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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Corrigé du concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{29 mars 2021}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Corrigé du concours d'entrée à l'école de santé des armées~\decofourright\\[7pt] 29 mars 2021}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}
\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Avertissement}}\\
%L'utilisation de calculatrice, règle de calcul, formulaire, papier millimétré, téléphone portable n'est pas autorisée.
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]Le candidat traitera les trois exercices ;
%\item[$\bullet~$]Les réponses des exercices 1 et 2 seront données sur la grille prévue à cet effet ;
%\item[$\bullet~$]L'exercice 3 sera traité sur une copie à part ;
%\item[$\bullet~$]La qualité de la présentation des copies et de l'orthographe sera prise en compte dans l'évaluation;
%\item[$\bullet~$]Le candidat vérifiera que le sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
% \end{itemize}\\ \hline
% \end{tabularx}
%\end{center}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1. \hfill6 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, 8, C ou D est exacte.

%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte en \textbf{cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.
%
%Toute réponse juste est comptée + 1 point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée 0 point. 
%
%Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

\bigskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

L'ensemble des solutions réelles de l'équation 

\[3 [\ln (x)]^2 + 2 \ln(x) - 5 = 0.\]

est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $\left\{1~;~-\frac{5}{3}\right\}$ ;&
\textbf{B.~} $\left\{\text{e}~;~\text{e}^{-\frac{5}{3}}\right\}$.&
\textbf{C.~} $\left\{\text{e}^{-\frac{5}{3}}\right\}$.&
\textbf{D.~} $\{\text{e}\}$
\end{tabularx}
\end{center}

En posant pour $x > 0$, \: $\ln x = X$, l'équation devient :

$3X^2 + 2 X - 5 = 0$ : la solution 1 est évidente et le produit des racines étant égal à $- \dfrac53$, l'autre racine est $- \dfrac53$.

On a donc $\left\{\begin{array}{l c r}
\ln x&=&1\\
\ln x &=& - \dfrac53
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}x &=& \text{e}^1\\
x&=&\text{e}^{- \frac53}\end{array}\right.$ Réponse \textbf{B.~}

\medskip

\textbf{QCM 2}

Les solutions réelles de l'inéquation $\left(\text{e }^x - 1\right)(1 - x) \geqslant 0$ sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $]- \infty~;~1]$ ;&\textbf{B.~}$[0~;~1]$.&\textbf{C.~} $[0~;~+ \infty[$.&\textbf{D.~} $]- \infty~;~0[ \cup ]1~;+ \infty[$
\end{tabularx}
\end{center}
On a $\text{e}^x = 1 \iff x = 0$ et $x - 1 = 0 \iff x = 1$.

Un tableau des signes montre donc que sur $]- \infty~;~0[, \: \text{e }^x - 1 < 0$ et $1 - x > 0$, donc $\left(\text{e }^x - 1\right)(1 - x) < 0$.

Sur $]0~;~[, \: \text{e }^x - 1 > 0$ et $1 - x > 0$, donc $\left(\text{e }^x - 1\right)(1 - x) > 0$.

Sur $[1~;~+ \infty[,\: \text{e }^x - 1 > 0$ et $1 - x < 0$, donc $\left(\text{e }^x - 1\right)(1 - x) < 0$. Réponse \textbf{B.~}
\medskip

\textbf{QCM 3}

Les solutions réelles de l'inéquation $\ln (- x + 5) < \ln (x + 1)$ sont :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $]2~;~+ \infty[$ ;&\textbf{B.~}$]-\infty~;~5[$.&\textbf{C.~} $]- 1~;~5[$.&\textbf{D.~} $]2~;~5[$
\end{tabularx}
\end{center}
Il faut que $\left\{\begin{array}{l c r}
- x + 5&>&0\\
x + 1& >&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
5&>&x\\
x &>& - 1
\end{array}\right.$

les solutions doivent appartenir à l'intervalle $]- 1~;~5[$.

