\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{arydshln} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add
}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Baccalauréat S},
%pdftitle = {Corrigé du concours de contrôleur des douanes session 2018},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{21 février 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance 21 février 2018}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Remarque préliminaire :}
\begin{itemize}
\item Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.
\item Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 1 :}

\medskip

%Deux sociétés spécialisées dans le commerce de voitures, les sociétés \og Bonne Route\fg{} et
%\og Voyage \fg, se partagent un marché stable de 20 millions de clients.
%
%Au 1\up{er} janvier 2018, la société \og Bonne Route\fg{} compte 16 millions de clients et la société \og Voyage\fg{} compte 4 millions de clients.
%
%Les prévisions du marché laissent apparaître que, chaque année, la société \og Bonne Route\fg{} perdra 20\,\% de ses clients au profit de la société \og Voyage\fg{} et que la société \og Voyage\fg{} perdra elle aussi 20\,\% de ses clients au profit de la société \og Bonne Route \fg.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $U_n$ le nombre de clients (en millions) de la société \og Voyage \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année $2018+n$. On déduit de l'énoncé que $U_0 = 4$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $U_1 = 6,4$.
Retrancher 20\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{20}{100} = 1 - 0,2 = 0,8$.

On passe de $U_1$ à $U_2$ en multipliant $U_1$ par 0,8 puis en ajoutant $0,2(20 - U_1)$.

Donc $U_2 = 0,8U_1 + 4 - 0,2U_1 = 0,6U_1 + 4 = 0,6 \times 4 + 4 = 2,4 + 4 = 6,4$. (millions)
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\, $U_{n+1} = 0,6 \times U_n + 4$.
De même on passe de $U_n$ à $U_{n+1}$ en multipliant $U_n$ par 0,8 puis en ajoutant 
		
$0,2(20 - U_n)$.
		
Donc $U_{n+1} = 0,8U_n + 0,2(20 - U_n) = 0,8U_n + 4 - 0,2U_n = 0,6U_n + 4$.
	\end{enumerate}
\item %On considère la suite $\left(V_n\right)$  définie, pour tout naturel $n$, par $V_n = U_n - 10$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
Quel que soit $n \in \N$, \: \: $V_{n+1} = U_{n+1} - 10 = 0,6U_n + 4 - 10 = 0,6U_n - 6 = 0,6\left(U_n - 10\right) = 0,6V_n.$

Ceci montre que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,6.
		\item %Calculer $V_0$.
$V_0 = U_0 - 10 = 4 - 10 = - 6$.
		\item %Sachant que $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique, exprimer $V_n$ en fonction de $n$ et de $V_0$.
		On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $V_n = V_0 \times q^n$, $q$ étant la raison de la suite, donc :
		
$V_n = - 6 \times 0,6^n$.
		\item %En déduire $U_n$ en fonction de $n$.
$V_n = U_n - 10 \iff U_n = V_n + 10 = 10 - 6 \times 0,6^n$.

\begin{center}Quel que soit $n \in \N, \quad U_n = 10 - 6 \times 0,6^n$. \end{center}
	\end{enumerate}
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} U_n$.
Comme $0 < 0,6 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,6^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 6 \times 0,6^n = 0$ et enfin
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} U_n = 10.\]

À terme les deux sociétés auront le même nombre de clients.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 2 :}

\medskip

\textbf{N. B. : Pour cet exercice les réponses seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

Une classe comprend 20 élèves : 12 filles et 8 garçons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trois élèves de la classe sont tirés au sort pour devenir délégués de classe.
	\begin{enumerate}
		\item %Une combinaison correspondant au tirage au sort de 3 élèves parmi les 20 présents,
%montrer que le nombre total de combinaisons possibles est de \np{1140}.
On tire un premier nom (20 possibilités), un deuxième (19 possibilités) et un troisième (18 possibilités), soit $20 \times 18 \times 18$ trios, mais si on a choisi le trio (k b s) celui-ci est le même que les trios (k s b), (b k s), (b s k), (s b k) et (s k b) : avec 3 personnes on trouve 6 trios identiques, donc le nombre de choix différents possibles avec ces 20 élèves est 
\[\dfrac{20 \times 18 \times 18}{6} = \dfrac{\np{6840}}{6} = \np{1140}.\]

		\item %Montrer que la probabilité que 3 filles soient déléguées de classe est de $\dfrac{11}{57}$.
		Le nombre de choix avec uniquement des filles est de la même façon :
		\[\dfrac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220.\]
La probabilité que 3 filles soient déléguées de classe est de $\dfrac{220}{\np{1140}} = \dfrac{22}{114} = \dfrac{11}{57}$.
	\end{enumerate}
\item  %Le professeur fait effectuer 3 exercices successivement au tableau.

