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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes\\}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales\\et de l'administration générale}}
\rfoot{\small{session 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes 14 mars 2011~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
-- Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.\\
-- Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet.\\
\emph{Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet}.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie par:

\[f(x )= 1 - \text{e}^{-3x} \quad \text{pour tout } x \: \text{réel.}\]

%Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij.
%
%La courbe représentative de la fonction $f$ est notée $(\mathcal{C})$, la droite d'équation $y = x$ est notée $(D)$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 3x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{- 3x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - 3x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{- 3x} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ .
$f$ composée de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet intervalle et 
		
$f'(x) - 3 \times \left(-\e^{-x}\right) = 3\e^{-x}$.

Or on sait que quel que soit $x \in \R$, \: $\e^{-x} > 0$, donc $f'(x) > 0$ : le fonction $f$ est strictement croissante de $- \infty$ à 1.
	\end{enumerate}	
\item On note $g$ la fonction définie par $g(x) = f(x) - x$ pour tout $x$ réel.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g'(x)$, où $g'$ ,désigne la fonction dérivée de la fonction $g$.
On a sur $\R$, \: $g'(x) = 3\e^{-3x} - 1.$
		
%Montrer que $g'(x) < 0$ équivaut à $x > \dfrac{\ln 3}{3}$.
$g'(x) < 0 \iff 3\e^{-3x} - 1 < 0 \iff 3\e^{-3x} < 1 \iff \e^{-3x} < \dfrac13  \iff- 3x < \ln \frac13 $par croissance de la fonction logarithme népérien, $\iff - x < - \dfrac{\ln 3}{3} \iff \dfrac{\ln 3}{3} < x$.

Conclusion $g'(x) < 0$ sur $\left]\dfrac{\ln 3}{3}~;~+\infty\right[$.

On aurait de même $g'(x) > 0$ sur $]-\infty~;~\dfrac{\ln 3}{3}[$ et $g'\left(\dfrac{\ln 3}{3}\right) = 0$.
		\item ~%Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
$g(0) = 1 - \e^{0} - 0 = 0$ ;

$g(1) = 1 - 3\e^{-3} - 1 = -3\e^{-3} \approx - 0,05$ ;

$g\left(\dfrac{\ln 3}{3}\right) = 1 - \e^{-\ln 3} - \dfrac{\ln 3}{3} = 1 - \dfrac{1}{\e^{\ln3}} - \dfrac{\ln 3}{3} = 1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{\ln 3}{3} = \dfrac{2 - \ln 3}{3} \approx  0,30 \approx - 0,136$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,3.25)
\psframe(9,3.25)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3.25)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$-\infty$} \uput[u](3,2.4){$0$}\uput[u](5,2.4){$\frac{\ln 3}{3}$}\uput[u](6.5,2.4){$1$}\uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](5.75,1.9){$+$}\uput[u](7.5,1.9){$+$}
\uput[u](2,1.9){$-$}\uput[u](4,1.9){$-$}\rput(0.5,1){$g$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.5,0.5)
\uput[d](5,2){\footnotesize $\dfrac{2 - \ln 3}{3}$}\rput(3,1){0}\rput(6.5,1){$-3\e^{-3}$}
\end{pspicture}
\end{center}

%L'étude des limites de la fonction $g$ n'est pas demandée mais on précisera les valeurs exactes de $g(0)$, $g(1)$.
		\item %On note $\alpha$ l'unique nombre réel non nul tel que $g(\alpha) = 0$, avec $\alpha \in  ]0,94~;~0,95[$.
		
%Donner le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du nombre $x$ réel.

%En déduire la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par rapport à la droite $(D)$.
Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\ln 2}{3}~;~1\right]$ la fonction $g$ est continue car dérivable et strictement décroissante  de $g\left(\dfrac{\ln 3}{3}\right) = \dfrac{2 - \ln 3}{3} > 0$ à $g(1) = - \e^{-3} < 0$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in \left]\dfrac{\ln 3}{3}~;~1\right[$ tel que $g(\alpha) = 0$ soit $0,366 < \alpha < 1$.

