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%Tapuscrit : Denis Vergès & François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Ingénieurs de l'école nationale supérieure maritime 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\rfoot{\small }
\begin{center} 
{\large \textbf{\decofourleft~CORRIGÉ DU CONCOURS POUR L'ADMISSION EN FORMATION DES ~\decofourright\\[5pt]
INGÉNIEURS DE L'ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE MARITIME\\[5pt]
ANNÉE 2019 }} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}\end{center}

\vspace{0,05cm}

Le candidat traitera 3 questions au choix parmi les 4 proposées, chaque question
représentant le même nombre de points.


\begin{center}\textbf{1\up{re} question}\end{center}


\begin{enumerate}
\item Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ respectivement par: 

\[f(x) = x^2\text{e}^{-x} \quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\] 

%Dans un repère orthonormé du plan, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, par le calcul, les valeurs exactes des coordonnées des points d'intersection des deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 
Les points communs aux deux courbes ont des abscisses solutions de l'équation :
		
$f(x) = g(x) \iff x^2\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x} \iff x^2 = 1$, car $\text{e}^{-x} \ne 0$.
		
On a donc deux solutions :
		
$x = 1$, d'où $f(1) = g(1) = \text{e}^{-1}$ et
		
$x = - 1$, d'où $f(- 1) = g(-1) = \text{e}$. 

$\mathcal{C}_f$  et $\mathcal{C}_g$ ont en commun les points de coordonnées $\left(1~;~\text{e}^{-1}\right)$ et $\left(- 1~;~\text{e}\right)$.
		
		\item %Étudier les positions relatives de$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$sur $\R$. 
		Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - g(x) = x^2\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x}  = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 1\right)$.
		
Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $d(x)$ est celui du trinôme $x^2 - 1$ qui est positif sauf entre $- 1$ et $1$.

Conclusion : sur $]- \infty~;~-1[$ et sur $]1~;~+ \infty[$, \:$d(x)  > 0$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ et sur $]-1~;~1[$, \: $d(x) < 0$ ce qui signifie que $\mathcal{C}_f$ est au dessous de $\mathcal{C}_g$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)= \left(x^2-1\right)\text{e}^{-x}$. 

La fonction $h$ est donc la fonction $d$ précédente.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$ et donc que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^x} = 0$. %Déterminer les limites de la fonction $h$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 
		
On a $h(x) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 1\right) = \text{e}^{-x}x^2\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{x^2} = 1$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^x} = 0$, on a donc par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}h(x) = 0$.
		\item %Montrer que $h'(x)$ est du signe de $-x^2 + 2x + 1$.
$h$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et pour tout réel $x$,
		
$h'(x) = - \text{e}^{-x}\left(x^2 - 1 \right)  + 2x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(2x - x^2 + 1 \right) = \text{e}^{-x}\left(-x^2 + 2x + 1 \right)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x \in \R$, $h'(x)$ a le signe du trinôme $-x^2 + 2x + 1$.
		\item Comme $\Delta = 2^2 - 4 \times (- 1) \times 1 = 4 + 4 = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2 > 0$, le trinôme $-x^2 + 2x + 1$ a deux racines : $\dfrac{-2 + 2\sqrt{2}}{-2} = 1 - \sqrt{2}$ et $1 + \sqrt{2}$.
		
On sait que $h'(x) < 0$, sauf entre les racines, donc :

$h'(x) > 0$ sur $\left[1 - \sqrt{2}~;~1 + \sqrt{2}\right]$ et $h$ croissante sur cet intervalle

$h'(x) < 0$ sur $\left]- \infty~;~1 - \sqrt{2}\right]$ et sur $\left]1 + \sqrt{2}~;~+ \infty\right[$.

D'où le tableau de variations de $h$ suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](3,2.4){$1-\sqrt{2}$} \uput[u](5,2.4){$1+\sqrt{2}$} \uput[u](6.5,2.4){$+\infty$} 
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f$}
\rput(2,2.25){+}\rput(3,2.25){0}\rput(4,2.25){$-$}\rput(6,2.25){+}\rput(5,2.25){0}
\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5) \psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](6.6,0){0}\uput[u](3,0){$\approx  -1,25$}\uput[d](5,2){$\approx 0,43$}
\end{pspicture}
\end{center}
		%En déduire les variations de la fonction $h$ sur $\R$, et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}

\item Soient les points $A(x~;~f(x))$ et $B(x~;~g(x))$ pour $x \in [-1~;~+\infty[$.

