$.

La probabilité qu'au moins un patient ait coché la case \og attente non satisfaisante \fg{} est donc\\
 $1- \np{0,8464} \approx 0,15$.

\end{enumerate}

\end{document}