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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Corrigé du concours d'entrée école de santé -- \\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{13 avril 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Corrigé du concours d'entrée École de santé Bron 13 avril 2016 -- ~\decofourright}}}

%\medskip
%
%Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 3
\end{center}

\vspace{0,5cm}

%Avertissement :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
%\item[$\bullet~~$] Les candidats traiteront les trois exercices.
%\item[$\bullet~~$] Les réponses des exercices \no 1 et \no 2  seront données sur une grille prévue à cet effet.
%\item[$\bullet~~$] L'exercice \no 3 sera traité sur une copie à part.
%\item[$\bullet~~$] Il ne sera pas fait usage d'encre rouge.
%\item[$\bullet~~$] La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte clans l'évaluation,
%\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

%\bigskip

\textbf{EXERCICE 1 \hrulefill{} 7 points}

%\medskip 
%
%\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations} \rm{A}, \rm{B}, \rm{C} \emph{ou} \rm{D} \emph{est exacte.\\
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.\\
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point.\\
%Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par $u_0 = 0$ et $u_{n+1 }= \ds\sqrt{u_n  + 2}$.

\medskip

\begin{multicols}{2}
\textbf{A.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante sur $\N$

\textbf{B.~~} la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par 1,5

\textbf{C.~~} la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+ \infty$

\textbf{D.~~} \fbox{la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $2$}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On démontre la propriété \og pour tout $n$, $u_n\leqslant 2$ \fg{} par récurrence.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_0=0$ donc $u_0\leqslant 2$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.
\item On suppose que, pour un $n\geqslant 0$ quelconque, on a $u_n \leqslant 2$.

$u_n \leqslant 2$ donc $u_n+2 \leqslant 4$ donc $\ds\sqrt{u_n+2} \leqslant \ds\sqrt{4}$, ce qui signifie que $u_{n+1}\leqslant 2$. Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
\item La propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list} 
Donc, pour tout $n$, $u_n\leqslant 2$ donc la suite $(u_n)$ est majorée par 2.
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 2} : Soit la suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle on suppose que 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^2 = + \infty$ alors :

\medskip

\begin{multicols}{2}
\textbf{A.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$

\textbf{B.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n}= + \infty$

\textbf{C.~~} \fbox{$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = 0$}

\textbf{D.~~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^3 = + \infty$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n^2 = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n^2} = 0$ ce qui n'est possible que si  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{u_n} = 0$. 
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 3} : La documentaliste d'un collège a reçu une offre pour acheter les romans de la saga HP.

Elle enquête pour savoir si le sujet intéresse les élèves:

10\,\% des élèves ont lu le 7\up{e} épisode, 38\% des élèves ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma et 40\,\% de ceux. qui ne l'ont pas lu , ont vu le 7\up{e} épisode au cinéma.

La documentaliste tire au hasard une réponse d'un des élèves interrogés.

La probabilité que l'élève soit allé voir le 7\up{e} épisode au cinéma sachant qu'il l'a lu est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~~} 0,3 &\fbox{\textbf{B.~~} 0,2} &\textbf{C.~~} 0,038 &\textbf{D.~~} 0,04
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Si on appelle $L$ l'événement \og l'élève a lu le livre \fg{}, et $V$ l'événement \og l'élève a vu l'épisode \fg{}, on peut dire que d'après le texte, $P(L)=0,10$, $P(V)=0,38$ et $P_{\overline{L}}(V)=0,40$.

$P_{\overline{L}}(V)=0,40$ donc $\dfrac{P\left ( \overline{L} \cap V\right )}{P\left (\overline{L}\right )}=0,40$;
$P\left (\overline{L}\right )= 1-P(L) = 1-0,10=0,90$

On déduit que $P\left ( \overline{L} \cap V\right )=0,40\times 0,90=0,36$.
\end{tabular}
\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
D'après la formule des probabilités totales, 
$P(V)= P\left ( L \cap V\right ) + P\left ( \overline{L} \cap V\right )$\\
donc
$P\left ( L \cap V\right ) = P(V)- P\left ( \overline{L} \cap V\right )= 0,38-0,36 = 0,02$

$  P_{L}(V) =\dfrac{P\left ( L \cap V\right )}{P(L)} = \dfrac{0,02}{0,1} = 0,2$ 
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 4} : Un groupe de coureurs participe à une course cycliste et ils subissent de façon aléatoire un contrôle antidopage.
On appelle $T$ l'évènement \og le contrôle est positif \fg{} et on admet que $p(T) = 0,05$.
On appelle $D$ l'évènement \og le coureur est dopé \fg.