On s'intéresse à la distance $AB$ . 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que: 

%\[AB = \left\{\begin{array}{l c l}
%h(x) &\text{si}& x \in  [1~;~+\infty[\\ 
%-h(x) &\text{si}& x \in [-1~;~1] 
%\end{array}\right.\]
On a AB $ = |g(x) - f(x)| = \left|h(x) \right| = \left|\left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x} \right| = \left\{\begin{array}{l c l}
h(x) &\text{si}& x \in  [1~;~+\infty[\\ 
-h(x) &\text{si}& x \in [-1~;~1] 
\end{array}\right>.$, d'après le signe de $x^2 - 1$.
		\item %Pour quelle valeur de $x$ la distance $AB$ est-elle maximale ? On notera $x_0$ cette valeur. 
D'après le tableau de variations de la fonction $h$, la plus grande valeur de $h(x)$ en valeur absolue est $h\left(1 - \sqrt{2}\right)$.

La plus grande distance AB est obtenue pour $x_0 = 1 - \sqrt{2}$.

On a alors AB$_{\text{max}} = \left|h\left(1 - \sqrt{2}\right) \right|  = 
\left|\left[\left(1 - \sqrt{2} \right)^2 - 1\right]\text{e}^{1 - \sqrt{2}} \right| =
 \left| \left(2 - 2\sqrt{2} \right)\text{e}^{1 - \sqrt{2}}\right| =
 \left(2\sqrt{2} - 2 \right)\text{e}^{1 - \sqrt{2}} \approx 1,254$. (cf. figure ci-dessous)
%Calculer la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la distance $AB$ en $x_0$.
	\end{enumerate}
%\end{enumerate}	 

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.6)(5.5,3.5)
\multido{\n=-1+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.5)(\n,3.75)}
\multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-1.5,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{5.5}{x dup mul 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5.5}{1 2.71828 x exp div}
\psdots[linecolor=red](2.6,0.07427)
\psdots[linecolor=blue](2.6,0.50209)\uput[ur](2.6,0.50209){$A$}\uput[ur](2.6,0.07427){$B$}
\psline(2.6,0.07427)(2.6,0.50209)
\psline[linecolor=green](-0.414,0.26)(-0.414,1.513)
\psline[linestyle=dashed](-0.414,0.26)(-0.414,0)
\uput[d](-0.414,0){$1 - \sqrt{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\begin{enumerate}[resume]
\item %On s'intéresse, à présent, à l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$. (La fonction $f$ a été définie dans la question 1.). 

%\parbox{0.5\linewidth}{Afin d'obtenir une valeur approchée de $\mathcal{A}$, on utilise la méthode dite \og des rectangles \fg{} qui consiste à approcher cette aire par la somme des aires de $n$ rectangles. 
%
%Le graphique ci-contre illustre cette méthode pour $n = 10$ (le premier rectangle est d'aire nulle car $f(0) = 0$). Le nombre $n$ de rectangles choisi permettra, lorsqu'on l'augmente, d'améliorer l'approximation de l'aire S.}\hfill 
%\parbox{0.87\linewidth}{
%\psset{unit=5cm}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(1.1,0.45)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.1,0)(0.2,0.00905)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0)(0.3,0.03275)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,0)(0.4,0.06667)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.4,0)(0.5,0.10725)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(0.6,0.15163)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0)(0.7,0.19757)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,0)(0.8,0.24333)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(0.9,0.28757)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0)(1,0.32932)
%\multido{\n=-0.1+0.1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.1)(\n,0.45)}
%\multido{\n=0.0+0.1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.1,\n)(1.1,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.45)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.1}{x dup mul 2.71828 x exp div}
%\end{pspicture}
%} 

\begin{enumerate}
\item ~

%\parbox{0.64\linewidth}{Recopier et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'en fin d'exécution, la variable $S$ contienne la valeur approchée par défaut de l'aire $A$ obtenue en utilisant la méthode \og des rectangles\fg{} avec $n$ rectangles.}\hfill
%\parbox{0.33\linewidth}{
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
Saisir $n$\\ 
$S \gets {\red 0}$\\
Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$\\
\hspace{0.35cm} $S \gets  S +$ {\red $f\left(k/n \right) \times \frac{1}{n}$}\\
Fin pour\\ \hline
\end{tabular}%} 
\end{center}
%Voici les résultats obtenus pour $S$ en programmant cet algorithme avec différentes valeurs de $n$ : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$n$&$S$\\ \hline
%10 &  \np{0,142514607}\\ \hline
%100&   \np{0,158766463}\\ \hline
%100000&\np{0,160600955}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(-x^2 - 2x - 2\right)\text{e}^{- x}$ est une primitive de la fonction $f$.
$F$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur cet intervalle 

$F(x) = \left(-x^2 - 2x - 2\right)\text{e}^{- x} \Rightarrow F'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} - \left(-x^2 - 2x - 2\right)\text{e}^{- x} = \text{e}^{- x}\left(- 2x - 2 + x^2 + 2x + 2 \right) = x^2\text{e}^{- x} = f(x)$ : ce résultat  montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item %Déterminer à présent la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$. 

