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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du concours de contrôleur des douanes}
\lfoot{\small{Contrôle des opérations commerciales}}
\rfoot{\small{session 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du concours de contrôleur des douanes session 2017~\decofourright\\[7pt]Branche du contrôle des opérations commerciales et de l'administration générale}\\[7pt]20 février 2017\quad Durée : 3 heures}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\textbf{Remarque préliminaire :\\
Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

%Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes.
%
%Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires.
%
%Les boules sont indiscernables au toucher.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On dispose d'un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. 

%On le lance une fois; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité d'obtenir une boule noire.
Avec le dé, la probabilité de tirer un multiple de 3 est $\dfrac{2}{6} = \dfrac13$ : dans ce cas la probabilité de tirer une boule noire est nulle.

Avec une probabilité égale à $\dfrac23$ on tire un numéro non multiple de 3 ; dans ce cas la probabilité de tirer une boule noire est $\dfrac24 = \dfrac12$.

Finalement la probabilité de tirer une boule noire est $\dfrac23 \times \dfrac12 = \dfrac13$.
		\item %Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir?
La probabilité de tirer une boule est $\dfrac13$ (il faut avoir d'abord un multiple de 3), et ensuite dans l'urne A on a une probabilité $\dfrac34$ d'avoir une boule verte.

La probabilité d'avoir une boule verte est donc égale à $\dfrac13 \times \dfrac34 = \dfrac14$.

La probabilité de tirer une boule rouge est donc égale à :

$1 - \left(\dfrac13 + \dfrac14 \right) = \dfrac{12}{12} - \left(\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12}\right) = \dfrac{5}{12}$.

Comme $\dfrac{5}{12}> \dfrac{4}{12}>\dfrac{3}{12}$, c'est la couleur rouge qui a le plus de chances de sortir.
		\item %Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ?
La probabilité de tirer une rouge de l'urne A est $\dfrac13 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{12}$.

La probabilité de tirer une rouge de l'urne B est $\dfrac23 \times \dfrac24 = \dfrac{4}{12}$.

La probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge est donc $\dfrac{\dfrac{4}{12}}{\dfrac{5}{12}} = \dfrac{4}{5}$.
	\end{enumerate}
\item %On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l'on pose chaque fois devant l'urne.
On a une urne avec 2 noires, 3 rouges et 3 vertes
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement \og la troisième boule tirée est noire \fg.
On peut faire un arbre de 27 branches, mais on peut recenser les tirages se terminant pat une noire (N) et calculer leur probabilité :

NRN : $\dfrac28 \times 37\times16 = \dfrac{1}{56}$

NVN : $\dfrac28 \times 37\times16 = \dfrac{1}{56}$

RNN : $\dfrac38 \times 27\times16 = \dfrac{1}{56}$

RRN : $\dfrac38 \times 27\times26 = \dfrac{2}{56}$

RVN : $\dfrac38 \times 37\times16 = \dfrac{3}{56}$

VNN : $\dfrac38 \times 27\times16 = \dfrac{1}{56}$

VRN : $\dfrac38 \times 37\times26 = \dfrac{3}{56}$

VVN: $\dfrac38 \times 27\times26 = \dfrac{2}{56}$

La probabilité de tirer une noire en troisième boule est égale à : $\dfrac{14}{56} = \dfrac14$.
		\item %L'évènement \og la première boule tirée est noire \fg{} a-t-il une probabilité supérieure à l'évènement \og la troisième boule tirée est noire\fg{} ? Justifier.
La probabilité de l'évènement  \og la première boule tirée est noire \fg{} est égale à $\dfrac28 = \dfrac14$ : c'est la même que celle de la question précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par: $u_0 = 0$,\: $u_1 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item ~%Calculer les termes $u_2,\: u_3$ et $u_4$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\bullet~~$$u_2 = 5u_1 - 4u_0 = 5 - 0 = 5$ ;

$\bullet~~$$u_3 = 5u_2 - 4u_1 = 25 - 4 = 21$ ;

$\bullet~~$$u_4 = 5u_3 - 4u_2 = 105 - 20 = 85$ ;
\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 4u_n + 1$.
Pour $n \in \N, \: u_{n+2} = 5u_{n+1} - 4u_n \Longrightarrow u_{n+2} - u_{n+1} = 5u_{n+1} - 4u_n - u_{n+1}$ ou $u_{n+2} - u_{n+1} = 4u_{n+1} - 4u_n \iff u_{n+2} - u_{n+1} = 4\left(u_{n+1} - u_n\right)$.

Donc la différence entre deux termes consécutifs est à chaque rang multipliée par 4 :

$0\to 4\times 0 + 1 = 1 \to 4\times 1 + 1 = 5 \to 4\times 5 + 1 = 21\to \ldots$

Quel que soit $n \in \N, \: u_{n+1} = 1 + 4u_n$.
\item %Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n =u_n + \dfrac13$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
On a quel que soit $n \in \N,\:v_{n+1} = u_{n+1} + \dfrac13 = 4u_n + 1 + \dfrac13 = 4u_n + \dfrac43 = 4\left(u_n + \dfrac13 \right) = v_{n+1} =  4v_n$.

