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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours Contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small 25 février 2015}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large{ \textbf{\decofourleft~Contrôleur des douanes :  25 février 2015~\decofourright\\[7pt]Option surveillance
}}}


\bigskip

\textbf{OPTION A :  MATHÉMATIQUES}\end{center}

\medskip

\textbf{Remarque préliminaire :}
\textbf{
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.
}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

%Une association sportive louant des terrains de tennis s'interroge sur la rentabilité de ses terrains.
%
%Sachant que la location d'un terrain dure une heure, l'association a classé les heures en deux catégories : les heures pleines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine).
%
%Dans le cadre de cette répartition, 80\,\% des heures sont creuses.
%
%Une étude statistique sur plusieurs semaines lui a permis de s'apercevoir que :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Lorsque l'heure est creuse, 30\,\% des terrains sont occupés ;
%\item[$\bullet~$] Lorsque l'heure est pleine, 90\,\% des terrains sont occupés. 
%\end{itemize}
%
%On choisit un terrain au hasard. 
%
%On notera les évènements :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]$C$ : \og l'heure est creuse \fg{} ;
%\item[$\bullet~$]$T$ : \og le terrain est occupé \fg.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représentez cette situation par un arbre de probabilités pondéré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{0,8}}
	{\TR{$T$~~} \taput{0,3}
	\TR{$\overline{T}~~$}\tbput{0,7}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~~}\tbput{0,2}}
	{\TR{$T$~~} \taput{0,9}
	\TR{$\overline{T}~~$}\tbput{0,1}
	}
}
\end{center}

\item %Calculez $p(T \cap C)$ ;
On a $p(T \cap C) = p(C \cap T) = p(C) \times p_C(T) = 0,8 \times 0,3 = 0,24$.
\item %Déterminez la probabilité que le terrain soit occupé.
On a de même 
$p\left (T \cap \overline{C}\right) = p\left(\overline{C}\right) \times p_{\overline{C}}(T) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$.

D'aprè la loi des probabilités totales :

$p(T) = p(T \cap C) + p\left (T \cap \overline{C}\right) = 0,24 + 0,18 = 0,42$.
\item %Déterminez la probabilité que l'heure soit pleine, sachant que le terrain est occupé, et donnez le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Il faut trouver $p_T\left(\overline{C}\right) = \dfrac{p\left(T \cap \overline{C} \right)}{p(T)} = \dfrac{0,18}{0,42} = \dfrac{18}{42} = \dfrac{6\times 3}{6\times 7} = \dfrac37 \approx 0,429$.
%\end{enumerate}

\medskip

%Dans le but d'inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréquentation, l'association a instauré, pour la location d'un terrain, des tarifs différenciés:
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]12 \euro{} pour une heure pleine;
%\item[$\bullet~$]5 \euro{} pour une heure creuse.
%\end{itemize}
%
%On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la recette en euros obtenue grâce à la location horaire d'un terrain choisi au hasard.
%
%\begin{enumerate}[resume]
\item  %Quelles sont les valeurs prises par la variable $X$ ?$X = 0$ : 
$X = 0$ : le terrain n'est pas occupé avec $p\left(T\right) = 1 - p(T) = 1 - 0,42 = 0,58$.

Le terrain est occupé en heure creuse : $p(C \cap T) = 0,24$, la recette est $X = 5$ ;

Le terrain est occupé en heure pleine : $p\left(\overline {C}\cap T\right) = 0,18$, la recette est $X = 12$.

D'où le tableau de la loi :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$			&0		&	5	&12\\ \hline
$p(X = )$	&0,58	&0,24	&0,12\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%Construisez le tableau décrivant la loi de probabilité de $X$.
\item %Déterminez l'espérance mathématique de $X$. Interprétez ce résultat.
On a $E(X) = 0\times 0,58 + 5\times 0,24 + 12 \times 0,12 = 1,2 + 1,44 = 2,64$.

La recette horaire moyenne d'un court est de 2,64~\euro.
\item %Sachant que l'association dispose de $12$ terrains et est ouverte $60$ heures par semaine, quelle est sa recette hebdomadaire moyenne ?
Pour 12 courts et 60 heures de location, la recette moyenne est donc de \np{1900,80}~\euro.
\begin{center}$12 \times 2,64 \times 60 = \np{1900,80}$~(\euro). \end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

%Lors d'une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
%
%Pendant ces 5 minutes, les messages arrivent de façon continue, avec un débit variable en fonction du temps. 
%
%Si $x$ est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en milliers de messages par minute, est donné par la fonction $f$ telle que:
\[\left\{\begin{array}{l c l l}
f(x) &=& - 4x^2 + 8x& \text{pour} \quad x \in [0~;~1]\\
f(x) &=&\ln x - x + 5& \text{pour} \quad x \in  [1~;~5]
\end{array}\right.\]

%Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
%
%On veut calculer le nombre total de messages reçus pendant ces 5 minutes, et on admet que ce
%nombre de messages est donné par :
\[\displaystyle\int_0^5 f(x)\:\text{d}x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrez que $f$ est croissante sur [0~;~1] et décroissante sur [1~;~5].
$\bullet~~$Sur [0~;~1], $f(x) = -4x^2 + 8x = 4x(-x + 2)$ ; $f(x)$ est un trinôme de racines 0 et $2$.