La fonction $f$ étant positive sur [0~;~1], on a donc $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = \left(-1^2 - 2\times 1  - 2\right)\text{e}^{- 1} - \left(-0^2 - 0\times 2 - 2\right)\text{e}^{- 0} = - 5\text{e}^{- 1}  + 2 = 2 - 5\text{e}^{- 1} \approx \np{0,160603}$.

Votre résultat est-il cohérent avec les valeurs de $S$ obtenues précédemment ? 
Ce résultat est bien cohérent avec la valeur donnée par l'algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{2\up{e} question} \end{center}


Un biologiste étudie le développement d'un certain type de parasite. 

Il place en milieu clos une colonie de \np{50000} individus. 

Des expériences ont démontré que dans ces conditions, à long terme, la population se stabilise autour de \np{90000} individus, sans jamais dépasser cette valeur. 

On considèrera que la population est \og stable\fg{} lorsque le taux d'évolution du nombre d'individus en une journée est inférieur à $0,1$\,\%. 

\emph{Rappel : Lorsqu'une quantité passe de la valeur $Q_1$ à la valeur $Q_2$ le taux d'évolution est $t = \dfrac{Q_2 - Q_1}{Q_1}$} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Premier modèle} 

Au bout d'une journée, il observe que la population s'élève à \np{54000} individus. 

Il décide de faire l'hypothèse suivante : En notant $p_n$ le nombre d'individus, en milliers, au bout de $n$ journées, la suite $\left(p_n\right)$ vérifie $p_0 = 50$ et pour tout entier naturel $n$,\, $p_{n+1} = 0,9p_n + 9$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que ce modèle est en accord avec l'observation du nombre d'individus au bout d'une journée. 
D'après le modèle $p_1 = 0,9 \times 50 + 9 = 45 + 9 = 54$, ce qui correspondà l'observation.
		\item On note $v_n = p_n - 90$. 

%Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. 

Quelque soit le naturel $n$, \: $v_{n+1} = p_{n+1} - 90 = 0,9p_n + 9 - 90 = 0,9\left(p_n + 10 - 100) \right) = 0,9\left(p_n - 90\right) = 0,9v_n$.

L'égalité $v_{n+1} = 0,9v_n$vraie pour tout naturel, montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
		\item %En déduire l'expression de $v_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
On a $v_0 = p_0 - 90 = 50 - 90 = - 40$.
On sait qu'alors que pour tout $n \in \N$, \: $v_n = v_0 \times0,9^n = - 40 \times 0,9^n$.

Or $v_n = p_n - 90 \iff p_n = v_n + 90 = - 40 \times 0,9^n + 90 = 90 - 40\times0,9^n$.

Donc pour $n \in \N$, \: $p_n = 90 - 40\times0,9^n$.
		\item %Ce modèle est-il compatible avec l'observation attendue à long terme ? Justifier. 
On sait que comme $0 < 0,9 < 1$ \: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,9^n = 0$ et aussi que  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 40 \times 0,9^n = 0$,donc finalement  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = 90$, soit \np{90000} individus ce qui correspond bien aux expériences. Le modèle est compatible.
		\item %Déterminer au bout de combien de jours cette population est considérée comme \og stable \fg.
La population est stable quand le taux d'évolution est inférieur à 0,1\,\%, soit :

$\dfrac{p_{n+1}-p_n}{p_n} < 0,001 \iff \dfrac{90 - 40\times0,9^{n+1} -\left(90 - 40\times0,9^n \right)}{90 - 40\times0,9^n} < 0,001 \iff$

$ \dfrac{40\left(0,9^n - 0,9^{n+1}\right)}{90 - 40\times0,9^n} <0,001$ ou encore en multipliant par $p_n = 90 - 40\times0,9^n > 0$, 

$40 \times 0,9^n(1 - 0,9) < 0,001\left( 90 - 40\times 0,9^n\right) \iff 4 \times 0,9^n < 0,09 - 0,04\times 0,9^n  \iff$

$ 4,04\times 0,9^n < 0,09 \iff 0,9^n < \dfrac{0,09}{4,04}\iff n \ln 0,9 < \ln \left(\frac{0,9}{4,04}\right) \iff n > \dfrac{\ln \left(\frac{0,09}{4,04}\right)}{\ln 0,9}$.

Or $\dfrac{\ln \left(\frac{0,09}{4,04}\right)}{\ln 0,9} \approx 36,1$ : il faudra donc attendre 37 jours.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième modèle} {\fontencoding{U}\fontfamily{mpi001}\fontsize{14}{14}\selectfont \char109}{\fontencoding{U}\fontfamily{mpi001}\fontsize{14}{14}\selectfont \char110}

Au bout de deux journées, il observe que la population d'élève à \np{57888} individus. 

