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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Branche  surveillance}}
\rfoot{\small{session 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2020
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

%Remarque préliminaire:
%
%-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.
%
%-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.
%
%\bigskip

\textbf{Exercice \no 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x > 3$ par 
\[f(x) = \ln (2x - 6),\]
 et on appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item~

$\bullet~~$ Limite en 3 .

$\displaystyle\lim_{x \to 3} 2x - 6 = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 3} \ln (2x - 6) = - \infty$.

Géométriquement ceci signifie que la droite d'équation $x = 3$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$%Déterminer les limites de $f(x)$ lorsque $x\to 3$ et $x \to + \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

$\bullet~~$ Limite en plus l'infini

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x - 6 = +\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 3} \ln (2x - 6) = + \infty$.
\item %Étudier le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variations.
Composée de fonction dérivables sur $]3~;~+ \infty[$, la fonction $f$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{2}{2x - 6} = \dfrac{1}{x - 3}$.

Comme $x > 3 \iff x - 3 > 0$, on a $f'(x) > 0$ sur $]3~;~+ \infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $]3~;~+ \infty[$  de moins l'infini à plus l'infini
\item %La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses au point A. Quelles sont les coordonnées de A ?
La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses au point A d'ordonnée nulle or $f(x) = 0 \iff \ln (2x - 6) = 0 \iff \ln (2x - 6) = \ln 1 \iff 2x - 6 = 1 \iff 2x = 7 \iff x = \dfrac72$. Donc A$\left(\dfrac72~;~0\right)$.

\item %Déterminer une équation de la droite $(T)$ tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$.
On a $M(x~;~y) \in T \iff y - y_{\text{A}} = f'(x_{\text{A}})\left(x - x_{\text{A}}\right)$, soit 

$M(x~;~y) \in T \iff y - 0= \dfrac{1}{\frac72 - 3}\left(x - \frac72\right)$ ou

$M(x~;~y) \in T \iff y  = 2\left(x - \frac72\right) \iff y = 2x - 7$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%On considère la droite $(D)$ d'équation $y = x$. Par symétrie axiale d'axe $D$, la courbe $\mathcal{C}_f$ se transforme en une courbe $\mathcal{C}_g$ représentative d'une fonction $g$ définie sur $\R$.
%
%On admet que pour tout réel $x$, la fonction $g(x)$ peut s'écrire sous la forme $g(x)= a + b\text{e}^x$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
%
%La courbe $\mathcal{C}_g$ passe par le point A$'$ image de A par la symétrie axiale d'axe $D$. De
%plus, la courbe admet au point A$'$ une tangente $(T')$ qui est l'image de $(T)$ par la symétrie d'axe $(D)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer, en justifiant, les valeurs de $a$ et $b$.
Pour tout point $M(x~;~y) \in \mathcal{C}_f$, avec $y = \ln (2x - 6)$, son symétrique $M'(x'~;~y')$ est tel que ses coordonnées sont celles de $M$ inversées, soit $M'(y= \ln (2x - 6)~;~x)$.

Or pour $x > 3$, alors $\e^y = 2x - 6 \iff \e^y + 6 = 2x \iff x = \dfrac12\left(\e^y + 6\right) \iff x = \dfrac12\e^y + 3$.

On a donc $g(x) = 3 + \dfrac12\e^x$ définie elle sur $\R$.

\item %Calculer l'ordonnée exacte du point E appartenant à $\mathcal{C}_g$ et ayant pour abscisse 3. En déduire les coordonnées du point E$'$ image de E par rapport à $D$.
On a $g(3) = 3 + \dfrac12 \e^3$.

Si E$\left(3~;~3 + \dfrac12 \e^3\right)$, alors son symétrique autour de $D$ est E$'\left(3 + \dfrac12 \e^3~;~3\right)$.
\item %Déterminer la valeur de $\displaystyle\int_0^3 \left(3 + \dfrac{1}{2}\e x \right)\:\text{d}x$.
La fonction $x \longmapsto g(x) = 3 + \dfrac12\e^x$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto G(x) = 3x + \dfrac12\e^x$.

