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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Concours à l'entrée de l'école de santé\\ Lyon--Bordeaux}}
\rfoot{\small{6 avril 2023}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large {\textbf{\decofourleft~Corrigé du concours à l'entrée de l'école de santé des armées ~\decofourright\\[7pt]6 avril 2023}}}

\medskip

Durée: 1 heure 30 minutes \qquad  Coefficient: 2
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{IMPORTANT}}\\
%\begin{itemize}
%\item L'utilisation de téléphone portable, de calculatrice, de règle à calculs, de formulaires, de papier millimétré est interdite.
%\item Il est interdit de signer sa copie ou d'y mettre un signe distinctif quelconque.
%\item Écrivez au stylo-bille, encre bleue ou noire, non effaçable. Attention, utilisation restreinte de blanc correcteur (de préférence, rayer l'erreur).
%\item Vérifiez que ce fascicule comporte 7 pages dont une page de garde comprise.
%\item Toutes les réponses aux QCM doivent être faites sur la grille de réponses jointe. Si le candidat répond aux QCM sur le fascicule ou la copie et non sur la grille, ses réponses ne seront pas prises en compte par le correcteur.
%\item Pour chacun des QCM, les candidats doivent cocher les lettres des propositions qu'ils considèrent comme correctes. Il est demandé aux candidats de faire très attention au numéro de QCM quand ils « cochent» la grille de réponses jointe.
%\item Il sera tenu compte de la qualité de la présentation de la copie et de l'orthographe. Aucun brouillon ne sera pris en compte.
%\end{itemize}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%\bigskip

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 - 6 points}
\end{center}

\medskip

%Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
%
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.
%
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $-0,2$ point.
%
%Une absence de réponse est comptée 0 point.
%
%Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
%
%\medskip

\textbf{QCM 1}

\medskip

%Un candidat doit répondre à un Vrai-Faux contenant 4 questions.
%
%Pour chacune des questions, une réponse est vraie, l'autre est fausse.
%
%Le candidat, n'ayant aucune connaissance sur les questions, choisit au hasard entre les deux réponses possibles.
%
%Il a 1 pour une réponse exacte et 0 sinon.
%
%La probabilité que le candidat obtienne au moins la moyenne à ce QCM est :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} $\dfrac{7}{24}$&\textbf{B.~}$\dfrac{13}{16}$&\textbf{C.~} $\dfrac{11}{16}$&
%\textbf{D.~} $\dfrac{5}{8}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a une épreuve de Bernoulli avec une variable aléatoire $X$ donnant le nombre de réponses exactes qui suit la loi binomiale avec $n = 4$ et $p = \dfrac12$.

On a $p(X = 0) = \binom{4}{0}\left(\dfrac12\right)^0 \times \left(\dfrac12\right)^4 = \dfrac{1}{16}$ ; 

$p(X = 1) = \binom{4}{1}\left(\dfrac12\right)^1 \times \left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac{4}{16}$.

On a la moyenne si $X = 2$ ou $X = 3$ ou $X = 4$), donc la probabilité d'avoir au moins la moyenne est :

$1 - \left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} \right) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}$ : réponse \textbf{C}.

\medskip

\textbf{QCM 2}

On peut dresser un arbre pondéré représentant l'administration des deux médicaments à une population assez nombreuse :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm,treesep=1.cm]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$R_1~~$} \taput{0,8}}
	{\TR{$R_2~~$} \taput{0,3}
	\TR{$\overline{R_2}~~$}\tbput{0,7}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R_1}~~$} \tbput{0,2}}
	{\TR{$R_2~~$} \taput{0,3}
	\TR{$\overline{R_2}~~$}\tbput{0,7}
	}
}
\end{center}

$p(X = 2) = 0,8 \times 0,3 = 0,24$ ;

$p(X = 1) = 0,8 \times 0,7 + 0,2 \times 0,3 = 0,56 + 0,06 = 0,62$

$p(X = 0) = 0,2 \times0,3 = 0,06$

L'espérance de $X$ est donc $E(X) = 0 \times 0,06 + 1 \times 0,62 + 2 \times 0,24 = 0,62 + 0,48 = 1,1$ : réponse : \textbf{C}
\textbf{QCM 3}

