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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes session 2018~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]19 février 2018\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\textbf{N. B.: Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

%Une épreuve consiste à lancer une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées \og 1 \fg, \og 2 \fg{} et \og 3 \fg.
%
%Deux concurrents, A et B, sont en présence. On admet qu'à chaque lancer, chacun d'eux
%atteint une seule case et que les lancers sont indépendants.
%
%Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1, 2, 3 sont respectivement :
%$\dfrac{1}{12},\:\dfrac13$ et $\dfrac{7}{12}$.
%
%Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le concurrent A lance la fléchette trois fois. Les résultats des trois lancers sont indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'il atteigne chaque fois la case 3 ?
La probabilité est égale à $\left(\dfrac{7}{12}\right)^3 = \dfrac{7^3}{12^3} = \dfrac{343}{\np{1728}}$.
		\item %Quelle est la probabilité qu'il atteigne, dans l'ordre, la case 1, puis la case 2, et enfin la case 3 ?
La probabilité est égale à $\dfrac{1}{12} \times \dfrac13 \times \dfrac{7}{12} = \dfrac{7}{432}$.
		\item %Quelle est la probabilité qu'il atteigne, sans ordre défini, les cases 1,2 et 3 ?
Il y a 6 possibilités ; 123, 132, 213, 231, 312, 321 avec à chaque fois une probabilité de $\dfrac{7}{432}$, soit une probabilité de $6 \times \dfrac{7}{432} = \dfrac{7}{72}$.
	\end{enumerate}
\item %On choisit l'un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est égale à deux fois la probabilité de choisir B.
La probabilité de choisir A est $\dfrac23$, celle de choisir B : $\dfrac13$.
	\begin{enumerate}
		\item Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité que la case 3 soit atteinte?
$\bullet~~$si le choix est A  la probabilité est de $\dfrac{7}{12}$ ;

$\bullet~~$si le choix est B  la probabilité est de $\dfrac13$ ;

La probabilité d'avoir un 3 en un lancer est égale :

$\dfrac23 \times \dfrac{7}{12} + \dfrac13 \times \dfrac13 = \dfrac{7}{18} + \dfrac19 = \dfrac{7}{18} + \dfrac{2}{18} = \dfrac{9}{18} = \dfrac12$.
		\item %Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte. Quelle est la probabilité que ce soit le concurrent A qui ait lancé la fléchette ?
		Sur les 9 chances sur 18 d'avoir tiré un 3, 7 proviennent du lanceur A, donc la probabilité cherchées est égale à $\dfrac79$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soient trois plans $(P)$, $(Q)$, $(R)$, définis respectivement par les équations cartésiennes suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
2x - \phantom{2}y - 3z &=&1 \quad (1)\\
3x + 2y - 2z&=&- 4 \quad (2)\\
- x - 4y+ 6z&=&22 \quad (3)
\end{array}\right.\]

%Calculer l'intersection des plans $(P)$, $(Q)$, $(R)$, si elle existe.
%
%Dans ce cas, indiquer s'il s'agit d'un point ou d'une droite.
Dans les deux premières expressions exprimons $x$ et $y$ en fonction de $z$ : 

$\left\{\begin{array}{l c r}
2x - y &=& 1 + 3z  \quad (1')\\
3x + 2y &=&2z - 4 \quad (2')\\
- x- 4y+ 6z&=&22 \quad (3)
\end{array}\right.$

On multiplie chaque membre de $(1')$ par 2 et on l'ajoute à la ligne $(2')$ :

$- x = - 4z - 6$ ou $x = 4z + 6$ et en reportant dans $(1')$, on obtient :

$y = 2x - 3z - 1 = 8z + 12 - 3z - 1$ ou $y = 5z + 11$.

En reportant ces deux valeurs de $x$ et $y$ en fonction de $z$ dans (3) on obtient :

$- 4z - 6 - 20z - 44 + 6z = 22 \iff - 18z - 50 = 22 \iff - 72 = 18z  \iff - 12 = 3z \iff$

$ z = - 4$.

On a donc $x = 1 \times (- 4) + 6 = - 10$ et $y = 5 \times (- 4) + 11 = - 9$.

Les trois plans ont donc un seul point commun de coordonnées $(-10~;~- 9~;~-4)$.

\item Soient trois plans $(S)$, $(T)$, $(U)$, définis respectivement par les équations cartésiennes suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 2z&=&1\\
x - y - 4z&=&3\\
2x + 3y - 3z&=&1
\end{array}\right.\]

%Calculer l'intersection des plans $(S)$, $(T)$, $(U)$, si elle existe. 

