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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Corrigé du concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{1\up{er} avril 2022}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Corrigé du concours d'entrée à l'école de santé des armées~\decofourright\\[7pt] 1\up{er} avril 2022}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}
\vspace{0,25cm}

\begin{center}\textbf{EXERCICE 1 (6 points)}
\end{center}

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.

Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\bigskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

Une suite $\left(u_n\right)$ est telle que pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant  u_{n+1} \leqslant u_n$, alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$&\textbf{B.~}$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$\\
\textbf{C.~} la suite $\left(u_n\right)$ converge&\textbf{D.~}la suite $\left(u_n\right)$ diverge\\
\end{tabularx}
\end{center}
La proposition signifie que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 1 : elle est donc convergente vers un réel supérieur ou égal à 1 : réponse \textbf{C.~}
\medskip

\textbf{QCM 2}

\medskip

La suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 5 - \dfrac{1}{n^2 + 1}$ est : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~}décroissante sur $\N$&\textbf{B.~} croissante sur $\N$\\
\textbf{C.~}non monotone sur $\N$ &\textbf{D.~} minorée par 5 sur $\N$
\end{tabularx}
\end{center}
Comme la suite $\dfrac{1}{n^2 + 1}$ est décroissante de 1 à 0, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante de 4 à 5 : réponse \textbf{B.~}
\medskip

\textbf{QCM 3}

\medskip

La suite $\left(S_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $S_n = 1 + \dfrac14 + \ldots + \dfrac{1}{4^n}$.

Alors la suite $\left(S_n\right)$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} a pour limite 2 &\textbf{B.~} a pour limite $\dfrac43$.\\
\textbf{C.~} n'a pas de limite&\textbf{D.~} a pour limite $+\infty$
\end{tabularx}
\end{center}
$S_n$ est la somme des $(n + 1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $\dfrac14$.

Comme $\dfrac14 S_n = \dfrac14 + \left(\dfrac14\right)^2 + \ldots + \left(\dfrac14\right)^n + \left(\dfrac14\right)^n$, on obtient par différence :

$\dfrac34S_n = 1 - \dfrac{1}{4^{n+1}}$, d'où $S_n = \dfrac43\left(1 - \dfrac{1}{4^{n+1}} \right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{4^{n+1}} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S_n = \dfrac43$ : réponse \textbf{B.~}
\textbf{QCM 4}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 1}{x}\right)  - \dfrac{1}{x + 1}$.

La dérivée de la fonction $f$ a pour expression :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{1}{(x + 1)^2}$&\textbf{B.~} $-\dfrac{1}{x(x + 1)}$\\
\textbf{C.~} $-\dfrac{1}{x(x + 1)} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}$&\textbf{D.~}$- \dfrac{1}{x(x + 1)^2}$
\end{tabularx}
\end{center}
Soit $g(x) = \ln \left(\dfrac{x + 1}{x}\right)$. En posant $u(x) = \dfrac{x + 1}{x}$, on a $u'(x) = \dfrac{1\times x - 1 \times (x + 1)}{x^2} = - \dfrac{1}{x^2}$.

Or $g'(x) = g'(u) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{- \dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{x + 1}{x}} = - \dfrac{1}{x(x + 1)}$.

D'autre part $\left(- \dfrac{1}{x + 1} \right)' =  \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.

Finalement : $f'(x) = - \dfrac{1}{x(x + 1)} + \dfrac{1}{(x + 1)^2}$ : réponse \textbf{C.}

\medskip

\textbf{QCM 5}

\medskip

Soit $E= \dfrac{\text{e}^{1 + \ln 2}}{3\text{e}^{1 + \ln 3}}$. Alors $E$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~} $\dfrac14$&\textbf{B.~}$\dfrac{\text{e} + 2}{\text{e} + 9}$&
\textbf{C.~} $\dfrac29$&\textbf{D.~} $\dfrac13$
\end{tabularx}
\end{center}
$E= \dfrac{\text{e}^{1 + \ln 2}}{3\text{e}^{1 + \ln 3}} = \dfrac13 \times \dfrac{\text{e}^{1}\times \text{e}^{\ln 2}}{\text{e}^1 \times \text{e}^{\ln 3}} = \dfrac13 \dfrac{2\text{e}}{3\text{e}} = \dfrac{2}{9}$: réponse \textbf{C.}
\medskip

\textbf{QCM 6}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \cos^2 (x) - 2\cos(x)$. 

