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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes session 2019~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]février 2019\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :\\
%-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
%-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}
%
%\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

%On considère deux urnes $U_1$ et $U_2$.
%
%L’urne $U_1$ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
%
%L'urne $U_2$ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher. 
%
%On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
%
%\textbf{Étape 1 :} On tire au hasard une boule dans $U_1$ on note sa couleur et on la remet dans $U_1$.
%
%\textbf{Étape \boldmath$n \:(n \geqslant 2$) :}\unboldmath
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]Si la boule tirée à l’étape $(n - 1)$ est blanche, on tire au hasard une boule dans $U_1$ on note sa couleur et on la remet dans $U_1$.
%\item[$\bullet~~$]Si la boule tirée à l’étape $(n - 1)$ est noire, on tire au hasard une boule dans $U_2$ on note sa couleur et on la remet dans $U_2$.
%\end{itemize}
%
%\smallskip
%
%On note $A$ l’évènement \og le tirage a lieu dans l’urne $U_1$ à l’étape $n$ \fg{} et $p_n$ sa probabilité.
%
%On a donc $p_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Calculer $p_2$.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U_1$~~}\taput{1}}
	{\TR{$U_1$~~} \taput{$\frac{17}{20}$}
	\TR{$U_2$~~} \tbput{$\frac{3}{20}$}
	}
%\Tn
}
\end{center}

Donc $p_2 = \frac{17}{20}$.

\medskip

\item %Montrer que pour tout $n$  entier naturel non nul, $p_{n+1} = 0,8p_n + 0,05$.

%On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
Soit l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U_1$~~}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$U_1$~~} \taput{$\frac{17}{20}$}
	\TR{$U_2$~~} \tbput{$\frac{3}{20}$}
	}
\pstree{\TR{$U_2$~~}\tbput{$1- p_n$}}
	{\TR{$U_1$~~} \taput{$\frac{1}{20}$}
	\TR{$U_2$~~} \tbput{$\frac{19}{20}$}
	}
}
\end{center}

D'après la loi des probabilités totales :

$p_{n+1} = p_n \times \frac{17}{20} + (1 - p_n)\times \frac{1}{20} = \frac{17}{20}p_n - \frac{1}{20}p_n + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}p_n  + \frac{5}{100} = \frac{80}{100}p_n + \frac{5}{100} = 0,8p_n + 0,05$.
\item %Calculer $p_3$.
En appliquant la relation de récurrence précédente :

$p_3 = 0,8p_2 + 0,05 = 0,8 \times \frac{17}{20} + 0,05 = \dfrac{13,6}{20} + 0,05 = \dfrac{68}{100} + 0,05 = 0,68 + 0,05 = 0,73$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier $n, \: p_n  \geqslant 0,25$.
\emph{Initialisation} : $p_1 = 1 \geqslant 0,25$ : l'inégalité est vraie au rang 1.

\emph{hérédité} : soit $n \geqslant 1$ tel que $p_n \geqslant 0,2$, alors $0,8 \times p_n \geqslant 0,8 \times 0,2$ ou $0,8 \times p_n \geqslant 0,16$ et enfin $0,8 \times p_n + 0,05 \geqslant 0,16 + 0,05$ ou encore $0,8 \times p_n + 0,05 \geqslant 0,21 > 0,20$, soit $p_{n+1} \geqslant 0,2$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : l'inégalité est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang $n \geqslant 1$, elle l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence quel que soit $n \geqslant 1$, on a $p_n \geqslant 0,2$.
		\item %Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
Pour $n \geqslant 1$, on a $p_{n+1} - p_n = 0,8p_n + 0,05 - p_n = - 0,2p_n + 0,05$.

Or $p_n \geqslant 0,25 \Longrightarrow 0,2p_n \geqslant 0,2 \times 0,25 \iff 0,2p_n \geqslant 0,05 \iff - 0,2p_n \leqslant - 0,05 \Longrightarrow - 0,2p_n  + 0,05\leqslant - 0,05 + 0,05 \iff p_{n+1} - p_n \leqslant 0$ : la suite $\left(p_n\right)$ est donc décroissante
		\item %En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente vers un réel noté 
$\ell$.
La site $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée par 0,2, elle converge donc vers un réel $\ell \geqslant 0,2$.
		\item %Justifier que $\ell$ vérifie l’équation : $\ell = 0,8\ell + 0,05$.

%En déduire la valeur de $\ell$.
Par continuité le nombre $\ell$ vérifie l'égalité $\ell = 0,8\ell + 0,05 \iff 0,2\ell = 0,05 \iff 5\times 0,2 \ell = 5 \times 0,05$, soit $\ell = 0,25$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = 1 + x\ln x \]
où $ln x$ est le logarithme népérien de $x$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthogonal \Oij.

Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le but est de déterminer un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les deux droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.

On note M et N les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f$ est positive sur [1~;~2].
Somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$, \: $f$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = \ln x + x \times \dfrac 1x = \ln x +1$.

Or $\ln x +1 = 0 \iff \ln x = - 1$ et par croissance de la fonction exponentielle : $\e^{\ln x} = x = \e^{-1} = \dfrac{1}{\e}$.

On a de même $f'(x) > 0 \iff \ln x + 1 > 0 \iff \ln x > - 1 \iff x > \dfrac{1}{\e}$.

Donc $f'(x) > 0$ sur $]]\e^{-1} ~;~+ \infty[$. La fonction $f$ est croissante sur cet intervalle.

De la même façon on montre que $f$ est décroissante sur $]0~;~\e^{-1}[$.

Le point de coordonnées $\left(\e^{-1}~;~f\left(\e^{-1}\right) \right)$ est le minimum de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.

Or $f\left(\e^{-1}\right)  = 1 + \e^{-1} \times \ln \left(\e^{-1}\right) = 1 + \e^{-1} \times (-1) = 1 - \e^{-1} \approx 0,632$.

Le minimum étant supérieur à zéro, ceci montre que la fonction $f$ est positive (strictement ) sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item %Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est $2 \ln 2$.
$f(1) = 1 + 1\times\ln 1 = 1$, donc M(1~;~1).

$f(2) = 1 + 2\ln 2$, donc N$(2~;~1 + 2\ln 2)$.

Donc $\vect{\text{MN}}(1~;~2\ln 2)$ est un vecteur directeur de la droite (MN). Le coefficient directeur de la droite (MN) est $2 \ln 2$.
		\item %Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{\text{e}}$.
		
%Montrer que sur l'intervalle [1~;~2], le point E est l'unique point de $\mathcal{C}_f$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à (MN).

%On rappelle que la dérivée $f'$ de $f$ en $x$ donne le coefficient
%directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x$.


Il faut donc trouver les solutions de l'équation $f'(x) = 2\ln 2$.

Or $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \ln x + x \times \dfrac 1x = \ln x + 1 = 1 + \ln x$. L'équation à résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ est donc :

$f'(x) = 2\ln 2 \iff 1 + \ln x = 2\ln 2 \iff \ln x = \ln 4 - 1 \iff \ln x = \ln 4 - \ln \e = \ln \dfrac{4}{\e} \iff x = \dfrac{4}{\e}$. Donc E est bien le seul point de $\mathcal{C}_f$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite (MN).
		\item %On appelle $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point E.

%Montrer qu'une équation de $T$ est $y = (2\ln 2)x - 4\e + 1$.
On sait que $X(x~;~y) \in T \iff y - f\left(\frac{4}{\e}\right) = f'\left(\frac{4}{\e}\right) \left(x - \frac{4}{\e} \right)$.

On a $f\left(\dfrac{4}{\text{e}}\right) = 1 + \dfrac{4}{\text{e}}\ln \dfrac{4}{\text{e}} = 1 + \dfrac{4}{\text{e}}\left(\ln 4 - \ln \e \right) = 1 + \dfrac{4}{\text{e}}\left(2\ln 2 - 1 \right) = \dfrac{\e + 8\ln 2 - 4}{\e}$.

On a vu que $f'\left(\frac{4}{\e}\right) = 2\ln 2$ (ou $\ln 4$), donc :

$X(x~;~y) \in T \iff y - \dfrac{\e + 8\ln 2 - 4}{\e} = 2\ln 2\left(x - \frac{4}{\e}\right)$, soit encore 

$X(x~;~y) \in T \iff y  = x \ln 4 + \dfrac{\e + 8\ln 2 - 4}{\e}- 8\dfrac{\ln 2}{\e} \iff y = x\ln 4 +  8\dfrac{\ln 2}{\e}+ 1 -  8\dfrac{\ln 2}{\e} - \dfrac{4}{\e}$.

Finalement : $X(x~;~y) \in T \iff y  = (2\ln 2)x  + 1 - \dfrac{4}{\e}.$
	\end{enumerate}
\item %Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~2] par 
\[g(x) = f(x) - (2\ln 2)x + 4\text{e} - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout $x$ de [1~;~2], $g'(x) = 1 + \ln (4x)$.
On a $g'(x) = f'(x) - 2\ln 2 = 1 + \ln x - 2\ln 2 = 1 + \ln x - \ln 4 = 1 + \ln \dfrac x4$.
		\item %Étudier les variations de $g$ sur [1,2] et en déduire la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$ sur cet intervalle.
Signe de $g'(x)$ : 