%Dans ce cas, indiquer s'il s'agit d'un point ou d'une droite.
Avec la même méthode, mais ici la somme des deux premières lignes donnent directement :

$2x - 6z = 4 \iff 2x = 6z + 4 \iff x = 3z + 2$, puis $y = - x + 2z$ (avec (1)), soit :

$y = - 6z - 4 + 2z = - 4z - 4$.

En reportant ces deux valeurs dans (3) on obtient :

$2(3z + 2) + 3(- 4z - 4) - 3z = 1 \iff 6z + 4 - 12z - 12 - 3z = 1 \iff - 9z- 8 = 1 \iff - 9 = 9z \iff z = - 1$.

On en déduit : $x = 3\times (- 1) + 2 = -1$ et $y = - 4 \times (- 1)- 4 = 0$.

Les trois plans ont donc un seul point commun de coordonnées $(-1~;~0~;~-1)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$
définie par : $u_0 = 1$ et pour tout $n  \in \N$,
\[u_{n+1} = \dfrac13 u_n + n- 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Calculer $u_1,\: u_2$ et $u_3$.
$\bullet~~u_1 = \dfrac13 + 0 - 2 = \dfrac13 - 2 = - \dfrac53$ ;

$\bullet~~u_2 = \dfrac13 \times \left(- \dfrac53 \right) + 1 - 2 = -\dfrac59 - 1 = - \dfrac{14}{9}$ ;

$\bullet~~u_3 = \dfrac13 \times \left(- \dfrac{14}{9} \right) + 2 - 2 = - \dfrac{14}{27}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 4,\: u_n \geqslant 0$.
\emph{Initialisation} : $u_4 = \dfrac13 \times - \dfrac{14}{27} + 3 - 2 = - \dfrac{14}{81} + 1 = \dfrac{67}{81} > 0$ : l'inégalité est vraie au rang $n = 4$ ;

\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \geqslant 4,\: u_n \geqslant 0$, alors : 

$\dfrac13u_n \geqslant 0$ et $n - 2 \geqslant 2$ soit par somme :

$\dfrac13 u_n + n - 2 = u_{n+1} \geqslant 2 \geqslant 0$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 4 et si elle est vraie à un rang $n$ supérieur elle est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence pour $n \geqslant 4, \: u_n \geqslant 0$.
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5 ,\: u_n \geqslant n - 3$.
D'après le résultat précédent pour $n \geqslant 4$, alors $u_n \geqslant 0$.
		
Puisque $u_{n+1} = \dfrac13 u_n + n - 2$ et que $\dfrac13 u_n \geqslant 0$ on a de façon évidente $u_{n+1} \geqslant n - 2 > n - 3$.
		\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
On a donc : pour tout entier naturel $n \geqslant 5 ,\: u_n \geqslant n - 3$
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$, on a par minoration : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$. la suite est divergente.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $n\in \N$,on définit la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ par $v_n = - 2u_n +3n - \dfrac{21}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
Par définition de la suite $v_{n+1} = - 2u_{n+1} + 3(n + 1) - \dfrac{21}{2} = - 2\left(\dfrac13 u_n + n - 2 \right) + 3n + 3 - \dfrac{21}{2} = - \dfrac23 u_n - 2n + 4 + 3n + 3 - \dfrac{21}{2} = - \dfrac23 u_n + 2n - \dfrac 72 = \dfrac13\left(u_n + 3n - \dfrac{21}{2} =  \right) = \dfrac13v_n$.

Ceci montre que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $v_0 = -2u_0 + 0 - \dfrac{21}{2} = - 2 - \dfrac{21}{2} = -\dfrac{25}{2}$.
		\item %En déduire que, pour tout $n \in \N,\: u_n = \dfrac{25}{4}\left(\dfrac13 \right)^n + \dfrac 32 n - \dfrac{21}{4}$.
		
$\bullet~~$On sait qu'alors quel que soit $n \in \N$, \: $v_n = - \dfrac{25}{2} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

$\bullet~~$D'autre part $v_n = - 2u_n +3n - \dfrac{21}{2} \iff 2u_n = 3n - \dfrac{21}{2} - v_n \iff u_n = \dfrac12\left(3n - \dfrac{21}{2} - v_n\right) = \dfrac32 n - \dfrac{21}{4} - \dfrac{25}{4}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

On peut vérifier ainsi que $u_1 = \dfrac32  - \dfrac{21}{4} + \dfrac{25}{4}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = - \dfrac{15}{4} + \dfrac{25}{12} = - \dfrac{-45 + 25}{12} = - \dfrac{20}{12} = - \dfrac53$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = 1 + \ln (1 + x).\]

\smallskip

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij.