%Un virus sévit dans une population.
%
%On sait que dans cette population 20\,\% des individus sont malades.
%
%Un test diagnostique est mis en place.
%
%La probabilité qu'un individu ait un test positif sachant qu'il est malade est $0,8$ ; la probabilité qu'un individu ait un test négatif sachant qu'il n'est pas malade est $0,8$.
%
%La probabilité qu'un individu ayant un test positif soit malade est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~}0,5 &\textbf{B.~}0,625 &\textbf{C.~} 0,8 &\textbf{D.~} 0,375
%\end{tabularx}
%\end{center}
On dresse un arbre pondéré :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm,treesep=1.cm]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$M~~$} \taput{0,2}}
	{\TR{$T~~$} \taput{0,8}
	\TR{$\overline{T}~~$}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}~~$} \tbput{0,8}}
	{\TR{$T~~$} \taput{0,2}
	\TR{$\overline{T}~~$}\tbput{0,8}
	}
}
\end{center}
\medskip

Il faut calculer $p_T(M) = \dfrac{p(T \cap M)}{p(T)} = \dfrac{p(M \cap T)}{p(T)}$.

On a $p(M \cap T) = p(M) \times p_M(T) = 0,2 \times 0,8 = 0,016$ et 

$p(T) = p(M \cap T) + p\left(\overline{M} \cap T \right) = 0,016 + 0,8 \times 0,2 = 0,016 + 0,016 = 0,032$.

$\dfrac{p(M \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,016}{0,032} = 0,5$. Réponse \textbf{A}

\textbf{QCM 4}

%Soit une suite $\left(u_n\right)$ géométrique de raison 2 et une suite $\left(v_n\right)$ géométrique de raison 3. Alors :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
%\textbf{A.~} la suite $s_n = u_n + v_n$ est arithmétique de raison 5.\\
%\textbf{B.~} la suite $s_n = u_n + v_n$ est géométrique de raison 5.\\
%\textbf{C.~} la suite $p_n = u_n \times v_n$ est arithmétique de raison 6.\\
%\textbf{D.~} la suite $p_n = u_n \times v_n$ est géométrique de raison 6.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $u_n = u_0 \times 2^n$ et $v_n = v_0 \times 3^n$, donc :

$s_n = u_0 \times 2^n + v_0 \times 3^n$ et 

$p_n = u_0 \times 2^n \times  v_0 \times 3^n = u_0v_0 \times 6^n$.

La suite $\left(s_n\right)$ n'a rien de particulier mais la suite $\left(p_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0v_0$ et de raison 6. Réponse \textbf{D}
\medskip

\textbf{QCM 5}

\medskip

%La limite $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}}  \dfrac{\ln(x - 2)}{2 - x}$ est égale à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} $-\infty$&\textbf{B.~} $0$&\textbf{C.~} $+ \infty$&\textbf{D.~} 
%autre réponse
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $\dfrac{\ln(x - 2)}{2 - x} = - \dfrac{\ln(x - 2)}{x - 2}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \dfrac{\ln(x - 2)}{x - 2} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} -\dfrac{\ln(x - 2)}{x - 2} = + \infty$ : réponse \textbf{C}
\medskip

\textbf{QCM 6}

%Dans $\R$, l'équation 
%
%\[\ln(x + 3) + \ln(x + 2) = \ln (2):\]
%
%\smallskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
%\textbf{A.~} n'admet pas de solution\\
%\textbf{B.~} admet une unique solution\\
%\textbf{C.~} admet deux solutions\\
%\textbf{D.~} autre réponse\\
%\end{tabularx}
%\end{center}

On cherche les solutions dans l'ensemble $]- 3~;~+ \infty[$ (plus grande contrainte).
Doc si $x > - 3$, alors :

$\ln(x + 3) + \ln(x + 2) = \ln (2)\iff \ln (x + 3)(x + 2) = \ln 2 \iff (x + 3)(x + 2) = 2 $ (par croissance de la fonction exponentielle) $\iff x^2 + 3x + 2x  + 6 = 2 \iff x^2 + 5x + 4 = 0 \iff \left(x + \dfrac52\right)^2 - \dfrac{25}{4} + 4 = 0 \iff \left(x + \dfrac52\right)^2 - \dfrac{25}{4}  + \dfrac{16}{4} = 0 \iff \left(x + \dfrac52\right)^2 - \dfrac{9}{4} = 0 \iff \left(x + \dfrac52 + \dfrac{3}{2}\right)\left(x + \dfrac52 - \dfrac{3}{2}\right) = 0 \iff (x + 4)(x + 1) = 0 \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x + 4&=&0\\x + 1&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- 4\\x &=&- 1
\end{array}\right.$

Seule la solution $- 1$ vérifie la contrainte. $S = \{- 1\}$ : réponse \textbf{B}