Il décide d'adopter un nouveau modèle : En notant $r_n$ le nombre d'individus au bout de $n$ journée(s), la suite $\left(r_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$,\, $r_{n+1} = f\left(r_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = - 0,002x^2 +1,18x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que ce modèle est en accord avec les décomptes de la population effectués les deux premiers jours. 
On admet que $x$ est le nombre d'individus en milliers et que $r_0 = 50$.
		
$\bullet~~$$r_1 = f(r_0) = 1,18 \times 50 - 0,002 \times 50^2 = 54$, soit \np{540000} individus ;

$\bullet~~$$r_2 = f(r_1) = 1,18 \times 54 - 0,002 \times 54^2 = 57,888$, soit \np{57888} individus.

Ce modèle est en accord avec les décomptes de la population effectués les deux premiers jours. 
		\item %
$f$ est dérivable sur $\R$, et sur cet intervalle $f'(x) = - 0,004x + 1,18$ qui s'annule si 

$- 0,004x + 1,18 = 0 \iff 1,18 = 0,004x \iff \dfrac{1,18}{0,004} = 295$.

On a donc $f'(x) > 0 \iff - 0,004x + 1,18 > 0 \iff 1,18 > 0,004x \iff x < 295$ : la fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle [0~;~295].

$\bullet~~$Démonstration par récurrence :

\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation}

On a vu que $0< 50 < 54$, soit $0 < r_0 < r_1 < 90$ : l'encadrement est vrai au rang $0$.
\item \emph{Hérédité}

Supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que :
$0 \leqslant r_n \leqslant r_{n+1} \leqslant 90$.

Par croissance de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~90] (puisqu'elle l'est sur [~;~295]), on a donc :

 $f(0) \leqslant f\left(r_n \right) \leqslant f\left(r_{n+1} \right) \leqslant f(90)$.

Comme $f(0) = 0$,\: $f\left(r_n \right) = r_{n+1}$, \: $f\left(r_{n+1} \right) = r_{n+2}$ et $f(90) = 1,18 \times 90 - 0,002 \times 90^2 = 106,2 - 16,2 = 90$, on obtient donc

$0 \leqslant r_{n+1} \leqslant r_{n+2} \leqslant 90$ : l'encadrement est vrai au rang $n+1$.

L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est est vrai à un rang $n$ quelconque, il l'est aussi au rang $n + 1$ : on a donc démontré par le principe de récurrence que 

pour tout naturel $n$, \: $0 \leqslant r_n \leqslant r_{n+1} \leqslant 90$.
\end{itemize}

		\item %En déduire que la suite $\left(r_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. 
		le résultat précédent montre que :
		
		\begin{itemize}
\item la suite $\left(r_n\right)$ est croissante et 
\item qu'elle est bornée, donc en particulier majorée par 90.

Croissante et majorée elle est donc convergente vers une limite $\ell$ avec $\ell \leqslant 90$.
\end{itemize}
 
		\item %On admet que $\ell$ doit vérifier $f(\ell) = \ell$. En déduire la valeur de $\ell$.
$f(\ell) = \ell \iff 1,18\ell - 0,002l^2 = \ell \iff 0,18\ell 0,002l^2 \iff \ell(0,18 - 0,002\ell) = 0 \iff \ell = 0$ ou $\ell = \dfrac{0,18}{0,002} = 90$.

Seule la deuxième solution est vraisemblable, donc $\ell = 90$.		 
		\item %Recopier et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'il affiche en sortie le nombre de jour(s) au bout duquel la population pourra être considérée comme stable.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$r \gets 50$\\
$n \gets 0$\\
$t \gets 1$ \\
Tant que $r < 90$\\
$r'\gets r$ \\
$r \gets 1,18*r' - 0,002*r'^2$\\
$n \gets n+1$\\
$t \gets n$\\
Fin tant que\\
 Afficher t\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

%
%
%\psset{unit=0.05cm}
%\begin{pspicture}(300,180)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50](0,0)(0,0)(300,180)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{300}{1.18 x mul x dup mul 0.002 mul sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{300}{x}
%\end{pspicture}

\begin{center} \textbf{3\up{e} question}\end{center} 
	
Dans une grande entreprise, un virus informatique a infecté 20\,\% des ordinateurs. Un technicien de la maintenance informatique doit les contrôler à l'aide d'un logiciel anti-virus.