La dérivée de la fonction $g$ a pour expression :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $\sin^2 (x) + 2\sin(x)$&\textbf{B.~} $-2 \cos (x) \sin (x) + 2\sin (x)$\\
\textbf{C.~} $2\sin (x)[\cos (x) - 1]$&\textbf{D.~} $2\sin^2 (x) - 2\sin (x)$
\end{tabularx}
\end{center}
On a pour tout réel $x$, \: $g'(x) = - 2\sin x \cos x - (-2\sin x) = - 2\sin x \cos x + 2\sin x$ : réponse \textbf{B.}
\bigskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE 2 (6 points)}
\end{center}

%Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
%
%On demande au candidat d'indiquer sans justification la réponse qui lui paraît exacte en cochant la case sur la grille prévue à cet effet.
% 
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.
%
%Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\medskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{2x}$.

Une primitive sur $\R$ de $h$ a pour expression :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $H(x) = \dfrac{x^2\text{e}^{2x}}{4}$&\textbf{B.~} $H(x) = (2x +1)\text{e}^{2x}$\\
\textbf{C.~} $H(x) = \dfrac{x}{2}\text{e}^{2x}$&\textbf{D.~} $H(x) = \left(\dfrac12 x - \dfrac14\right)\text{e}^{2x}$
\end{tabularx}
\end{center}
Avec la dernière proposition :

$H(x) = \left(\dfrac12 x - \dfrac14\right)\text{e}^{2x}$ entraîne $H'(x) = \dfrac12\text{e}^{2x} + 2\left(\dfrac12 x - \dfrac14\right)\text{e}^{2x}  = \text{e}^{2x}\left(\dfrac12  + x  - \dfrac12\right) = x\text{e}^{2x} = h(x)$ : réponse \textbf{D.}
\medskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

L'intégrale $\displaystyle\int_0^3 \left(\text{e}^x + 2x - 5\right)\:\text{d}x$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
\textbf{A.~}  $\text{e}^3 + 1$ &\textbf{B.~}  $\text{e}^3 + 4$ &\textbf{C.~} $\text{e}^3 - 7$ &\textbf{D.~} $\text{e}^3 - 1$
\end{tabularx}
\end{center}
$\displaystyle\int_0^3 \left(\text{e}^x + 2x - 5\right)\:\text{d}x = \left[\text{e}^x\right]_0^3 + \left[x^2\right]_0^3 + \left[- 5x\right]_0^3 = \text{e}^3 - 1 + 9 - 0 - 15 + 0 = \text{e}^3 - 7$ : réponse \textbf{C.}
\medskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

Le plan ayant pour vecteur normal $\vect{n}(-1~;~3~;~2)$ et passant par le point A$(- 1~;~0~;~0)$ a pour équation cartésienne :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{A.~} $-x - 3y + 2z - 5 = 0$	&\textbf{B.~} $-x +3y+2z+2=0$\\
\textbf{C.~} $x - 3y - 2z + 1 = 0$ 			&\textbf{D.~} $x + 3y - 2z + 1 = 0$
\end{tabularx}
\end{center}
Si $\mathcal{P}$ est ce plan, on sait que :

$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff - 1\times x + 3\times y + 2\times z + d = 0$, avec $d \in \R$.