\newpage

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 - 6 points}
\end{center}

\medskip

%Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
%
%On demande au candidat d'indiquer \textbf{sans justification} la réponse qui lui parait exacte \textbf{en cochant la case sur la grille prévue à cet effet}.
%
%Toute réponse juste est comptée $+ 1$ point, toute réponse fausse est comptée $- 0,25$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point.
%
%Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.
%
%\medskip

\textbf{QCM 7}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 4~;~4]$ par :
%
%\[f(x) = 1 + (x - 4)\e^{0,25x}.\]
%
%Alors sur $[- 4~;~4]$
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} $f$ est croissante &\textbf{B.~} $f$ est décroissante &\textbf{C.~} $f$ est convexe&\textbf{D.~} $f$ est concave
%\end{tabularx}
%\end{center}
Somme de produits de fonctions dérivables sur $\R$, \:$f$ est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = 1\e^{0,25x} + 0,25(x - 4)\e^{0,25x}  = \e^{0,25x} (1 + 0,25x - 1) = 0,25x\e^{0,25x}$.

On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\e^x > 0$ et $0,25 > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $x$.

Or sur $[- 4~;~0[, \: x < 0$, donc la fonction $f$ est décroissante sur $[- 4~;~0[$ puis croissante sur [0~;~4].

On a ensuite : $f''(x) = 0,25\e^{0,25x} + 0,25 \times 0,25\e^{0,25x} = 0,25\e^{0,25x}\left(1 + \dfrac14\right) = \dfrac54\e^{0,25x} > 0$ : la fonction $f$ est donc convexe sur l'intervalle $[-4~;~4]$. Réponse \textbf{C}

\medskip

\textbf{QCM 8}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]4~;~+\infty[$ par : 
%
%\[f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 16}.\]
%
%Alors l'intégrale $\displaystyle\int_5^6 f(x)\:\text{d}x$ est égale à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~}$- \dfrac{23}{15}$&\textbf{B.~}$\ln \left(\dfrac{20}{9}\right)$&\textbf{C.~}$\ln \left(\dfrac{36}{25}\right)$&\textbf{D.~} $2\sqrt{35} - 3$
%\end{tabularx}
%\end{center}

En posant $u(x) = x^2 - 16$, on a $u'(x) = 2x$. On a donc $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 16} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ qui est la dérivée de $\ln |u(x)|$.

Or le trinôme $u(x)$ est positif sauf sur l'intervalle $]- 4~;~+ 4[$ où $u(x) \leqslant 0$.

Donc sur l'intervalle $[4~;~+ \infty[$ et en particulier sur l'intervalle [5~;~6], \:$u(x) > 0$, donc :

$\displaystyle\int_5^6 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_5^6 \dfrac{u(x)}{u(x)}\:\text{d}x = \left[\ln \left(x^2 - 16 \right) \right]_5^6 = \ln (36 - 16) - \ln (25 - 16) = \ln 20 - \ln 9 = \ln \dfrac{20}{9}$. 

Réponse \textbf{B}

\medskip

\textbf{QCM 9}

%On considère les droites $d_1$ et $d_2$ dont on donne une représentation paramétrique :
%\begin{center}
%$d_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&-3t +1\\y&=& -2t- 1\\z &=& \phantom{-}6t +4
%\end{array}\right.\:(t \in \R)$ \qquad et \qquad 
%$d_2 : \left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&2t' - 2\\y&=&-t'+ 3\\z &=&3t' - 5 
%\end{array}\right.\:
%(t' \in \R).$\end{center}
%
%Les droites $d_1$ et $d_2$ sont:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} strictement parallèles&\textbf{B.~} confondues&\textbf{C.~} sécantes&\textbf{D.~} non coplanaires
%\end{tabularx}
%\end{center}
Les vecteurs directeurs des deux droites $\vect{u_1}\begin{pmatrix}-3\\-2\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{u_s}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires, donc \textbf{A} et \textbf{B} sont fausses.