$\ln (- x + 5) < \ln (x + 1) \iff \text{e}^{\ln (- x + 5)}  < \text{e}^{\ln (x + 1)} $ ( par croissance de la fonction exponentielle), \: $\iff 5 - x < x + 1 \iff 4 < 2x \iff 2 < x$, donc $S = ]2~;~5[$, réponse \textbf{D.}

\medskip

\textbf{QCM 4}

\medskip

La limite de $\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}$ en plus l'infini est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $+ \infty$ ;&\textbf{B.~}$1$.&\textbf{C.~} $0$.&\textbf{D.~} $2$
\end{tabularx}
\end{center} 

$\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1} = \dfrac{\left(\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1}\right)\left(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}{\left(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)} = \dfrac{2}{\left(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1}\right)}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 1} = 0$. Réponse \textbf{C.}
\medskip

\textbf{QCM 5}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1\right)},\]

alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~} $f'(x) = \text{e}^{x^2 - 1}$ ;&\textbf{B.~}$f '(x) = 2x\text{e}^{x^2 - 1}$
\\
\textbf{C.~} $f'(x) = \left(1 + 2x^2 \right)\text{e}^{x^2 - 1}$.&\textbf{D.~} $f'(x) = 2x^2\text{e}^{x^2 - 1}$
\end{tabularx}
\end{center}

On a $f'(x) = \text{e}^{\left(x^2 - 1\right)} + x \times 2x \text{e}^{\left(x^2 - 1\right)} = \text{e}^{\left(x^2 - 1\right)}\left(1 + 2x^2 \right)$. Réponse \textbf{C.}
\medskip

\textbf{QCM 6}

\medskip

L'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi} x \cos x\:\text{d}x$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $- 2$ &\textbf{B.~}$0$&\textbf{C.~} $1$&\textbf{D.~} $\pi$
\end{tabularx}
\end{center} 

\emph{Indication} : calculer la dérivée de $h(x) = x \sin x + \cos x$.

On a $h'(x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$,\: donc 

$\displaystyle\int_0^{\pi} x \cos x\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^{\pi} h'(x)\:\text{d}x = \left[h(x)\right]_0^{\pi} = \left[x \sin x + \cos x\right]_0^{\pi} = \pi \sin \pi + \cos \pi - (0 \sin 0 + \cos 0) = - 0 - 1 - 1 = - 2$, réponse \textbf{A.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.

On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui paraît exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.

Toute réponse juste est comptée + 1 point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.

Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.

Pour les \textbf{QCM 7} et \textbf{8}, on considère une population dont 5\,\% est touchée par une maladie.

\textbf{QCM 7}

On considère de manière aléatoire et indépendante deux personnes de cette population.

Soit l'évènement $A$ : \og aucune personne n'est malade \fg.

La probabilité de $A$ est égale à : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $\np{0,9025}$ &\textbf{B.~}$\np{0,0025}$&\textbf{C.~} $\np{0,9975}$&\textbf{D.~} $0,1$
\end{tabularx}
\end{center}
On a $p(A) = 0,95^2 = \np{0,9025}$.

\medskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

On sait que la probabilité qu'une personne ait un test positif à cette maladie, sachant qu'elle est
malade, est $0,8$. D'autre part, la probabilité d'avoir un test positif pour une personne de cette
population est $0,1$.

La probabilité que la personne soit malade sachant qu'elle a un test positif est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $0,8$ &\textbf{B.~}$0,01$&\textbf{C.~} $0,4$&\textbf{D.~} $0,04$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~~}\taput{$0,05$}}
	{
	\TR{$T$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,2}

	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~~}\tbput{0,95}}
	{\TR{$T$}\taput{$p$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$1 - p$}

	}
}
\end{center}

Avec les notations : $M$ \og la personne est malade \fg{} et $T$ : \og la personne a un test positif \fg, on a :

$p(T) = p(M \cap T) + p\left(\overline{M} \cap T\right)$, soit 

$0,1 = 0,05 \times 0,8 + 0,95p  \iff 0,1 = 0,04 + 0,95p \iff 0,06 = 0,95p \iff p = \dfrac{0,06}{0,95}$.

On a donc $p_T(M) = \dfrac{p(T \cap M)}{p(T)} = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,05 \times 0,8}{0,1} = 0,4$. réponse \textbf{C.}
\bigskip

\textbf{QCM 9}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} +3x - 1\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~} $y = 5x-1$ &\textbf{B.~}$y = 5x$&\textbf{C.~} $y = 4x$&\textbf{D.~} $y = 5x + 3$
\end{tabularx}
\end{center}
On a $M(x~;~y) \in T \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = \text{e}^{0} + 3\times 0 - 1 = 1 - 1 = 0$ et $f'(x) = 2\text{e}^{2x} + 3$, d'où $f'(0) = 2\text{e}^{0} + 3 = 2 + 3 = 5$. Donc :