Donc $\displaystyle\int_0^3 \left(3 + \dfrac{1}{2}\e x \right)\:\text{d}x = [G(x)]_0^3 = G(3) - G(0) = \left[3x + \dfrac12\e^x\right] - \left[3x + \dfrac12\e^x\right] = $

$9 + \dfrac12\e^3 - \dfrac12\e^0 = \dfrac{17}{2} + \dfrac12\e^3 $.
\item %En déduire l'aire $A$, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E.On a $
On a $3 + \dfrac12\e^x \geqslant 3$ (car on sait que pour tout réel $x, \: \e^x > 0$), d'où $3 + \dfrac12\e^x > 0$ : la fonction $g$ étant positive l'aire $A$, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E est égale à l'intégrale de la question 3. soit $\dfrac{17}{2} +  \dfrac12\e^3 $
\item ~%Expliquer comment on peut en déduire, sans calcul, la valeur exacte de $\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{3+ \frac{1}{2}\e 3} f(x)\:\text{d}x$.
Le dessin parle de lui-même.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1.5)(14,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(0,0)(14,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(14,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3.01}{13.0428}{x 2 mul 6 sub ln}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{13.0428}{2.71828 x exp 2 div 3 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{13.0428}{x}
\uput[d](3.5,0){A}\uput[l](0,3.5){A$'$}\uput[r](3,13.0428){E}\uput[d](13.0428,33){E$'$}
\psdots(3.5,0)(0,3.5)(3,13.0428)(13.0428,3)
\psline(0,13.0428)(3,13.0428)\psline(13.0428,0)(13.0428,3)
\uput[ul](13.0428,3){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](1,4.3){\red $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2}

\medskip

%Soient $a$ et $b$, deux suites réelles définies sur $\N$ par $a_0 = 4$ et $b_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ par:

\renewcommand\arraystretch{2}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1}&=&\dfrac{1}{4}\left(3a_n + b_n\right)\\
b_{n+l}&=&\dfrac{1}{4}\left(a_n + 3b_n\right)
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

%$\Delta$ étant un axe rapporté au repère $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$, pour tout entier naturel $n$, on désigne par $A_n$ et $B_n$, les points de $\Delta$ d'abscisses $a_n$ et $b_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Placer $A_0$, $B_0$, $A_1$, $B_1$, $A_2$, $B_2$ sur $\Delta$.
On a $a_0 = \dfrac14(12 + 2) = \dfrac72 ; \quad b_0 = \dfrac14(4 + 6) = \dfrac52$ ;

$a_1 = \dfrac{13}{4} ; \quad b_1 = \dfrac{11}{4}$

$a_2 = \dfrac{25}{8} ; \quad b_2 = \dfrac{23}{8}$
\item Soit $u_n$ la suite réelle définie sur $\N$ par $u_n = a_n + b_n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $u_n$ est constante.
Quel que soit $n \in \N$, \: $u_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = \dfrac14\left(3a_n + b_n + a_n + 3b_n \right) = \dfrac14\left(4a_n + 4b_n\right) = \dfrac14 \times 4\left(a_n + b_n\right) = a_n + b_n$.
		
La suite $\left(u_n\right)$ est constante ; tous les termes sont égaux à $u_0 = a_0 + b_0 = 4 + 2 = 2$.
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$, les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont le même milieu I dont on déterminera l'abscisse.
L'abscisse du milieu de $\left[A_{n+1}B_{n+1}\right]$ est égale à :

$\dfrac{a_{n+1} + b_{n+1}}{2} = \dfrac{u_{n+1}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.$

Tous les segments $\left[A_nB_n\right]$ ont pout milieu le point I d'abscisse 3.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite réelle $v_n$ définie sur $\N$ par $v_n= b_n - a_n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $v_n$ est une suite géométrique. Déterminer sa limite si elle existe.
Quel que soit $n \in \N$, \: $v_{n+1} = b_{n+1} + a_{n+1} = \dfrac{1}{4}\left(a_n + 3b_n\right) - \dfrac{1}{4}\left(3a_n + b_n\right) =$

$ \dfrac14\left(a_n + 3b_n - 3a_n - b_n\right)\dfrac14\left(2b_n - 2a_n\right) = \dfrac12\left(b_n - a_n \right)$.

On a donc quel que soit $n \in \N,\quad v_{n+1} = \dfrac12v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$, de premier terme $v_0 = b_0 - a_0 = 2 - 4 = - 2$.
		\item %Que peut-on dire de la distance $A_nB_n$ lorsque $n \to  +\infty$ ?
La distance $A_nB_n$ est égale à $\left|b_n - a_n \right| = |u_n|$.

Or $u_n = u_0 \times r^n$, $r$ étant la raison de la suite géométrique, quel que soit $n \in \N$.

Ici $v_n = -2 \times \left(\dfrac12\right)^n$ ou $- \dfrac{1}{2^{n-1}}$.

Or on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{1}{2^{n-1}} = 0$.

