\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{arydshln} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2016\\},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes\\Contrôle des opérations commerciales}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{session 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes ~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]21 mars 2016\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au millième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et 
\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}\: \text{pour tout entier naturel}\: n.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculez $u_1,\:u_2$ et $u_3$.
$u_1 = \dfrac{1}{2 - u_0} = \dfrac{1}{2 - 0} = \dfrac12$.

$u_2 = \dfrac{1}{2 - u_1} = \dfrac{1}{2 - \frac12} = \dfrac{1}{\frac32} = \dfrac{2}{3}$.

$u_3 = \dfrac{1}{2 - u_2} = \dfrac{1}{2 - \frac23} = \dfrac{1}{\frac43} = \dfrac34$.
%On exprimera chacun de ces termes sous forme de fraction irréductible.
		\item %Comparez les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ aux quatre premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\N$ par $w_n = \dfrac{n}{n+1}$.
$w_n = \dfrac{n}{n+1}$ :

$w_0 = 0$ ;

$w_1 = \dfrac12$ ;

$w_2 = \dfrac23$ ;

$w_3 = \dfrac34$

Les quatre premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont identiques.
		\item %À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrez que, pour tout entier naturel $n, u_n = w_n$.
		\emph{Initialisation} :
On a vu que $u_0 = w_0$.

\emph{Hérédité} :
Supposons que pour $n \in \N, \: n \geqslant 0$, on ait $u_n = w_n$, alors 

$u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}$ et $u_n = w_n = \dfrac{n}{n + 1}$ donc

$u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - \dfrac{n}{n + 1}} = \dfrac{n + 1}{2n + 2 - n} = \dfrac{n + 1}{n + 2} = w_{n+1}$ : l'égalité est vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : l'égalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence $u_n = w_n$ quel que soit $n \in \N$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$  la suite de terme général $v_n$ définie par $v_n = \ln \left(\dfrac{n}{n + 1}\right)$ où ln désigne la fonction logarithme népérien.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrez que $v_1 + v_2 + v_3 = - \ln 4$.
		$v_1 + v_2 + v_3 = \ln \dfrac12 + \ln \dfrac23 +\ln \dfrac34  = \ln \left[\dfrac12 \times \dfrac23 \times \dfrac34\right] = \ln \dfrac14 = - \ln 4$.
		\item Soit $S_n$ la somme définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $S_n =\displaystyle\sum_{1}^n v_n$.
		\begin{enumerate}
			\item %Exprimez $S_n$ en fonction de $n$.
Pour $n \geqslant 1, \: S_n = \displaystyle\sum_{1}^n v_n = \displaystyle\sum_{1}^n \ln \left(\dfrac{n}{n + 1}\right) = \ln \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n}{2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times (n+1)} = \ln \left(\dfrac{1}{n+1}\right) = - \ln (n + 1)$.
			\item %Déterminez la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}(n + 1) = + \infty, \quad \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\ln (n + 1) = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}S_n = - \infty.$
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

Soit $(P)$ le plan d'équation : $3x + y - z - 1 = 0$ et $(D)$ la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-t + 1\\
y&=&2t\\
z&=&-t + 2
\end{array}\right., \quad \]

où $t$ désigne un nombre réel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(P)$ ? Justifiez votre réponse.
On a $M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff 3x + y - z - 1 = 0$, donc :
		
C$(1~;~3~;~2) \in (P) \iff 3 \times 1  + 3 - 2 - 1 = 0 \iff 3 = 0$ : l'égalité est fausse donc C $\notin (P)$.
		\item %Démontrez que la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
La droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$ si tout point de $(D)$ appartient à $(P)$.

Or $M(x~;~y~;~z) \in (D) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-t + 1\\
y&=&2t\\
z&=&-t + 2
\end{array}\right.$ et en remplaçant ces coordonnées dans l'équation du plan :

$M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff 3(- t + 1) + 2t - (- t + 2) - 1 = 0 \iff - 3t + 3 + 2t + t - 2 - 1 = 0 \iff 0 = 0$ : l'égalité est vraie donc la droite $(D)$ est incluse dans le plan $(P)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $(Q)$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(D)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminez une équation cartésienne du plan $(Q)$.
		