$M(x~;~y) \in T \iff y - 0 = 5(x - 0) \iff y = 5x$.Réponse \text{B.}

\medskip

\textbf{QCM 10}

\medskip

Soit la suite réelle $\left(u_n\right)$ définie par : 

\[u_0 = 1,5\quad \text{ et }\quad  u_{n+1} = 2u_n -1.\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = x$ et$y = 2x - 1$.\\
\textbf{B.~}La suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = u_n - 1$ est géométrique.\\
\textbf{C.~} La suite $\left(u_n\right)$ est majorée.\\
\textbf{D.~} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\end{tabularx}
\end{center}

On voit sur les premiers termes que la suite est croissante non majorée et ne semble n'être ni majorée, ni convergente.

Reste $v_n = u_n - 1$, d'où $v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2u_n - 2 = 2\left(u_n - 1 \right)  = 2v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $2$ et $v_0 = 1,5 - 1 = 0,5$ et $v_0 = 1,5 - 1 = 0,5$. d'où $v_n = 2 \times 0,5^n$ et $u_n = 2 \times 0,5^n + 1$. Réponse \textbf{B.}

\textbf{QCM 11}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 10n + 1$.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} La suite converge vers 1.\\
\textbf{B.~} La suite diverge vers plus l'infini.\\
\textbf{C.~} La suite converge vers zéro.\\
\textbf{D.~} La suite diverge vers moins l'infini.
\end{tabularx}
\end{center}

On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n^2 - 10n + 1 = + \infty$, d'où réponse \textbf{B.~}
\medskip

\textbf{QCM 12}

\medskip

La solution $y$ de l'équation différentielle $2y'- y = 3$ vérifiant $y(0) = - 1$ est définie par: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{A.~} $y(x) = \text{e}^{2x} - 2$.\\
\textbf{B.~} $y(x) = \text{e}^{0,5x} - 3$.\\
\textbf{C.~} $y(x) = 2\text{e}^{0,5x} - 3$.\\
\textbf{D.~} $y(x) = \text{e}^{2x - 3}$.
\end{tabularx}
\end{center}

Les solutions de l'équation différentielle $2y' - y =  \iff 2y' = y \iff \dfrac{y'}{y} = \dfrac12$ sont les fonctions définies par $x \longmapsto K\text{e}^{\frac12 x}$, avec $K \in \R$.

Les réponses A et D sont éliminées et  B aussi car $y(0) = 1 - 3 = - 2 \ne - 1$ : réponse \textbf{C.}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Un virus sévit dans une population. Un test (gold standard) permet de dire avec certitude si un individu est malade ou non.

Mais il est coûteux et invasif. Dans la pratique, on met en place un test sérologique, dont les indicateurs caractéristiques -- la sensibilité et la spécificité -- sont définis ci-après.

On prélève un individu au hasard dans la population et on considère les évènements :

$M$ : \og l'individu est malade \fg{} ;

$NM$ : \og l'individu n'est pas malade \fg{} ;

$T+$ : \og le test est positif\fg{} ;

 T$-$ : \og  le test est  négatif'.

On note: $p$ la probabilité que l'individu soit malade, on l'appelle la prévalence de la maladie ; 

$S_e = P_M(T+)$ la sensibilité du test ;

$S_p = P_{NM}(T-)$ la spécificité du test.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelques calculs
		
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M~~$} \taput{$p$}}
	{\TR{$T+$}\taput{$S_e$}
	\TR{$T-$}\tbput{$1 - S_e$}
	}
\pstree{\TR{$NM~~$} \tbput{$1 - p$}}
	{\TR{$T+$}\taput{$1 - S_p$}
	\TR{$T-$}\tbput{$S_p$}
	}
}
\end{center}

\item On appelle valeur prédictive positive du test le nombre $VPP = P_{T+}(M)$.
		
Montrer que $VPP = \dfrac{S_e p}{S_e p + (1 - p)\left(1 - S_p \right)}$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p\left(T_+\right) = P\left(M \cap T_+ \right) + P\left(NM \cap T_+ \right) = pS_e + (1 - p)\left(1 - S_p\right)$.