 Lorsqu'un ordinateur est infecté par le virus, le logiciel émet un message d'alerte dans 95\,\% des cas. 27\,\% des tests ont donné lieu à un message d'alerte. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un des ordinateurs de l'entreprise, et on note les évènements suivants: 

$V$ : \og l'ordinateur est infecté par le virus\fg{}\quad  $A$ : \og Le logiciel émet un message d'alerte\fg 
	\begin{enumerate}
		\item~ %Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré et calculer $P(V \cap A)$.~
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$} \ncput*{0,20}}
	{\TR{$A$} \ncput*{0,95}
	\TR{$\overline{A}$} \ncput*{{\red 0,05}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$} \ncput*{{\red 0,80}}}
	{\TR{$A$} \ncput*{{\red 0,1}}
	\TR{$\overline{A}$} \ncput*{{\red 0,9}}
	}	
}	
\end{center} 

On a donc $P(V \cap A) P(V) \times P_V(A) = 0,20 \times 0,95 = 0,19$.
		\item %Calculer $P\left(\overline{V} \cap A\right)$ et en déduire $P_{\overline{V}}(A)$. 
		
D'après la loi des probabilités totales :
		
$P(A) = P(V \cap A)  + P\left(\overline{V} \cap A\right)$ soit $0,27 = 0,19 + P\left(\overline{V} \cap A\right)\iff P\left(\overline{V} \cap A\right) = 0,27 - 0,19 = 0,08$.

Or $P\left(\overline{V} \cap A\right) = P\left(\overline{V}\right) \times P_{\overline{V}}(A)$, soit $0,08 = 0,8 \times P_{\overline{V}}(A) \iff P_{\overline{V}}(A) = 0,1$.
		\item %Le technicien reçoit un message d'alerte du logiciel anti-virus sur un ordinateur. 

%Il affirme qu'il y a alors moins de 3 chances sur 4 que cet ordinateur soit effectivement infecté par le virus. 

%Justifier cette affirmation. 
On a $P_A(V) = \dfrac{P(A \cap V)}{P(A)} = \dfrac{0,19}{0,27} \approx 0,70$.

Comme $0,70 < 0,75 = \dfrac{3}{4}$, le technicien a raison.
	\end{enumerate}
\item %À chaque fois qu'un message d'alerte est émis par le logiciel anti-virus, le technicien réalise un second test, parfaitement fiable celui-ci, pour savoir si l'ordinateur est effectivement infecté par le virus. Le coût de ce second test pour l'entreprise s'élève à $10$~\euro. Si l'ordinateur est effectivement infecté, il engage alors une réparation de la carte mère dont le coût pour l'entreprise s'élève à $25$~\euro. 

%Lorsque le logiciel anti-virus n'a pas émis de message d'alerte, l'ordinateur est remis en circulation, et le coût pour l'entreprise est de $0$~\euro. 

%On note $X$ la variable aléatoire qui donne le coût total de l'intervention sur un ordinateur choisi au hasard dans l'entreprise. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau.
		
\begin{enumerate}
\item S'il y a eu alerte et si l'ordinateur est infecté le  coût est de $10 + 25 = 35$~\euro ;
\item S'il a eu alerte  et que l'ordinateur n'est pas infecté, le coût est de 10~\euro ;
\item S'il n'y a pas eu alerte le coût est de 0~\euro.
\end{enumerate}

D'où le tableau de la loi de probabilité de la la variable aléatoire $X$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$X = 35$&$X = 10$&$X = 0$\\ \hline
$P(X = \ldots)$&0,19&0,08&0,73\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat obtenu. 
On a $E(X) = 0,19 \times 35 + 0,08 \times 10 + 0 \times 0,73 = 6,65 + 0,80 = 7,45$~(\euro).

Ceci signifie que le coût moyen par ordinateur de la réparation sera de 7,45~\euro.
		\item %Le responsable du budget de la maintenance informatique demande au technicien de ne pas pratiquer ce second test, et d'effectuer la réparation de la carte mère sur tous les ordinateurs sur lesquels le message d'alerte a été émis par le logiciel anti-virus. Justifier cette décision. 
Sans le second test et en réparant tous les ordinateurs le coût de réparation par ordinateur sera de $0,27 \times 25 = 6,75$~\euro donc inférieure au coût dans la méthode précédente. Cette décision se justifie donc.
	\end{enumerate}
\item %Il choisit $400$ ordinateurs pour les tester. Le parc informatique de l'entreprise est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à $400$ tirages successifs avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'ordinateurs infectés parmi ces $400$ ordinateurs. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de $Y$ en précisant ses paramètres puis calculer son espérance $\mu$ et son écart-type $\sigma$.
Dans ces conditions $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p = 0,20$.
On a $E = n \times p = 400 \times 0,20 = 80$.
	