La droite $(D)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{d}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$.

Si $(D)$ est orthogonale à $(Q)$ le vecteur $\vect{d}$ est normal au plan $(Q)$ et l'on sait alors que :

$M(x~;~y~;~z) \in (Q) \iff -1x + 2y - 1 + d = 0$, avec $d \in \R$.

Or C$(1~;~3~;~2) \in (Q) \iff -1 + 2\times 3 - 2 +d = 0 \iff 3 + d = 0 \iff d = - 3$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (Q) \iff -1x + 2y - z - 3 = 0\iff x - 2y + z +  3 = 0$.
		\item %Calculez les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(Q)$ et de la droite $(D)$.
Les coordonnées de I vérifient les équations de $(D)$ et l'équation de $(Q)$ donc vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-t + 1\\
y&=&2t\\
z&=&-t + 2\\
x - 2y + z + 3&=&0
\end{array}\right.$

En remplaçant $x,\:y\: z$ par leur valeur en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient :

$- t + 1- 2(2t) + (- t + 2) + 3 = 0\iff - t + 1 - 4t - t + 2 + 3 = 0 \iff 6 = 6t \iff 1 = t$

En reportant cette valeur dans les trois premières équations, on a $x = 0, \: y = 2$ et $z = 1$.

I(0~;~2~;~1).
		\item On a $\vect{\text{CI}}\begin{pmatrix}- 1\\1\\1 \end{pmatrix}$, donc CI$^2 = \left\|\vect{\text{CI}}\right\|^2 = (- 1)^2 + 1^2 + 1^2 = 3$, d'où $\left\|\vect{\text{CI}}\right\| =  \text{CI} = \sqrt 3$.

%Montrez que CI $= \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = x + \dfrac{\ln x}{x} \]

et la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[g(x) = x^2+ 1 - \ln x.\]

\smallskip

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Étudiez les variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
		La fonction $g$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ est dérivable sur cet intervalle où :
		
$g'(x) = 2x  - \dfrac 1x = \dfrac{2x^2 - 1}{x}$

Comme $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est le signe du numérateur $2x^2 - 1$.

$2x^2 - 1 = 0 \iff 2x^2 = 1 \iff x^2 = \dfrac12 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$ ou $x = - \dfrac{\sqrt 2}{2}$.

On sait que le trinôme $2x^2 - 1$ est positif sauf entre les racines, donc ici sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\sqrt 2}{2}\right[$ où $g'(x) < 0$.

Conclusion :

\begin{itemize}
\item $g$ est décroissante sur $\left]0~;~\dfrac{\sqrt 2}{2}\right[$
\item $g$ est croissante sur $\left]\dfrac{\sqrt 2}{2}~;~+ \infty\right[$
\end{itemize}

On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - (- \infty) = + \infty$ ;

$g\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) = \dfrac24 + 1 - \ln \dfrac{\sqrt 2}{2} = \dfrac32 - \dfrac12 \ln 2$ ;

En écrivant $g(x) = x\left(x + \dfrac 1x - \dfrac{\ln x}{x} \right)$ et comme 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac 1x = 0, \:\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x + \dfrac 1x - \dfrac{\ln x}{x} = = \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
		\item %Déduisez-en le signe de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
Le minimum de la fonction $g$ est $g\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) = \dfrac{3 - \ln 2}{2} \approx 1,15 > $, la fonction $g$ est positive sur $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminez la limite en $0$ de $f$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$. =
		\item %Déterminez la limite en $+\infty$ de $f$ puis montrez que la droite $(D)$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
On sait (puissances comparées) que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, \: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

D'autre part soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[d(x) = f(x) - x = \dfrac{\ln x}{x}.\]

On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ ce qui signifie géométriquement que la droite $(D)$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
%Calculez $f'(x)$ pour tout réel de $]0~;~+\infty[$.