Ainsi A $\in \mathcal{P} \iff - 1\times (- 1) + 3\times 0 + 2\times 0 + d = 0 \iff d = - 1$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff - x + 3y + 2z - 1= 0 \iff x - 3y - 2z + 1 = 0$ : réponse \textbf{C.}

\medskip

\textbf{QCM 10}

\medskip

La couverture vaccinale contre la diphtérie-tétanos est de 90\,\% chez les jeunes de 15 ans.

Lors d'un sondage de la population des jeunes de 15 ans, on interroge au hasard $50$ jeunes en une journée sur la vaccination contre la diphtérie-tétanos.

La population des jeunes de 15 ans est suffisamment importante pour assimiler ce sondage à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les jeunes de $15$ ans vaccinés contre la diphtérie- tétanos parmi les $50$ jeunes interrogés.

\medskip

\textbf{A.~} La probabilité qu'aucun des jeunes de 15 ans ne soit vacciné est égale à $50 \times  10^{-49}$

\textbf{B.~} En moyenne, 45 jeunes parmi les 50 jeunes sont vaccinés

\textbf{C.~} La probabilité que tous les jeunes de $15$~ans soient vaccinés parmi les $50$ jeunes interrogés a une valeur voisine de 1

\textbf{D.~} $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n = 15$ et $p = 0,9$

\medskip

la variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètres $n = 50$ et $p = 0,9$ d'espérance $E = n \times p = 50 \times 0,9 = 45$ : réponse \textbf{B}
\medskip

\textbf{QCM 11}

\medskip

Soit la fonction $f$définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\ln (x)}{\ln (10)}$, alors: 

\medskip

\textbf{A.~} pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f(x) = \dfrac{x}{10}$

\textbf{B.~} pour tout entier naturel $n$ non nul, $f\left(3^n\right) = 3f(n)$ 

\textbf{C.~} $f\left(\dfrac13 \right) = 1 - f(3)$

\textbf{D.~} pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$,\: $f(3x) = f(3) + f(x)$

\medskip
propriété de la fonction logarithme : $f(3x ) = \dfrac{\ln (3x)}{\ln 10} = \dfrac{\ln 3 + \ln x}{\ln 10} = \dfrac{\ln 3}{\ln 10} + \dfrac{\ln x}{\ln 10} = f(3) + f(x)$ : réponse \textbf{D.}

\medskip

\textbf{QCM 12}

\medskip

Pour se préparer aux partiels, les étudiants de première année passent deux examens blancs. 

40\,\% d'entre eux réussissent le premier examen blanc. 

La probabilité d'échouer au deuxième examen blanc est $0,9$ si l'étudiant a échoué au premier et $0,2$ si le premier a été réussi.

\medskip

\textbf{A.~} La probabilité qu'un étudiant réussisse les deux examens blancs est strictement supérieure à $0,4$

\textbf{B.~} La probabilité qu'un étudiant réussisse le deuxième examen blanc est strictement supérieure à $0,74$

\textbf{C.~} Si un étudiant réussit le deuxième examen blanc, la probabilité qu'il ait également réussi le premier examen blanc est strictement supérieure à $0,4$

\textbf{D.~} Si un étudiant échoue au deuxième examen blanc, la probabilité qu'il ait également échoué au premier examen blanc est strictement inférieure à $0,75$.

\medskip

On peut construire un arbre pondéré :

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B_1$~~}\taput{$0,4$}}
	{
	\TR{$B_2$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{B_2}$}\tbput{0,2}

	}
\pstree{\TR{$\overline{B_1}$~~}\tbput{0,6}}
	{\TR{$B_2$}\taput{$0,1$}
	\TR{$\overline{B_2}$}\tbput{$0,9$}

	}
}
\end{center}

$\bullet~~$La probabilité qu'un étudiant réussisse les deux examens blancs est $0,4 \times 0,8 = 0,32$ : énoncé faux ;