$\bullet~~$$g'(x) > 0 \iff 1 + \ln \dfrac x4 > 0 \iff 1 > - \ln \frac x4 \iff 1 > \ln \frac 4x \iff \ln \e > \ln \frac 4x \iff \e > \frac 4x \iff x > \frac{4}{\e}$. Or $\frac{4}{\e} \approx 1,472$ : la fonction $g$ est croissante sur $\left[\dfrac{4}{\e}~;~2\right]$ ;

$\bullet~~$$g'(x) < 0 \iff 1 + \ln \dfrac x4 < 0 \iff 1 < - \ln \frac x4 \iff 1 < \ln \frac 4x \iff \ln \e < \ln \frac 4x \iff \e < \frac 4x \iff x < \frac{4}{\e}$ : la fonction $g$ est décroissante sur $\left[1~;~\dfrac{4}{\e}\right]$ ;

$\bullet~~$$g'(x) = 0 \iff x = \frac{4}{\e}$.

Pour $x \in [1~;~2], \: g(x)$ est la différence entre le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et le point de la tangente en E à cette même courbe. Les résultats précédents signifient géométriquement que la tangente est sous la courbe si $x \in \left[1~;~\dfrac{4}{\e}\right]$, qu'elle est au dessus de la courbe si $x \in \left[\dfrac{4}{\e}\right]$ et que $\mathcal{C}$ et $T$ ont le point E en commun.
	\end{enumerate}
\item %Soient M$'$ et N$'$ les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite $T$.

%On admet que la courbe $\mathcal{C}_f$ reste sous la droite (MN) sur l'intervalle [1~;~2] et que les points M$'$ et N$'$ ont des ordonnées strictement positives.
Figure :

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{3}{ x x ln mul 1 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{3}{x 1.3863 mul 0.472 sub}
\psline[linestyle=dashed](1.472,0)(1.472,1.568)(0,1.568)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.386)
\uput[dr](1,0.915){\blue M$'$}\uput[dr](2,2.301){\blue N$'$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.915)\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.301)
\uput[ul](1,1){\red M}\uput[ul](2,2.386){\red N}
\uput[d](1.472,0){$\frac{4}{\e}$}\uput[l](0,1.568){$f\left(\frac{4}{\e}\right)$}
\uput[r](1.472,1.568){E}
\uput[ul](1,0){P}\uput[ul](2,0){Q}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %On cherche à calculer les aires des trapèzes MNQP et M$'$N$'$QP.
		
%On rappelle que l'aire d'un trapèze rectangle est $\dfrac{(\text{petite base} + \text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}$.

%Calculer $\dfrac{\text{PM} + \text{QN})\times \text{PQ}}{2}$ et $\dfrac{(\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2}$.
$\bullet~~$On a PM $ = f(1) = 1$, \: QN $= f(2) \approx 2,386$ et PQ $ = 1$.

Donc $\dfrac{(\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2} = \frac{(1 + 2,386)\times 1}{2} \approx 1,693$.

$\bullet~~$ Avec $y = (2\ln 2)x + 1 - \dfrac{4}{\e}$, on a PM$' = y(1) =(2\ln 2) + 1 - \dfrac{4}{\e} \approx 0,915$, \: QN$'= 4\ln 2 + 1 - \dfrac{4}{\e} \approx 2,301$ et PQ $ = 1$.

Donc $\dfrac{\text{PM}' + \text{QN}')\times \text{PQ}}{2} = \frac{(0,915 + 2,301)\times 1}{2} \approx 1,608$.
		\item %Si on pose $\ln 2 \approx 0,69$ et $\dfrac{4}{\text{e}} \approx 1,47$, donner un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude $10^{-1}$.
D'après la question précédente, on a 
$1,608 < \mathcal{A} < 1,693$ soit $1,6 < \mathcal{A} < 1,7$ au dixième près.
	\end{enumerate}
\item  Le but est de déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{x = 1}^{x = 2} x \ln (x)\:\text{d}x$.
On a $\left\{\begin{array}{l l}
u' =  x&v = \ln x\\
u = \dfrac{x^2}{2}&v' = \dfrac 1x
\end{array}\right.$. En intégrant par parties on a donc :

$\displaystyle\int_{x = 1}^{x = 2} x \ln (x)\:\text{d}x= \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^2 - \displaystyle\int_1^2 \dfrac{x}{2}\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}\right]_1^2 = 2\ln 2 - 1 - (\frac12\times \ln 1 - \frac14) = 2\ln 2 - 1 + \dfrac14 = 2\ln 2 - \dfrac34$.
		\item %En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
		On a $\mathcal{A} = 1 + 2\ln 2 - \dfrac34 = 2\ln 2 + \dfrac14$ (environ \np{1,63629} qui est bien entre 1,6 et 1,7)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

\[f(x)= \dfrac{\ln (x + 3)}{x + 3}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
$f$ est définie si $x +3 > 0 \iff x > - 3$, donc $f$ est définie et dérivable ($x + 3 \ne 0$) sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle : 

$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x + 3}\times (x + 3) - 1 \times \ln (x + 3)}{(x + 3)^2} = \dfrac{1 - \ln (x + 3)}{(x + 3)^2}$.