La variance $V$ est $V = n \times (1 - p) = 400 \times 0,2 \times 0,8 = 64$ et l'écart type est égal à :

$\sigma = \sqrt{V} ±sqrt{64} = 8$.
		\item %Quel calcul donne la probabilité qu'au moins un ordinateur soit infecté par ce virus ? 
La probabilité qu'au moins un ordinateur soit infecté par ce virus est égale à $1 - 0,27^0 \times (1 - 0,27)^{400} = 1 - 0,73^{400}$.

Comme $0,27^{400} \approx 1,7 \times 10^{-39} \approx 0$. la probabilité qu'au moins un ordinateur soit infecté par ce virus est pratiquement égale à 1  : cet évènement est certain.
%Que peut-on dire de cet évènement? 
		\item %Pour cette question, on utilisera l'approximation permise par le théorème de Moivre-Laplace, c'est-à-dire que pour tous réels $a$ et $b$ , $P\left( a \leqslant  \dfrac{Y -  80}{8} \leqslant  b\right) \approx  P(a \leqslant Z \leqslant b)$ où $Z$ suit la loi normale centrée réduite. 
		
%On utilisera la table de valeurs suivante pour répondre: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small} l|*{10}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$a$& 0&0,05& 0,1& 0,15& 0,2& 0,25& 0,3& 0,35& 0,4 &0,45\\ \hline
%$P(Z<a)$& 0,5& 0,52& 0,54& 0,56& 0,579& 0,599& 0,618& 0,637& 0,655& 0,674 \\ \hline
%$a$& 0,5& 0,55& 0,6& 0,65& 0,7& 0,75& 0,8& 0,85& 0,9& 0,95\\ \hline
%$P(Z<a)$& 0,691& 0,709& 0,726& 0,742& 0,758& 0,773& 0,788& 0,802& 0,816& 0,829\\ \hline
%$a$ &1 &1,05& 1,1& 1,15& 1,2& 1,25& 1,3& 1,35& 1,4& 1,45\\ \hline
%$P(Z<a)$& 0,841& 0,853& 0,864& 0,875& 0,885& 0,894& 0,903& 0,911& 0,919& 0,926\\ \hline
%$a$& 1,5& 1,55& 1,6& 1,65& 1,7& 1,75& 1,8 &1,85& 1,9& 1,95\\ \hline
%$P(Z<a)$&0,933& 0,939& 0,945& 0,951& 0,955& 0,96& 0,964& 0,968& 0,971& 0,974\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 

		\begin{enumerate}
			\item %Calculer $P(Y \leqslant 90)$. 
On a $P(Y \leqslant 90) \iff P(Z < 1,25) \approx 0,894$.
			\item %Déterminer un entier $c$ tel que $P( 80 - c \leqslant Y \leqslant 80 + c) ~ \approx 0,9$. 
$P( 80 - c \leqslant Y \leqslant 80 + c) ~ \approx 0,9 \iff P(- c \leqslant Y - 80 \leqslant c) \approx 0,9 \iff P\left(- \dfrac{c}{8} \leqslant Z \leqslant \dfrac{c}{8}\right) \approx 0,9 \iff 2P\left(Z \leqslant \dfrac{c}{8}\right) - 1 \approx 0,9 \iff P\left(Z \leqslant \dfrac{c}{8}\right) \approx 0,95$, soit d'après la table $\dfrac{c}{8} \approx 1,65$, d'où finalement $c \approx 13$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{4\up{e} question}

\medskip 

On se place dans un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace. 

On note P le plan \Oij{} et on considère les points: 

\[A(1~;~2~;~\sqrt{5}), \: B(2~;~-1~;~\sqrt{5}),\:C(3~;~1~;~0),\: D(0~;~0~;~\sqrt{5}), \:S\left(\dfrac{1}{2}~;~- \dfrac{3}{2}~;~0\right)\:\text{et} \:T\left(- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}~;~0\right)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$, parallèle à la droite $(AB)$, passant par O, l'origine du repère. 
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$, donc $M(x~;~y~;~z) \in D \iff \vect{OM} = t\vect{AB} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1t\\
y&=&-3t\\
z&=&0
\end{array}\right.$, \: $t \in \R$.		
		\item %Montrer qu'il existe exactement deux points, appartenant à la droite $D$, situés à la distance $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ du point O. Vous préciserez les coordonnées de ces deux points.
Les points $M(x~;~y~;~z)\in D$ sont tels que :
		
$OM^2 = \left(\dfrac{\sqrt{10}}{2} \right)^2 = \dfrac{10}{4} \iff  t^2 + 9t^2 = \dfrac{10}{4} \iff 10t^1 = \dfrac{10}{4} \iff t^2 = \dfrac{1}{4}$, soit $t = - \dfrac{1}{2}$ ou $t =  \dfrac{1}{2}$
		