$f$ est une somme de quotients de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle elle est dérivable avec :

$f'(x) = 1 + \dfrac{\frac 1x \times x - 1\times \ln x}{x^2} = 1 + \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x^2 + 1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$
		\item %Déduisez-en le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+\infty[$, puis vous dresserez le tableau de variations de la fonction $f$.
		Comme $x^2 > $ pour $x \in ]0~;~+ \infty[$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ et on a vu que sur le même intervalle $g(x) > 0$.
		
		Conclusion la fonction est strictement croissante de moins l'infini à plus l'infini.
		\item %Déterminez le point A de la courbe $(\mathcal{C})$ en lequel la tangente $(T)$ est parallèle à la droite $(D)$.
Il faut trouver A$\left(x_{\text{A}}~;~f\left(x_{\text{A}}\right)\right)$ tel que $f'\left(x_{\text{A}}\right) = 1$ (coefficient directeur de $(D)$, soit puisque $f'(x) = \dfrac{x^2 + 1 - \ln x}{x^2}$, le réel solution de l'équation 

$\dfrac{x^2 + 1 - \ln x}{x^2} = 1 \iff x^2 + 1 - \ln x = x^2 \iff 1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff x = \e$.

En A$\left(\e~;~\e + \e^{1}\right)$ la tangente à $(\mathcal{C})$ est parallèle à $(D)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher: deux vertes et trois rouges.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On extrait simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifiez que $P(X = 0)= \dfrac{3}{10}$ puis déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
En numérotant les boules $V_1, V_2, R_1, R_2$ et $R_3$ on peut avoir les tirages suivants :

$V_1V_1, V_1R_1,V_1R_2, V_1R_3, V_2R_1, V_2R_2, V_2R_3, R_1R_2, R_1R_3$ et $R_2R_3$.

Les trois derniers tirages n'ont pas de boules vertes, donc $p(X = 0) = \dfrac{3}{10}$.

On a $p(X = 1) = \dfrac{6}{10}$ et $p(X = 2) = \dfrac{1}{10}$.
		\item %Calculez l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
		$E(X) = 0 \times \dfrac{3}{10} + 1 \times \dfrac{6}{10} + 2 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{8}{10} = 0,8$.
		\item %Calculez la probabilité de l'évènement suivant :

%$A$ : \og les deux boules tirées sont de même couleur \fg.
On a $p(A) = p(X = 0) + p(X = 2) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10} = 0,4$.
	\end{enumerate}
\item %On effectue deux tirages consécutifs d'une boule en respectant la règle suivante :

%\emph{Si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne,}

%\emph{si elle est verte, on ne la remet pas.}
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant un arbre pondéré, calculez la probabilité des évènements suivants : $B$ : \og seule la première boule tirée est verte \fg{} ;

%$C$ : \og une seule des deux boules tirées est verte \fg.
Avec l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,treesep=1.cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~}\taput{$\frac35$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\frac35$}
	\TR{$V$} \tbput{$\frac25$}
	}
\pstree{\TR{$V$~~}\tbput{$\frac25$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\frac34$}
	\TR{$V$} \tbput{$\frac14$}
	}
}
\end{center}
\medskip

On a $p(B) = \dfrac25 \times \dfrac34 = \dfrac{3}{10} = 0,3$ ;

$p(C) = p(R) \times p_R(C) + p(V) \times p_V(R) = \dfrac35 \times \dfrac25 + \dfrac25 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{25} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{12}{50} + \dfrac{15}{50} = \dfrac{27}{50} = \dfrac{54}{100} = 0,54$.
		\item %Sachant que l'on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?
		Il faut calculer $p_C(B) = \dfrac{p(C \cap B)}{p(C)} = \dfrac{\dfrac25 \times \dfrac34}{\dfrac{27}{50}} = \dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{27}{50}} = \dfrac{15}{27}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}