Le contrôle antidopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que :

$\bullet~~$ si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ;

$\bullet~~$ si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas.

\smallskip

La probabilité que le coureur soit dopé est:

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~}$\dfrac{95}{100}$

\textbf{B.~~}$\dfrac{98}{100}$

\textbf{C.~~}$\dfrac{29}{500}$

\textbf{D.~~}\fbox{$\dfrac{1}{24}$}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On établit un arbre pondéré résumant la situation en appelant $p$ la probabilité que le coureur a d'être dopé:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$D$}\naput{$p$}}
 	  { 
 		  \TR{$T$}\naput{$0,97$}
 		  \TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,97=0,03$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{D}$}\nbput{\blue $1-p$}}
 	  {
 		  \TR{$T$}\naput{$0,01$}
          \TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,01=0,99$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

D'après la formule des probabilités totales,

$P(T)= P\left ( M\cap T\vphantom{\overline{M}}\right ) + P\left ( \overline{M}\cap T\right )
= 0,97p + 0,01\left (1-p\right ) = 0,96p + 0,01$.

On sait que $P(T)=0,05$ donc $0,96p + 0,01 = 0,05$ donc $0,96p = 0,04$ donc $p=\dfrac{0,04}{0,96} = \dfrac{4}{96} = \dfrac{1}{24}$.

\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 5} : L'ensemble des solutions, dans $\R$, de l'équation : $\ln (x+3) + \ln(x - 2) = \ln 14$ est :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~} $\left \{-5~;~4\strut\right \}\vphantom{\fbox{$\left \{4\strut\right \}$}}$

\textbf{B.~~} $\left \{- 5\strut\right \}\vphantom{\fbox{$\left \{4\strut\right \}$}}$

\textbf{C.~~} \fbox{$\left \{4\strut\right \}$}

\textbf{D.~~}$\emptyset\vphantom{\fbox{$\left \{4\strut\right \}$}}$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Pour que $\ln (x+3) + \ln(x - 2)$ existe, il faut que $x+3>0$ donc que $x>-3$, et $x-2>0$ donc $x>2$. On peut donc éliminer les deux premières réponses proposées.

Si $x=4$, $\ln (x+3) + \ln(x - 2) = \ln 7 + \ln 2 = \ln 14$; la solution est donc $x=4$.

On peut naturellement aussi résoudre dans $\left ] 2~;\, +\infty \strut\right [$ l'équation proposée:

$\ln (x+3) + \ln(x - 2) = \ln 14 \iff \ln\left (x+3)(x-2)\right ) = \ln 14 \iff (x+3)(x-2)=14$\\
$\iff x^2 +3x -2x-6=14 \iff x^2+x -20=0$ qui a deux solutions $-5$ et $4$ dont une seule dans l'intervalle 
$\left ] 2~;\, +\infty \strut\right [$.
\end{tabular}

\newpage

\textbf{QCM 6 }: Pour tout réel $x$ strictement positif, $\e^{-3 \ln x}$ est égal à :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~}$x^3\vphantom{\fbox{$\dfrac{1}{x^3}$}}$
 
\textbf{B.~~} \fbox{$\dfrac{1}{x^3}$}
 
\textbf{C.~~} $- 3x\vphantom{\fbox{$\dfrac{1}{x^3}$}}$
 
\textbf{D.~~} $- x^3\vphantom{\fbox{$\dfrac{1}{x^3}$}}$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Pour $x>0$, on a $\e^{-3 \ln x} = \left (\e^{\ln x}\right )^{-3}= x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$.
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 7}: L'ensemble des solutions, dans $\R$, de l'inéquation: $\left(\text{e}^x - 3\right)\left(\text{e}^x + 1\right) \geqslant  0$ est :

\medskip

\begin{multicols}{2}
\textbf{A.~~} $]-\infty~;~-1] \cup [3~;~+\infty[$

\textbf{B.~~} $]- \infty~;~\ln 3 ]$

\textbf{C.~~} \fbox{$\left [\ln 3~;~+ \infty\right [$}

\textbf{D.~~}$\R$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $\e^{x}+1>0$.

