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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
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\rfoot{\small{session 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2020~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt] février 2020\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

%Une étude est menée sur la population française, 5\,\% de la population est porteur d'un gène qui a muté. Le but de l'exercice est d'étudier un test de dépistage.
%
%La probabilité que le test de dépistage soit positif sachant que l'individu est porteur du gène est $0,8$.
%
%La probabilité que le test de dépistage soit négatif sachant que l'individu n'est pas porteur du gène est $0,9$.
%
%On choisit un individu au hasard et on lui fait faire le test.
%
%On note :
%
%$A$ l'évènement: \og l'individu est porteur du gène \fg
%
%$T$ l'évènement: \og le test est positif \fg
%
%\medskip
%
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A~~$}\taput{0,05}}
	{\TR{$T~~$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{T}$~~}\tbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}~~$}\tbput{0,95}}
	{\TR{$T~~$}\taput{0,1}
	\TR{$\overline{T}$~~}\tbput{0,9}
	}
}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $P(T)= 0,135$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(T) = p(A \cap T) + p\left(\overline{A} \cap T \right) = 0,05 \times 0,8 + 0,95 \times 0,1 = 0,04 + 0,095 = 0,135$.
		\item %Quelle est la probabilité que le test donne un résultat erroné ?
		Le test est erroné si le test est négatif pour une personne porteuse et s'il est positif pour une personne non porteuse, donc :
		
$p(\text{erroné}) = p\left(A \cap \overline{T}\right) + p\left(\overline{A} \cap T\right) = 0,05 \times 0,2 + 0,95 \times 0,1 = 0,01 + 0,095 = 0,105$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f(x) = x + 1 +  \dfrac{x}{\text{e}^x}\]

%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par
\[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]

%Dresser en le justifiant le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues).
Somme de fonctions dérivables sur $\R$, la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et :

$g'(x) = - 1 + \e^x$.

$\bullet~~$$- 1 + \e^x > 0 \iff \e^x > 1 \iff x > \ln 1 \iff x > 0$ : la dérivée est positive donc la fonction $g$ est croissante sur $\R_+$ ;

$\bullet~~$$- 1 + \e^x < 0 \iff \e^x < 1 \iff x < \ln 1 \iff x < 0$ : la dérivée est négative donc la fonction $g$ est décroissante sur $\R_-$ ;

$\bullet~~$$- 1 + \e^x = 0 \iff x = 0$ et $g(0) = 1 + 1 = 2$.

Le point de coordonnées (0~;~2) est le minimum de $g$ sur $\R$.

Cette étude montre que $g(x) \geqslant 2 > 0$ sur $\R$.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ puis la limite de $f$ en $+\infty$.
$\bullet~~$Limite en $- \infty$ : $f(x) = x\left(1 + \dfrac1x + \dfrac{1}{\e^x}\right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac 1x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{1}{\e^x} = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}g(x) = - \infty$ ;

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$On sait (croissance comparée) que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{\e^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

%Démontrer que, pour tout réel $x$,
%\[f'(x) = \text{e}^{-x} g(x).\]
Somme de fonctions dérivables sur $\R$, la fonction $f$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 + \dfrac{1 \times \e^x - x \times \e^x}{\e^{2x}} = 1 + \dfrac{\e^x(1 - x)}{\e^x \times \e^x} = 1 + \dfrac{1 - x}{\e^x}$.

On peut écrire :

$f'(x) = \e^{-x} \times \e^x + \e^{-x} \times (1 - x) = \e^{-x}\left(\e^x + 1 - x \right) = \e^{-x}g(x)$.
\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
On a vu que $g(x) > 0$ sur $\R$ et par conséquent on a aussi $f'(x) > 0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ de moins l'infini à plus l'infini.
\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.

%Démontrer que $- 1< \alpha < 0$.
La fonction $f$ est continue car dérivable sur $\R$ ; étant strictement croissante sur $\R$ de moins l'infini à plus l'infini, d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x) =0$ a une seule solution $\alpha \in \R$, telle que $f(\alpha) = 0$.
\item %Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2 x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
On a $M(x~;~y) \in (T) \iff y - f(0) = f'(0)(x- 0)$

Avec $f(0) = 1$ et $f'(0) = 1 + 1 = 2$, on obtient :

$M(x~;~y) \in (T) \iff y - 1 = 2x \iff y = 2x + 1$.
\end{enumerate}

On admettra pour la suite que $T$ est au-dessus de $\mathcal{C}$ sur $\R$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par
\[H(x) = -(x + 1)\text{e}^{-x}.\]

%Démontrer que $H$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$ définie par 
%\[h(x) = x\text{e}^{-x}.\]
La fonction $H$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle :

$H'(x) = -\text{e}^{-x} + (x + 1)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(-1 +  x + 1) = x\text{e}^{-x} = h(x)$.