D'autre part $VPP = P_{T+}(M) = \dfrac{P\left(T_+ \cap M \right)}{P\left(T_+\right)} = \dfrac{P\left(M \cap T_+ \right)}{P\left(T_+\right)} = \dfrac{pS_e}{pS_e + (1 - p)\left(1 - S_p \right)}$
\item On suppose dans cette question, que la prévalence
est de 30\,\%, que la sensibilité du test est de 90\,\% et que la spécificité 
du test est de 90\,\%.
		\begin{enumerate}
			\item %Calculer la $VPP$ du test sérologique.
De $p = 0,3$, \:$S_e = 0,9$ et $S_P = 0,9$, on calcule :
			
$VPP = \dfrac{0,3 \times 0,9}{0,3 \times 0,9 + 0,7 \times 0,1} = \dfrac{0,27}{0,27 + 0,07} = \dfrac{0,27}{0,34} = \dfrac{27}{34} \approx  0,794$, soit environ 79\,\%.
			\item Le test a t-il un intérêt ?

Avec un taux aussi bas le test n'a pas beaucoup d'intérêt.
			\item Quel problème se pose-t-il en cas de maladie rare ?

Avec par exemple $p = 0,01$, on obtient :

$VPP = \dfrac{0,01 \times 0,9}{0,01 \times 0,9 + 0,99 \times 0,1} = \dfrac{0,009}{0,009 + 0,0099} = \dfrac{0,009}{0,108} = \dfrac{27}{34} \approx  0,083$, soit environ 8\,\% : le test n'a aucun intérêt.
		\end{enumerate}
		\item Dans cette question, on suppose que la prévalence est de 1\,\%, que la sensibilité du test est de 90\,\% et que la spécificité du test est de 90\,\%.
		\begin{enumerate}
			\item Calculer la $VPP$ du test sérologique.
			
$VPP = \dfrac{0,01 \times 0,9}{0,01 \times 0,9 + 0,99 \times 0,1} = \dfrac{0,009}{0,009 + 0,099} = \dfrac{0,009}{0,108} = \dfrac{9}{108} = \dfrac{1}{12} \approx 8,3\,\%$
			\item Le test a t-il un intérêt ?
			
Non.
			\item Quel problème se pose en cas de maladie rare ?
			
Quand la prévalence est faible la $VPP$ n'a pas de signification.
		\end{enumerate}
\item La $VPP$ d'un test sérologique n'est pas toujours un indicateur satisfaisant. On s'intéresse alors à un autre indicateur, le ratio de vraisemblance positif du test, défini par : 

\[RV+ = \dfrac{P_M(T+)}{P_{NM}(T+)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $RV+$ en fonction des indicateurs du test.
		
$RV+ = \dfrac{P_M(T+)}{P_{NM}(T+)} = \dfrac{S_e}{1 - S_p}$.
		\item Calculer le $RV+$ avec les données de la question 3 puis celles de la question 4.
		
$\bullet~~$ : avec $p = 0,3, \:S_e = 0,9$ et $S_P = 0,9$, \: $RV+  = \dfrac{S_e}{1 - S_p} = \dfrac{0,9}{0,1} = 9$.

$\bullet~~$ avec $p = 0,01, \:S_e = 0,9$ et $S_P = 0,9$, \: $RV+  = \dfrac{S_e}{1 - S_p} = \dfrac{0,9}{0,1} = 9$.
		\item On admet que plus le $RV+$ est grand, plus la $VPP$ est grande.
		
D'après la question précédente, le $RV+$ est-il suffisant pour conclure + la fiabilité du test ?

Le $RV+$ n'est pas suffisant pour conclure + la fiabilité du test puisqu'il ne varie en fonction de $p$.

Si on a plusieurs tests possibles, comment choisir $S_e$ et $S_p$ pour avoir le test le plus significatif ?

D'après l'écriture du quotient il faut avoir un $S_e$ le plus grand possible et un $S_p$ au contraire le plus petit.
	\end{enumerate}
Le gain diagnostique est important quand le RV+ est compris entre 5 et 10. $S_e$ et $S_p$ doivent donc être grands.
\item En situation clinique

Le médecin cherche surtout à ne pas \og passer à côté d'une maladie \fg{} et accepte \og d'alerter à tort \fg{} un patient.

Il abaisse le seuil de positivité du test. Quelle est la conséquence :
	\begin{enumerate}
		\item Sur $S_e$ et $S_p$ ?
		
Si le seuil de positivité baisse $P_e$ va augmenter ainsi que $S_p$.
		\item Sur le nombre de  \og faux positifs \fg{} ?
		