La calculatrice donne plus précisément $0,94 < \alpha < 0,95$. ($g(0,94) \approx 0,0004$ et $g(0,95) \approx - 0,008$.)
	\end{enumerate}
\item %Donner une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point O.
On a $M(x~;~y) \in (T) \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Avec $f(0) = 1 - 1 = 0$ et $f'(0) = 3\e^{0} = 3$, on obtient :

$M(x~;~y) \in (T) \iff y - 0 = 3(x - 0) \iff y = 3x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère une suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par 

\[u_0 = 6 \quad \text{et }\quad u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2.\]

On pose $v_n = u_n - 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
Quel que soit $n \in \N$, \: $v_{n+1} = u_{n+} - 3 = \dfrac13 u_n + 2 - 3 = \dfrac13 u_n - 1 = \dfrac13\left(u_n - 3\right) = \dfrac13v_n$.

Cette égalité montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac13$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 3 = 6 - 3 = 3$.
		\item %Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour $n \in \N, \: v_n = 3 \times \left(\dfrac13\right)^n = \dfrac{1}{3^{n-1}}$.

Or $v_n = u_n - 3 \iff u_n = v_n + 3 = 3 + \dfrac{1}{3^{n-1}}$.
		\item %Déduire, en utilisant la question précédente, les limites, quand $n$ tend vers plus l'infini, de $v_n$ et de $u_n$.
		Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{3^{n-1}} = 0$, on a 
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 3$.
	\end{enumerate}	
\item On constate que, pour tout $n$ appartenant à $\N$, $v_n$ est strictement positif et on pose $w_n = \ln \left(v_n\right)$.

%Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme $w_0$ et la raison.
Quel que soit $n \in \N$, \: $w_{n+1} = \ln \left(v_{n+1}\right) = \ln \dfrac{1}{3^{n}} = \ln \left[\dfrac{1}{3} \times  \dfrac{1}{3^{n-1}}\right) = \ln \dfrac{1}{3} + \ln \dfrac{1}{3^{n-1}} = \ln \dfrac{1}{3^{n-1}} - \ln 3 = \ln v_n - \ln 3 = w_n - \ln 3$.

L'égalité vraie pour tout $n \in \N$, \quad \: $w_n+1 = w_n - \ln 3$ démontre que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \ln 3$, de premier terme $w_0 = \ln v_0 = \ln 3$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
		On a pour $n \in \N$, \:\: $_n = \ln 3 + - n\ln 3 = (1 - n)\ln 3$.
		\item %Pour quelle valeur de $n$ a-t-on : $w_n= - \ln \left(27^3\right) - \ln (9)$ ?
		
On a $- \ln \left(27^3\right) - \ln (9) = - \ln \left(\left(3^3\right)^3 \right) - \ln 3^2 = -\ln 3^9 - \ln 3^2 = - \ln 3^{9 + 2} = -\ln 3^{11}$.

Donc $w_n = - \ln \left(27^3\right) - \ln (9) \iff (1 - n)\ln 3 = -\ln 3^{11}\iff \ln 3^{1 - n} \iff  $

$\ln \dfrac{1}{3^{11}} = \ln \dfrac{1}{3^{n - 1}} $ soit d'après la croissance de la fonction exponentielle :

$n - 1 = 11 \iff n = 12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%A la kermesse de l'école, une tombola est organisée : $250$ billets, numérotés, de $1$ à $250$, sont vendus $2$ euros chacun à $250$ personnes différentes.
%
%Après le tirage, on apprend que tous les billets dont le numéro finit par 3 rapportent $10$ euros, et que ceux dont les numéros finissent par $20$ ou $65$ rapportent $30$ euros.
%
%\emph{Dans chacun des calculs demandés, donner des valeurs exactes sous forme décimale ou sous forme de fraction irréductible}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On interroge au hasard une personne ayant acheté un billet.

Quelle est la probabilité des évènements $A$, $B$ et $C$ suivants ?

$A$ : « interroger une personne ayant un billet gagnant $30$~euros ».

Les billets numérotés : 20, 120, 220, 65, 165 gagnent 30~\euro. Donc $p(A) = \dfrac{5}{250} = \dfrac{20}{\np{1000}} = 0,02$.

$B$ : «interroger une personne ayant un billet gagnant ».