$\bullet~~$$p\left(B_2\right) = p\left(B_1 \cap B_2\right) + p\left(\overline{B_1} \cap B_2\right) = 0,4 \times 0,8 + 0,6 \times 0,1 = 0,32 + 0,6 = 0,38$ : énoncé faux ;

$\bullet~~$On a $p_{B_2}\left(B_1\right) = \dfrac{p\left(B_2 \cap B_1 \right)}{p\left(B_2\right)} = \dfrac{p\left(B_1 \cap B_2 \right)}{p\left(B_2\right)} = \dfrac{0,32}{0,2 + 0,06} = \dfrac{0,32}{0,38} = \dfrac{32}{38} \approx 0,84 > 0,4$ : énoncé vrai ;

$\bullet~~$On a $p_{\overline{B_2}}\left(\overline{B_1}\right) = \dfrac{p\left(\overline{B_1} \cap \overline{B_2}\right)}{p\left(\overline{B_1}\right)} = \dfrac{0,6 \times 0,9}{0,4 \times 0,2 + 0,6 \times 0,9} = \dfrac{0,54}{0,62} \approx 0,87 > 0,75$ : énoncé faux.

\medskip

\begin{center}\textbf{EXERCICE 3 \hfill 8 points}
\end{center}

Pour cet exercice, on donne $\ln (2) \approx 0,7 \:;\quad \ln (\np{0,0005}) \approx -7,6\:;\quad  \sqrt{\np{0,0736}} \approx 0,27$. 

\medskip

Un patient consulte un oncologue pour un problème de cellules cancéreuses.

\bigskip

\textbf{Partie A : test}

\medskip

L'oncologue commence par faire un test pour savoir si la tumeur est opérable ou non. Pour cela, il mesure le temps $t_0$ (en heures) mis pour que la quantité $q$ d'une certaine substance $S_0$ injectée dans l'organe malade atteigne son maximum.

Puis il applique la règle de décision suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si $t_0 < 20$, la tumeur est opérable
\item[$\bullet~~$]Si $t_0 \geqslant 20$, la tumeur n'est pas opérable
\end{itemize}

\medskip

On note $q(t)$ la quantité, exprimée en milligrammes, de la substance $S_0$ dans l'organe malade, à l'instant $t$, en heures. On sait que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle :

\[(E) : \qquad 2y' + y = -0,001t + 3,998\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie, dérivable sur l'intervalle $[0~;~100]$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $\left(E_0\right) \::\: 2y' + y = 0$ sur l'intervalle [0~;~100].
		
On a $2y' + y = 0 \iff y' = - \dfrac12 y$ : on sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies par $t \longmapsto y = K\text{e}^{-\frac12 t}$, avec $K \in \R$.
		\item Déterminer les deux réels $a$ et $b$ de l'intervalle [0~;~100] tels que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par $g(t) = at + b$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

On a $g'(t) = a$, donc $g$ solution de $(E)$ si $2a + at + b = - 0,001t + 3,998$.

En identifiant ces deux polynômes on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 0,001\\
2a + b&=&3,998
\end{array}\right.$, d'où $-0,002 + b = 3,998 \iff b = 4$.

Donc $g(t) = 4 - 0,001t$ sur [0~;~100].
		\item En déduire les solutions $q$ de $(E)$ sur l'intervalle [0~;~100].
		
On sait qu'alors les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies par :
\[ t \longmapsto 4 - 0,001t + K\text{e}^{-\frac12 t}.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la solution $q$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $q(0) = 0$ est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~100] par 
		
\[q(t) = 4 - 0,001t - 4\text{e}^{- \frac t2}.\]
Les solutions $q$ de cette forme telles que $q(0) = 0 \iff 4 - 0 + K = 0 \iff K = - 4$.

Finalement $q(t) = 4 - 0,001t - 4\text{e}^{- \frac 12 t}$.
		\item Calculer la dérivée de $q$ sur l'intervalle [0~;~100].
		