%Étudier le signe de sa dérivée $f'$, sa limite éventuelle en $+\infty$. 
Comme $(x + 3)^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $- \ln (x + 3)$, donc 

$\bullet~~1 - \ln (x + 3) > 0 \iff \ln (x + 3) < 1 \iff \ln (x + 3) < \ln \e \iff x + 3 < \e \iff x < \e - 3 \approx - 0,28$, donc $\e - 3 \ne [0~;~+ \infty[$, donc 

$\bullet~~1 - \ln (x + 3) < 0 \iff x > \e - 3 $, soit ici $x \geqslant 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur son intervalle de définition.

On a $f(0) = \dfrac{\ln 3}{3}$ et en posant $x + 3 = u$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{u \to + \infty} \dfrac{\ln u}{u} = 0$ par comparaison comparée.

On peut donc en conclure que $f$ est décroissante et strictement positive.

%Que pouvez-vous en conclure pour $f$ sur l'intervalle ?
\item On définit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ par son terme général
\[u_n = \displaystyle\int_n^{n+1} f(t)\:\text{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, si $n \leqslant x \leqslant n + 1$, alors $f(n + 1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$.
On a $n \leqslant x \leqslant n + 1\Longrightarrow f(n + 1) \leqslant f(x) \leqslant f(n)$ par décroissance de la fonction $f$.
		\item %Montrer, sans chercher à calculer $u_n$ que pour tout entier naturel $n,$
D'après la question précédente : $n \leqslant t \leqslant n + 1\Longrightarrow f(n + 1) \leqslant f(t) \leqslant f(n) \Longrightarrow $

$\displaystyle\int_n^{n+1}f(n + 1)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_n^{n+1}f(x)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_n^{n+1}f(n)\:\text{d}t \iff$

$ (n + 1 - n)f(n+1) \leqslant u_n \leqslant (n + 1 - n)f(n)  \iff f(n + 1) \leqslant u_n \leqslant f(n)$ car si les trois fonctions sont positives et rangées dans un certain ordre, leurs intégrales sont rangées dans le même ordre.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente et déterminer sa limite.
		Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(n + 1) = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(n) = 0$, on en déduit (théorème des gendarmes que $\displaystyle\lim_{n \ to + \infty}u_n  = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x) = [\ln (x + 3)]^2$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier la dérivabilité sur $[0~;~+\infty[$ de la fonction $F$ et déterminer, pour tout réel positif $x$, le nombre $F'(x)$.
$F$ est la composée de trois  fonctions $x \longmapsto x + 3, \quad t \longmapsto \ln t$ et $u \longmapsto u^2$ toutes dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ ; $F$ est donc dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et 

$F'(x) = 2 \times \ln (x + 3) \times \dfrac{1}{x + 3} = 2\dfrac{\ln (x + 3)}{ x + 3} = 2f(x)$.
		\item %On pose, pour tout entier naturel $n,\: I_n = \displaystyle\int_0^n  f(x)\:\text{d}x$.
		
%Calculer $I_n$.
On a vu que $F'(x) = 2f(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$ ou $f(x) = \dfrac12 F'(x)$, donc :

$I_n = \displaystyle\int_0^n  \dfrac12 F'(x)\:\text{d}x = \dfrac12 \displaystyle\int_0^n F'(x)\:\text{d}x = \dfrac12[F(x)]_0^{n} = \dfrac12 \left(F(n) - F(0)\right) = $

$I_n = \dfrac12 \left([\ln (n + 3)]^2 - [\ln 3]^2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $S_n= u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1}$.

%Calculer $S_n$.
$S_n = \displaystyle\int_0^{1} f(t)\:\text{d}t + \displaystyle\int_1^{2} f(t)\:\text{d}t + \ldots + \displaystyle\int_{n-1}^{n} f(t)\:\text{d}t = \displaystyle\int_0^{n}f(t)\:\text{d}t$  par linéarité de l'intégrale.

Donc $S_n = \displaystyle\int_0^{n}\dfrac12 F'(t)\:\text{d}t = \dfrac12\displaystyle\int_0^{n} F'(t)\:\text{d}t = \dfrac12 [F(n) - F(0)] = \dfrac12\left[[\ln (n + 3)]^2 - [\ln 3]^2\right]$


%La suite $\left(S_n\right)$ est-elle convergente ?
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} [\ln (n + 3)]^2 = + \infty$, la suite $\left(S_n\right)$ n'est pas convergente.
\end{enumerate}
\end{document}