$\e^{x}-3 \geqslant 0 \iff \e^{x}\geqslant 3 \iff x \geqslant \ln 3$

L'ensemble solution est donc $\left [ \ln 3~; \, +\infty \strut\right [$. 
\end{tabular}

\vspace*{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hrulefill{} 7 points}

%\medskip
%
%Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
%On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en
%cochant la case sur la grille prévue à cet effet.
%
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point. Toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip

\textbf{QCM 8 }: Soit $I = \displaystyle\int_0^1 \left(\e^{2x}- x\right)\:\text{d}x$

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~}$I = \text{e}^2 - 2\vphantom{\dfrac{1}{2}}$

\textbf{B.~~}$I = 2\text{e}^2 - 2\vphantom{\dfrac{1}{2}}$

\textbf{C.~~}$I = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^2 - 1\right)$

\textbf{D.~~}\fbox{$I = \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 1$}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$I = \displaystyle\int_0^1 \left(\e^{2x}- x\right) \d x
=  \left [ \dfrac{\e^{2x}}{2} - \dfrac{x^2}{2}\right ]_{0}^{1}
= \left ( \dfrac{\e^{2}}{2} - \dfrac{1}{2}\right ) - \left ( \dfrac{\e^{0}}{2} - 0 \right )
 = \dfrac{1}{2}\e^{2}-1$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 9 :} Soit le nombre complexe $z = \dfrac{1 + \text{i}}{1 - \text{i}}$

\medskip

\begin{multicols}{2}
\textbf{A.~~} l'écriture algébrique de $z$ est $- \text{i}$

\textbf{B.~~} l'écriture algébrique de $z$ est $\text{i}\sqrt{2}$

\textbf{C.~~} \fbox{un argument de $z$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$}

\textbf{D.~~} le module de $z$ est $\sqrt{2}$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{1+\i}{1-\i} = \dfrac{\left ( 1+\i\right )\left ( 1+\i \right )}{\left ( 1-\i\right )\left ( 1+\i\right )}
= \dfrac{1+2\i +\i^2}{1-\i^2}
= \dfrac{1+2\i - 1}{1+1} = \i$
qui a pour argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 10 }: Soit $f(x) = 4 x \e^{ -x}$ pour tout $x$ réel.

La dérivée $f'(x)$ de $f$ sur $\R$ est égale à :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~}$3\text{e}^{-x} + 4x$

\textbf{B.~~}$(4x - 1)\text{e}^{-x}$

\textbf{C.~~}$- 4\text{e}^{-x}$

\textbf{D.~~}\fbox{$(4 - 4x)\text{e}^{-x}$}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
$f(x) = 4 x \e^{ -x}$ donc
$f'(x) = 4\times \e^{-x} + 4x \times (-1)\e^{-x}
= \left (4-4x\right )\e^{-x}$
\end{tabular}

\newpage

\textbf{QCM 11} : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[-4~;~2]$ telle que $f(x) = a |x|$, $a \in  \R$.

Alors a est égal à :

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~}$- 0,2$

\textbf{B.~~}$0,2$

\textbf{C.~~}$0,25$

\textbf{D.~~}\fbox{$0,1$}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Une fonction densité est positive dont le réel $a$ est positif.

On trace la représentation de la fonction $f$ et l'aire grisée sous la courbe doit être égale à 1.

Donc $\dfrac{4\times 4a}{2} + \dfrac{2\times 2a}{2} = 1$ ce qui équivaut à

$8a+2a=1$ autrement dit $a=0,1$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\scalebox{0.75}{
\psset{xunit=1cm, yunit=0.7cm, runit=1cm}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {3}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(-4,0)(-4,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2,0)(2,2)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psline[linecolor=blue](-4,4)(0,0)(2,2)
\uput[r](0,4){\blue $4a$} \uput[l](0,2){\blue $2a$} 
\uput[d](-4,0){\blue $-4$} \uput[d](2,0){\blue $2$} 
\end{pspicture*}}
\end{minipage}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 12} : On considère que la durée de vie, exprimée en années, d'un médicament est une variable aléatoire $X$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ telle que
 $p(X \leqslant 1) = 0,18$, alors :

\medskip

\begin{multicols}{4} 
\textbf{A.} $\lambda = \ln \left(\dfrac{50}{41} \right)$

\textbf{B.~~}$\lambda = - \ln (18)\vphantom{\dfrac{50}{41}}$

\textbf{C.~~}\fbox{$\lambda = - \ln (0,82)$}$\vphantom{\dfrac{50}{41}}$

\textbf{D.~~}$\lambda =  \dfrac{\ln (0,82)}{\ln(100)}$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On cherche $\lambda$ tel que 
$\ds\int_{0}^{1} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = 0,18$.