On a sur [0~;~100], \: $q'(t) = -0,001 + \frac 12 \times 4\text{e}^{- \frac 12 t} = - 0,001 + 2\text{e}^{- \frac 12 t}$.
		\item Étudier les variations de $q$ sur l'intervalle [0~;~100].
		
$\bullet~~$ $q'(t) > 0 \iff - 0,001 + 2\text{e}^{- \frac 12 t} > 0 \iff 2\text{e}^{- \frac 12 t} > 0,001 \iff \text{e}^{- \frac 12 t} > \np{0,0005}$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$- \frac 12 t > \ln \np{0,0005} \iff t < -2\ln \np{0,0005}$ soit d'après l'approximation donnée au début 

$t < (- 2) \times (- 7,6)$ et enfin $t < 15,2$, soit 15 h 12 min.

$\bullet~~$ $q'(t) < 0 \iff - \frac 12 t < \ln \np{0,0005} \iff t > 15,2$ ;

$\bullet~~$ $q'(t) = 0 \iff - \frac 12 t = \ln \np{0,0005} \iff t = 15,2$.

La fonction $q$ est donc croissante sur [0~;~15,2], puis décroissante sur l'intervalle [15,2~;~100] ; $q(15,2) = 4 - 0,001 \times 15,2 - 4\text{e}^{- \frac 12 \times 15,2} = 4 - 0,152 - 4\text{e}^{-7,6} \approx 3,846$ est le maximum de la fonction $q$ sur l'intervalle [0~;~100].
		\item Donner une valeur $t_0$, approchée au dixième, pour laquelle $q$ est maximale.
		
On a donc $t_0 = 15,2$.
		
Quelle est la décision de l'oncologue ?

Comme $15,2 \leqslant 20$, l'oncologue opérera la tumeur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : récidive}

\medskip

Après l'opération, l'oncologue effectue un prélèvement sur les tissus voisins de la tumeur enlevée, qu'il envoie à un laboratoire d'analyses. 

Ce laboratoire injecte dans le prélèvement une substance $_1$ composée de \np{1000} cellules de type A.

On note $N(t)$ le nombre de cellules de type A à l'instant $t$,\: $t$ étant exprimé en jours. 

On sait que $N(t) = \np{1000}\text{e}^{rt}$ où $r$ est un nombre réel donné ne dépendant que du prélèvement du patient à la date $0$.

Puis il applique la règle de décision suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si le temps mis, pour avoir \np{2000} cellules de type A dans le prélèvement, excède 10 jours, on dira que le risque de récidive est élevé.
\item[$\bullet~~$] dans le cas contraire, on dira que ce risque est modéré.
\end{itemize}

Le laboratoire analyse le prélèvement du patient et annonce que le nombre de cellules de type A a quadruplé au bout de $28$ jours.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur exacte de $r$.

On a donc $N(28) = 4 \times \np{1000} = \np{1000}\text{e}^{r \times 28} \iff 4 = \text{e}^{28r}\iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien : $ \ln 4 = 28 r \iff r = \dfrac{\ln 4}{28}$.
\item Quel est le risque de récidive pour ce patient ?

On a donc $N(t) = \np{1000}\text{e}^{\frac{\ln 4}{28}t}$,donc

$\np{2000} = \np{1000}\text{e}^{\frac{\ln 4}{28}t} \iff 2 = \text{e}^{\frac{\ln 4}{28}t} \iff \ln 2 =\frac{\ln 4}{28}t \iff \ln 2 = \frac{2\ln 2}{28}t \iff 1 = \dfrac{1}{14}t \iff t = 14$ : le risque de récidive est donc élevé.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : chimiothérapie}

\medskip

L'oncologue propose de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$ (en micromole par litre), peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[c(t) = \dfrac DK\left(1 - \text{e}^{- \frac{Kt}{80}} \right)\]

où

\begin{itemize}
\item[$*~~$]$D$ est un réel positif représentant le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure,
\item[$*~~$]$K$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.
\end{itemize}