La distance A$_n$B$_n$ tend vers zéro
	\end{enumerate}	
\item %Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ appartenant à $\N$.
On a démontré que $\left\{\begin{array}{l c l}
v_n = b_n - a_n&=&- \dfrac{1}{2^{n-1}}\\
u_n = b_n + a_n&=&6
\end{array}\right.$

Par somme on obtient : $2b_n = 6 - \dfrac{1}{2^{n-1}} \iff b_n = 3 - \dfrac{1}{2^n}$, puis

$a_n = 6 - b_n = 6 - 3 +  \dfrac{1}{2^n} = 3 +  \dfrac{1}{2^n}$.

\[a_n = 3 +  \dfrac{1}{2^n},\qquad b_n = 3 - \dfrac{1}{2^n}.\]


\item %Démontrer que $a_n$ et $b_n$ sont convergentes et ont la même limite.
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2^n} = 0$, on a donc 

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}a_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}b_n = 3.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère le plan $(P)$ d'équation $2x + y - z + 7 = 0$ et les points A$(4~;~1~;~-2)$, B$(-3~;~1~;~2)$ et C$(-1~;~3~;~1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le point B appartient au plan (P) et déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (BC).
On a $M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff 2x + y - z + 7 = 0$ et 

B$(-3~;~1~;~2) \in (P) \iff -6 + 1 - 2 + 7 = 0$ qui est vraie, donc B $\in (P)$.

La droite (BC) contient B et a pour vecteur directeur $\vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}2\\2\\- 1\end{pmatrix}$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{BC}) \iff \vect{\text{B}M} = t\vect{\text{BC}}$, avec $t \in \R$. ce qui se traduit par le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x +3&=&2t\\
y - 2&=&2t\\
z - 2&=&- t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& - 3 + 2t\\
y &=& 2 + 2t\\
z &=&2 - \phantom{2}t
\end{array}\right.$
\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (Q) passant par A et orthogonal à (BC).
Puisque $\vect{\text{BC}}$ est un vecteur normal au plan $(Q)$, on sait qu'une équation de $(Q)$ est de la forme 

$M(x~;~y~;~z) \in (Q) \iff 2x + 2y - z + d = 0$. Or 

A$(4~;~1~;~-2)\in (Q) \iff 2 \times 4 + 2 \times 1  - (- 2) + d = 0 \iff 8 + 2  + 2 + d = 0 \iff d = - 12$.

Finalement $M(x~;~y~;~z) \in (Q) \iff 2x + 2y - z - 12 = 0$.
\item %Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$ passant par A et orthogonale à (P).
Le plan $(P)$ a un vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$. Donc 

$M(x~;~y~;~z) \in (\Delta) \iff \vect{\text{A}M} = t\vect{n}$, \quad $t \in \R$ ce qui se traduit par le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 4&=&2t\\
y - 1&=&1t\\
z + 2&=&- t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&4 + 2t\\
y &=&1 + 1t\\
z &=&- 2- t
\end{array}\right.$ avec $t \in \R$.

\item %Soient R le projeté orthogonal de A sur (P) et S le projeté orthogonal de A sur (BC), déterminer les coordonnées de R et S.
$\bullet~~$ Si R est le projeté orthogonal de A sur $(P)$, le vecteur $\vect{\text{AR}}$ est colinéaire au vecteur $\vect{n}$ normal au plan $(P)$.

Avec $R(x~;~y~;~z)$, on a donc $\vect{\text{AR}}\begin{pmatrix}x - 4\\y - 1\\z + 2\end{pmatrix}$.

Ce vecteur est colinéaire à $\vect{n}$, donc il existe $\alpha \in \R$ tel que $\vect{\text{AR}} = \alpha \vect{n} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 4&=&2\alpha\\
y - 1&=&1\alpha\\
z + 2&=&- \alpha
\end{array}\right.\iff \left\{
\begin{array}{l c l}
x &=&4 + 2\alpha\\
y &=&1 + \alpha\\
z &=& - 2 - \alpha
\end{array}\right.$

D'autre part R$(x~;~y~;~z) \in (P) \iff 2x + y - z + 7 = 0$ et en remplaçant $x,\:y\, z$ par leurs valeurs en fonction de $\alpha$, on obtient :

$2(4 + 2\alpha) + 1 + \alpha - (- 2 - \alpha) = 0 \iff 8 + 2\alpha + 1 + \alpha + 2 + \alpha  +7 = 0 \iff 6\alpha + 18 = 0 \iff 6\alpha = - 18 \iff \alpha = - 3$.

Finalement $x = 4 + 2 \times (- 3) = 4 - 6 = -2$ ; $y = 1 + (-3) = - 2$ et $z = - 2 + 3 = 1$.