Si ces droites sont sécantes leur point commun a des coordonnées qui vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-3t +1&=&2t' - 2\\-2t- 1&=&-t'+ 3 \\6t +4&=&3t' - 5 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-3t +1&=&2t' - 2\\t'&=&2t + 4 \\6t +4&=&3t' - 5 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-3t +1&=&4t + 8 - 2\\t'&=&2t + 4 \\6t +4&=&6t + 12 - 5 \end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
-5&=&7t\\t'&=&2t + 4\\0t &=&3\end{array}\right.$ : ce système n'a pas de solution, donc réponse \textbf{D}

\medskip

\textbf{QCM 10}

\medskip

%Une tumeur, dont la surface triple chaque jour, met $12$ jours pour recouvrir totalement la surface d'un certain organe. Combien de jours, trois de ces tumeurs mettraient-elles pour recouvrir totalement la surface de cet organe en supposant que les zones infectées par ces trois tumeurs ne se recouvrent pas ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} 11 jours&\textbf{B.~} 9 jours&\textbf{C.~} 36 jours&\textbf{D.~} 4 jours
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jour \no&12&11&10&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\ \hline
Surface recouverte
(une tumeur)&1&$\frac13$&$\frac{1}{3^2}$&$\frac{1}{3^3}$&\ldots&&&&&&&$\frac{1}{3^{11}}$\\ \hline
Surface recouverte
(trois tumeurs)&&1&$\frac{1}{3}$&$\frac{1}{3^2}$&\ldots&&&&&&&$\frac{1}{3^{10}}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Réponse \textbf{A}

\medskip

\textbf{QCM 11}

%Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) = x\sqrt{x^2 + 1}. \]
%
%La dérivée $f'$, de la fonction $f$ a pour expression:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} $\sqrt{x^2 + 1}$&\textbf{B.~} $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$&\textbf{C.~} $\sqrt{x^2 + 1} + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$&\textbf{D.~}$\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2 + 1}}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
En dérivant $f(x)$ comme un produit, on obtient :

$f'(x) = \sqrt{x^2 + 1} + x \times \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x^2 + 1 + x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}  = \dfrac{2x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Réponse \textbf{C}
\medskip

\textbf{QCM 12}

%Dans un pays, 80\,\% des habitants ont une couverture vaccinale contre une maladie donnée.
%
%On interroge au hasard $40$ habitants et l'on considère que la population du pays est suffisamment importante pour assimiler cette expérience aléatoire à un tirage avec remise.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
%\textbf{A.~} La probabilité qu'aucun des habitants interrogés ne soit vacciné est égale à $0,2$.\\
%\textbf{B.~} La probabilité que tous les habitants interrogés soient vaccinés est égale à $0,7$.\\
%\textbf{C.~} En moyenne 32 habitants parmi les $40$ sont vaccinés.\\
%\textbf{D.~} La probabilité que le premier candidat non vacciné soit le troisième vaut $0,045$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On peut considérer qu'on a une épreuve de Bernoulli : la variable égale au nombre de personnes interrogées vaccinées suit une loi binomiale $\mathcal{B}(40,\:0,8)$.

On a $e(X) = 40 \times 0,8 = 32$ : cela signifie qu'en moyenne 32 habitants parmi les $40$ sont vaccinés. Réponse \textbf{C}
\bigskip

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 3 - 8 points}
\end{center}

Pour cet exercice, on donne les approximations suivantes:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\ln 0,05$&$\ln 0,95$&$\ln 2$&$\e^{-1}$&$\e^{-2}$&$\e^{-3}$&$\e^{-4}$&$\e^{-5}$&$\e^{-6}$&$\e^{-7}$\\ \hline
$-3$&$-0,05$&0,7&0,36&0,14&0,05&0,02&0,007&0,002&0,0009\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\textbf{A.~}  On considère l'équation différentielle 
\[(E) :\quad  y' + y = 5 \e^{-0,5t} \: \text{sur l'intervalle }\:[0~;~ + \infty[.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $u$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par : 
%\[u(t) = 10\e^{-0,5t}\]
% est solution de $(E)$.

$u$ est dérivable sur $\R$, donc sur $[0~;~ + \infty[$ et sur cet intervalle :

$u'(t) = 10\times (-0,5)\e^{-0,5t} = -5\e^{-0,5t}$.

$u(t)$ est solution de $(E)$ si et seulement si :

$u'(t)  + u(t) =  5 \e^{-0,5t} \iff 10\e^{-0,5t} -5\e^{-0,5t} = 5\e^{-0,5t}$ qui est vraie.
\item %Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right) : \quad y' + y = 0$.
On sait que les solutions de l'équation sont les fonctions : $t \longmapsto f(t) = K\e^{-1t}$, avec $K \in \R$.
\item %En déduire toutes les solutions de $(E)$.
Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions définies par 
\begin{center} $t \mapsto K\e^{-t} +  10\e^{-0,5t}, \quad K \in \R$  \end{center}
\item %Déterminer la fonction solution de $(E)$ qui s'annule en $0$.
La solution s'annulant en 0 est telle que :

$K\e^{-0} +  10\e^{-0,5\times 0} = 0 \iff K + 10 = 0 \iff K = - 10$

La solution est donc $t \mapsto 10\e^{-0,5t} - 10\e^{-t}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.~} Un médicament est injecté par voie intramusculaire.