La clairance est la capacité d'un patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement au patient en ajustant le débit $D$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Détermination de la clairance} :

Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes :  on règle le débit de la perfusion sur $120~\mu$mol. h$^{-1}$ ; au bout de $6$~heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament qui est égale à $4,5~\mu$mol. L$^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la clairance $K$ du patient est solution de l'équation:
		
\[120\left(1 - \text{e}^{- \frac{3x}{40}}\right)  - 4,5x = 0.\]

Avec $c = 4,5,\: D = 120$ et $t = 6$, $K$ est donc solution de l'équation :

$4,5 = \dfrac{120}{x}\left(1 - \text{e}^{- \frac{6x}{80}}\right)\iff 4,5x = 120\left(1 - \text{e}^{- \frac{6x}{80}}\right) \iff 120\left(1 - \text{e}^{- \frac{3x}{40}}\right)  - 4,5x = 0.$

		\item Démontrer que cette équation admet une solution unique sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
		
Considérons la fonction $f$ définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = 120\left(1 - \text{e}^{- \frac{3x}{40}}\right)  - 4,5x$.

$f$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ + \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 120 \times \dfrac{3}{40}\text{e}^{- \frac{3x}{40}} - 4,5 = 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} - 4,5$.

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} - 4,5 = 0 \iff 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} = 4,5 \iff \text{e}^{- \frac{3x}{40}} = 0,5 = \dfrac12 \iff $

$- \dfrac{3x}{40} = - \ln 2\iff x = \dfrac{40\ln 2}{3}$ ; de façon analogue :

$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} - 4,5 > 0 \iff 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} > 4,5 \iff \text{e}^{- \frac{3x}{40}} > 0,5 = \dfrac12 \iff $

$- \dfrac{3x}{40} > - \ln 2\iff x < \dfrac{40\ln 2}{3}$ et 

$\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} - 4,5 < 0 \iff 9\text{e}^{- \frac{3x}{40}} < 4,5 \iff \text{e}^{- \frac{3x}{40}} < 0,5 = \dfrac12 \iff $

$- \dfrac{3x}{40} < - \ln 2\iff x > \dfrac{40\ln 2}{3}$.

Comme $\dfrac{40\ln 2}{3} \approx 9,24$, on en déduit que la fonction $f$ est :


-- croissante de $f(0) = 0$ à $f\left(\frac{40\ln 2}{3}\right) \approx 18,4$ ;

-- décroissante de $f\left(\frac{40\ln 2}{3}\right) \approx 18,4$ à $- \infty$.

Plus précisément  on a donc $f(21) \approx 0,66$ et $f(22) \approx -2,04$, puis :

$f(21,2) \approx 0,13$ et $f(21,3) \approx - 0,14$.

Comme $f$ est continue car dérivable sur $]0~;~ + \infty[$, que $f(21,2) > 0$ et $f(21,3) < 0$, il 
existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $K$, avec $K \in ]21,2~;~21,3[$ 
tel que $f(K) = 0$. On peut prendre $K = 21$ à l'unité près.
	\end{enumerate}
	
On prendra $K = 21$ pour la suite du problème.
\item \emph{Réglage du débit} :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$.
		
On a donc $c(t) = \dfrac{D}{21}\left(1 - \text{e}^{- \frac{21t}{80}} \right)$.

Comme $-\dfrac{21t}{80} < 0$, on sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- \frac{21t}{80}} = 0$, donc :

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} c(t) = \dfrac{D}{21} = \ell$.
		\item La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$.
		
Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être égale à $10 \mu$mol.L$^{-1}$.

En déduire la valeur du débit $D$, à régler par le médecin.

On a donc $\dfrac{D}{21} = \ell = 10 \iff D = 210$. (micromole par heure)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}