Ceci montre que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme $v_0 = u_0 + \dfrac13 = \dfrac13$.
		\item %Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n, \: v_n = \dfrac13\times 4^n$.
		
Or $v_n = u_n + \dfrac13 \iff u_n = v_n - \dfrac13 = \dfrac13\times 4^n - \dfrac13 = \dfrac13\left(4^n - 1\right)$.

\emph{Rem.} Puisque les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont des naturels, on a démontré en passant que les nombres de la forme $4^n - 1$ sont des multiples de 3 !
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Soient
\begin{center}A(1~;~2~;~0),\qquad B(2~;~2~;~0), \qquad C(1~;~3~;~0) \quad et \quad D(1~;~2~;~1) \end{center}

quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk.

$(P)$ désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A.

$(Q)$ désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A.

$(R)$ désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(P)$ a pour vecteur normal $\vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$.

On sait alors que :

$M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff -1\times x + 1\times y + 0 \times z  + d = 0$, avec $d \in\R$, ou encore $- x + y + d = 0$. Mais on sait que 

A$(1~;~2~;~0) \in (P) \iff -1 + 2 + d = 0 \iff d = - 1$. Finalement :

$M(x~;~y~;~z) \in (P) \iff - x + y - 1 = 0 \iff x - y + 1 = 0$.

Montrer que le plan $(P)$ a pour équation cartésienne $x - y + 1= 0$.
\item %On admet que le plan $(Q)$ a pour équation cartésienne $-y+ z+ 2 = 0$ et que le plan $(R)$ a pour équation cartésienne $- x + z + 1= 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système:
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
x- y + 1 &=& 0 \quad (1)\\
- y + z + 2&=&0 \quad (2)\\
-x +z + 1 &=&0 \quad (3)
\end{array}\right.\]

En calculant (2) - (3) on obtient $x - y +1 = 0$ soit la ligne (1), donc on peut supprimer la ligne (2) ou (3) par exemple la (3) ; il faut donc résoudre le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x- y + 1 &=& 0 \quad (1)\\
- y + z + 2&=&0 \quad (2)\\
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x- y + 1 &=& 0 \quad (1)\\
y  &=&z + 2 \quad (2')\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& y - 1 \quad (1)\\
y  &=&z + 2 \quad (2')\\
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& z + 1 \quad (1)\\
y  &=&z + 2 \quad (2')\\
z &=& z\\
\end{array}\right.$

Si l'on préfère avec $z = t, \: t \in\R$, on obtient :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 1 \quad (1)\\
y&=&t + 2 \quad (2')\\
z&=& t\\
\end{array}\right.\quad t \in \R\]

		\item %En déduire que l'intersection des trois plans $(P)$, $(Q)$ et $(R)$ est une droite $(d)$ passant par le point E(2~;~3~;~1).
On reconnait les équations paramétrique de la droite contenant le point de coordonnées (1~;~2~;~0) et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.

Si on veut trouver la droite $d$) il suffit de poser $t' = t - 1\iff t = t' + 1$ pour obtenir :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t' + 2 \\
y&=&t' + 3 \\
z&=&t' + 1\\
\end{array}\right.\quad t' \in \R\]

Ce sont bien les équations paramétriques de la droite contenant A(2~;~3~;~1) et de vecteur directeur 
$\vect{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
		\item %Vérifier que la droite $(d)$ est orthogonale au plan (BCD).
On a $\vect{\text{BC}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{BD}}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc définissent bien le plan (BCD) ; de plus :

$\vect{u} \cdot \vect{\text{BC}} = - 1 + 1 + 0 = 0$ et $\vect{u} \cdot \vect{\text{BD}} = - 1 + 0 + 1 = 0$ : le vecteur $\vect{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), c'est donc un vecteur normal à ce plan.

Donc $M(x~;~y~;~z)\in (\text{BCD})\iff 1x + 1y + 1z + d = 0$, avec $d\in \R$. Or :

B$(1~;~2~;~0) \in (\text{BCD})\iff 1 + 2 + 0 + d = 0 \iff d = - 3$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z)\in (\text{BCD})\iff x + y + z - 3 = 0$.
		
%En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate}
\item %Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
$\bullet~~$Équation du plan (ABC) :

Les points A B et C ont une cote nulle donc $M(x~;~y~;~z)\in (\text{ABC})\iff z = 0$.

$\bullet~~$Équation du plan (ABD)

Les points A B et D ont une ordonnée égale à 2  donc $M(x~;~y~;~z)\in (\text{ABD})\iff y = 2$.

$\bullet~~$Équation du plan (ACD)

Les points A C et D ont une abscisse égale à 1  donc $M(x~;~y~;~z)\in (\text{ACD})\iff x = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = \e^x(1 - x) + 1\]

	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variation de $g$.
		Produit de fonctions dérivables sur $\R$, $g$ est dérivable et sur $\R$,
		
$g'(x) = \e^x(1 - x) - \e^x = - x\e^x$.