$\ds\int_{0}^{1} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = \left [ -\e^{-\lambda t} \strut\right ]_{0}^{1}
= 1-\e^{-\lambda}$

On résout: $1-\e^{-\lambda} = 0,18 \iff 0,82 = \e^{-\lambda} \iff \ln(0,82) = -\lambda \iff \lambda = -\ln(0,82)$
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 13} : Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$.

$p(-1 < X < 1)$ est égal à :

\medskip

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.} \fbox{$1 - 2p(X > 1)$}

\textbf{B.~~} $2[p(X < 1) - 1]$

\textbf{C.~~} $1 - 2p(X < 1)$

\textbf{D.~~} $2p(X > 1)-1$
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Sur la figure ci-contre, la partie hachurée en rouge correspond à $p(-1 <X<1)$, la partie grisée correspond à $p(X>1)$ et la partie restée en blanc correspond à $p(X<-1)$.

Par symétrie, $p(X<-1) = p(X>1)$ et comme l'aire totale sous la courbe est égale à 1, on a:

$p(-1<X<1) = 1 - p(X<-1) - p(X>1)$

$=1 - p(X>1) - p(X>1) = 1-2p(X>1)$.
\end{minipage}
\hfill{}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=3cm, runit=1cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3.3} \def\xmax {3.3} \def\ymin {-0.2} \def\ymax {0.6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%%% définition de la courbe
\def\m{0} \def\s{1}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%%% aire sous la courbe
%%% partie hachurée
\def\inf{-1} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[d](\inf,0){$-1$} \uput[d](0,0){$0$} \uput[d](\sup,0){$\vphantom{-}1$} 
 %%% partie grisée
\def\inf{1} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\psaxes[ticksize=0pt 0pt,  labels=none, comma]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%%% tracé de la courbe
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{QCM 14 }: Après avoir examiné 100 personnes, on a constaté que 20\,\% d'entre elles étaient malades. L'intervalle de confiance, au niveau asymptotique 95\,\%, de la probabilité qu'une personne examinée soit malade peut être estimée par:

\begin{multicols}{4}
\textbf{A.~~} [0,10~;~0,20]

\textbf{B.~~} [0,15~;~0,25]

\textbf{C.~~} \fbox{[0,10~;~0,30]}

\textbf{D.~~} [0,05~;~0,35]
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
L'intervalle de confiance est 
$I= \left [ f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\, f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right ]
= \left [0,20-\dfrac{1}{\sqrt{100}}~;\, 0,20  + \dfrac{1}{\sqrt{100}}\right ]
= \left [ 0,10~;\, 0,30\vphantom{\dfrac{1}{\sqrt{100}}}\right ]$
\end{tabular}

%\vspace*{0.5cm}
\newpage

\textbf{EXERCICE 3 \hrulefill{} 6 points}

\medskip

Après l'administration d'un médicament par voie orale chez un patient, sa concentration plasmatique dans le sang, en g/L, en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $C$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\hfill{}$C(t) = 3 \left(\e^{ -t}  - \e^{- 2t}\right)$ où $t$est le temps exprimé en heures.\hfill{}

\begin{enumerate}
\item $C(0) = 3\left (\e^{0}-\e^{0}\right ) = 0$
\item %Déterminer la limite de la fonction $C$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
On a:

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-t} = 0\\
\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-2t} = 0
\end{array}
\right \rbrace
\ds\lim_{t \to +\infty} 3\left (\e^{-t} - \e^{-2t}\right ) = 0
\text{ donc }
\ds\lim_{t \to +\infty} C(t) = 0
$

%Interpréter ce résultat vis-à-vis du patient.
Cela signifie que la concentration plasmatique tend vers 0 quand le temps augmente.

\item%  Calculer la dérivée $C'(t)$ de $C(t)$.
$C(t) = 3 \left(\e^{ -t}  - \e^{- 2t}\right)$ donc
$C'(t) = 3\left ( -1 \e^{-t} - (-2) \e^{-2t}\right ) 
= 3\left ( 2\e^{-2t} -\e^{-t}\right ) = 3\e^{-t}\left ( 2\e^{-t}-1\right )$

\item % Dresser le tableau complet de variation de la fonction $C$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On cherche le signe de la dérivée sur $\left [ 0~; \, +\infty\rule[-2pt]{0pt}{10pt}\right [$.

Pour tout $t$, $\e^{-t}>0$ donc $C'(t)$ est du signe de $2\e^{-t}-1$.