%Il passe dans le sang, puis est éliminé par les reins.
%
%Une étude a permis de constater que la concentration de ce médicament, en mmol.$l^{-1}$, dans le sang à l'instant $t$, en heures, est donnée par: 
%
%\[f(t) = 10 \left(\e^{-0,5t} - \e^{-t}\right).\]
%
%L'injection a lieu à $t = 0$.
On voit que $f(t)$ est la solution de l'équation différentielle $(E)$ s'annulant en 0
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
D'après la remarque initiale on sait que 

$f'(t) + f(t) = 5\e^{-0,5t} \Longrightarrow f'(t) = 5\e^{-0,5t} - f(t) = 5\e^{-0,5t} - 10\left(\e^{-0,5t} - \e^{-t}\right) =$

$ - 5\e^{-0,5t} + 10\e^{-t}$.

$\bullet~~$$f'(t) > 0 \iff - 5\e^{-0,5t} + 10\e^{-t} > 0 \iff 10\e^{-t} > 5\e^{-0,5t}$ et en multipliant par $\dfrac{\e^t}{5} > 0$, \quad $2 > \e^{0,5t}\iff \ln 2 > 0,5t \iff 2\ln 2 > t$ (par croissance de la fonction logarithme népérien.)

Donc sur l'intervalle $[0~;~2\ln 2], \:f'(t) > 0$  la fonction $f$ est croissante.

De même :

$\bullet~~$$f'(t) < 0 \iff - 5\e^{-0,5t} + 10\e^{-t} < 0 \iff 10\e^{-t} < 5\e^{-0,5t}$ et en multipliant par $\dfrac{\e^t}{5} > 0$), \quad $2 < \e^{0,5t}\iff \ln 2 < 0,5t \iff 2\ln 2 < t$.

Donc sur l'intervalle $[2\ln 2~;~+ \infty],\: f'(t) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante.
\item %Calculer la valeur de l'extremum de $f$.
La fonction est croissante puis décroissante : elle admet donc un extremum :

$f2\ln 2) = = 10 \left(\e^{-0,5\times 2\ln 2} - \e^{-\ln 4}\right) = 10\left(\e^{-\ln 2} - \e^{-\ln 4}\right) = 10\left(\dfrac{1}{\e^{\ln 2}} - \dfrac{1}{\e^{\ln 4}} \right) = 10\left(\dfrac12 - \dfrac14\right) = 10 \times \dfrac14 = \dfrac52 = 2,5$.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\e^{-0,5t} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty}\e^{-t} = 0$ donc par somme de limites, $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t) = 0$.
\item ~%Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$2\ln 2$} \uput[u](8.5,2.4){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](7.8,1.9){$-$} 
\uput[u](1.15,0){$0$}\uput[d](5,2){$2,5$}\uput[u](8.55,0){$0$}\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		Si $\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$,on sait que :
		
		$M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.
		
On a $f(0) = 0$ et $f'(0) = - 5 + 10 = 5$, on obtient :

\[M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y  = 5x.\]
		\item ~%Tracer une allure de $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormé.
		
		\smallskip
		
\begin{center}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,3)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(12,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(0,0)(12,3)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{12}{2.71828 x 0.5 mul neg exp 2.71828 x neg exp sub 10 mul}
\psline(2.773,0)(2.773,1.875)
%\psline[ArrowInside=->](1.38629,0)(1.38629,2.5)(0,2.5))
\uput[d](1.38629,0){$2\ln 2$}\uput[l](0,2.5){2,5}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0.475)(12,0.475)
\uput[u](11.8,0){$t$ (h)}\uput[r](0,3.25){concentration en  mmol.$l^{-1}$}
\uput[d](0.103,0){$t_1$}\uput[d](5.99,0){$t_2$}\uput[d](2.773,0){$\ln 16$}
\psplotTangent[arrows=<->]{2.773}{2.25}{2.71828 x 0.5 mul neg exp 2.71828 x neg exp sub 10 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On estime que le médicament est éliminé dès que sa concentration dans le sang redevient inférieure à $0,475$ mmol. $l^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l'équation $f(t) = 0,475$ admet deux solutions dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		
$\bullet~~$Sur l'intervalle $[0~;~2\ln 2]$ la fonction est continue car dérivable et croissante de $f(0) = 0$ à $f(2\ln 2) = 2,5$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe donc une solution $t_1$ à l'équation $f(t) = 0,475$ ;