%À chaque exercice, il effectue un tirage au sort parmi l'intégralité de la classe pour désigner l'élève qui résout l'exercice (un même élève peut donc se retrouver plusieurs fois au tableau).
	\begin{enumerate}
		\item %Pour chaque tirage au sort, montrer que la probabilité (appelée $P_F$) qu'une fille soit tirée au sort est de $\dfrac{3}{5}$ et que la probabilité (appelée $P_G$ ) qu'un garçon soit tiré au sort est de $\dfrac{2}{5}$.
La probabilité de choisir une fille est $P_F  = \dfrac{12}{20} = \dfrac{4 \times 3}{4 \times 5} = \dfrac{3}{5}$. Celle de choisir un garçon est $P_F  = \dfrac{8}{20} = \dfrac{4 \times 2}{4 \times 5} = \dfrac{2}{5}$ ou encore $1 - \dfrac35 = \dfrac25$.
		\item %À partir de ces résultats, montrer que la probabilité pour qu'une seule fille et deux garçons soient tirés au sort sur les 3 tirages successifs est de $\dfrac{36}{125}$ (la méthode est laissée au choix du candidat).
Les épreuves étant indépendantes le nombre de filles choisies suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$, avec $P_F = \dfrac35$

La probabilité d'avoir une seule fille est donc égale à : 
\[\binom{3}{1} \left(\dfrac35\right)^1\times \left(\dfrac25\right)^2 = 3 \times \dfrac35 \times \dfrac{4}{25} = \dfrac{36}{125}.\]
	\end{enumerate}
\item  %Soit $P_A$ la probabilité qu'un évènement $A$ se produise et $P_B$ la probabilité qu'un évènement $B$ se produise.

On a $P_A = 0,6$ ;\, $P_B = 0,5$ et $P(A \cup B) = 0,8$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $P(A \cap B)$.
On a $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \iff 0,8 = 0,6 + 0,5 - P(A \cap B)\iff $

$P(A \cap B) = 0,6 + 0,5 - 0,8 = 0,3$.
		\item %Déterminer la probabilité de \og $A$ sachant $B$ \fg{} notée $P(A/B)$.
On sait que $P(A/B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,3}{0,5} = \dfrac35$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice \no 3 :}

\medskip

%On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est $x$, exprimé en centaines d'euros.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %D'après une étude de marché, l'offre $f(x)$ et la demande $g(x)$ pour cet objet, en centaines d'unités, sont définies pour tout $x > 0$  comme:

%\[f(x) = \dfrac{1}{2}\e^x - 1\qquad \text{et}\qquad  g(x) = \dfrac{15}{\dfrac{1}{2}\e^x + 1}.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'unique solution exacte (ni arrondie, ni encadrée) de l'équation 

$f(x) = g(x) \iff \dfrac{1}{2}\e^x = \dfrac{15}{\dfrac{1}{2}\e^x + 1} \iff \left(\dfrac{1}{2}\e^x - 1\right)\left(\dfrac{1}{2}\e^x + 1\right) = 15 \iff \dfrac14 \e^{2x} - 1  = 15 \iff \dfrac14 \e^{2x} - 16 = 0 \iff \left(\dfrac{1}{2}\e^x+ 4 \right) \left(\dfrac{1}{2}\e^x- 4 \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}\e^x+ 4 = 0\\
\dfrac{1}{2}\e^x - 4 = 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}\e^x = - 4\\
\dfrac{1}{2}\e^x = 4
\end{array}\right.$.

La première équation n'a pas de solution puisque que quel que soit $a \in \R, \: \e^a > 0$, il reste donc 
$\dfrac{1}{2}\e^x = 4 \iff \e^x = 8$, d'où par croissance de la fonction logarithme népérien sur $\R^+$ : $x = \ln 8$.

\[x = \ln \left(\dfrac{4 + \sqrt{240}}{2}\right).\]

Comme $240 = 8 \times 30 = 16 \times 15$, on a $\sqrt{240} = \sqrt{16 \times 15} = \sqrt{16} \times \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$, donc $x = \ln \left(\dfrac{4 + 4\sqrt{15}}{2}\right) : \ln \left(2 + 2\sqrt{15} \right)$.

On appelle cette solution le \og prix d'équilibre \fg{}, c'est-à-dire le prix en centaines d'euros qui permet l'égalité entre l'offre et la demande.
\item %À partir de la solution trouvée précédemment, déterminer l'offre, exprimée en nombre d'objets, au prix d'équilibre.
On a donc pour ce prix d'équilibre une offre de :

$f(\ln 8)  = \dfrac12 \e^{\ln 8} - 1 =  \dfrac12 \times 8 - 1 = 4 - 1 = 3$, soit 300 objets.
\item %En admettant que $\ln (8) = 2,08$ ,  quel est le chiffre d'affaires généré par les ventes au prix d'équilibre ?
On a donc un chiffre d'affaires de $300 \times \ln 8  = 3  \ln 2^3 = 900\ln 2 \approx \np{62383}$~\euro.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $h(x)$ définie par $h(x) = 2x^2 - 3x +4$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la dérivée $h'(x)$ de la fonction $h(x)$.
La fonction polynôme $h$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$h'(x) = 4x - 3$.
		\item %En déduire une primitive $K(x)$ de la fonction $k(x)$ définie par :
		
% \[k(x)  = - \dfrac{4x - 3}{\left(2x^2 - 3x + 4\right)^2}.\]
On pose $u(x) = 2x^2  - 3x +4$ et donc $u'(x) = 4x - 3$.

On a donc $k(x) = -\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$ qui a pour primitive $\dfrac{1}{u(x)}= \dfrac{1}{2x^2 - 3x + 4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}