$2\e^{-t}-1 >0 \iff \e^{-t} > \dfrac{1}{2} \iff -t > \ln\left ( \dfrac{1}{2}\right ) \iff t<-\ln\left (\dfrac{1}{2}\right ) \iff t<\ln(2)$

\item On calcule le maximum de la fonction $C$ sur $\left [ 0~; \, +\infty\rule[-2pt]{0pt}{10pt}\right [$:

$C(\ln(2)) = 3\left ( \e^{-\ln(2)} - \e^{-2\ln(2)}\right ) 
= 3\left ( \left( \e^{\ln(2)} \right )^{-1} - \left ( \e^{\ln(2)} \right )^{-2}\right )
= 3\left ( 2^{-1} - 2^{-2} \right ) = 3\left ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right ) = \dfrac{3}{4}$

\item On établit le tableau de variations de la fonction $C$ sur $\left [ 0~; \, +\infty\rule[-2pt]{0pt}{10pt}\right [$:

\smallskip

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
t & 0  & \esp & \ln(2) & \esp & +\infty \\ 
\hline
C'(t) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\frac{3}{4}}  &  &   \\  
C(t) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}
\end{list}

\item  La valeur maximale de la concentration a été calculée dans la question précédente et est égale à $\dfrac{3}{4}$.
.
\item  On veut les valeurs de $t$ pour lesquelles $C(t) = \dfrac{2}{3}$; d'après le tableau de variations, il y aura 2 valeurs de $t$ répondant à la question.

On résout dans l'intervalle $\left [ 0~; \, +\infty\rule[-2pt]{0pt}{10pt}\right [$ l'équation $C(t) = \dfrac{2}{3}$.

$C(t) = \dfrac{2}{3}
\iff 3 \left(\e^{ -t}  - \e^{- 2t}\right) = \dfrac{2}{3}
\iff 9\e^{ -t}  - 9\e^{- 2t} = 2
\iff 0 = 9\e^{-2t} -9 \e^{-t} +2\\
\hphantom{C(t) = \dfrac{2}{3}}
\iff 9\left (\e^{-t}\right )^2 - 9\e^{-t} + 2 = 0$

On pose $T=\e^{-t}$ et on résout l'équation $9T^2 - 9T +2=0$.

$\Delta = (-9)^2-4\times 9 \times 2 = 9>0$ donc l'équation admet deux solutions:

$T'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{9-3}{18} = \dfrac{1}{3}$
et
$T''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{9+3}{18} = \dfrac{2}{3}$

On cherche donc les valeurs de  $t$ telles que $\e^{-t} = \dfrac{1}{3}$ et $\e^{-t} = \dfrac{2}{3}$: 

$\e^{-t} = \dfrac{1}{3} \iff -t = \ln\left ( \dfrac{1}{3}\right ) \iff t=\ln(3)$;
$\e^{-t} = \dfrac{2}{3} \iff -t = \ln\left ( \dfrac{2}{3}\right ) \iff t=\ln\left (\dfrac{3}{2}\right ) \iff t=\ln(1,5)$

La concentration est égale à $\dfrac{2}{3}$ pour $t=\ln(1,5)$ et $t=\ln(3)$.

\item % En déduire sur quelle période de temps la concentration du médicament est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
On complète le tableau des variations de la fonction $C$:
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
t & 0  & \esp & \ln(2) & \esp & +\infty \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\frac{3}{4}}  &  &   \\  
C(t) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-6.1,0.79){\Rnode{zero}{\blue \frac{2}{3}}}
\rput(-6.1,2.6){\Rnode{alpha}{\blue \ln(1,5)}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
\rput*(-1.3,0.63){\Rnode{zero2}{\red \frac{2}{3}}}
\rput(-1.3,2.6){\Rnode{beta}{\red \ln(3)}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

On en déduit que la concentration du médicament est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$ sur l'intervalle\\
$\left [ \ln(1,5)~;\, \ln(3)\rule[-2pt]{0pt}{10pt}\right ]$.
\end{enumerate}

\bigskip

On peut vérifier graphiquement les résultats précédents:

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {5}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec\imath$,d][$\vec\jmath$,l]
\uput[dl](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$}
\def\f{3 2.7183 x neg exp 2.7183 x -2 mul exp sub mul }%   fonction exponentielle
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{\xmax}{0.6666667}
\uput[l](0,0.66667){\red $\frac{2}{3}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{[-]}(0.4055,0)(1.1,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0.4055,0)(0.4055,0.6667)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1.1,0)(1.1,0.6667)
\uput{12pt}[d](0.4055,0){\red \small $\ln(1,5)$} \uput{12pt}[d](1.1,0){\red\small $\ln(3)$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}