En reportant dans l'équation paramétrique de $D$, les points solutions sont $M_1\left(\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{3}{2}~;~0 \right)$ et $M_2\left(-\dfrac{1}{2}~;~+\dfrac{3}{2}~;~0 \right)$ (qui sont symétriques autour de $O$). 
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan $Q$, orthogonal à la droite $(CD)$, et passant par le point O.
On a $\vect{CD}\begin{pmatrix}-3 \\-1\\\sqrt{5}\end{pmatrix}$, donc une équation du plan $Q$ normal à ce vecteur est :

$M(x~;~y~;~z) \in Q \iff - 3x - y + z\sqrt{5} = d$.

Or $O(0~;~0~;~0) \in Q \iff 0 = d$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in Q \iff - 3x - y + z\sqrt{5} = 0$.
		\item %Montrer que la droite $D$ est incluse dans le plan $Q$.
En prenant $t = - 1$, un autre point de $D$ est $E(-1~;~3~;~0)$ et 

$- 3 \times (- 1) - 3 +0 = 0 \iff 0 = 0$, donc $E \in D$ et $D \in Q$. On a bien $D \subset Q$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $t$ un nombre réel appartenant à [0~;~1] et $M$ le point du segment $[CD]$ vérifiant l'égalité vectorielle : 

$\vect{CM}= t \vect{CD}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées de $M$ en fonction de $t$.
$\vect{CM}= t \vect{CD}\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 3&=&- 3t\\
y - 1&=&-1t\\
z - 0&=&\sqrt{5}t
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&3 - 3t\\
y &=&1 - t\\
z &=&\sqrt{5}t
\end{array}\right.$ 
		\item %Montrer que le point $H(3 - 3t~;~1 - t~;~0)$ est le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $P$ (c'est-à-dire que $H \in P$ et $(MH) \perp P$). 
Le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $P$ a les mêmes coordonnées que $M$ mais une cote nulle, donc $H(3 - 3t~;~1 - t~;~0)$.
		\item %Montrer que le triangle $TSH$ est isocèle en $H$ puis déterminer une expression de l'aire du triangle $TSH$ en fonction de $t$.
On a $\vect{HS}\begin{pmatrix}\frac{5}{2} - 3t\\\frac{5}{2} - t\\0\end{pmatrix}$  et $\vect{HT}\begin{pmatrix}\frac{7}{2} - 3t\\\-\frac{1}{2} - t\\0\end{pmatrix}$.

Il en résulte que $HS^2 = \frac{25}{4} + 9t^2  - 15t +  \frac{25}{4} + t^2 - 5t = \frac{25}{2} + 10t^2  - 20t$ et 

$HT^2 = \frac{49}{4} + 9t^2 - 21t  + \frac{1}{4} + t^2 + t =  \frac{25}{2} + 10t^2 - 20t$.

On a donc $HS^2 = HT^2 \Rightarrow HS = HT$, donc $HST$ est un triangle isocèle en 
$H$.

Or les points $S$ et $T$ sont symétriques autour de $O$, donc $O$ est le milieu de $[ST]$ et $HO$ médiane est aussi hauteur du triangle isocèle $TSH$.

L'aire de ce triangle est donc égale à $\dfrac{ST \times OH}{2}$.

De $\vect{ST}\begin{pmatrix}-1\\3\\0)\end{pmatrix}$ on en déduit que $ST^2 = 1 + 9 = 10$, d'où $ST = \sqrt{10}$ ; de même $\vect{OH}\begin{pmatrix}(3 - 3t\\1 - t\\0\end{pmatrix}$ on en déduit que $OH^2 = 9 + 9t^2 - 18t + 1 + t^2 - 2t = 10t^2 + 10 - 20t = 10\left(t^2 + 1 - 2t\right) = 10(t - 1)^2$, d'où $OH = \sqrt{10}(1 - t)$ (car $t \in [0~;~1]$).

L'aire est donc égale à $\dfrac{\sqrt{10} \times \sqrt{10}(1 - t)}{2} = 5(1 - t)$. 