R$\left(-2~;~- 2~;~1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

Une urne contient 3 boules bleues et $n$ boules blanches ($n$ étant un entier naturel non nul),
indiscernables au toucher et ayant chacune la même probabilité d'être tirée.

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

On tire successivement 3 boules avec remise et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules bleues tirées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
Il y a 3 boules bleues et en tout $3 + n$ boules.

Il y a à chaque tirage une probabilité $\dfrac{3}{3 + n}$ de tirer une boule bleue.

La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n= 3, p = \dfrac{3}{3 + n}\right)$.

Pour $k$ allant de 0 à 3, on a donc $p(X = k) = \binom{3 + n}{k}\left(\dfrac{3}{3 + n}\right)^k \times \left(\dfrac{n}{3 + n}\right)^{3-k}$.

On obtient la loi de probabilité suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$			&0						&1							&2						&3\\ \hline
$p(X = k)$	&$\dfrac{n^3}{(3 + n)^3}$&$\dfrac{9n^2}{(3 + n)^3}$	&$\dfrac{27n}{(3 + n)^3}$&$\dfrac{27}{(3 + n)^3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item %Calculer E$(X)$ et déterminer $n$ pour que l'espérance mathématique soit égale à $1,5$.
On a $E(X) = \dfrac{n^3}{(3 + n)^3} \times 0  + \dfrac{9n^2}{(3 + n)^3}\times 1 + \dfrac{9n^2}{(3 + n)^3} \times 2 + \dfrac{27}{(3 + n)^3} \times 3 = \dfrac{9n^2 + 54n + 81}{(n + 3)^3}$.

Il faut résoudre l'équation :

$E(X) = 1,5 \iff \dfrac{9n^2 + 54n + 81}{(n + 3)^3} = \dfrac32 \iff \dfrac{3n^2 + 18n + 27}{(n + 3)^3} = \dfrac12 \iff $

$2\left(3n^2 + 18n + 27\right) = (3 + n)^3 \iff 6n^2 + 36n + 54 = n^3 + 9n^2 + 27n + 27 \iff $

$n^3 + 3n^2 - 9n - 27 = 0 \iff \left(n^3 - 9n \right) + 3n^2 - 27 = 0 \iff n\left(n^2 - 9\right) + 3\left(n^2 - 9\right) = 0 \iff \left(n^2 - 9\right)(n + 3) = 0 \iff (n + 3)(n - 3)(n + 3) = 0$.

La solution $n + 3 = 0$ n'est pas possible ; il reste $n - 3 = 0 \iff n = 3$.

Avec 3 boules bleues et 3 boules blanches on tirera en moyenne 1,5 boule bleue pour trois tirages ce qui est vraisemblable.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Pour la suite de l'exercice on considère que $n = 2$.

On effectue un tirage successif et sans remise des 5 boules de l'urne. On désigne par $Z$ la variable aléatoire égale au rang de la première boule bleue tirée.

\medskip

Arbre des probabilités pondéré :
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[linestyle=dashed]{\TR{$B~~$}^{$\frac35$}}
{\pstree[linestyle=dashed]{\Tn}
        {\Tn
         \Tn
        }
    \pstree[linestyle=dashed]{\Tn}
      {\Tn}
      \Tn
       }
     \pstree{\TR{$\overline{B}~~$}_{$\frac25$}}
           {\TR{$B~~$}^{$\frac34$}
             \pstree{\TR{$\overline{B}~~$}_{$\frac14$}}
                    {\TR{$B~~$}^{$\frac{3}{3}$}
                     \TR{$\overline{B}~~$}_{$\frac03$}
                    }
            }
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la loi de probabilité de $Z$.
On a $p(Z = 1) = \dfrac35$, \quad $p(Z = 2) = \dfrac25 \times \dfrac34 = \dfrac{3}{10}$, \quad $p(Z = 3) = \dfrac25 \times \dfrac14 \times \dfrac33 = \dfrac{1}{10}$.
\item %Calculer l'espérance mathématique et la variance de $Z$.
On a $E(Z) = \dfrac35 + 2 \times \dfrac{3}{10} + 3 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{6}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = 1,5$.

$V(Z) = \dfrac13\left[\left(\dfrac{6}{10} - \dfrac{15}{10}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{10} - \dfrac{15}{10}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{10} - \dfrac{15}{10}\right)^2 \right] = \dfrac13\left(\dfrac{81}{100}  + \dfrac{144}{100} + \dfrac{196}{100}\right) = \dfrac13 \times \dfrac{440}{100} = \dfrac{440}{300} \approx 1,47$.
\end{enumerate}


\end{document}