$\bullet~~$Même raisonnement avec $f$ décroissante sur l'intervalle $[2\ln 2~;~+ \infty[$ et 

$t_2 \in [2\ln 2~;~+ \infty[$ et $f(t_2) = 0,475$.
		\item %Résoudre l'équation : $f(t) = 0,475$ dans $]0~;~+ \infty[$.
$f(t) = 0,475 : \iff 10 \left(\e^{-0,5t} - \e^{-t}\right) = 0,475 \iff \e^{-0,5t} - \e^{-t} = \np{0,0475}$.

On pose $X = \e^{-0,5t}$, d'où $X^2 = \left(\e^{-0,5t}\right)^2 = \e^{-t}$.

l'équation s'écrit donc : $X - X^2 = \np{0,0475} \iff X^2 - X + \np{0,0475} = 0$

On a $\Delta = 1 - 4 \times \np{0,0475} = 1 - 0,19 = 0,81 = 0,9^2$

On a donc deux solution : $X_1 = \dfrac{1 + 0,9}{2} = 0,95$ et $X_2 = \dfrac{1 - 0,9}{2} = 0,05$

Or $X_1 = \e^{-0,5t_1} = 0,05 \Longrightarrow -0,5t_2 = \ln 0,05 \iff t_2 = \dfrac{\ln 0,05}{-0,5} \approx 0,103$.

De même $X_2 = \e^{-0,5t_2} = 0,95 \Longrightarrow -0,5t_2 = \ln 0,95 \iff t_2 = \dfrac{\ln 0,95}{-0,5} \approx 5,99$. (on vérifie sur le graphique ces deux valeurs
		\item %En déduire l'instant à partir duquel le médicament est éliminé.
Le médicament est éliminé pratiquement après 6 h.
	\end{enumerate}
\item En pharmaceutique, on appelle ASC d'une concentration, en mmol. $l^{-1}$, le nombre $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'ASC de cette concentration.
Une primitive de la fonction $t \longmapsto \e^a$ est la fonction $t \longmapsto \dfrac 1a \e^a$, donc une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie par 
		\[t \longmapsto F(t) = 10\left(\dfrac{1}{-0,5}\e^{-0,5t} - \dfrac{1}{-1}\e^{-t} \right) = 10 \left(-2\e^{-0,5t} + \e^{-t}\right).\]
		
On a donc $\displaystyle\int_0^x f(t)\:\text{d}t = [F(t)]_0^x = 10 \left(-2\e^{-0,5x} + \e^{-x}\right) - 10 \left(-2\e^{0} + \e^{-0}\right) =$

$ 10 \left(-2\e^{-0,5x} + \e^{-x}\right) + 10$.

L'ASC est donc égale à $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}10 \left(-2\e^{-0,5x} + \e^{-x}\right) + 10$

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{-0,5x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{-x} = 0$, donc  ASC $= 10$
		\item %Interpréter graphiquement la valeur obtenue.
La fonction $f$ étant positive sur $[0~;~+ \infty[$, l'intégrale ci-dessus est égale à l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $X = 0$ et $X = x$, donc l'ASC représente l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ de zéro à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ présente un point d'inflexion en un réel $x_0$ de $[0~;~+ \infty[$ que l'on précisera.
De $f'(t) =  - 5\e^{-0,5t} + 10\e^{-t}$ on en déduit :
		
$f''(t) = -0,5 \times (- 5)\e^{-0,5t} - 10\e^{-t} = 2,5\e^{-0,5t} - 10\e^{-t}$.
		
Donc $f''(t ) = 0 \iff 2,5\e^{-0,5t} - 10\e^{-t} = 0 \iff \e^{-0,5t} - 4\e^{-t} = 0 \iff$ (en multipliant par $\e^t$, \:

$\e^{0,5t} - 4 = 0 \iff \e^{0,5t} = 4 \iff 0,5t = \ln 4 \iff t = 2\ln 4 = \ln 16$.

La courbe $\mathcal{C}$ présente un point d'inflexion au point d'abscisse $\ln 16$.
		\item %En donner une interprétation pour la courbe $\mathcal{C}$ et pour la concentration.
En ce point la courbe est traversée par sa tangente ; la courbe passe à partir de ce point de sa partie concave à sa partie convexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}