\scalebox{0.75}{
\psset{unit=2cm,comma,dash=3pt 3pt,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=3pt 3}
\psset{nodesep=0pt, radius=2pt}
\def\xmin {-3.2}   \def\xmax {0.8}
\def\ymin {-1.5}   \def\ymax {2.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=gray] 
\psaxes[ ticksize=-2pt 2pt, Dx=0.5,yAxis=false,labels=none]{<-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.5,xAxis=false]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
%%% définitions des points
\Cnode*(0,2.236){D}  \Cnode*(-1.8,0.539){M} \Cnode*(0,0){O}
\Cnode*(-1.8,-0.3){H}  \Cnode*(-2.9,-0.5){C} 
\Cnode*(-0.7,0.7){S}  \Cnode*(0.6,-0.6){T}
\Cnode*[radius=0pt](0.233,-1.4){X}%%% point bidon pour le 3e axe
%%% tracés
\psline[linestyle=dashed](-1.8,\ymin)(-1.8,\ymax)
\ncline[nodesep=-1cm]{C}{D}
\ncline[nodesepB=-1cm,linestyle=dashed]{S}{T}
\psline{->}(0,0)(X) \psline(0,0)(-0.066,0.4) %%% 3e axe
\pspolygon[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](M)(H)(T)(S)
\psline(M)(T) \psline[linestyle=dashed](H)(S)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, Dx=0.5,yAxis=false,labels=none,linestyle=dashed]{<-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-0.4)
 \psline[linestyle=dashed](0,0)(X)%%% bout du 3e axe
%%% graduations
\multido{\n=-3+0.5,\na=3+-0.5}{6}{
\uput[d](\n,0){$\scriptstyle\np{\na}$}}
\uput[d](0.5,0){$\scriptstyle -0,5$}
\multido{\nx=0.0333+0.0333,\ny=-0.2+-0.2,\n=0.5+0.5}{6}{
\uput[r](\nx,\ny){$\scriptstyle\np{\n}$}
\rput(\nx,\ny){-}}
\psline(-1.8,-0.2)(-1.72,-0.21)(-1.72,-0.31)
%%% écriture des points
\uput[dr](D){$D$}  \uput[ul](M){$M$} \uput[dl](H){$H$} \uput[ur](O){$O$}
 \uput[ul](C){$C$}  \uput[ur](S){$S$}  \uput[ur](T){$T$}
\end{pspicture*}
}

		\item %En déduire que le volume $V(t)$ de la pyramide $TSMH$ peut s'écrire : 
On a vu que $(MH)$ est perpendiculaire au plan $(TSH)$ ; le volume de la pyramide $TSMH$ est donc égal à $\dfrac{\text{aire}(TSH) \times MH}{3}$.

On a de façon évidente $MH = t\sqrt{5}$, donc 		
		\[V(t) = \dfrac{5\sqrt{5}}{3}t(1-t).\] 
		\item %Déterminer les coordonnées du point $M_0$ permettant d'obtenir la pyramide de volume maximal.
		Le trinôme $t - t^2$ a pour valeur maximale la valeur qui annule sa dérivée $1 - 2t$, soit $t = \dfrac{1}{2}$.
		
		On a donc $V_{\text{maxi}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{3}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right) = \dfrac{5\sqrt{5}}{12}$, pour $M_0\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)$.
		\item %Calculer la valeur du produit scalaire $\vect{M_0S} \cdot \vect{M_0T}$.
		On a $\vect{M_0S}\begin{pmatrix}-1\\- 2\\-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}$ et $\vect{M_0T} \begin{pmatrix}- 2\\1\\- \dfrac{\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}$.
		
		Donc $\vect{M_0S} \cdot \vect{M_0T} =  2 - 2  + \dfrac{5}{4} =  \dfrac{5}{4}$
		\item %En déduire la valeur de $\cos \left(\widehat{SM_0T}\right)$ puis donner une valeur en degré, approchée à $0,1$ près, de l'angle géométrique $\widehat{SM_0T}$.
On a aussi $\vect{M_0S} \cdot \vect{M_0T} = M_0S \times M_0T \times \cos \left(\widehat{SM_0T}\right)$.

D'où $M_0S = \sqrt{1 + 4 + \frac{5}{4}} = \frac{5}{2}$ ; $M_0T = \sqrt{4 + 1 + \frac{5}{4}} = \frac{5}{2}$
		
En égalant les deux valeurs du produit scalaire :
		
$\dfrac{5}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2}  \times \cos \left(\widehat{SM_0T}\right) \iff \cos \left(\widehat{SM_0T}\right) = \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{25}{4}} = \frac{1}{5} = 0,2$.

La calculatrice donne 	$\widehat{SM_0T} \approx 78,463$ soit environ $78,5\degres$.	 
%\bigskip
%
%\emph{Nota :\\
%\begin{enumerate}
%\item Aucun document n'est autorisé. 
%\item Délits de fraude: \og Tout candidat pris en flagrant délit de fraude ou convaincu de tentative de fraude se verra attribuer la note zéro, éliminatoire, sans préjudice de l'application des sanctions prévues par les lois et règlements en vigueur réprimant les fraudes dans les examens et concours publics\fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\centerline{\Huge \decothreeleft\decothreeright}
\centerline{\fontsize{32}{32}\selectfont \decotwo}
\end{document}