Comme $\e^x > 0$, quel que soit le réel $x$,\: $\e^x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $- x$

$\bullet~~$$g'(x) > 0$ sur $\R_-$, donc $g$ est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$g'(x) < 0$ sur $\R_+$, donc $g$ est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$g'(x) = 0$  si $x = 0$ donc $g(0) = 1$ est le minimum de la fonction $g$ sur $\R$. $g$ est croissante sur cet intervalle ;

Comme $\e^x > 0$, quel que soit le réel $x$,\: $\e^x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $- x$
		\item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle
%[1,27~;~1,28].
On a $g(x) = \e^x - x\e^x + 1$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\e^x  = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x)  = 1$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

Sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $g$ est continue car dérivable et strictement décroissante de 1 à $- \infty$ : il existe donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $\alpha \in–0~;~+ \infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$.

On note $\alpha$ cette solution. (On prendra $\e^{1,27} \approx 3,56$ et $\e^{1,28} \approx 3,59$). 
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $]-\infty~;~0[$.
		
		Comme $g(1,27) \e^{1,27} \times (1 - 1,27) + 1 \approx 3,56 \times (- 0,27) + 1 \approx \np{0,0388}$ et $g(1,28) \\e^{1,28}(1 - 1,28) + 1 \approx 1 - 3,59 \times (-0,28) \approx \np{-0,0052}$ en reprenant le même théorème sur l'intervalle [1,27~;~1,28], on a donc $\alpha \in ]1,27~;~1,28[$ tel que $g(\alpha) = 0$.
		
%Justifier que $g(x) > 0$ sur $]0~;~\alpha[$ et $g(x)< 0$ sur $]\alpha~;~+\infty[$.
Comme la fonction est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$, on a $g(x) > 0$ sur $]0~;~\alpha[$ et $g(x)< 0$ sur $]\alpha~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[f(x) = \dfrac{x}{\e^x + 1} + 2.\]

%On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item ~%Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
$\bullet~~$Limite en $- \infty$ : 
		
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^x + 1 = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} = - \infty$.

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ :

On sait par puissances comparées que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\e^x + 1} = 0$ et donc que 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 2$.
		\item %Démontrer que la droite $(d)$ d'équation $y = x + 2$ est une asymptote pour $\mathcal{C}_f$.
Soit la fonction $\delta$ définie sur $\R$ par :
		
$\delta(x) = f(x) - (x + 2) = \dfrac{x}{\e^x + 1} + 2 - x - 2 = \dfrac{x}{\e^x + 1}  - x = \dfrac{x - x\left(\e^x + 1\right)}{\e^x + 1} = \dfrac{x\e^x}{\e^x + 1}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x\e^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^x + 1 = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \delta(x) = 0$ : ceci montre que géométriquement la droite $(d)$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$.
		\item %Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $(d)$.
	On a $\delta(x) > 0$ car quotient de deux termes positifs, ce qui montre que $f(x) \geqslant x + 2$, donc que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de l'asymptote $(d)$.
	\end{enumerate}
\item %Montrer que la fonction dérivée de $f$ a même signe que la fonction $g$ étudiée dans la question 1.
$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\e^x + 1 - x\e^x}{\left(\e^x + 1\right)^2}$.

Comme $\left(\e^x + 1\right)^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $\e^x + 1 - x\e^x = \e^x(1 - x) + 1 = g(x)$, donc $f'(x)$ a le signe de $g(x)$.
\item %Montrer qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $f(\alpha) = p\alpha + q$.

On sait que $g(\alpha) = 0 \iff \e^{\alpha}(1 - \alpha) + 1 = 0$.

On en déduit que $\e^{\alpha} + 1 - \alpha \e^{\alpha} = 0\iff \e^{\alpha} + 1 = \alpha \e^{\alpha}$.

Donc $f(\alpha) = \dfrac{\alpha}{\e^{\alpha} + 1} + 2 = \dfrac{\alpha}{\alpha \e^{\alpha}} + 2 = \dfrac{1}{\e^\{alpha} + 2$.

Mais $\e^{\alpha}(1 - \alpha) + 1 = 0$ entraîne en multipliant par $\e^{- \alpha}$ :

$1 - \alpha + \e^{- \alpha} \iff \e^{- \alpha} = \alpha -1$.

Finalement $f(\alpha) = \alpha - 1 + 2 = \alpha + 1$

Conclusion  $p = q = 1$.
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a vu que $g$ ne s'annule qu'en $\alpha \approx 1,27$, donc $g(x)$ et donc $f'(x)$ est positif sur

 $]- \infty~,~\alpha[$ et négatif sur $]\alpha~;~+ \infty[$.

La fonction $f$ est donc croissante sur $]- \infty~,~\alpha[$ de moins l'infini à $\alpha + 1$ puis décroissante de  $\alpha + 1$ jusqu'à 2.
\end{enumerate}
\end{document}