On sait que $f$ est croissante de 0 à $\dfrac{0 + 2}{2}  = 1$, puis décroissante son signe est celui de $a = - 4$ donc négatif sauf entre les racines.%

Ou encore sur [0~;~1], $f(x) = ) 4x^2 + 8x$, donc $f'(x) = - 8x + 8$ et alors $f'(x) \geqslant 0 \iff -8x + 8 \geqslant 0 \iff 8 \geqslant 8x \iff 1 \geqslant 1$ : $f$ est donc croissante sur [0~;~1].

$\bullet~~$Sur [1~;~5], $f(x) = \ln x - x + 5$ ; $f$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = \dfrac 1x - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$ qui est du signe de $1 - x$ puisque $x \geqslant 1 > 0$.

Or $1 - x \leqslant 0 \iff x \geqslant 1$, donc $f'(x) \leqslant 0$ sur [1~;~5].
\item %Donnez une primitive $F$ de la fonction $f$ sur [0~;~1].
Sur [0~;~1], une primitive $F$ de $f$ est définie par :

$F(x) = -4\dfrac{x^3}{3} + 4x^2$.
\item %Calculez la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
L'aire limitée par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à :

$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = -4\dfrac{1^3}{3} + 4\times 1^2 - 0 = 4 - \dfrac43 = \dfrac83$.
\item %Soient $g$ et $G$ les fonctions définies sur [1~;~5] par 
\[g(x)= \ln x \quad \text{et}\quad  G(x)= x \ln x - x,\]
 montrez que $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~5].

$G$ est dérivable sur [1~;~5] et sur cet intervalle : $G'(x) = \ln x + x \times \dfrac 1x  - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x = g(x)$, donc $G$ est une primitive de $g$ sur [1~;~5].
\item %Calculez la valeur exacte de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$.
L'aire limitée par les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$ est donc égale à 

$\displaystyle\int_1^5 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_1^5 (\ln x - x + 5)\:\text{d}x = $

$\left[x \ln x - x - \dfrac{x^2}{2} + 5x\right]_1^5 = 5 \ln 5 - 5 - \dfrac{5^2}{2} + 5\times 5 - \left(\ln 1 - 1 - \dfrac{1^2}{2} + 5\times 1\right) = 5 \ln 5  + 20 - \dfrac{25}{2} - \left(-1 - \dfrac12 + 5\right) = 5\ln 5 + \dfrac{15}{2} - \dfrac72 = 5\ln 5 + \dfrac{20}{3}$. soit avec $\ln 5 \approx \np{1,60944}$, l'aire est environ 14,714 soit \np{14714} messages envoyés pendant les 5 minutes.
\item %Donnez le nombre total de messages reçus pendant ces 5 minutes, arrondi à l'unité.

%À titre indicatif, on précise que $\ln 5 \approx \np{1,60944}$.
Avec $\ln 5 \approx \np{1,60944}$, l'intégrale précédente est égale environ à 14,714 soit \np{14714} messages envoyés pendant les 5 minutes.
\item %Calculez la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~ 5].
La valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~ 5] est égale à :

$\dfrac{1}{5 - 0} \displaystyle\int_0^5 f(x) \:\text{d}x = \dfrac15 \displaystyle\int_1^5 f(x)\:\text{d}x$ soit environ $\dfrac{14,714}{5} = \np{2,9428}$ soit environ \np{2943} messages.

Ceci signifie que le débit des messages sera en moyenne environ  \np{2943} messages par minute.

%Donnez la valeur exacte, puis arrondie au millième. Interprétez ce résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

On considère $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$,deux suites définies par $u_0 = 9$ et, pour tout $n \in \N$ ,par :

\begin{center}$u_{n+1} = \dfrac12 u_n - 3$\quad et \quad $v_n = u_n + 6$\end{center}

\begin{enumerate}
\item %La suite $\left(v_n\right)$ est-elle une suite arithmétique ou géométrique ?
$\bullet~~$Arithmétique  ?

Calculons $v_{n+1} - v_n = u_{n+1} + 6 - u_n = \dfrac12 u_n - 3 + 6 - u_n = 3 - \dfrac12 u_n$.

Or $u_0 = 9$ et $u_1 = \dfrac12 u_0 - 3 = \dfrac92 - 3 = \dfrac32$ : la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas constante, la différence $v_{n+1} - v_n$ non plus donc la suite $\left(v_n\right)$ n'est pas arithmétique.

$\bullet~~$Géométrique ?