On note $D$ la droite d'équation $y = x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
Somme de fonctions dérivables sur $]-1~;~+ \infty[$, \: $f$ est dérivable sur cet intervalle où :
		
$f'(x) = 0 + \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1}{1 + x}$.

Comme $1 + x > 0$ son inverse est lui aussi positif : $\dfrac{1}{1 + x} > 0$, donc $f$ est croissante sur $]-1~;~+ \infty[$.


		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to - 1} 1 + x = 0, \: \displaystyle\lim_{x \to - 1} \ln (1 + x) = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + x = + \infty$, \: donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.

D'autre part $f(0) = 1 + \ln 1 = 1$.
	\end{enumerate}	
\item On désigne par $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = f(x) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$.
		Soit $x = - 1 + h$, avec $h \in \R_+$.
		
Le taux d'accroissement de $g$ au voisinage de $- 1$ est $\dfrac{g(-1 + h) - g(- 1)}{- 1 + h - (- 1) }$ et l'on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - 1}\dfrac{g(-1 + h) - g(- 1)}{- 1 + h - (- 1) } = g'(- 1)$.

Or $g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{1}{1 + x} - 1 = \dfrac{ 1 - 1 - x}{1 + x} = \dfrac{-x}{1 + x}$

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - 1} - x = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to - 1}1 + x = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to - 1}\dfrac{-x}{1 + x} = + \infty$.
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}$.
		
%En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}g(x)$.
En posant $u = 1 + x$, on a $g(x) = g(u) = \dfrac{\ln u}{u}$ et l'on sait (puissances comparées que $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} g(u) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$
		\item %Étudier le sens de variation de la fonction $g$, puis dresser son tableau de variations.
On a sur $]-1~;~+ \infty[$, \: $g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{-x}{1 + x}$.
		
Comme $1 + x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $- x$, donc :

$\bullet~~$Sur $]-1~;~0[, \: g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est croissante 

$\bullet~~$Sur $]0~;~+\infty[, \: g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante de $g(0) = 1$ à $0$.

$\bullet~~$$g(0) = 1$ est donc le maximum de la fonction sur $]-1~;~+ \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.3,2.4){$-1$} \uput[u](3,2.4){$\alpha$} \uput[u](5,2.4){$0$} \uput[u](7,2.4){$\beta$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$g$}
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$}\uput[u](3,1.9){$+$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](7,1.9){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.5,0.5)\uput[u](1.5,0){$-\infty$}\uput[u](8.5,0){$-\infty$}\rput(3,1){0}\rput(7,1){0}
\uput[d](5,2){1}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Montrer que sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ ,avec $\alpha$ négative et $\beta$ appartenant à l'intervalle [2~;~3]. (on donne $\ln (3) \approx 1,09$ et $\ln (4) \approx 1,38$).
On voit que sur l'intervalle $]-1~;~0[$, la fonction $g$ continue car dérivable et croissante passe de valeurs négatives à $g(0) = 1 > 0$ : le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe $\alpha \in ]-1~;~0[$ tel que $g(\alpha) = 0$.

Le même théorème sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ montre qu'il existe $\beta \in ]0~;~+ \infty[$ tel que $g(\beta) = 0$.

Comme $g(2) = f(2) - 2 = 1 + 2\ln 3 - 2 = 2\ln 3 - 1  \approx 0,099$ et $g(3) = 1 + 3\ln 3 - 3 = 3\ln 3 - 2 \approx 3 \times 1,09 - 2 \approx - 0,63$.

Le même théorème des valeurs intermédiaires montre que $2 < \beta < 3$.
La fonction $g$ représente pour une abscisse donné la différence entre les ordonnées des points de $\mathcal{C}_f$ et la droite $(D)$.
		\item %À l'aide des questions précédentes, déterminer le signe de $g(x)$.
Le tableau de variations montre que $g(x) > 0$ sur $]\alpha~;~\beta[$ autrement dit géométriquement : la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de $(D)$ ; de même sur $]-1~;~\alpha[ \cup ]\beta~;~+ \infty[$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessous de $(D)$.
%En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}