Le nombre de faux positifs va aussi augmenter.
	\end{enumerate}
\item La courbe ROC

On vient de voir que l'on pouvait agir sur le seuil de positivité du test.

Lors du dépistage de la trisomie 21, le test consiste à mesurer l'indicateur $HCG$.

On donne le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Seuil 	&$S_p$		&$1 - S_p$	&$S_e$\\ \hline
Max 	&1 			&0 			&0\\ \hline
3 		&0,995 		&0,005 		&0,22\\ \hline
2,75	&0,98		&0,02		&0,36\\ \hline
2,5		&0,96		&0,04 		&0,46\\ \hline
2,25	&0,93		&0,07 		&0,56\\ \hline
2		&\np{0,8975}&\np{0,1025}&0,65\\ \hline
1,75	&0,825		&0,175 		&0,73\\ \hline
1,5		&\np{0,7425}&\np{0,2575}&0,8\\ \hline
1,25	&\np{0,6475}&\np{0,3525}&0,84\\ \hline
1		&0,475		&0,525 		&0,89\\ \hline
Min 	&0 			&1 			&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
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\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1,1)
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\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(0.01,0.22)(0.02,0.36)(0.04,0.46)(0.065,0.55)(0.1,0.65)(0.16,0.73)(0.26,0.8)(0.34,0.83)(0.52,0.88)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(0.005,0.22)(0.02,0.36)(0.04,0.46)(0.07,0.56)(0.1025,0.65)(0.175,0.73)(0.2575,0.8)(0.3525,0.84)(0.525,0.89)(1,1)
\uput[r](0.005,0.22){3}\uput[r](0.02,0.36){2,75}\uput[r](0.04,0.46){2,5}\uput[r](0.065,0.55){2,25}
\uput[r](0.1,0.65){2}\uput[dr](0.16,0.73){1,75}\uput[dr](0.2575,0.8){1,5}
\uput[dr](0.3525,0.84){1,25}
\uput[dr](0.525,0.89){1}
\rput{20}(0.4,0.89){\red courbe ROC}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,1)
\uput[ul](0.1,0.65){\red A}\uput[dr](0.5,0.5){\blue B}
\uput[r](0,0.97){$S_e$}\uput[u](0.95,0){$1 - S_p$}
\rput{45}(0.75,0.7){\blue diagonale de la chance}
\uput[dr](1,1){min}\uput[ur](0,0){max}
\psdots[linecolor=red](0,0)(0.005,0.22)(0.02,0.36)(0.04,0.46)(0.07,0.56)(0.1025,0.65)(0.175,0.73)(0.2575,0.8)(0.3525,0.84)(0.525,0.89)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour un seuil de sensibilité 2 correspondant au point A :
			\begin{enumerate}
				\item Que vaut $RV+$ à $10^{-2}$ près.
				
On a $RV+ = \dfrac{S_e}{1 - S_p} = \dfrac{0,65}{\np{0,1025}} \approx 6,341$, soit 6,34 au centième près.
				\item Interpréter graphiquement cette valeur.
Graphiquement ce quotient de l'ordonnée de A par son abscisse est égale à la pente de la droite (OA).
			\end{enumerate}
		\item Pour le point B du graphique.
		
			\begin{enumerate}
				\item Que vaut $RV+$ ?
				
On a $RV+ = \dfrac{S_e}{1 - S_p} = \dfrac{0,5}{0,5} = 1$.
				\item Que dire de ce test sérologique ?
				
Le diagnostic ne gagne pas en fiabilité : le patient a autant de chances d'être malade que d'être indemne
			\end{enumerate}
		\item À quel point du graphique correspond le test parfait ?

Le point de coordonnées (0,07~;~0,56) correspond au test parfait (on a $RV+ = 8$)
		\item La capacité diagnostique d'un test peut être quantifiée par l'aire sous la courbe ROC.
			\begin{enumerate}
				\item Que vaut cette aire quand le test n'a pas d'intérêt ?

L'aire du triangle isocèle située sous  la diagonale de la chance a une aire de $\dfrac{1 \times 1}{2} = 0,5$.
				\item Que vaut cette aire quand le test est parfait ?

				L'aire du carré de côté 1 est égale à 1.
				\item Comment doit être cette aire pour que le test soit le meilleur possible ?

Le test est le meilleur quand l'aire  sous la courbe ROC se rapproche le plus possible de 1.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}