Conclusion $h$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $h$.
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(0,-0.6)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.6)(5,8)
\psline(-1,-1)(3,7)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5}{1 x add  x 2.71828 x exp div add}
\psline(1,0)(1,3)\psline(3,0)(3,7)
\end{pspicture*}
\end{center}

%Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
Puisqu'il est admis que $T$ est au-dessus de $\mathcal{C}$, on a :

$\mathcal{A}(\mathcal{D}) = \displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\:\text{d}x - \displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_1^3 (2x + 1) - \left(x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}\right) = \displaystyle\int_1^3 \left(x - x\e^{-x}\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_1^3 \left(x - h(x)\right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - H(x)\right]_1^3 = \dfrac92 - \dfrac12 -H(3) + H(1) = 4 + 4\e^{-3} - 2\e^{-1} \approx 3,46$ (unités d'aire).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\bigskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

On considère les points 
\begin{center}A(0~;~4~;~1),\qquad  B(1~;~3~;~0),\qquad  C$(2~;~-1~;~-2)$ \quad et \quad D$(7~;~-1~;~4)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
$\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}, \quad \vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\-5\\-3\end{pmatrix}$.
		\item %Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
Les vecteurs précédents ne sont manifestement pas colinéaires donc les points ne sont ni confondus ni alignés : ils définissent donc un plan.
	\end{enumerate}
\item %Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}\phantom{-}2\\-1\\\phantom{-}3\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
On a $\vect{u} \cdot \vect{\text{AB}} = 2 + 1 - 3 = 0$ et $\vect{u} \cdot \vect{\text{AC}} = 4 + 5 - 9 = 0$ : le vecteur $\vect{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il est donc normal à ce plan
		\item %En déduire une équation cartésienne de plan (ABC).
On sait qu'alors :
		
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 2x - y + 3z + d = 0$, avec $d \in \R$.
		
		Ainsi par exemple A$(0~;~4~;~1) \in (\text{ABC}) \iff 2\times 0  - 4 + 3 + d = 0 \iff d = 1$, donc finalement :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 2x - y + 3z + 1 = 0$
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		
$M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \text{il existe }\:t \in \R /, \vect{\text{D}M} = t\vect{u} \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 7&=2t\\
y + 1&=- 1t\\
z - 4&= 3t
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=2t + 7\\
y &=- 1t - 1\\
z &= 3t + 4
\end{array}\right.$

	\end{enumerate}
\item Soit $P_1$ le plan d'équation $x + y + z= 0$ et $P_2$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0
$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
$P_1$ a un vecteur normal $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ;
$P_2$ a un vecteur normal $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$.

Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles ; ils sont sécants selon une droite $(d)$.

On admettra pour la dernière question que la droite $d$, intersection des plans $P_1$ et $P_2$, a pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t - 2\\
y&=& \phantom{-4}t\\
z&=&\phantom{-}3t + 2
\end{array}\right.\:t \in \R\]

		\item %La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles?
		
Parallèles ?
		
Si $d$ est parallèle au plan (ABC) un de ses vecteurs directeurs $\vect{v}$ est orthogonal à $\vect{n}$ normal au plan (ABC).

Avec $\vect{v}\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}$, on a $\vect{v} \cdot \vect{n} = 2 \times (- 4) - 1\times 1 + 3\times 3 = - 8 - 1 + 9 = 0$.

Conclusion $d$ est parallèle au plan (ABC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année $(2010 + n)$.

En 2010, la forêt possède \np{50000} arbres.

Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5\,\% des arbres existants et de replanter \np{3000}~arbres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la situation peut être modélisée par $u_0 = 50$ et pour tout entier naturel $n$ par la relation :
Retire 5\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{5}{100} = \dfrac{95}{100} = 0,95$.

On passe donc de $u_n$ à $u_{n+1}$ en multipliant $u_n$ par 0,95 et en ajoutant 3 (milliers) d'arbres soit :

\[u_{n+1} = 0,95u_n + 3.\]

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = 60 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95.
		On a $v_{n+1} =  60 - u_{n+1} = 60 - \left(0,95u_n + 3\right) = 57 - 0,95u_n = 0,95\left(\dfrac{57}{0,95} - u_n \right) = 0,95(60 - u_n) = 095v_n$.
		
L'égalité vraie pour tout naturel $n$, \quad $v_{n+1} = 0,95v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0 = 60 - u_0 = 60 - 50 = 10$.
		\item %Calculer $v_0$. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		On sait qu'alors quel que soit $n \in \N,\:\: v_n = v_0 \times q^n$, $q$ étant la raison de la suite, soit ici $v_n = 10 \times 0,95^n$.
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
		
Or quel que soit $n \in \N,\:\: v_n = 60 - u_n \iff u_n = 60 - v_n = 60 - \left(10 \times 0,95^n\right) = 60 - 10 \times 0,95^n$.
	\end{enumerate}
\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Comme $0 < 0,95 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,95^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 10 \times 0,95^n = 0$ et finalement :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 60.\]
\end{enumerate}
\end{document}