Rapportent 10\euro{} les billets numérotés 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123, 133, 143, 153, 163, 173, 183, 193, 203, 213, 223, 233, 243, soit 25 billets. Donc 

$p(B) = \dfrac{5 + 25}{250} = \dfrac{30}{250} = \dfrac{3}{25} = \dfrac{2}{100} = 0,12$.

$C$ : «interroger une personne ayant reçu 30 euros sachant que cette personne avait un billet gagnant ».

Sur les 30 personnes ayant gagné 5 ont gagné 30~\euro{} ; donc 

$p(C) = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$.
\item À chaque personne ayant acheté un billet, on associe son gain $X$, la différence entre ce qu'elle reçoit et les 2 euros versés pour avoir un billet.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les différentes valeurs possibles de $X$ et établir la loi de probabilité du gain $X$.
		
On a $p(X = 30 - 2) = \dfrac{5}{250} = 0,02$ ;
		
$p(X = 10 - 2) = \dfrac{25}{250} = \dfrac{1}{10} = 0,1$ ;

$p(X = 0 - 2)  = \dfrac{220}{250} = \dfrac{22}{25} = \dfrac{88}{100} = 0,88$.
		\item %Calculer l'espérance mathématique de cette loi.
On a donc $E(X) = 28 \times 0,02 + 8 \times 0,1 - 2 \times 0,88 = 0,56 + 0,8 - 1,76 = 1,36 - 1,76 = - 0,40$.

Le \og gain \fg{} (ici la perte)  moyen par joueur est donc de 40 centimes d'euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points

\[\text{A}(2~;~-3~;~5),\quad  \text{B}(4~;~3~;~7)\quad  \text{et} \quad  \text{C}(1~;~-6~;~4).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}4 - 2\\3- (- 3)\\7 - 5\end{pmatrix}$, soit $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\6\\2\end{pmatrix}$ ; 

$\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}1 - 2\\- 6- (- 3)\\4 - 5\end{pmatrix}$, soit $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\- 3\\- 1\end{pmatrix}$.
\item Les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont ils colinéaires ?
On a $2 = - 2 \times (- 1), \: 6 = - 2 \times (-3), \: 2 = - 2 \times (- 1)$, donc $\vect{\text{AB}} = - 2 \vect{\text{AC}}$ : les vecteurs sont colinéaires.
\item %Calculer les distances AB et AC.
On a AB$^2 = 2^2 + 6^2 + 2^2 = 4 + 36 + 4 = 44$, d'où AB $ = \sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = 2\sqrt{11}$ ;

AC $ = (-1)^2 + (- 3)^2 + (- 1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11$, donc AC $= \sqrt{11}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f$ est positive sur [0 ~;~1].
$0\leqslant x \leqslant 1 \Longrightarrow 0 \leqslant x^2 \leqslant 1 \Longrightarrow 0 + 4 \leqslant x ^2 + 4 \leqslant 5 \Longrightarrow \dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x^2 + 4} \leqslant \dfrac14 \Longrightarrow \dfrac{2}{5} \leqslant \dfrac{2}{x^2 + 4} \leqslant\dfrac24$ soit finalement 
\[0,4 \leqslant\dfrac{2}{x^2 + 4} \leqslant 0,5.\]

La fonction $f$ est positive sur [0 ~;~1].
\item %Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$.
Soit $u(x) = x^2 + 4$, alors $u'(x) = 2x$ et on peut écrire $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

On reconnait la dérivée de la fonction $x \longmapsto F(x) = \ln \left( x^2 + 4\right)$ qui est une primitive de la fonction $f$.


\item %$(\mathcal{C})$ est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé d'unité graphique $2$~cm.

%Déterminer, en cm$^2$, l'aire du domaine compris entre $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
D'après la question 1 la fonction $f$ est positive sur [0~;~1], donc l'aire cherchée $\mathcal{A}$ est égale à l'intégrale entre 0 et 1 de la fonction $f$ soit :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = \ln \left(1^2 + 4\right) - \ln \left( 0^2 + 4\right) = \ln 5 - \ln 4 = \ln \dfrac54 \approx \np{0,223144}$.

J'unité d'aire valant $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, on a $\mathcal{A} \approx 0,893$~cm$^2$.
\end{enumerate}\end{document}