$v_{n+1} = u_{n+1} + 6 =  \dfrac12 u_n - 3 + 6 = \dfrac12 u_n + 3 = \dfrac12\left(u_n + 6\right) = \dfrac12v_n$

L'égalité $v_{n+1} = \dfrac12v_n$, vraie pour tout naturel montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0 = u_0 + 6 = 9 + 6 = 15$.
%Justifiez votre réponse et précisez quelle est la raison de cette suite.
\item %Exprimez $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$, puis $S'_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_n$ en fonction de $n$.
On a $S_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n$ (1) et en multipliant par $\dfrac12$ :

$\dfrac12 S_n = \dfrac12v_0 + \dfrac12v_1 + \ldots + \dfrac12v_n$, soit 

$\dfrac12 S_n = v_1 + v_2 + \ldots + v_n + v_{n+1}$ (2).

Par différence entre les lignes (1) et (2), on obtient :

$\dfrac12 S_n = v_0 - v_{n+1}$.

Or on sait que quel que soit $n \in \N, \: v_n = v_0 \times \left(\dfrac12\right)^n = \dfrac{15}{2^n}$, donc 

$\dfrac12 S_n = 15 - \dfrac{15}{2^{n+1}} = 15 \left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right).$

Finalement $S_n = 30\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right).$

Comme $v_n = u_n + 6 \iff u_n = v_n - 6$, on obtient :

$S'_n = v_0 + v_1 + \ldots + v_n + (n+1) \times 6 = S_n + 6(n + 1) = 30\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right) + 6(n + 1)$.
\item %Déterminez les limites de $\left(S_n\right)$ et $\left(S'_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.

Comme $0< \dfrac12 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2^n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S_n = 30$.

Par contre comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}6(n + 1) = + \infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S'_n = + \infty$.

%On définit, pour tout $n \in \N$ , la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n = \ln \left(v_n\right)$.
\item %Montrez que $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique et précisez sa raison.
On a pour tout $n \in \N$, \: $w_{n+1} - w_n = \ln \left(v_{n+1}\right) - \ln \left(v_n\right) = \ln \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \ln \frac12$ où $- \ln 2$.

L'égalité $w_{n+1} - w_n = - \ln 2$, vraie pour tout $n \in \N$, montre que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \ln 2$ de premier terme $w0 = \ln v_0 = \ln 15$.

On a pour tout $n \in \N$, \: $w_n = w_0 + (n + 1)(- \ln 15)$.
\item %Exprimez $S''_n = w_0 + w_1 + \ldots + w_n$  en fonction de $n$, puis calculer la limite de $\left(S''_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
$S''_n = w_0 + w_1 + \ldots + w_n$ et 

$S''_n = w_n + w_{n-1} + \ldots + w_1 + w_0$ : en sommant et en divisant par 2 le résultat, on obtient :

$S''_n = \dfrac{n+1}{2}\ln \dfrac{15^2}{2^n}$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{15^2}{2^n} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\ln \dfrac{15^2}{2^n} = - \infty$ et enfin par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S''_n = - \infty$.
\item %Calculez le produit $P_n= v_0v_1\ldots v_n$ en fonction de $n$.
On a $w_n = \ln \left(v_n\right) \iff \e^{w_n} = v_n$, donc 

$P_n = v_0v_1\ldots v_n = \e^{w_0}\e^{w_1} \ldots \e^{w_n} = \e^{w_0 +w_1 + \ldots + w_n} = \e^{S''_n} = \e^{\frac{n+1}{2}\ln \dfrac{225}{2^n}} = \e^{\ln \left(\dfrac{225}{2^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}} = \left(\dfrac{225}{2^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}$.

De $P_n = \e^{S''_n}$ et compte tenu du fait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S''_n = - \infty$, on a 

$\displaystyle\lim_{\to + \infty}P_n = 0$.
%Déduisez-en la limite de $\left(P_n\right)$ quand $n$ tend vers  $+\infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

%Deux amis, Marc et Alexandre, discutent :
%
%Marc : \og \emph{Si on lance trois pièces de monnaie en l'air en même temps, quelle est la probabilité pour qu'elles retombent toutes sur le même côté, c'est-à-dire toutes les trois du côté PILE ou toutes les trois du côté FACE ?} \fg.
%
%Alexandre : \og \emph{Comme les pièces n'ont que deux faces, sur les trois pièces lancées, il y en aura forcément au moins deux qui retomberont du même côté, c'est-à-dire qu'il y aura automatiquement, et au minimum, deux pièces côté PILE ou deux pièces côté FACE.\\
%Il reste donc une chance sur deux pour que la troisième pièce tombe à son tour sur ce même côté. La réponse à ta question est donc $1/2$} \fg.
%
%Que pensez-vous du raisonnement et de la réponse d'Alexandre ? Argumentez votre position.
Le raisonnement d'Alexandre est erroné car il ne considère que les cas où les deux premières faces lues sont identiques et il ignore les quatre issues où le résultat est PF ou FP{}.

Chacune des huit issues PPP,PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF a la même probabilité 

$\left(\dfrac12\right)^3 = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac18$, donc :

$p(\text{PPP ou FFF}) = \dfrac18 + \dfrac18 = \dfrac14$.
\end{document}